PENENTUAN CADANGAN ASURANSI JIWA MULTILIFE DENGAN ASUMSI SEMI MARKOV

Jural Wahaa Maemaka da Sas, Volume 8 Nomor, Aprl 4 77 PENENTUAN CADANGAN ASURANSI JIWA MULTILIFE DENGAN ASUMSI SEMI MARKOV I Gus Nyoma Yud Harawa Jurusa Peddka Maemaka, Fakulas Maemaka da Ilmu Pegeahua Alam, Uversas Peddka Gaesha, Sgaraja Harawa.mah@gmal.com ABSTRAK Peela berujua uuk megeahu cadaga dar asuras jwa mul lfe dega asums sem markov. Asums sem markov dguaka dalam membua model yag meggambarka kedakbebasa aara ssa usa hdup pasaga suam da sr. Dega asums sem markov, rass aar sae dak haya mempermbagka sae saa pasaga ersebu berada eap juga mempermbagka waku yag dhabska pasaga ersebu d sae ersebu. Berdasarka probablas rass aar sae kemuda deuka esas rassya yag dlajuka dega peeua prem da kemuda deuka cadaga uuk suau waku ereu dega pedekaa prospekf. Hasl peela meujukka erdapa kedakbebasa aara ssa usa hdup suam da sr dmaa pegaruh kemaa pasaga pada sr lebh gg dar pada suam, besar prem da cadaga dapa deuka melalu rumus xy xy xy da xy : xy : xy : A e p p p d V A A P A a xy : Kaa-kaa kuc: cadaga, asums sem markov, probablas rass, esas rass, pedekaa prospekf. ABSTRACT Ths research s amed o oba reserves of mul lfe surace by sem markov assumpo. The assumpo s used o make model ha descrbe he depedecy of remag lfe me husbad ad wfe. Ths assumpo meas ha raso bewee sae o oly deped o cure sae bu also elapse me o ha sae. By s probables raso he we obaed s eses raso ha used o deerme premmum ad also s reserve by prospecve approach. The resul showed here s depedecy bewee of her remag lfe me ha s a wdow more rsky ha wdower. The premmum ad reserves ca be obaed by he followg formula xy xy xy ad xy : xy : xy : A e p p p d V A A P A a xy : Keywords: reserves, sem markov assumpo, probables raso, eses raso, prospekve approach

Jural Wahaa Maemaka da Sas, Volume 8 Nomor, Aprl 4 78 PENDAHULUAN Semua orag pas aka meggal, ada yag meggal keka mash kecl, muda aau ua. Meggalya seseorag dapa membulka dampak pada keluarga yag dggalka eruama jka yag meggal adalah umpua ekoom keluarga. Jka hal ersebu erjad maka kehdupa keluarga yag dggalka dapa eracam. Seap orag aka megalam resko (kemaa) ersebu. Dalam ragka megaas keruga yag mbul, mausa megembagka suau mekasme yag saa dkeal dega asuras. Asuras berfugs sebaga mekasme uuk megalhka resko dar sau phak (eraggug) kepada phak la (peaggug). Pegalha resko buka berar eraggug erhdar dar resko yag dhadap melaka peaggug meyedaka keamaa fasal sebaga ga dar kejada (kemaa) yag dalam oleh eraggug. Sebaga mbalaya eraggug membayarka sejumlah uag aau prem kepada peaggug. Kesepakaa pembera mafaa da pembayara prem eruag dalam suau korak yag dkeal dega pols. Dar pols asuras ersebu erdapa korak yag meyaaka bahwa eraggug aka melakuka sejumlah pembayara ereu secara eraur kepada phak perusahaa asuras sebaga mbala perseujua peaggug uuk membayar beef aau mafaa yag elah dsepaka dalam pols asuras jka orag yag daggug meggal dua. Asuras jwa mul lfe merupaka salah sau jes asuras jwa dmaa yag daggug adalah resko kemaa uuk sekelompok orag dalam peela adalah pasaga suam sr. Dalam asuras erdapa dua saus yau saus jo lfe da las survvor. Pada perhuga kovesoal serg dasumska saus dar suam da sr depede padahal sud emprk meujukka adaya korelas aara saus suam da sr. Seper yag dujukka oleh Jagger da Suo (99) yau adaya pegkaa resko relaf kemaa seelah kemaa pasagaya. Salah sau aleraf dalam memodelka kedakbebasa ersebu adalah dega megguaka model markov fe-sae. Trass aar saes deuka oleh esas mark rass. Model mul-sae markov bayak derapka pada lmu akuara. Sebaga cooh dalam asuras kesehaa, Waers (984) memberka model dmaa sae meggambarka perbedaa kods kesehaa. Pegguaa model markov dalam jo-lfe moraly perama kal dkembagka oleh Norberg (989) kemuda oleh Spreeuw da Wag (8) megembagka hasl dar Norberg dega memasuka moraly yag bervaras dega waku yag lewa sejak

