LOGIKA MATEMATIKA Menuju TKD 2014 A. PERNYATAAN MAJEMUK Jenis-jenis pernyataan majemuk: 1. Konjungsi (^ = dan ) A: Hari ini Jowoki kampanye B: Hari ini Jowoki Umroh Konjungsi (A ^ B): Hari ini Jowoki kampanye dan umroh 2. Disjungsi (v = atau ) A: Hari ini Jowoki kampanye B: Hari ini Jowoki Umroh Konjungsi (A v B): Hari ini Jowoki kampanye atau umroh 3. Implikasi ( = Jika, maka ) Implikasi formatnya adalah Jika p, maka q. A: Tahun ini kemarau panjang B: Tahun ini pasti hasil padi meningkat Implikasi (A B): Jika tahun ini kemarau panjang, maka hasil padi meningkat Bentuk lain dari implikasi: a. Konvers Bentuk konvers dari implikasi adalah q p. b. Invers Bentuk invers dari implikasi adalah ~p ~q c. Kontraposisi Kontraposisi dari implikasi adalah ~q ~p Bentuk Konvers, Invers, dan kontraposisi dari implikasi Jika hari cerah maka aku gembira adalah: - Konvers: Jika aku gembira maka hari cerah - Invers: Jika hari tidak cerah maka aku tidak gembira - Kontraposisi: Jika aku tidak gembira maka hari tidak cerah Dari ketiga bentuk lain implikasi tersebut, yang memiliki nilai kebenaran sama dengan bentuk implikasi awal adalah kontraposisi. Artinya kalimat kontraposisi ekuivalen atau setara dengan kalimat implikasi awalnya. Hal tersebut dapat dibuktikan dengan tabel kebenaran di bawah ini p q ~p ~q q p ~p ~q ~q ~p B B S S B B B B B S S B S B B S S B B S B S S B S S B B B B B B
B. ARGUMEN Argumen merupakan serangkaian pernyataan-pernyataan yang mempunyai ungkapan pernyataan penarikan kesimpulan. Argumen terdiri dari pernyataan-pernyataan yang terbagi atas dua kelompok, yakni kelompok pernyataan sebelum kata jadi, yang disebut premis-premis, dan kelompok lain yang hanya terdiri atas satu pernyataan dinamakan konklusi. (Kusumah, 1986). Contoh argumen: Jika Ipul seorang artis, maka ipul mempunyai pacar Ipul punya pacar Jadi, Ipul adalah seorang artis. Jenis-jenis argumen: 1. Modus Ponen Jika hari ini hujan, maka Cahya membawa payung Cahya membawa payung Jadi, hari ini hujan Dalam bentuk simbol menjadi q.: p 2. Modus Tollen Jika hari ini hujan, maka Cahya membawa payung Cahya tidak membawa payung Jadi, hari ini tidak hujan Dalam bentuk simbol menjadi ~q.: ~p 3. Silogisme Merupakan bentuk argumen yang mempunyai lebih dari satu premis implikasi, yang kemudian dari premis-premis tersebut ditarik sebuah kesimpulan yang sah. Jika kita buang sampah tidak sembarangan, maka lingkungan akan bersih Jika lingkungan bersih, maka hidup akan lebih nyaman jadi, Jika kita buang sampah tidak sembarangan, maka hidup akan lebih nyaman Dalam bentuk simbol-simbol, argumen di atas akan menjadi q _r.: p r
C. NEGASI Negasi atau ingkaran adalah pernyataan yang nilai kebenarannya berlawanan dengan pernyataan asalnya, negasi pernyataan p dinotasikan dengan ~p. Berikut adalah bentuk negasi dari beberapa bentuk pernyataan. 1. Negasi Pernyataan Tunggal Negasi dari pernyataan tunggal cukup sederhana, kita tinggal membubuhkan kata tidak atau bukan pada pernyataan asalnya. P: Jakarta adalah ibukota negara Indonesia ~p: Jakarta bukan ibukota negara Indonesia Atau bisa juga: tidak benar bahwa Jakarta adalah ibukota negara Indonesia. 2. Negasi Pernyataan Berkuantor Pernyataan berkuantor adalah pernyataan yang mengandung kuantor. Ada dua jenis kuantor, yakni kuantor universal (semua, setiap) dan kuantor eksistensial (ada, beberapa). Negasi dari pernyataan berkuantor dijelaskan sebagai berikut. - ~(Semua/setiap x adalah y) = ada/beberapa x yang bukan y - ~(ada/beberapa x yang merupakan y) = semua/setiap x bukan merupakan y a. P: Semua dokter memakai baju putih saat bekerja ~p: Ada dokter yang tidak memakai baju putih saat bekerja b. P: Semua mahasiswa STAN adalah anak yang rajin ~p: beberapa mahasiswa STAN adalah anak yang tidak rajin c. P: beberapa orang telat memasuki ruangan ~p: semua orang tepat waktu saat memasuki ruangan. 3. Negasi Pernyataan Majemuk Negasi dari pernyataan majemuk dapat dinotasikan sebagai berikut. - ~(p v q) = ~p ^ ~q - ~(P ^ q) = ~p v ~q - ~() = p ^ ~q Untuk membuktikannya, gunakan tabel kebenaran. a. Negasi dari konjungsi Kemarin cahya pergi ke bank dan makan di warung penyet adalah: Kemarin cahya tidak pergi ke bank atau tidak makan di warung penyet. b. Negasi dari disjungsi doni sedang berkampanye di facebook atau browsing kaskus adalah: Doni tidak sedang berkampanye di facebook dan tidak sedang browsing kaskus. c. Negasi dari implikasi Jika hari ini melelahkan, maka Pak mandana tidak berpuasa adalah: Hari ini tidak melelahkan dan Pak mandana berpuasa.
