Lecture 3: Relation A A. Pengertian Relasi Definisi 3.1 (a). Relasi R yang didefinisikan pada suatu semesta U, misal U = {x, y, } disebut determinatif pada U jika dan hanya jika ( x, yεu) kalimat xry merupakan kalimat deklaratif (yaitu kalimat yang bernilai benar atau salah). Yang akan dibicarakan adalah relasi-relasi yang determinatif. Definisi 3.1 (b). Jika terdapat himpunan X dan Y, relasi binair (binary relation) atau relasi dari X ke Y adalah himpunan bagian dari X Y, yaitu himpunan pasangan berurut (x, y), dimana xεx dan yεy. Relasi selain dituliskan dengan pasangan berurut (x, y)εr, dapat pula dituliskan dengan xry atau R(x, y) yang artinya x direlasikan ke y oleh R atau x berada dalam relasi R dengan y. Suatu relasi binair R pada himpunan X didefinisikan sebagai himpunan bagian dari X X. Contoh: Survey pada Jurusan Matematika FMIPA UNS dengan angket mengenai mata kuliah yang paling disukai, didapat data dari 4 mahasiswa sebagai berikut. (1) Ari menyukai mata kuliah Kalkulus dan Sistem Dinamik (2) Budi menyukai mata kuliah Program Linear. (3) Cecep menyukai mata kuliah Sistem Dinamik. (4) Dila menyukai mata kuliah Kalkulus Dari data-data, kita mengetahui bahwa himpunan Mahasiswa = {Ari, Budi, Cecep, Dila} dipetakan pada himpunan Mata kuliah = {Kalkulus, Program Linear, Sistem Dinamik} dengan relasi menyukai mata kuliah, yang merupakan kalimat deklaratif. Apabila mahasiswa x menyukai mata kuliah y dinotasikan dengan pasangan berurut (x, y), maka relasi dari kedua himpunan adalah: {(Ari, Kalkulus), (Ari, Sistem Dinamik), (Budi, Program Linear), (Cecep, Sistem Dinamik), (Dila, Kalkulus)} Jika f: X Y dan kita identifikasikan relasi R dengan himpunan: R = {(x, y) X Y: y = f(x)} maka f adalah fungsi yang memetakan dari X ke Y.
Contoh: Apabila terdapat himpunan X = {3,4,5,8} dan Y = {1,9}, maka X Y = {(3,1), (3,9), (4,1), (4,9), (5,1), (5,9), (8,1), (8,9)}. Jika relasi antara X dan Y dinyatakan dengan lebih besar dari, maka relasinya adalah {(3,1),(4,1),(5,1),(8,1)}. Dapat diperoleh 3R1, 4R1, 5R1, dan 8R1, tetapi 1R3, 5R9 atau dapat ditulis 1R3, 5R9, dsb, dibaca 1 tidak berada dalam relasi dengan 3. Relasi Binair (Diadik) adalah relasi yang menyangkut 2 anggota. (1) Relasi binair R dari himpunan X ke Y didefinisikan sebagai himpunan bagian dari X Y. (2) Relasi binair R pada himpunan X didefinisikan sebagai himpunan bagian dari X X. Contoh: (1) arb atau R(a, b). (2) Jika semestanya himpunan bilangan alam, maka dalam hal ini 1 berada dalam relasi lebih kecil dengan 2, yaitu 1 < 2, ditulis "1R2"; demikian juga "2R4", dsb. Tetapi 3R2 atau 3R2, dibaca 3 tidak berada dalam relasi lebih kecil dengan 2 Relasi Terniair (Triadik) adalah relasi yang menyangkut 3 anggota. Relasi terniair R pada himpunan X didefinisikan sebagai himpunan bagian dari X X X. Contoh: (1) Jika semestanya adalah himpunan orang-orang, maka kalimat Andi membenci Budi karena fitnah dari Cecep merupakan relasi triadik, ditulis R(A, B, C) (2) Jika semestanya adalah himpunan titik-titik, maka kalimat titik a, b, dan c terletak pada satu garis adalah relasi, ditulis R(a, b, c). B. Macam-macam Relasi (1) Relasi Refleksif, Non Refleksif, dan Irrefleksif Definisi 3.2. Relasi R disebut refleksif jika dan hanya jika untuk setiap x anggota semestanya, x berelasi dengan dirinya sendiri. Jadi R refleksif jika dan hanya jika ( xεu) xrx. (1) Relasi mencintai pada himpunan orang-orang yang normal, sebab setiap orang pasti mencintai dirinya sendiri. (2) Relasi kesejajaran pada himpunan garis-garis lurus pada bidang, sebab setiap garis lurus pasti sejajar dengan dirinya sendiri.
