1 Eksstens Bfurkas Mundur pada Model Penyebaran Penyakt Menular dengan Vaksnas Intan Putr Lestar, Drs. M. Setjo Wnarko, M.S Jurusan Matematka, Fakultas Matematka dan Ilmu Pengetahuan Alam, Insttut Teknolog Sepuluh Nopember (ITS Jl. Aref Rahman Hakm, Surabaya 60111 E-mal: setjo_wnarko@yahoo.com Abstrak Epdemk adalah kejadan berjangktnya suatu penyakt menular dalam masyarakat yang dapat menmbulkan banyak kerugan. Untuk tu dperlukan upaya untuk menanggulang wabah tersebut, dantaranya dengan cara tndakan pemberan aksnas yang bertujuan untuk memberkan pertolongan meds berupa pencegahan agar penderta tdak menjad sumber penularan. Oleh karena tu model epdemk dkembangkan dengan menambah kompartemen aksnas. Dalam tugas akhr n, danalsa terjadnya bfurkas mundur dar model epdemk SIS dengan aksnas. Eksstens bfurkas mundur dnalsa tanpa menggunakan normal form, tetap cukup memperhatkan perubahan arah pada kura ttk setmbang endemk. Dar hasl analss ddapat blangan reproduks dasar yang menyatakan rata-rata terjadnya penularan penyakt. Eksstens bfurkas mundur pada model epdemk SIS dengan aksnas dkarenakan ketdakefektfan aksn sehngga terdapat ttk kesetmbangan endemk saat blangan reproduks dasar kurang dar 1. Kata Kunc Bfurkas Mundur, Blangan Reproduks Dasar, Model SIS, Vaksnas. K I. PENDAHULUAN ejadan berjangktnya suatu penyakt menular dalam masyarakat yang jumlah pendertanya menngkat pada waktu dan daerah tertentu dapat menmbulkan banyak kerugan. Penyakt menular yang muncul memlk dampak buruk terhadap kesehatan masyarakat. Untuk tu dperlukan upaya menanggulang wabah tersebut yang bertujuan untuk memberkan pertolongan meds kepada penderta agar sembuh dan mencegah agar mereka tdak menjad sumber penularan. Karena tu, sangat pentng untuk mengealuas potens metode untuk mengendalkan penyakt n [1]. Ada 2 tpe strateg utama untuk mengendalkan penyebaran penyakt yatu melalu peranan farmas (aksnas dan non farmas (karantna [2]. Vaksnas adalah pemberan bahan antgenk yang dgunakan untuk menghaslkan kekebalan aktf terhadap suatu penyakt sehngga dapat mencegah atau mengurang pengaruh nfeks. Sejak peneltan Eward Jenner pada cacar, aksnas telah menjad metode yang dgunakan untuk mengontrol penyakt dan bekerja dengan cara mengurang jumlah nddu susceptble dalam suatu populas. Peneltan sebelumnya telah dlakukan oleh Mohammad Djasul yatu eksstens bfurkas mundur pada model penyebaran penyakt makroparasts dan ddapatkan bahwa penyakt menular yang menmbulkan fenomena bfurkas mundur lebh berbahaya darpada penyakt menular yang tdak menyebabkan terjadnya bfurkas mundur dtnjau dar ss kesembuhan dan bebasnya penderta awal [3]. Dalam tugas akhr n danalss terjadnya bfurkas mundur pada model epdemk SIS yang dkembangkan dengan aksnas. Model epdemk SIS adalah model epdemk yang terdr dar dua sub-populas manusa yatu nddu susceptble atau nddu yang rentan terhadap penyakt dan nddu nfected atau nddu yang ternfeks dan dapat menularkan penyakt. Dar model epdemk n dcar blangan reproduks dasar ( R 0, dengan ( R 0 menyatakan banyaknya rata-rata nddu nfektf sekunder akbat tertular nddu nfektf prmer yang berlangsung ddalam populas susceptble. Analsa bfurkas dperlukan untuk mengetahu perubahan stabltas dan perubahan banyaknya ttk tetap akbat perubahan nla parameter. Eksstens bfurkas mundur dnalsa tanpa menggunakan normal form, tetap cukup memperhatkan perubahan arah pada kura ttk setmbang endemk. A. Tahap Telaah II. METODE PENELITIAN Dar permasalahan dan tujuan yang telah drumuskan selanjutnya dlakukan stud lteratur untuk member acuan pemecahan permasalahan. Stud lteratur dlakukan terhadap jurnal-jurnal lmah, tugas akhr, dan buku-buku yang berhubungan dengan model epdemk SIS dengan aksnas dan terjadnya bfurkas mundur. B. Tahap Kajan Model Epdemk SIS dengan Vaksnas Untuk memaham model epdemk SIS dengan aksnas dsusun asums-asums tertentu sehngga dapat dbuat model kompartemen dengan 3 kelompok nddu yatu nddu susceptble (nddu yang rentan terhadap penyakt, nfected (nddu yang terjangkt dan dapat menularkan penyakt, accnated (nddu susceptble yang daksnas. C. Tahap Mencar Blangan Reproduks Dasar dan Menentukan Stabltas Ttk Kesetmbangan Endemk Dar model epdemk dperoleh matrks Jacoban pada ttk kesetmbangan bebas penyakt yang selanjutnya dapat dtentukan nla egen sehngga dapat dperoleh blangan reproduks dasar ( R 0. Dar nla egen dar ttk kesetmbangan model dapat dketahu ttk kesetmbangan tersebut stabl asmtotk atau tdak.
