INTEGRAL PARSIAL PADA INTEGRAL DESKRIPTIF RIEMANN Oleh : Muslich Jurusn Mtemtik FMIPA UNS e-mil: muslich_mus@yhoo.com ABSTRAK: Pernytn fungsi f :[, terintegrl Riemnn pd [, jik dn hny jik f kontinu hmpir dimn-mn (h.d) pd [, dpt dingkt segi definisi deskriptif untuk integrl Riemnn. Sejln dengn pemhsn integrl prsil pd integrl konstruktif Riemnn, tulisn ini ertujun untuk memhs formul integrl prsil pd integrl deskriptif Riemnn. Kt kunci:kontinuits; integrl Riemnn; definisi deskriptif integrl Riemnn. 1. PENDAHULUAN Telh dikenl hw integrl Riemnn termsuk jenis integrl konstruktif. Sedngkn jenis integrl yng lin dlh jenis integrl deskriptif seperti hlny integrl Newton, integrl Leesgue dn integrl Z. Brtle [1] dlm ukuny menytkn hw untuk setip fungsi kontinu f :[, ditulis f C[, psti terintegrl Riemnn pd [, ditulis f,. Pernytn terseut diperlemh oleh Gordon [3] dlm ukuny yng menyeutkn hw fungsi f :[, terintegrl Riemnn pd [, jik dn hny jik f kontinu hmpir dimn-mn (h.d) pd [,. Oleh kren itu pernytn terseut is dingkt menjdi definisi deskriptif untuk integrl Riemnn. Hmpir semu jenis integrl konstruktif jenis Riemnn sellu dihs mslh entuk integrl prsilny. Seperti hlny (i) integrl prsil pd integrl Riemnn oleh Gordon [3] dn Rudin, W [10], (ii) integrl prsil pd integrl Henstock oleh Gordon [3] dn Lee Peng Yee [6], (iii) integrl prsil pd integrl Mc Shne oleh Gordon [3] dn integrl prsil pd integrl M oleh Je Myung Prk et l. [5]. Sedngkn Muslich [8] memhs integrl prsil pd integrl-z yng dikenl segi integrl deskriptif. Sejln dengn pemhsn integrl prsil pd integrl konstruktif jenis Riemnn, penulis ertujun untuk menyusun formul integrl prsil pd integrl deskriptif Riemnn. 2. HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN Dierikn fungsi f, mk dpt didefinisikn integrl tktentu fungsi f pd [, yitu F f ( u) du untuk setip [,. Murry R. Spiegel [7] mendefinisikn fungsi kontinu solut segi erikut. Prosiding Seminr Nsionl Mtemtik dn Pendidikn Mtemtik UMS 2015 328
Definisi 2.1Fungsi f :[, diktkn kontinu solut (solutely continous) pd [, ditulis f AC[, jik untuk setip ilngn 0 terdpt ilngn 0 sehingg untuk setip ris selng tidk tumpng tindih {( i, i )} dengn i1 i, i [, dn ( i i ) mk erlku f ( i ) ( i ). Huungn ntr konsep fungsi integrl tktentu dn fungsi kontinu solut oleh Murry R. Spiegel [7] diperoleh pernytn segi erikut. Teorem 2.2 Jik f AC[, mk f C[,. Teorem 2.3 Jik f terts pd [,, f, dn F integrl tktentufungsi f pd [, mk F kontinu pd [,. Teorem 2.4 Jik f terts pd [, dn F integrl tktentufungsi f pd [, mk F f di setip titik kekontinun f (). Teorem 2.5(Teorem Fundmentl) Jik f, dn terdpt fungsi kontinu F pd [, dengn F f untuk setip [, mk ( R ) f d F( ) F( ). Semu teorem di wh ini telh diuktikn erdsrkn konsep integrl konstruktif Riemnn, selnjutny kn diuktikn erdsrkn pd konsep integrl deskriptif Riemnn. Teorem 2.6 (Gordon [3], Teorem 12.1)Jik F, G :[, erturut-turut diferensiel pd [, dn F f ) kontinu pd [, mk Fg, fg, dn erlku ( R) Fgd = F( ) ) F ( ) ) Bukti. Menurut hipotes G ) kontinu pd [, dn F diferensiel pd [, mk F kontinu pd [,. Jdi Fg kontinu pd [, dengn demikin Fg kontinu hmpir dimn-mn (h.d) pd [, jdi Fg,. Dengn cr`sm diperoleh fg,. Selnjutny dientuk fungsi H FG dengn H fg Fg. Kren FG diferensiel mk H FG kontinu pd [,. Menurut Teorem 2.5 mk erlku ( R) H d = H ( ) H ( ) tu ( R) Fgd = F( ) ) F( ) ) Dengn demikin teorem terukti. Teorem 2.7 (Herert S. Gskill nd Nrynswmi P.P [4], Teorem 5.5.5)Jik F, G :[, erturut-turut diferensiel pd [, dn i1 Prosiding Seminr Nsionl Mtemtik dn Pendidikn Mtemtik UMS 2015 329
