PROSES POISSON MAJEMUK DAN PENERAPANNYA PADA PENENTUAN EKSPEKTASI JUMLAH PENJUALAN SAHAM PT SRI REJEKI ISMAN TBK Ririn Dwi Utami, Respatiwulan, dan Siswanto Program Studi Matematika FMIPA UNS Abstrak. Saham merupakan salah satu alternatif yang dapat dipilih untuk berinvestasi. Saat ini, investasi saham dilakukan secara online dengan waktu transaksi diatur oleh Jakarta Automated Trading System (JATS). Banyaknya transaksi yang terjadi selama waktu terjadinya jual beli saham diasumsikan mengikuti proses Poisson, sedangkan jumlah saham yang terjual diasumsikan mengikuti proses Poisson majemuk. Tujuan penelitian ini adalah menurunkan ulang proses Poisson majemuk yang kemudian diterapkan untuk menentukan ekspektasi jumlah penjualan saham PT Sri Rejeki Isman Tbk. Hasil dari penelitian ini yaitu, proses Poisson majemuk dapat terbentuk dari jumlahan variabel random Y k yang independen dan berdistribusi identik sebanyak yang mengikuti proses Poisson dengan sifat-sifat tertentu. Hasil yang diperoleh dari penerapan adalah banyaknya transaksi yang terjadi selama selang waktu sesi pertama berdistribusi Poisson dengan rata-rata λ = 1.9067 transaksi per menit, sedangkan banyaknya penjualan saham merupakan variabel random independen yang berdistribusi eksponensial dengan rata-rata 226.0951 penjualan per menit, sehingga X(t) adalah proses Poisson majemuk dan diperoleh rata-rata total penjualan saham untuk t = 150 menit sebesar 65000 lot saham. Kata Kunci: saham, JATS, proses Poisson majemuk 1. PENDAHULUAN Pasar modal Indonesia merupakan salah satu negara tujuan investasi bagi investor di negara maju, sehingga para investor dalam negeri juga saling bersaing dalam melakukan investasi. Saham dapat dijadikan alternatif untuk melakukan investasi (Agarwal [1]). Menurut Husnan [4], saham merupakan secarik kertas yang menunjukkan hak pemodal untuk memperoleh bagian dari prospek atau kekayaan organisasi. Saham terbagi menjadi dua jenis yaitu saham biasa dan saham preferen. Saham biasa merupakan saham yang memiliki hak klaim berdasarkan laba atau rugi yang diperoleh perusahaan, sedangkan saham preferen merupakan saham dengan bagian hasil yang tetap walaupun perusahaan mengalami kerugian. Jual beli saham atau sering disebut transaksi saham tidak dapat dilakukan setiap saat melainkan diatur menurut jam perdagangan. Jam perdagangan menurut Bursa Efek Indonesia [3] pada setiap segmentasi berpedoman pada JATS. Waktu perdagangan dilaksanakan dari hari Senin hingga Jumat, dalam setiap harinya dibagi menjadi dua sesi yaitu sesi I dan sesi II. Transaksi saham selama jam perdagangan tersebut dapat dikaitkan dengan suatu proses yaitu proses Poisson yang menurut Tse [10] proses Poisson dapat digunakan untuk memodelkan banyaknya peristiwa yang terjadi selama interval waktu t dan berdistribusi Poisson dengan laju µ = λt. Pada penelitian sebelumnya, Siagian [9] melakukan ekspektasi terhadap jumlah penjualan saham PT Unilever Tbk dengan mengasumsikan banyaknya investor yang datang mengikuti suatu proses yaitu proses Poisson, sedangkan banyaknya saham yang terjual pada setiap investor diasumsikan mengikuti proses Poisson majemuk. 1