2 D. Tahap Analsa dan Pembahasan Pada tahap n dlakukan analsa adanya bfurkas mundur pada model epdemk SIS dengan aksnas. Eksstens bfurkas mundur akan dnalsa tanpa menggunakan normal form, tetap cukup memperhatkan perubahan arah pada kura ttk setmbang endemk. E. Tahap Smpulan dan Saran Setelah dlakukan analsa dan pembahasan maka akan dambl suatu kesmpulan dan saran sebaga masukan untuk pengembangan peneltan lebh lanjut. III. ANALISA DAN PEMBAHASAN A. Model Penyebaran Penyakt Menular Tanpa Vaksnas Model epdemk tpe SIS tanpa aksnas mempunya asums-asums sebaga berkut : a. Populas dbag menjad 2 kelompok yatu : S adalah populas susceptble yatu nddu yang rentan terhadap penykat dan I adalah populas nfected yatu nddu yang terjangkt dan dapat menularkan penyakt. b. Dasumskan adalah laju kelahran yang sama dengan laju kematan. Sedangkan N adalah jumlah populas susceptble dan nfected. Jumlah populas yang lahr dalam populas tap satuan waktu selalu konstan. Jumlah populas yang lahr proporsonal dengan total populas N. Oleh karena tu, jumlah populas yang lahr dalam populas adalah N Jumlah populas yang lahr tersebut akan memasuk kelompok S. c. SI / N adalah laju besarnya populas susceptble yang ternfeks dengan merupakan konstanta yang menunjukkan tngkat kontak sehngga terjad penularan penyakt. d. Populas nfected kembal menjad susceptble dengan laju c. e. Dasumskan bahwa penyakt yang menyebar dalam populas adalah penyakt yang tdak mematkan. Jumlah populas yang mat pada setap kelompok proporsonal dengan jumlah populas pada masng-masng kelompok. Oleh karena tu, jumlah kematan pada kelompok S dan I masng-masng sebesar S dan I. Dar asums-asums tersebut dperoleh model epdemk tpe SI (tanpa aksnas ds SI N S ci (1 di SI ( c I (2 Karena N adalah jumlah seluruh populas S dan I maka dn ds di 0 dt dt dt Selanjutnya akan danalsa model dalam bentuk normal (propors populas terhadap N. Jka s adalah nddu susceptble dalam total populas tap satuan waktu, maka s S / N adalah nddu nfected dalam total populas tap satuan waktu I / N ( s sehngga N S I atau s 1 N dan s ' S' / N ' I' / N jka sstem dbag dengan N maka persamaan (1 dan (2 menjad s' s s c (3 ' s ( c (4 Karena s 1 maka s dapat dsubsttuskan dalam persamaan (4 sehngga ' (1 ( c (5 B. Blangan Reproduks Dasar Model Penyebaran Penyakt Menular Tanpa Vaksnas Blangan reproduks dasar model penyebaran penyakt ddapat dar persamaan (5: ' ( c 1 ( c ( c Maka blangan reproduks dasar untuk model penyebaran penyakt menular tanpa akasnas adalah R0 (6 ( c C. Model Penyebaran Penyakt Menular dengan Vaksnas Model epdemk tpe SIS dengan aksnas yang akan dbahas mempunya asums-asums sebaga berkut : a. Populas dbag menjad 3 kelompok yatu : S adalah populas susceptble, I adalah populas nfected, dan V adalah populas accnated yatu nddu-nddu susceptble yang daksnas. b. Dasumskan adalah laju kelahran yang sama dengan laju kematan. Sedangkan N adalah jumlah populas susceptble, nfected, dan accnated. Jumlah populas yang lahr dalam populas tap satuan waktu selalu konstan. Jumlah populas yang lahr proporsonal dengan total populas N. Oleh karena tu, jumlah populas yang lahr dalam populas adalah N. c. SI / N adalah laju besarnya populas susceptble yang ternfeks dengan merupakan konstanta yang menunjukkan tngkat kontak sehngga terjad penularan penyakt. Dasumskan bahwa populas susceptble daksnas (accnated dengan laju konstan dan aksn berkurang dengan laju konstan sehngga populas accnated kembal menjad susceptble. Tngkat ketdakefektfan aksn dnyatakan dengan dmana [0,1] dengan 0 menunjukkan bahwa aksn efektf dan 1 menunjukkan bahwa aksn tdak efektf. VI / N adalah laju besarnya populas accnated yang ternfeks.