F f, ), mk erlku ( R) Fgd = F( ) ) F ( ) ) Bukti:Sejln dengn Teorem 2.6. Teorem 2.8 (Przynski [9], Prolem 6.27)Jik F, G :[, erturut-turut diferensiel pd [, dn F, mk Fg, fg, dn erlku ( R) Fgd = F( ) ) F ( ) ) Bukti: Sejln dengn Teorem 2.6. Teorem 2.9 (Gordon [3], Teorem 12.3)Jik f, g, dengn F, G erturutturut integrl tktentu fungsi f,g pd [, mk Fg, fg, dn erlku ( R) Fgd = F ( ) ) Bukti: Menurut hipotes g, dengn G gd integrl tktentu fungsi g pd [,, sehingg G ( ) 0 dn menurut Teorem 2.3 mk G kontinu pd [,, sehingg G kontinu hmpir dimn-mn (h.d) pd [, erkit G,. Kren f, mk fg,, dn dengn jln yng sm diperoleh Fg,.Selnjutny dientuk fungsi H FG dn erlku H fg Fg dengn F G fg dn FG Fg ertutut-turut d disetip titik kekontinun f dn g. Kren F, G msing-msing integrl tktentufungsi f,g pd [, menurut Teorem 2.3 mk F, G kontinu pd [, erkit H kontinu pd [,. Menurut Teorem 2.5 mk erlku ( R) H d = H ( ) H ( ) tu ( R) Fgd = F( ) ) Dengn demikin teorem terukti. Prosiding Seminr Nsionl Mtemtik dn Pendidikn Mtemtik UMS 2015 330
Teorem 2.10 (Gordon [3], Teorem 12.4)Dierikn f :[, dengn f, dn G :[, dengn G AC[,. Jik F fd dn G, mk fg, dn erlku ( R) fgd = F ( ) ) Fgd. Bukti: Berdsrkn hipotes G AC[, menurut Teorem 2.2 mk G C[,, erkit G kontinu hmpir dimn-mn (h.d) pd [, dn erkit G,. Kren f, mk fg,. Selnjutny dientuk fungsi H FG dn sesui ukti Teorem 2.9 mk erlku H fg Fg. Kren F integrl tktentu fungsifpd [, mk F ( ) 0 dn menurut Teorem 2.3 mk F kontinu pd [,, jdi H kontinu pd [,. Menurut Teorem 2.5 mk erlku: ( R) H d = H ( ) H ( ) tu ( R) Fgd = F( ) ) Dengn demikin teorem terukti. Teorem 2.11 (Burkill J. C. [2], Teorem 6.91) Jik f, g, dengn F f ( u) du K, ) u) du L untuk setip [,, K, L konstn erturut-turut integrl tktentu dri f,g mk erlku ( R) Fgd = F( ) ) F ( ) ) Bukti. Kren fungsi integrl tktentu tidk tunggl, dn jik ered hnylh erselisih konstnt, mk F, G erturut-turut merupkn integrl tktentu fungsi f, g pd [,. MenurutTeorem 2.3 mk F, G kontinu pd pd [,.. Berkit F, G kontinu hmpir dimn-mn (h.d) pd [,, jdi F, G, dengn demikin fg, Fg,. Selnjutny dientuk fungsi kontinu H FG. dengn H fg Fg. Menurut Teorem 2.5 mk erlku ( R) Fgd = F ( ) ) ( R ) fgd. Dengn demikin teorem terukti. 3. SIMPULAN Telh dikenl hw fungsi f :[, dlh terintegrl Riemnn pd [, jik dn hny jik fungsi f kontinu hmpir dimn-mn (h.d) pd [,. Pernytn terseut Prosiding Seminr Nsionl Mtemtik dn Pendidikn Mtemtik UMS 2015 331
merupkn krkterissi sutu fungsi dpt terintegrl Riemnn. Oleh se itu pernytn terseut dpt dingkt segi definisi deskriptif untuk integrl Riemnn. Sejln dengn pemhsn integrl prsil pd integrl konstruktif Riemnn, tulisn ini erhsil memhs formul integrl prsil pd integrl deskriptif Riemnn yng tertung ke dlm Teorem 2.6 smpi dengn Teorem 2.11. DAFTAR PUSTAKA [1] Brtle, R. G. 1994. Introduction to Rel Anlysis. Second Edition, John Willey & Sons, Singpore. [2]Burkill, J.C. 1970. A Second Course in Mthemticl Anlysis. Cmridge University Press, London. [3]Gordon, R. A. 1999. The Integrls of Leesgue, Denjoy, Perron nd Henstok. Grdute Studies in Mthemtics, Volume 4, Americn Mthemticl Sosiety. [4]Herert S. Gskill nd Nrynswmi P.P. 1998. Elemen of Rel Anlysis. Prentice Hll, New Yersey. [5]Je Myung Prk, Deok Ho Lee, Yu Hn Yoon, nd Hoe Kyung Lee. 2010. The Integrtion By Prts For The- M integrl.journl of The Chungcheong Mthemticl Sosiety, 23(4), 861-870. [6]Lee Peng Yee. 1999. Lnzhou Lectures on Henstock. World Scientific Pulishing Singpore. [7]Murry R. Spiegel. 1969.Theory nd Prolems of Rel Vriles. Schum Outline Series, McGrw-Hill Book Compny, New York. [8] Muslich. Bentuk Integrl Prsil Pd Integrl Z. Prosiding, Seminr Nsionl Mtemtik dn Pendidikn Mtemtik. Jurusn PMIPA FKIP UNS Surkrt ISBN: 978-602-8580-78-6, Nopemer 2012, p.357-361. [9]Przynski, W. R. nd Zipse, P. W. 1987.Introduction to Mthemticl Anlysis. McGrw- Hill Book Compny, Tokyo. [10] Rudin W. 1976.Principl of Mthemticl Anlysis. Third Edition, McGrw-Hill Book Compny, London. Prosiding Seminr Nsionl Mtemtik dn Pendidikn Mtemtik UMS 2015 332