PENYELESAIAN SOAL UJIAN TENGAH SEMESTER 0 SOAL Hujan deras dideinisikan sebagai hujan harian yang memiliki kedalaman lebih daripada 50 mm atau intensitas lebih daripada 0 mm/jam. Data di bawah ini adalah kejadian hujan deras yang diukur di 4 stasiun ARR yang berlokasi di lereng G. Merapi pada 980-00. pukul 3 4 5 6 7 8 9 0 rekuensi 7 8 5 3 7 0 0 6 45 pukul 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 rekuensi 64 5 75 8 5 9 59 34 9 4 3 3 Memperhatikan data di atas, tampak bahwa hujan deras pada pk 0:00 s.d. 09:00 jarang terjadi. Untuk itu, hujan deras yang terjadi pada periode waktu tersebut tidak ditinjau lebih lanjut. Data pada periode pk 0:00 s.d. 09:00 dikeluarkan dari tinjauan.. Buatlah tabel rekuensi waktu kejadian hujan deras.. Hitunglah waktu rerata dan simpangan baku kejadian hujan deras. Waktu rerata boleh dibulatkan ke angka interval 5 menit terdekat, sedangkan simpangan baku boleh dibulatkan ke menit terdekat. 3. Gambarlah histogram data tersebut. 4. Pada gambar yang sama, gambarlah pd distribusi normal. Dapatkah disimpulkan bahwa waktu kejadian hujan deras di lereng G. Merapi berdistribusi normal? 5. Perkirakanlah probabilitas terjadi hujan deras pada pk 4:00 s.d. 8:00. 6. Tetapkan rentang keyakinan waktu hujan deras rerata dengan tingkat keyakinan 90%. Pakailah rentang simetri. 7. Lakukan uji hipotesis yang menyatakan bahwa waktu rerata kejadian hujan deras di lereng G. Merapi adalah pada pk 5:45. Pakailah tingkat keyakinan 95%. PENYELESAIAN Tabel rekuensi waktu kejadian hujan deras di 4 stasiun ARR yang berada di lereng G. Merapi pada perioda 980 s.d. 00 disajikan pada Tabel. Di bawah ini adalah hitungan untuk mendapatkan waktu kejadian rerata dan simpangan baku waktu kejadian hujan deras. Waktu rerata kejadian hujan deras 6364 6.54pukul6: 0 03 Simpangan baku waktu kejadian hujan deras s 7304 03 6.54 03.65 jam37menit Istiarto: Penyelesaian Soal Ujian Tengah Semester 0
Tabel. Distribusi rekuensi waktu kejadian hujan deras di 4 stasiun ARR di lereng G. Merapi pada perioda 980-00 Pukul [pk] [pk ] 0 0 00 000 6 76 936 45 540 6480 3 64 83 086 4 5 60 540 5 75 65 39375 6 8 9 4659 7 5 584 4398 8 9 656 9808 9 59 99 0 34 680 3600 9 609 789 4 308 6776 3 3 99 6877 4 3 3 7488 03 6364 7304 pd distribusi normal Distribusi rekuensi waktu kejadian hujan deras teoretis menurut distribusi normal dicari dengan menggunakan bantuan tabel pd distribusi normal. teoretik suatu variabel random yang berdistribusi normal dihitung dengan memakai persamaan berikut: x Δ x p x Dalam persamaan di atas, adalah ordinat kurva normal standar. Tentu saja, x adalah rekuensi relati, x adalah rentang klas, p x p x diperoleh melalui z p Z yang dibaca dari tabel pd distribusi normal standar. Sebagai contoh, untuk waktu kejadian pukul 0:00, rekuensi teoretik menurut distribusi normal adalah: x 0 Δx p x 0 p x 0 Δx Z s 06.54 pz.65.65 pz.3466.65 0.054 0.0097.65 Dengan ukuran sampel 03, maka rekuensi teoretik pada waktu kejadian pukul 0:00 adalah 0.0097 03 0. teoretis untuk seluruh waktu kejadian hujan deras disajikan pada tabel di bawah ini. Istiarto: Penyelesaian Soal Ujian Tengah Semester 0