(1) Jika diketahui A = {1,2,3} dan relasi R = {(1,1), (1,3), (2,2), (3,3)} pada A, maka R adalah refleksif, karena untuk setiap xεa terdapat (x, x) pada R. (2) Perhatikan relasi pada himpunan A = {1,2,3,4} berikut. R = {(1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4)} R = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4)}. Relasi-relasi tersebut merupakan relasi refleksif karena memiliki elemen (1,1), (2,2), (3,3), dan (4,4). Relasi R pada U disebut non refleksif jika dan hanya jika ada sekurangkurangnya satu elemen di dalam U yang tidak berelasi dengan dirinya sendiri. Jadi, R non refleksif jika dan hanya jika ( x U) xrx. Relasi menguasai diri pada himpunan orang-orang, sebab ada satu atau lebih orang yang tidak mampu menguasai diri. Perhatikan relasi pada himpunan A = {1,2,3,4}. R = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4)}. Relasi R merupakan relasi non refleksif, karena (3,3) R. Relasi R pada U disebut Irrefleksif (anti refleksif) jika dan hanya jika setiap elemen di dalam U tidak berelasi dengan dirinya sendiri. Jadi, R irreflekif jika dan hanya jika ( xεu) xrx. (1) Relasi < dan > pada himpunan bilangan real. (2) Relasi lebih tua pada himpunan orang-orang. Contoh 2 (Matematis) (1) Diketahui B = {a, b, c} dan relasi R = {(a, c), (b, c), (b, a)}. Relasi R adalah irrefleksif, karena (a, a), (b, b), dan (c, c) bukan elemen R. (2) Diketahui A = {1,2,3,4} dan relasi R = {(2,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)}. Relasi R merupakan relasi irrefleksif, karena tidak terdapat elemen (x, x) dimana x A. Contoh. Perhatikan relasi pada N di bawah ini. R = {(a, b): a b} R = {(a, b): a > b} R = {(a, b): a = b atau a = b} R = {(a, b): a = b} R = {(a, b): a = b + 1} R = {(a, b): a + b 3}
Manakah yang merupakan relasi refleksif, non refleksif, dan irrefleksif? R, R, dan R adalah relasi refleksif karena syarat pada pembentukan relasi masing-masing memungkinkan menghasilkan pasangan berurut (a, a), sedangkan R adalah relasi non refleksif, karena syarat pembentukan relasi tersebut, memungkinkan pasangan berurut (a, a), misal (1,1), tetapi terdapat (2,2) R. R dan R adalah irrefleksif karena dari syarat pembentukan kedua relasi tersebit tidak mungkin membentuk relasi (a, a). (2) Relasi Simetris, Non Simetris, a-simetris, dan Anti Simetris Definisi 3.3. Relasi R disebut simetris jika dan hanya jika untuk setiap x, y dari semestanya berlaku apabila x berelasi dengan y, maka y berelasi dengan x. Jadi, R simetris jika dan hanya jika ( x, yεu) xry yrx. (1) Relasi kesebangunan antara bangn-bangun pada bidang datar. (2) Relasi antara garis-garis lurus pada bidang datar. Perhatikan relasi pada himpunan A = {1,2,3,4} berikut. R = {(1,1), (1,2), (2,1)} R = {(1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4)}. Relasi-relasi tersebut merupakan relasi simetris karena setiap (a, b) terdapat (b, a). Relasi R disebut non simetris jika dan hanya jika terdapat sekurangkurangnya satu pasang x, y yang berlaku x berelasi dengan y dan y tidak berelasi dengan x. Jadi, R non simetris jika dan hanya jika ( x, yεu) xry & yrx. Relasi mencintai pada himpunan orang-orang. Contoh 2 (Matematis) Pada himpunan Q = {a, b, 1,2}, terdapat relasi R = {(1,2), (2,1), (a, b), (b, a), (a, a), (a, 1)}. Relasi tersebut non simetris, karena (a, 1) R tetapi (1, a) R. Relasi R disebut a-simetris jika dan hanya jika untuk setiap pasang x, y dalam semestanya berlaku x berelasi dengan y, maka y tidak berelasi dengan x. Jadi,
R a-simetris jika dan hanya jika ( x, yεu) xry yrx. (1) Relasi > pada himpunan bilangan-bilangan. (2) Relasi lebih tua pada himpunan orang-orang. Perhatikan relasi pada himpunan A = {1,2,3,4} berikut. R = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)}. Relasi tersebut merupakan relasi a-simetris, karena tidak terdapat (a, b) dan (b, a) sekaligus di dalam R. Relasi R disebut anti simetris jika dan hanya jika untuk setiap pasang x, y dalam semestanya berlaku jika x berelasi dengan y dan y berelasi dengan x, maka x sama dengan y. Jadi, R anti simetris jika dan hanya jika ( x, yεu) xry & yrx x = y. Relasi inklusi ( ) pada himpunan. Contoh 2 (Matematis) Perhatikan relasi pada himpunan A = {1,2,3,4} berikut. R = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4)}. Relasi tersebut merupakan relasi anti simetris, karena tidak terdapat (a, b) dan (b, a) sekaligus dimana a b, sedangkan (a, b) dan (b, a) ada untuk a = b. Contoh. Perhatikan relasi pada N di bawah ini. R = {(a, b): a b} R = {(a, b): a > b} R = {(a, b): a = b atau a = b} R = {(a, b): a = b} R = {(a, b): a = b + 1} R = {(a, b): a + b 3} Manakah yang merupakan relasi simetris, non simetris, a-simetris, dan anti simetris? R dan R anti simetris. R anti simetris karena a b dan b a yang mengakibatkan a = b. R dan R a-simetris. R a-simetris karena tidak mungkin terjadi a > b dan b > a sekaligus. R dan R simetris. R simetris karena jika a = b atau a = b, maka b = a atau b = a. R simetris karena a + b 3 berakibat b + a 3.