Jural Wahaa Maemaka da Sas, Volume 8 Nomor, Aprl 4 79 kemaa pasagaya. Model markov memlk kelemaha, yau model agak kaku karea dampak kemaa pasaga dasumska kosa apa memperhaka selag waku sejak kemaa pasagaya (J,). Harawa (3) megguaka model markov dalam meeuka besar prem asuras jwa mul lfe. Uuk u pada peela kedakbebasa ersebu aka dmodelka dega model sem markov dmaa pada model mempermbagka waku yag dhabska oleh ssem d saus sekarag sejak rass erakhr ke saus ersebu. Berdasarka probablas rass aar sae kemuda deuka esas rassya yag dlajuka dega peeua prem, da kemuda deuka cadaga premya uuk suau waku ereu dega pedekaa prospekf. METODE Peela megguaka pedekaa dedukf dmaa erlebh dulu duraka kedakbebasa ssa usa pasaga suam sr megguaka asums sem markov kemuda drumuska rumus prem da cadaga asuras jwa mul lfe. Haslersebu kemuda derapka pada daa auas jo lfe da las survvor. HASIL DAN PEMBAHASAN Model Sem Markov Model sem markov pada asuras jwa mul lfe memlk 4 sae yag mugk dempa pasaga ersebu. Pada saa awal pasaga suam sr ersebu berada pada sae kemuda jka suamya meggal maka sr masuk sae, jka sr meggal lebh dahulu maka suam masuk sae da jka jada aau duda ersebu meggal dega jarak waku lebh dar 5 har maka aka masuk sae 3. Jka jarak waku kemaa sr da suam dak lebh dar 5 har maka pasaga ersebu lagsug masuk sae 3 (kemaa ergolog commo shock). Doaska x yag merupaka force of moraly dar sr berusa x jka dkeahu suam mash hdup da sebalkya uuk suam. Uuk esas berpdah sae ke 3 secara lagsug doaska dega 3. Berku merupaka probablas rass aar sae: j p Pr( X j X ),, j,,,3 z z z Dega megguaka persamaa forwad kolmogorov dperoleh:

Jural Wahaa Maemaka da Sas, Volume 8 Nomor, Aprl 4 8 d d k, k j j k kj j jk p p p z z z z z Aau dalam beuk marks d P ( z, z ) P ( z, z ) A ( z ) d j Dmaa P( z, z ) merupaka sebuah marx yag erya adalah A( z ) p,, j,,,3 j dsebu marx esas dmaa elemeya adalah uuk j da z z da 3 j z j, j uuk j. Dega meyelesaka persamaa dferesal d aas dperoleh p j z exp ( ) ds 3 p z zs zs zs 3 p exp z z s 3 p exp z z s ds ds z s z z s s z s p ( p p ) ds z s z z s s z s p ( p p ) ds 3 3 z s z z s p p ds 3 3 z s z z s p p ds Esmas Parameer Lagkah selajuya dalam proses mecar fugs dar probablas rass adalah megesmas parameerya. Dalam peela dguaka meode esmas maksmum lkelhood ( MLE). Prsp dar meode adalah memaksmumka esmaor parameer sehgga laya deka dega parameer. Terlebh dahulu ddefska fugs desas bersama dar T da T, dmaa T merupaka varabel x y x radom ssa usa dar sr da Fugsya sebaga berku: T merupaka varabel radom ssa usa dar suam. y

