BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Metode statistika adalah prosedur-prosedur yang digunakan dalam pengumpulan, penyajian, analisis, dan penafsiran data. Metode statistika dibagi ke dalam dua kelompok besar yaitu statistika deskriptif dan inferensi statistik. Statistika deskriptif merupakan metode yang berkaitan dengan pengumpulan dan penyajian data sehingga memberikan informasi yang berguna. Sedangkan inferensi statistik mencakup semua metode yang berhubungan dengan analisis sebagian data untuk kemudian sampai pada peramalan atau penarikan kesimpulan mengenai keseluruhan data (Walpole, 1995). Inferensi statistik merupakan proses pengambilan kesimpulan (generalisasi) dari suatu sampel tertentu dari suatu himpunan n observasi untuk suatu populasi. Estimasi parameter adalah salah satu bentuk prosedur inferensi. Teori estimasi memegang peranan yang sangat penting dalam inferensi statistika karena teori estimasi bersama dengan pengujian hipotesis merupakan dasar inferensi statistika yang dilandasi oleh teori peluang. Estimasi parameter dibedakan menjadi dua macam, yaitu estimasi titik dan estimasi interval. Pada estimasi titik, satu titik atau satu harga digunakan untuk mengestimasi parameter populasi yang tidak diketahui. Estimasi parameter populasi dapat dilakukan dengan menggunakan pendekatan klasik yaitu penarikan kesimpulan berdasarkan informasi yang diperoleh dari sampel random yang diambil dari suatu populasi. Estimasi parameter merupakan topik yang banyak dikaji dalam berbagai bidang keilmuan diantaranya bidang epidemiologi. Epidemiologi adalah ilmu yang mempelajari tentang penyebaran penyakit menular pada manusia dan faktor yang dapat mempengaruhi penyebaran itu (KBBI, 2015). Secara umum ada 2 macam model yang digunakan pada penyebaran epidemi yaitu model epidemi deterministik dan model epidemi stokastik. Dalam bidang 1
2 epidemiologi dikenal beberapa model epidemi diantaranya model SI (Susceptible- Infective), SIS (Susceptible-Infective-Susceptible), SIRS (Susceptible-Infective- Removed-Susceptible) dan SIR (Susceptible-Infective-Removed). Setiap model epidemi mempunyai parameter-parameter yang akan diestimasi. Salah satu estimasi yang dapat digunakan adalah estimator martingale. Metode martingale dipopulerkan pada abad ke 18 oleh P.Levy yang digunakan sebagai salah satu metode tebak-tebakan (betting) di Prancis. Martingale digunakan di sejumlah aplikasi di berbagai bagian dalam teori probabilitas. Martingale merupakan teori manajemen modal probabilitas yang memungkinkan kesamaan nilai sesuatu di masa tertentu dengan masa sebelumnya dengan menggunakan prinsip penggandaan. Jadi bisa diartikan makna dari martingale yaitu apa yang diharapkan akan diperoleh nilainya sama dengan sebesar yang sudah diperoleh sebelumnya. Metode estimasi dengan estimator martingale ini muncul sebagai cara natural estimasi bila tidak ada asumsi distribusi dari model dan estimator maksimum likelihood tidak bisa diperoleh dalam bentuk tertutup (closed form). Dengan mengamati prilaku asimtotis suatu estimator yaitu sifat konsistensi dan normalitas asimtotisnya, sehingga dapat dilakukan inferensi. Konsistensi merupakan salah satu sifat asimtotis dari barisan estimator. Sedangkan normalitas asimtotik bertujuan untuk melihat konvergensi distribusinya berdistribusi normal atau tidak. Pada penelitian ini, akan dibahas konsistensi dan normalitas asimtotik dari estimator martingale pada model epidemi. 1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan uraian latar belakang diperoleh rumusan masalah sebagai berikut: 1. Bagaimana hasil estimasi parameter dengan estimator martingale pada model epidemi? 2. Bagaimana konsistensi dan normalitas asimtotik dari estimator martingale pada model epidemi?