RANGKUMAN PERNYATAAN MAJEMUK YANG EKUIVALEN = ~p v q = ~q ~p ~ () = p ^ ~q ~ (p ^ q) = ~p v ~q ~ (p v q) = ~p ^ ~q LATIHAN SOAL 1. Tentukan kesimpulan dari : Premis 1 : Jika Budi rajin belajar maka ia disayang ayah. Premis 2 : Jika Budi disayang ayah maka ia disayang ibu. Penarikan kesimpulan dengan prinsip silogisme q r p r Sehingga kesimpulannya adalah " Jika Budi rajin belajar maka ia disayang ibu" 2. Diketahui pernyataan : 1. Jika hari panas, maka Ani memakai topi. 2. Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung. 3. Ani tidak memakai payung. Kesimpulan yang sah adalah... A. Hari panas. B. Hari tidak panas. C. Ani memakai topi. D. Hari panas dan Ani memakai topi. E. Hari tidak panas dan Ani memakai topi. Premis (1) Jika hari panas, maka Ani memakai topi. Premis (2) Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung. Premis (3) Ani tidak memakai payung.
p : Hari panas q : Ani memakai topi r : Ani memakai payung Selesaikan terlebih dahulu premis (1) dan (2) kemudian digabungkan dengan premis (3) Dari premis (1) dan (2) Premis (1) Jika hari panas, maka Ani memakai topi. Premis (2) Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung. ~q v r.: (?) Ingat bentuk berikut: ~q v r ekivalen dengan q r sehingga bentuk di atas menjadi : q r_ p r (Silogisme) Dari sini gabungkan dengan premis ketiga: P r ~r ~p (Modus Tollens) Kesimpulan akhirnya adalah ~p yaitu "Hari tidak panas" 3. Diberikan pernyataan: "Jika pemimpin jujur maka rakyat tentram " Buatlah dua buah pernyataan yang setara dengan pernyataan di atas! Pernyataan yang setara dengan sebuah implikasi = ~p v q = ~q ~p Maka: (i) dengan menggunakan format rumus setara dengan ~p q "Jika pemimpin jujur maka rakyat tentram " setara dengan "Pemimpin tidak jujur atau rakyat tentram " (ii) dengan memakai format rumus p q setara dengan ~q ~p "Jika pemimpin jujur maka rakyat tentram " setara dengan "Jika rakyat tidak tentram maka pemimpin tidak jujur "
4. Pernyataan yang setara dengan jika harga BBM naik maka harga kebutuhan pokok akan naik adalah A. Harga BBM naik dan harga kebutuhan pokok naik. B. Harga BBM tidak naik atau harga kebutuhan pokok akan naik. C. Jika harga BBM tidak naik maka harga kebutuhan pokok akan naik. D. Jika harga BBM tidak naik maka harga kebutuhan pokok tidak naik. E. Jika harga BBM tidak naik maka harga kebutuhan pokok akan turun. Seperti contoh di atas, dengan penggunaan format yang (i): Jika harga BBM naik maka harga kebutuhan pokok akan naik setara dengan "Harga BBM tidak naik atau harga kebutuhan pokok akan naik" Jawaban: B ~Semoga Bermanfaat~