3 d. Populas nfected kembal menjad susceptble dengan laju c e. Dasumskan bahwa penyakt yang menyebar dalam populas adalah penyakt yang tdak mematkan. Jumlah populas yang mat pada setap kelompok proporsonal dengan jumlah populas pada masng-masng kelompok. Oleh karena tu, jumlah kematan pada kelompok S, I, dan V masng-masng sebesar S, I, dan V. Dar asums-asums tersebut dperoleh model epdemk tpe SIS dengan aksnas [4]: ds SI N ( S ci V (7 di ( S V I ( c I (8 dv VI S ( V (9 Karena N adalah jumlah seluruh populas S, I, dan V, maka dn ds di dv 0 dt dt dt dt Akan danalsa pula model dalam bentuk normal (propors populas terhadap N sepert pada model penyebaran penyakt tanpa aksnas, dengan dtambah kompartemen aksnas. Jka adalah nddu accnated dalam total populas tap satuan waktu V / N dan ' V' / N jka sstem dbag dengan N maka persamaan (7-(9 menjad s' s ( s c (10 ' S ( c (11 ' s ( (12 Karena s 1 maka s dapat dsubsttuskan dalam persamaan (11 dan (12 ' [1 (1 ] ( c (13 ' [1 ] ( (14 D. Ttk Kesetmbangan Bebas Penyakt Ttk kesetmbangan model dapat dperoleh dengan mengambl d / dt 0 dan d / dt 0. Sehngga ddapat [ 1 (1 ] ( c (15 [ 1] ( 0 (16 Ttk kesetmbangan bebas penyakt ddapatkan pada saat 0. Dar persamaan (15 dan (16 ddapat 0 Jad ttk kesetmbangan bebas penyakt adalah E 0 ( 0, 0 0, E. Kestablan Lokal Ttk Kesetmbangan Bebas Penyakt Kestablan model dtentukan oleh nla egen matrks Jacoban dar persamaan (11 dan (12. 2 (1 ( c (1 J ( ( Pada ttk kesetmbangan bebas penyakt matrks Jacobannya adalah : 0 (1 ( c 0 J ( ( Dar matrks Jacoban ddapatkan nla egen ( 1 (1 ( 2 c 1 0, sedangkan untuk 2 belum dapat dtentukan tandanya (dapat bernla postf atau negatf. Oleh karena tu akan dcar blangan reproduks dasar model epdemk SIS dengan aksnas R terlebh dahulu. ( 2 akan bernla negatf jka ( 1 ( c 0 atau ( 1 ( c ( maka dperoleh blangan reproduks dasar dar model penyebaran penyakt menular dengan aksnas R, yatu : ( ( c ( ( Dar nla R maka ddapatkan kestablan ttk kesetmbangan bebas penyakt sebaga berkut: a. Jka ( R 1 maka ttk kesetmbangan bebas penyakt stabl asmtotk. b. Jka ( R 1 maka ttk kesetmbangan bebas penyakt tdak stabl. Jka blangan reproduks dasar dar model penyebaran penyakt dengan aksnas dbandngkan dengan model penyebaran penyakt menular dengan aksnas, ddapat R0 R Hal n menunjukkan jumlah penderta tanpa aksnas lebh besar darpada jumlah penderta dengan aksnas. F. Ttk Kesetmbangan Endemk Ttk kesetmbangan endemk adalah suatu keadaan dmana terjad penyebaran penyakt d dalam populas. Dar persamaan (15 dengan 0, sehngga ( c (1 (17 (1 Persamaan (17 dsubsttuskan ke (16 ddapat 2 A B C 0 (18 dengan A B ( ( c ( c( C (1 R maka dar persamaan (18 ddapat : a. Jka R 1 maka C 0, sehngga persamaan (18 mempunya penyelesaan postf tunggal.