Proses Poisson majemuk merupakan jumlahan dari variabel random yang nilainya independen dan identik dengan indeksnya mengikuti proses Poisson. Proses Poisson majemuk merupakan bentuk umum dari proses Poisson dengan sifat-sifat tertentu. Oleh karena itu, pada penelitian kali ini dikaji ulang mengenai proses Poisson majemuk serta diterapkan pada data penjualan saham PT Sri Rejeki Isman Tbk dengan mengasumsikan banyaknya transaksi mengikuti proses Poisson karena penjualan saham saat ini dilakukan secara online sehingga banyaknya investor yang melakukan investasi tidak dapat diketahui dan banyak saham yang terjual mengikuti prosess Poisson majemuk. 2. MEKANISME PERDAGANGAN SAHAM Husnan [4] menyatakan bahwa saham merupakan tanda penyertaan atau pemilikan seseorang atau badan dalam suatu perusahaan. Saham diperdagangkan di pasar modal yang dikeluarkan oleh perusahaan berbentuk Perseroan Terbatas (PT), dimana saham tersebut menyatakan bahwa pemilik saham juga pemilik sebagian dari perusahaan tersebut. Perdagangan saham terjadi di pasar sekunder yang merupakan pasar bagi efek yang telah dicatatkan di bursa. Di Indonesia terdapat satu bursa efek yaitu Bursa Efek Indonesia, sebagai tempat berlangsungnya perdagangan efek di pasar sekunder. Waktu perdagangan dilaksanakan dari hari Senin hingga Jumat, dalam setiap harinya dibagi menjadi dua sesi yaitu sesi I dan sesi II. Pada hari Senin-Kamis, sesi I dimulai pukul 09:00-12:00 dan sesi II pukul 13:00-16:00. Pada hari Jumat sesi I pukul 09:00-11:30 dan sesi II pukul 13:30-16:00, (Bursa Efek Indonesia [3]). 3. PROSES STOKASTIK Menurut Allen [2], proses stokastik merupakan himpunan dari beberapa variabel random {X(t; z) t T, z Z}, dengan Z adalah ruang sampel dan T sebagai himpunan waktu. Himpunan waktu pada proses stokastik dapat berupa waktu diskrit dan waktu kontinu. Apabila T = {0, 1, 2,...}, maka merupakan proses stokastik dengan waktu diskrit, sedangkan apabila T = [0, ), maka merupakan proses stokastik dengan waktu kontinu. 4. PROSES POISSON Menurut Mitrofanova [6], suatu proses Poisson dengan laju λt adalah proses stokastik {; t 0} dengan sifat : (1) N(0) = 0 yaitu tidak ada kejadian pada waktu t = 0. (2) Untuk sembarang waktu t 0 < t 1 < t 2 < t 3 <... < t i dan t 0 = 0, jumlah kejadian yang terjadi pada interval yang saling asing N(t 1 ) N(t 0 ), N(t 2 ) 2 2017
N(t 1 ), N(t 3 ) N(t 2 ),..., N(t i ) N(t i 1 ) adalah variabel random independen dan disebut sebagai sifat independen increments. (3) Jumlah kejadian yang terjadi pada sembarang interval t mengikuti distribusi Poisson dengan laju λt, yaitu untuk s, t 0 λt λtk P {N(t + s) N(s) = k} = e, k = 0, 1,..., k! dengan E[] = λt dan V ar[] = σ 2 = λt. 5. UJI HIPOTESIS Pada penelitian ini, uji hipotesis yang digunakan adalah uji Kolmogorov- Smirnov one sample (K-S one sample). Uji K-S one sample merupakan uji goodness of fit yang berkaitan dengan tingkat kesesuaian distribusi observasi suatu sampel dengan suatu distribusi teoritis yang telah ditentukan,misalnya distribusi normal, uniform, Poisson, atau eksponensial. Prosedur estimasi parameter menggunakan data dari sampel. Mean sampel adalah parameter untuk distribusi Poisson dan eksponensial, (Paryono[7]). 