Catatan. Hal yang perlu diperhatikan adalah hubungan antara relasi yang simetris dan dengan relasi yang anti-simetris bukan komplemen satu sama lain. Suatu relasi bisa saja simetris sekaligus anti-simetris, seperti himpunan relasi R = {(1,1), (2,2), (3,3}. (3) Relasi Transitif, Non Transitif, dan Intransitif Definisi 3.4. Relasi R disebut transitif jika dan hanya jika untuk setiap triple x, y, z dari semestanya berlaku apabila x berelasi dengan y dan y berelasi dengan z, maka x berelasi dengan z. Jadi, R transitif jika dan hanya jika ( x, y, zεu) xry & yrz xrz. (1) Relasi > pada himpunan bilangan real. (2) Relasi // pada himpunan garis-garis lurus. Pada N didefinisikan relasi R = {(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (3,4)}. Relasi R adalah transitif, karena elemen-elemen (1,2), (2,3), (1,3) dan (1,3), (3,4), (1,4) menunjukkan sifat transitif. Relasi R disebut non transitif jika dan hanya jika terdapat sekurangkurangnya satu triple x, y, z dari semestanya dengan x berelasi dengan y dan y berelasi dengan z dan x tidak berelasi dengan z. Jadi, R non transitif jika dan hanya jika ( x, y, zεu) xry & yrz & xrz. Relasi mencintai pada himpunan orang-orang. Pada N didefinisikan relasi R = {(1,2), (1,3), (2,3), (3,4)}. Relasi R adalah non transitif, karena elemen-elemen (1,2), (2,3), (1,3) ada, sedangkan elemen-elemen (1,3), (3,4) ada, tetapi (1,4) tidak ada. Relasi R disebut intransitif jika dan hanya jika untuk setiap triple x, y, z dari semestanya, jika x berelasi dengan y dan y berelasi dengan z, maka pastilah x tidak berelasi dengan z. Jadi, R intransitif jika dan hanya jika ( x, y, zεu) xry & yrz xrz. Relasi pada himpunan garis-garis lurus di bidang datar.
Pada N didefinisikan relasi R = {(1,2), (2,3), (3,4)}. Relasi R adalah intransitif, karena elemen-elemen (1,2), (2,3) ada, tetapi (1,3) tidak ada. Contoh. Perhatikan relasi pada N di bawah ini. R = {(a, b): a b} R = {(a, b): a > b} R = {(a, b): a = b atau a = b} R = {(a, b): a = b} R = {(a, b): a = b + 1} R = {(a, b): a + b 3} Manakah yang merupakan relasi transitif, non transitif, dan anti-transitif? R, R, R, R transitif. R transitif karena a b dan b c berakibat a c. R transitif karena a > b dan b > c berakibat a > c. R transitif karena a = ±b dan b = ±c berakibat a = ±c. R anti-transitif. R anti-transitif karena (2,1) dan (1,0) ada tetapi tidak terdapat (2,0). R non simetris R non transitif karena (2,1) dan (1,2) ada tetapi tidak terdapat (2,2), sedangkan (0,1), (1,2), dan (0,2) ada. (4) Relasi Ekuivalensi Definisi 3.4. Relasi R yang mempunyai sifat refleksif, simetris, maupun transitif disebut relasi ekuivalensi. Contoh. (1) Relasi kesejajaran antara garis-garis lurus. (2) Relasi kongruensi antara bilangan-bilangan bulat (buktikan). Relasi Kongruensi. Misal M = {x, y, } adalah himpunan bilangan-bilangan bulat. Relasi kongruensi antara anggota-anggotanya, dengan simbol didefinisikan sebagai berikut. x y (mod m) jika dan hanya jika x y = km dengan m = bilangan alam k = 0, ±1, ±2, ±3,... Contoh. (1) Apakah 12 3 (mod 3)? 12 3 = 9 = 3.3 = km. Jadi, terbukti 12 3 (mod 3). (2) 15 1 (mod 5)