4 b. Jka R 1 maka C 0, sehngga persamaan (18 mempunya penyelesaan postf tunggal B 0. c. Jka R 1 maka C 0, sehngga B / A untuk o Jka B 2 AC persamaan (18 mempunya dua penyelesaan postf yang berbeda. o Jka B 2 AC persamaan (18 mempunya penyelesaan postf tunggal B /( 2A.. o Jka B 2 AC persamaan (18 tdak mempunya penyelesaan postf. G. Kestablan Lokal Ttk Kesetmbangan Endemk Pada ttk kesetmbangan endemk matrks Jacobannya adalah : (1 J (19 ( ( Tanda dar nla egen suatu matrks dapat dtentukan oleh tanda determnan dan trace matrks tersebut, dengan Trace ( J 1 2 dan det (J 1 2 Dar (19 ddapat det ( J [ 2 ( ( c [ 2A B] Trace ( J ( 0,sehngga 1 2 jka 0 1 0 dan 2 0 maka J det( J 12 0. Karena kedua nla egen matrks mempunya tanda negatf maka ttk kesetmbangan endemk stabl asmtotk. 1 0 dan 0, dengan 2 1 maka 2 det( J 12 0. Karena satu dar nla egen mempunya tanda postf maka ttk kesetmbangan endemk tdak stabl. 1 0 dan 2 0, maka det( J 12 0 sehngga Jka 2A B 0 atau B maka determnannya postf dan ttk kesetmbangan stabl asmtotk, Jka 2A B 0 atau B maka determnannya negatf dan ttk kesetmbangan tdak stabl. Jka 2A B 0 atau B maka determnannya nol dan ttk n merupakan ttk bfurkas. H. Kura Bfurkas Untuk menggambar kura bfurkas, dasumskan sebaga arabel dengan parameter,,,, c konstan. Deferensal mplst dar (18 terhadap adalah (2A B d d ( c( (1 2 Karena 1 maka kura bfurkas mempunya kemrngan postf jka 2A B 0 atau B, dan kemrngan negatf jka 2A B 0 atau B. Dengan menggabungkan pembahahasan (G dan kemrngan kura ddapat Jka B maka kemrngan kura d / d postf dan determnannya postf maka ttk kesetmbangan endemk stabl asmtotk. Jka B maka kemrngan kura d / d negatf dan determnannya negatf maka ttk kesetmbangan endemk tdak stabl. sehngga ddapat kura bfurkas mundur sebaga berkut : Gambar 1. Bfurkas Mundur pada Model SIS dengan Vaksnas I. Efekttas Vaksn Dalam model epdemk pada tugas akhr n, menyatakan tngkat ketdakefektfan aksn dengan [0,1 ] dmana 0 menunjukkan bahwa aksn efektf dan 1 menunjukkan bahwa aksn tdak efektf. Jka aksn efektf atau 0 maka persamaan (18 menjad ( c( ( ( 0 atau 1 1 R Oleh karena tu, dar persamaan (18 dengan 0 ddapat Jka R 1 tdak terdapat ttk kesetmbangan endemk dan jka R 1 terdapat satu ttk kesetmbangan endemk, sehngga jka aksn efektf, maka tdak terjad bfurkas mundur. J. Smulas dan Interpretas Dar persamaan (18 ddapat persamaan mengandung : R P dengan 2 Q R. R yang (20
5 P / s Q [( ( c ]/ s R 1 ( c s Jka, R adalah ttk puncak kura, agar 0 dan ( c c Rc 0 maka haruslah 1 2, dengan ( 1 ( c ( 4 ( ( c 2 ( c Pada gambar 2, bfurkas terjad saat R 1dan R R 0.121 dan 0. 209. Ada dua ttk kesetmbangan c endemk dalam nteral 0.121 R 1. Dar gambar tersebut dpaham bahwa saat R 1ternyata terdapat dua ttk setmbang endemk. Hal n berart telah ada nddu ternfeks sehngga penanganannya bukan berupa pencegahan namun penyembuhan yang benar-benar efektf dan ntensf. c Dengan mengubah nla parameter 57. 5 menjad 33.5 pada gambar 3 d atas, maka dagram bfurkas mundur menjad bfurkas maju. Hal n menunjukkan penekanan laju nfeks menjad semakn kecl akan menekan pula jumlah nddu yang ternfeks. Oleh karena tu perlu adanya tndakan pencegahan untuk mengurang laju penyebaran penyakt n. Bfurkas mundur juga terjad pada gambar 4 berkut. Dketahu bahwa pada saat tu 1 yang artnya aksn tdak efektf menunjukkan adanya ancaman penularan penyakt karena terdapatnya sejumlah nddu ternfeks saat R 1 dan memungknkan nddu tersebut menyebarkan penyakt untuk dtularkan kepada nddu lan yang rentan. Gambar 4. Dagram Bfurkas Mundur dengan nla 5, 0.5, 1, c 0.2, 0.8, 22.5 Gambar 2. Dagram Bfurkas Mundur dengan nla 5, 0.5, 0.2, c 0.2, 0.8, 57.5 Gambar 5. Dagram Bfurkas Maju dengan nla 5, 0.5, 0.2, c 0.2, 0.8, 22.5 Gambar 3. Dagram Bfurkas Maju dengan nla 5, 0.5, 0.2, c 0.2, 0.8, 33.5 Dalam gambar 5 d atas, dengan mengurang tngkat ketdakefektfan aksn menjad 0, yang artnya aksn efektf maka jumlah nddu ternfeks berkurang saat R 1. Dengan demkan langkah pemberan aksn yang efektf perlu dlakukan.