6. HASIL DAN PEMBAHASAN 6.1. Proses Poisson Majemuk. Menurut Mingola [5] suatu proses stokastik {X(t), t 0} dikatakan sebagai proses Poisson majemuk jika dengan, X(t) = Y k, t 0 (6.1) (1), t 0 adalah proses Poisson dengan laju λt > 0. (2) Y k, k = 1, 2,... adalah variabel random yang berdistribusi identik dengan suatu fungsi distribusi kumulatif yaitu G(y) = P (Y k y). (3) Proses, t 0 dan variabel random Y k, k = 1, 2,... independen. Misalkan G (n) menotasikan fungsi distribusi dari Y 1 +Y 2 +...+Y n, untuk n = 1, 2,..., dengan G (0) (y) = 1 untuk y 0, sehingga G (n) (y) = P ( n Y k y). Fungsi distribusi dari proses Poisson majemuk dapat direpresentasikan sebagai berikut, P {X(t) z} = P { Y k z} = = n=0 P { Y k z = n}p ( = n) n=0 n P { Y k z} (λt)n e λt n! 3 2017
= n=0 G (n) (z) (λt)n e λt. n! 6.2. Sifat-sifat proses Poisson Majemuk. Berikut merupakan sifat-sifat dari proses Poisson majemuk yang mengacu pada Ross[8]. (1) Stasioner dan Independen Increments. Pada teori probabilitas, proses stokastik dengan sifat stasioner dan independen increments disebut sebagai proses Levy yang merepresentasikan perpindahan titik berturut-turut secara random dan independen, dan dalam interval waktu berbeda memiliki panjang yang sama. Berikut akan dibuktikan teorema stasioner dan independen increments untuk proses Poisson majemuk. Definisi 6.1. Suatu proses X = (X 0, X 1, X 2,...) dikatakan memiliki sifat stasioner dan independen increments jika dan hanya jika X adalah proses jumlahan parsial yang dihubungkan dengan suatu variabel random independen berdistribusi identik. Teorema 6.1. Proses Poisson majemuk X(t) adalah proses Levy yang memiliki sifat stasioner dan independen increments. Bukti. Suatu increment dari X(t) adalah X(t 2 ) X(t 1 ) untuk t 2 > t 1 > 0. Suatu proses X(t) bersifat independen increments jika untuk t 1 < t 2 <... < t n maka X(t n ) X(t n 1 ) adalah variabel random independen, dan bersifat stasioner increments jika untuk s < t maka X(t) X(s) memiliki distribusi yang sama dengan X(t s); t, s [0, ). Selanjutnya, dengan menggunakan kasus khusus dari sifat independen increments untuk n = 2 akan ditunjukkan bahwa P (X(t 1 ) a 1, X(t 2 ) X(t 1 ) a 2 ) = P (X(t 1 ) a 1 )P (X(t 2 t 1 ) a 2 ) untuk semua a 1, a 2 > 0 dan 0 < t 1 < t 2. N(t 1 ) P (X(t 1 ) a 1, X(t 2 ) X(t 1 ) a 2 ) = P ( N(t 1 ) = P ( Y k a 1, N(t 2 ) k=n(t 1 )+1 (menerapkan persamaan 6.1) m 1 = P ( Y k a 1, m 1 =0 m 2 =0 Y k a 2 ) m 1 +m 2 k=m 1 +1 P (N(t 1 )N(t 2 N(t 1 ) = m 2 ) N(t 2 ) Y k a 1, N(t 1 ) Y k Y k a 2 ) Y k a 2 N(t 1 ) = m 1, N(t 2 ) N(t 1 ) = m 2 ) (menggunakan probabilitas bersyarat) m 1 m 1 +m 2 = P ( Y k a 1, Y k a 2 ) P (N(t 1 ) = m 1, N(t 2 ) N(t 1 ) = m 2 ) m 1 =0 m 2 =0 k=m 1 +1 4 2017
(menggunakan sifat independen) m 1 m 1 +m 2 = P ( Y k a 1 )P ( Y k a 2 ) P (N(t 1 ) = m 1, N(t 2 t 1 ) = m 2 ) m 1 =0 m 2 =0 k=m 1 +1 (menggunakan sifat stasioner) m 1 = P ( Y k a 1 )P (N(t 1 ) = m 1 ) m 1 =0 m 2 =0 m 1 +m 2 P ( k=m 1 +1 Y k a 2 )P (N(t 2 t 1 ) = m 2 ) N(t 1 ) N(t 2 t 1 ) = P ( Y k a 1 )P ( Y k a 2 ) = P (X(t 1 ) a 1 )P (X(t 2 t 1 ) a 2 ) (2) Ekspektasi dan Variansi. Terdapat kasus kusus untuk jumlahan variabel random yang independen identik yaitu pada penggunaan ekspektasi bersyarat dan variansi bersyarat. Berikut