Jural Wahaa Maemaka da Sas, Volume 8 Nomor, Aprl 4 8 * p p jka u v u x: y xu vu yu yv * f ( u, v), T ( x) T ( y) p p jka u v v x: y yv uv xv xu 3 p jka u v u x: y, Dar fugs desas bersama d aas dapa dcar fugs lkelhoodya, yau: L f ( u, v ) Tx, T y Uuk memudahka dalam proses perhuga maka fugs lkelhood ersebu dlogka, sehgga dperoleh: v 3 3 3 l( ) ( ) l( ) d l( ) d l( ) x y y v x v l L d d m u, j d h j * * l( ) x v, j x v u j j j j, j m u, k d h k * * l( ) y v, k y v u k k k k, k Dmaa adalah oal jumlah pasaga dalam daa m ( m ) adalah oal jumlah dar duda (jada) dalam daa v adalah waku sampa pasaga ke- keluar dar sae,,,..., j d jka pasaga ke- berpdah dar sae ke sae j pada v,,,...,, j,,3 u ( u ) adalah waku sampa duda ke-j aau jada ke-k meggalka sae aau., j, k j,,..., m, k,,..., m h jka duda meggal pada u, j, j, j, u h jka jada meggal pada,k x da y merupaka usa masuk dar sr da suam dar pasaga ke-. ( x, ) ( a e )( ) F ( )( ) * k 3 3 x x da ( y, ) ( a e )( ) F ( )( ) * k 3 3 y y dega a j da k j uuk j, da waku sejak kemaa pasagaya Dega megguaka hukum gomperz persamaa loglkelhood ersebu mejad l x v y v B C ( C ) x v B C ( C ) d l( B C ) l( C ) l( C )

Jural Wahaa Maemaka da Sas, Volume 8 Nomor, Aprl 4 8 y v 3 3 3 d l( B C ) v d l( ) u, j k x 3 l ae BC d j k x 3 h l a e B C, j u, k k y 3 l3 ae BC d k k y 3 h l a e B C, k Dmaa B C da B, C merupaka parameer Gomperz uuk moralas sr da, suam pada sae. B C da B, C merupaka parameer Gomperz uuk, 3 3 4 4 moralas sr da suam pada sae da. Lagkah selajuya adalah memaksmumka fugs lkelhood d aas yau dega mecar urua parsalya yag dsamaka dega uuk l l B C, l l B Demka juga uuk l da l 3. l l C 3 Dega meyelesaka dar persamaa d aas dperoleh esmaor uuk masg-masg parameerya. Peeua Prem Asuras Jwa Mul-Lfe Survvorshp Pada model sem markov erdapa 3 kemugka kejada yag dapa dalam masg-masg pasaga, yau:. Suam da sr eap hdup sampa akhr perode pegamaa,. Isr eap hdup sampa akhr perode pegamaa eap suamya meggal pada suau waku d perode pegamaa, da 3. Suam eap hdup sampa akhr perode pegamaa eap srya meggal pada suau waku d perode pegamaa. Berdasarka formas ersebu, dapa dcar prem uggal bershya, yau: A E[ Z] E[ z ] T ( xy ) z f T ( xy ) () d z p () d xy xy

Jural Wahaa Maemaka da Sas, Volume 8 Nomor, Aprl 4 83 Dmaa, A a dega a e p xy p xy p d xy Sehgga dperoleh A e p p p d Peeua Cadaga xy xy xy Dberka cadaga (reserves) uuk asuras jwa mul lfe kou seumur hdup sebesar yag derbka uuk ( xydega, ) prem ahuaya doaska dega P A xy,. Berdasar pada prsp ekvales yau la harapa dar keruga prospekf pada waku, yag berar eraggug eap hdup sampa waku kemuda ddefska hubuga cadaga uuk eraggug yag mash hdup pada ahu berkuya. Secara formal, Uuk T( x), keruga prospekfya dapa dulska sebaga berku: T x, y xy, T x, y) L v P A a Cadaga sebaga suau la harapa dhug megguaka dsrbus bersyara (codoal dsrbuo) dar ssa usa pada saa uuk pasaga yag erseleks pada waku ( xy,, ) oas ya sebaga berku: xy, (, ) V A E L T x y Persamaa d aas dapa duls mejad xy xy xy V A A P A a xy,, A P A a x, y xy x y Persamaa d aas meyaaka bahwa cadaga merupaka selsh aara la sekarag akuara uuk asuras jwa mul lfe seumur hdup pada usa x dega la sekarag akuara dar prem ahu berkuya.

Jural Wahaa Maemaka da Sas, Volume 8 Nomor, Aprl 4 84 Sud Kasus Hasl pada pembahasa derapka pada daa auas jo lfe da las survvor yag daa dperoleh pada www.soa.org. Jumlah daa yag dguaka adalah 6 pasaga suam sr. Berku rgkasa daaya, Tabel. Rgkasa Daa Umur (suam) Jumlah Jumlah kemaa 5 umur 6 67 4 6 umur 7 65 469 7 umur 8 383 6 umur 8 6 77 Toal 66 57 Umur (sr) Jumlah Jumlah kemaa 5 umur 6 48 9 6 umur 7 6646 95 7 umur 8 394 85 umur 8 6 6 Toal 66 396 Dar abel d aas dapa dlha jumlah kemaa suam lebh bayak darpada sr yau hampr 3 kal lpa. Hasl esmas parameer pada model sem markov adalah sebaga berku; Tabel. Hasl esmas parameer Parameer Esmas Sd.error B 7 4.864993.49396 7 C.335 5.334 6 B 5.6899.3864 9 C.987 3.4 4.3459 5.56579 5