6 Beberapa nput nla parameter lan dan terjadnya bfurkas mundur tercantum dalam tabel berkut : Tabel 1. Daftar Nla Beberapa Parameter pada Model Penyebaran Penyakt Menular dengan Vaksnas. Perlaku dnamk model penyebaran penyakt menular selalu berhubungan dengan blangan reproduks dasar R. Pada saat R 1artnya satu orang ternfeks menyebabkan satu orang baru tertular. Ketka R 2 berart satu orang ternfeks menularkan penyakt pada dua orang baru. Demkan seterusnya semakn R jauh dar angka 1 menyebabkan tdak terkendalnya jumlah nddu yang ternfeks. Hal n akan berdampak pada makn sultnya pengendalan penyakt. Pada fenomena bfurkas maju saat R kurang dar 1 berart ketka nddu ternfeks benar-benar telah dsembuhkan maka tdak ada penularan atau penyebaran penyakt dalam populas manusa. Sedangkan pada bfurkas mundur, saat blangan reproduks dasar kurang dar 1 ternyata penyakt menular tersebut belum dapat dberantas secara total. Artnya ketka hanya ada satu orang pengdap penyakt menular dtangan untuk dsembuhkan ternyata mash banyak pasen serupa dengan jumlah cukup besar. Konds n mengharuskan upaya penanganan penyebaran penyakt. Oleh karena tu usaha pencegahan dengan pemberan aksn perlu dlakukan, namun tngkat ketdakefektfan aksn juga perlu dperhatkan. IV. KESIMPULAN Berdasarkan keseluruhan hasl analsa yang telah dlakukan dalam penyusunan tugas akhr n, dapat dperoleh kesmpulan sebaga berkut : 1. Blangan reproduks dasar dar model penyebaran penyakt menular dengan aksnas adalah ( R ( c ( Ttk setmbang bebas penyakt adalah stabl asmtotk jka R 1 dan tdak akan stabl jka R 1. Hal n menunjukkan bahwa tdak terjad nfeks ketka R 1 kurang dar 1. 2. Bfurkas mundur terjad pada saat R 1 dmana terdapat satu ttk setmbang endemk jka R 1 dan terdapat dua ttk setmbang endemk jka R 1 Fenomena bfurkas mundur menunjukkan bahwa pada saat R 1 daya nfeks tngg yang menyebabkan populas manusa yang ternfeks menngkat namun pada saat R 1 mash ada penyakt yang menyerang populas manusa V. DAFTAR PUSTAKA [1] Chengjun. S dan We, Y. (2010. Global Results for an SIRS Model wth Vaccnaton and Isolaton. Nonlnear Analyss. Hal. 418-431. [2] Chengjun. S. We, Y. Julen A. (2010. Global Analyss for a General Epdemologcal Model wth Vaccnaton and Varyng Populaton. Mathematcal Analyss and Applcatons. Hal 208-223. [3] Djasul, M. (2009. Eksstens Bfurkas Mundur pada Model Penyebaran Penyakt Makroparasts. Insttut Teknolog Sepuluh Nopember Surabaya, Tugas Akhr S2 Jurusan Matematka [4] X, Jorge, C.M. Krbs-Zaleta, Velasco-Hernández. (2000. A Smple Vaccnaton Model wth Multple Endemc States, Mathematcal. Boscences. Hal.183 201.