akan dibuktikan teorema untuk ekspektasi dan variansi proses Poisson majemuk. Teorema 6.2. Jika adalah proses Poisson dengan laju λ t [0; ), dan X(t) adalah variabel random Poisson majemuk maka nilai ekspektasi E[X(t)] adalah λte[y k ]. Bukti. Akan dibuktikan nilai ekspektasi dari proses Poisson majemuk. E[X(t)] = E[E[ Y k ]] = E[E[ Y k = n]] = E[E[ n Y k ]] karena Y k merupakan variabel random independen yang memiliki distribusi probabilitas yang sama sehingga E[ n Y k] = ne[y k ], selanjutnya diperoleh E[X(t)] = E[nE[Y k ]] = E[n]E[Y k ] = E[E[Y k ]] = E[]E[Y k ] diketahui merupakan variabel random berdistribusi Poisson sehingga E[] = var[] = λt, sehingga diperoleh E[X(t)] = λte[y k ]. 5 2017
Selanjutnya, akan dibuktikan teorema untuk variansi. Teorema 6.3. Jika adalah proses Poisson dengan laju λ t [0, ), dan X(t) adalah variabel random Poisson majemuk maka variansi var[x(t)] adalah λte[yk 2]. Bukti. Akan dibuktikan variansi dari proses Poisson majemuk. var[x(t)] = E[var(X(t) )] + var(e[x(t) ]) = E[var[ Y k = n]] + var[e[ Y k = n]] n n = E[var[ Y k ]] + var[e[ Y k ]] = E[nvar[Y k ]] + var[ne[y k ]], = E[n]var[Y k ] + var[n](e[y k ]) 2, = E[]var[Y k ] + var[](e[y k ]) 2, karena var[] = E[] = λt, sehingga diperoleh var[x(t)] = λtvar[y k ] + λt(e[y k ]) 2 = λt(var[y k ] + (E[Y k ]) 2 ) = λt(e[y 2 k ] E[Y k ] 2 + E[Y k ] 2 ) = λte[y 2 k ] 6.3. Penerapan Kasus. Proses Poisson majemuk diterapkan pada data penjualan saham dengan asumsi banyaknya transaksi yang terjadi saat pembelian saham selama sesi tertentu berdistribusi Poisson dengan laju λ. Variabel Y k adalah banyaknya saham yang terjual pada transaksi ke-k. Misalkan banyaknya saham yang terjual pada setiap transaksi adalah variabel random independen dan berdistribusi identik dan jika X(t) adalah total seluruh saham yang terjual pada semua transaksi selama selang waktu t, maka {X(t), t 0} adalah proses Poisson majemuk. 6.3.1. Data. Data yang digunakan pada penelitian kali ini adalah data penjualan saham PT Sri Rejeki Isman Tbk yang meliputi banyaknya transaksi dan banyak penjualan saham dalam lot. Data diperoleh dari sekuritas PT Danareksa melalui software D ONE Trade Pro. Pengambilan data dilakukan pada hari Jumat selama sesi I yaitu selama 150 menit. 6.3.2. Uji Distribusi Transaksi. Data banyaknya transaksi diamati per satu menit. Berdasarkan data yang diperoleh, banyaknya transaksi yang terjadi pada selang waktu 150 menit adalah sebanyak 286 transaksi. Selanjutnya, dilakukan uji Kolmogorov-Smirnov one sample dan diperoleh hasil jumlah sampel (N) sebanyak 150 sampel, parameter distribusi adalah 1.9067, nilai Kolmogorov-Smirnov adalah 6 2017
0.999, dan nilai statistik uji Kolmogorov-Smirnov yaitu deviasi maksimum D = 0.0881. Selanjutnya dilakukan uji hipotesis sebagai berikut. (1) H 0 : data transaksi berdistribusi Poisson H 1 : data transaksi tidak berdistribusi Poisson, (2) α : 0.05, (3) daerah kritis : tolak H 0 jika D > KS (0.05;150) = 0.1102, (4) diperoleh D = 0.0881, (5) D = 0.0881 < 0.1102 = KS (0.05;150), dari hasil uji hipotesis dapat disimpulkan bahwa data transaksi berdistribusi Poisson. 