force of moraly wfe afer bereaveme.4.7. force of moraly husbad afer bereaveme..6. force of moraly wfe...3 force of moraly husbad.8..6 Jural Wahaa Maemaka da Sas, Volume 8 Nomor, Aprl 4 85 a 3.3786 k.55 a.54 k 7.96 7.389845 3.73435 3 4.34976 33 4.34976 33 Dar hasl ersebu dapa dbua force of moraly pada sae da, yau: *.55 7 x ( x, ) ( 3.3786 e )(4.864993.335.4) da * 7.96 5 y ( y, ) (.54 e )(.6899.987.4) berku merupaka plo dar force of moraly plo plo 4 6 8 4 6 8 plo 3 plo 4 4 6 8 4 6 8 Gambar. Plo force of moraly pada model sem markov Dar plo ersebu dapa dlha pegaruh kehlaga pasaga erhadap force of moraly dawal kehlaga saga gg eap megalam peurua serg berambahya waku.berdasarka gederya ampak plo dar sr lebh lamba uru dbadgka suam meadaka kemaa pasaga pada sr lebh berpegaruh darpada suam.

Jural Wahaa Maemaka da Sas, Volume 8 Nomor, Aprl 4 86 Cooh peeua prem da cadaga Msalka g dcar besar prem uggal bersh asuras berjagka ahu da cadaga pada ahu ke 8 dmaa dkeahu usa sr ( x) 58, usa suam ( y) 6 da suku buga ( ) 6% Uuk meghug prem uggal bershya dguaka rumus berku: A e p p p d xy xy xy xy : Dega memasukka la-la esmaor kedalam persamaa ersebu da dega megguaka egras umerk dperoleh a 7.54,Dega demka, A a.586897.55.5657 Jad besarya prem sekal bayar yag harus dbayarka oleh pasaga suam sr ersebu adalah sebesar.5657 Dega cara yag sama dperoleh a.8849 xy da A 8: 8 V A A P A a xy 8: xy8:.8968.4759.8849 3.3367 6 Jad besar cadaga pada ahu ke -8 adalah xy8: 3.3367 6.8968 PENUTUP Dar pembahasa d aas dapa dsmpulka sebaga berku:. Asums sem markov dapa dguaka dalam membua model akuara dar produk asuras jwa mul lfe.. Terdapa kedakbebasa aara waku hdup aara suam da sr dmaa dawal kehlaga pasagaya erjad pegkaa force of moraly eap dampak ersebu semak meuru serg berambahya waku 3. Dega megguaka asums sem markov dapa deuka prem da cadaga asuras jwa mul lfe yau dega rumus berku: xy : A e p p p d xy xy xy

Jural Wahaa Maemaka da Sas, Volume 8 Nomor, Aprl 4 87 V A A P A a DAFTAR PUSTAKA Akso, K. 993. Elemeary Numercal Aalyss Secod Edo. Joh Wley & Sos. Caada. Ba, Lee J da Egelhard, Max. 99. Iroduco o Probably ad Mahemacal Sascs. Calfora : Duxbury, 99 Bowers, N.L., Gerber, H.U., Hckma, J.C., Joes, D.A. da Nesb, C.J., 997, Acuaral Mahemacs d Edo, The Socey of Acuares, Iasca, Illos. Harawa, I G N Yud. 3. Pedekaa Model Mul Saus Markov Dalam Peeua Prem Asuras Jwa Mul-lfe. Ejoural udksha vol 3 o : Semar Nasoal FMIPA Udksha 3. Jasse, J., Maca, R., 6, Appled Sem-Markov Processes, Sprger Verlag, New York J, M., Hardy, Mary. da L, Johy Su-Hag.. Markova Approaches o Jo Lfe Moraly. Norh Amerca Acuaral Joural, Volume 5, umber 3. Lodo, Dck, 997, Survval Models ad Ther Esmao 3 rd Edo, Acex Publcao, Wsed Norberg, R. 989. Acuaral Aalyss of Depede Lves. Bulle of he Swss Assocao of Acuares : 43 54. Ross, Sheldo M.. Iroduco o Probably Models h edo. USA : Elsever, Ic.