Tabel. Distribusi rekuensi waktu kejadian hujan deras di 4 stasiun ARR di lereng G. Merapi pada perioda 980-00 menurut distribusi normal Data Distribusi Normal Teoretis Pukul Z p Z (z) p (x) 0 0 -.3466 0.054 0.0097 0 6 -.9653 0.0578 0.0 45 -.5840 0.38 0.0434 44 3 64 -.07 0.936 0.0738 75 4 5-0.84 0.847 0.086 0 5 75-0.4400 0.36 0.38 40 6 8-0.0587 0.3983 0.59 54 7 5 0.36 0.3787 0.444 46 8 9 0.7039 0.34 0.87 0 9 59.085 0.4 0.0844 86 0 34.4665 0.36 0.059 53 9.8479 0.074 0.076 8 4.9 0.0333 0.07 3 3 3.605 0.03 0.0050 5 4 3.998 0.0045 0.007 03 0.9940 008 Histogram distribusi waktu kejadian hujan deras menurut data pengukuran dan distribusi normal teoretis 00 80 60 40 0 00 80 60 40 0 Data Distribusi Normal 0 0 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 Waktu kejadian hujan deras, [pukul] Memperhatikan perbandingan histogram data dan distribusi normal di atas, dapat disimpulkan bahwa waktu kejadian hujan deras di 4 stasiun ARR tersebut berdistribusi normal. Istiarto: Penyelesaian Soal Ujian Tengah Semester 0 3
Probabilitas terjadi hujan deras pada pukul 4:00 s.d. 8:00 prob 4 8 prob 8 prob 4 86.54 46.54 prob Z prob Z.65.65 prob 0.5535 Z 0.7039 probz 0.84 0.7593 0.057 Rentang keyakinan waktu rerata kejadian hujan deras Rentang keyakinan nilai rerata adalah suatu rentang dengan batas bawah L dan batas atas U sedemikian hingga dengan tingkat keyakinan ( ), atau dengan probabilitas ( nilai waktu rerata,, berada di dalam rentang tersebut adalah prob(l < E < U) = (). Jika berdistribusi normal, maka suatu variabel random V yang dideinisikan sebagai V s berdistribusi t. Oleh karena itu, rentang keyakinan waktu rerata dapat dinyatakan dengan persamaan berikut: prob v v s Jika nilai v dan v ditetapkan sedemikian sehingga prob(t < v ) = prob(t > v ), dan dengan demikian prob(t < v ) = prob(t > v ) = / (lihat sketsa di bawah), maka batas bawah dan atas rentang keyakinan waktu rerata dapat diperoleh dari: prob t a, t, s t s t s prob, a, Dalam persamaan di atas, t /, dan t /, masing-masing adalah nilai T sedemikian hingga prob(t < t /, ) = / dan prob(t < t /, ) = / untuk = n degrees o reedom, s s n, dan n adalah jumlah data (n = ). Nilai batas bawah dan atas rentang keyakinan waktu rerata dengan demikian adalah: s n dan u t s n t,,. Dengan nilai degrees o reedom = n = 0 dan tingkat keyakinan = 0.90 (/ = 0.05 dan / = 0.95), maka dengan memakai tabel distribusi t, diperoleh nilai-nilai sebagai berikut: prob(t < t 0.05,0 ) = 0.05 t 0.05,0 =.6464 dan prob(t < t 0.95,0 ) = 0.95 t 0.975,0 =.6464. Dengan demikian, batas bawah dan batas atas rentang keyakinan evaporasi harian rata-rata adalah: Istiarto: Penyelesaian Soal Ujian Tengah Semester 0 4
03 6.083 dan 6.54.6464.65 03 6. 897 6.54.6464.65 u sehingga: 6.083 6. 897 atau pukul 6: 0 pukul6: 7. Uji hipotesis bahwa waktu rerata hujan deras adalah pada pukul 5:45 dengan tingkat keyakinan 95% Uji hipotesis ini dilakukan dengan hipotesis sebagai berikut: H 0 : = 5:45 = 5.75 H a : 5:45 = 5.75 Karena varian populasi tidak diketahui, maka statistik uji dalam uji hipotesis ini adalah: T n s 03 6.545.75.65 4.903 Dengan tingkat keyakinan = 0.95, maka batas penerimaan hipotesis adalah: t, t 0.975,0.963 Karena T > t /,, maka H 0 ditolak. -o0o- Istiarto: Penyelesaian Soal Ujian Tengah Semester 0 5