6.3.3. Uji Distribusi Banyaknya Penjualan Saham. Berdasarkan data yang diperoleh, banyaknya penjualan saham yang terjadi pada selang waktu sesi I adalah sebanyak 515 saham yang terjual. Selanjutnya, dilakukan uji Kolmogorov-Smirnov one sample dan diperoleh hasil parameter distribusi adalah 226.0951, nilai Kolmogorov- Smirnov adalah 1.118, dan nilai statistik uji Kolmogorov-Smirnov yaitu deviasi maksimum D = 0.0485. Selanjutnya dilakukan uji hipotesis sebagai berikut. (1) H 0 : data banyaknya penjualan berdistribusi eksponensial H 1 : data banyaknya penjualan tidak berdistribusi eksponensial, (2) α : 0.05, (3) daerah kritis : tolak H 0 jika D > KS (0.05;515) = 0.06, (4) diperoleh D = 0.0485, (5) D = 0.0485 < 0.06 = KS (0.05;515), dari hasil uji hipotesis dapat disimpulkan bahwa data transaksi berdistribusi eksponensial. 6.3.4. Penentuan Ekspektasi Jumlah Penjualan Saham. Banyaknya transaksi yang terjadi selama selang waktu sesi I mengikuti Proses Poisson dengan ratarata transaksi λ = 1.9067 per menit, sedangkan Y k adalah banyaknya penjualan saham yang merupakan variabel random independen berdistribusi eksponensial dengan rata-rata penjualan 226.0951 per menit. Oleh karena itu, jika X(t) adalah total penjualan saham PT Sri Rejeki Isman Tbk maka {X(t), t 0} mengikuti proses Poisson majemuk. Nilai ekspektasi untuk penjualan saham sesi I, t = 150 menit adalah E[X(t)] = λte[y k ] = 1.9067 150 226.0951 = 64664.329 65000. 7 2017
7. KESIMPULAN Berdasarkan pembahasan diperoleh kesimpulan sebagai berikut. (1) Proses Poisson majemuk dapat didefinisikan sebagai X(t) = Y k, t 0 dengan menyatakan proses Poisson dan Y k adalah variabel random yang independen dari proses dan berdistribusi identik. Sifat-sifat dari proses Poisson majemuk dijelaskan pada Teorema 6.1 6.3. (2) Proses Poisson majemuk diterapkan untuk menentukan ekspektasi jumlah penjualan saham pada data penjualan saham PT Sri Rejeki Isman Tbk dan diperoleh hasil ekspektasi jumlah penjualan saham selama sesi I dengan t = 150 menit adalah 65000 lot saham yang terjual, dengan 1 lot = 500 lembar saham. Daftar Pustaka 1. Agarwal, S., Faircloth, and Sheri, Why do Foreign Investors Underperform Domestic Investors in Trading Activities? Evidence from Indonesia, Journal of Financial Markets, ELSEVIER (2008). 2. Allen, L. J. S., An Introduction to Stochastic Processes with Applications to Biology, Prentice Hall, Upper Saddla River, N. J., 2003. 3. Bursa Efek Indonesia, Jam Perdagangan, Jakarta, 2017. 4. Husnan, S., Dasar-Dasar Teori Portofolio dan Analisis Sekuritas, fifth ed., BPFE, Yogyakarta, 2005. 5. Mingola, P., A Study of Poisson and Related Processes with Applications, Tesis, University of Tinnessee, Knoxville, 2013. 6. Mitranova, A., Lecture 3: Continuous Times Markov Chain, Poisson Process, Birth and Death Process, Thesis, Department Of Computer Science, NYU, 2007. 7. Paryono, Mengolah Data Statistik dengan spss/pc, ANDI, Yogyakarta, 1994. 8. Ross, S. M., Introduction to Probability Models, Elsevier Inc., United States, 2010. 9. Siagian, S., Aplikasi Proses Poisson Majemuk pada Penjualan Saham (Studi Kasus Pt. Unilever Tbk), Skripsi, Universitas Pendidikan Indonesia, Bandung, 2010. 10. Tse, K. K., Some Application of the Poisson Process, Applied Mathematics 5 (2014), no. 19, 3011 3017. 8 2017