3 3. Bagaimana hasil estimasi parameter laju penularan dan laju kesembuhan dengan estimator martingale pada model epidemi SIR? 4. Bagaimana normalitas asimtotik dari estimator martingale pada model epidemi SIR? 5. Bagaimana simulasi data untuk menunjukan konsistensi dan normalitas asimtotik dari estimator martingale pada model epidemi SIR? 1.3 Tujuan dan Manfaat Penelitian Berdasarkan rumusan masalah di atas, tujuan dari penulisan ini adalah: 1. Mengetahui estimasi parameter pada model epidemi dengan estimator martingale 2. Mengetahui konsistensi dan normalitas asimtotik dari estimator martingale pada model epidemi. 3. Mengetahui estimasi parameter laju penularan dan laju kesembuhan dengan estimator martingale pada model epidemi SIR 4. Mengetahui normalitas asimtotik dari estimator martingale pada model epidemi SIR 5. Mengetahui simulasi data untuk menunjukan konsistensi dan normalitas asimtotik dari estimator martingale pada model epidemi SIR. Adapun manfaat yang diharapkan dari penulisan ini adalah: 1. Secara umum, diharapkan dapat memberikan sumbangan terhadap perkembangan ilmu pengetahuan, menambah wawasan pengetahuan dan memperkaya literatur dalam bidang statistika mengenai estimasi parameter pada model epidemi dengan estimator martingale. 2. Secara khusus, diharapkan dapat mengetahui konsistensi dan normalitas asimtotik dari estimator martingale pada model epidemi.
4 1.4 Tinjauan Pustaka Literatur utama yang menjadi acuan dalam penelitian ini adalah artikel yang ditulis oleh Fierro (2012) yang berjudul Asymptotic Distribution of Martingale Estimators for a Class of Epidemics Models. Jurnal ini membahas tentang distribusi asimtotis yaitu konsistensi dan normalitas asimtotik dari estimator martingale pada model epidemi. Selain menggunakan jurnal, penelitian ini juga menggunakan beberapa buku sebagai acuan. Buku-buku yang digunakan antara lain buku berjudul Real Analysis and Probability yang ditulis Ash (1972), Introduction to Probability Model (10th Edition) karya Ross (2010), dan Real Analysis Fourth Edition karya Royden dan Fitzpatrick (2010) yang merupakan rujukan dalam definisi dan teorema yang digunakan dalam penelitian ini. Definisi dan konsep-konsep dasar dari penelitian ini diperoleh dari rujukan berupa buku teks. Beberapa buku yang digunakan yaitu Statistika Matematika yang ditulis oleh Subanar (2013), Statistical Inference karya Casella dan Berger (1990), dan Introduction to Probability and Mathematical Statistics yang ditulis oleh Bain dan Engelhardt (1992). 1.5 Metodologi Penelitian Metode yang dilakukan dalam penelitian ini adalah studi literatur dan simulasi data. Sumber literatur diperoleh dari buku dan jurnal yang terkait dengan tema penelitian yaitu konsistensi dan normalitas asimtotik dari estimator martingale pada model epidemi. Selanjutnya dilakukan estimasi parameter, ditunjukkan konsistensi dan normalitas asimtotisnya dari teorema dan preposisi. Setelah itu dilakukan simulasi untuk menunjukan konsistensi dan normalitas asimtotik estimator martingale tersebut. Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini sebagai berikut: i. Mempelajari konsep model epidemi, konsistensi, normalitas asimtotik, dan martingale.
5 ii. Mempelajari estimasi parameter pada model epidemi dengan estimator martingale. iii. Mempelajari teorema yang berhubungan dengan konsistensi dan normalitas asimtotik dari estimator martingale pada model epidemi dan membuktikannya. iv. Mempelajari estimasi parameter pada model epidemic SIR yaitu parameter laju penularan dan laju kesembuhan dengan estimator martingale. v. Mempelajari normalitas asimtotik dari estimator martingale pada model epidemi SIR. vi. Melakukan simulasi data untuk menunjukan konsistensi serta normalitas asimtotik dari estimator martingale. 1.6 Sistematika Penulisan Tesis ini disusun dengan sistematika penulisan sebagai berikut: BAB I PENDAHULUAN Bab ini berisi latar belakang, rumusan masalah, tujuan dan manfaat penelitian, tinjauan pustaka, metodologi penelitian dan sistematika penulisan. BAB II LANDASAN TEORI Bab ini membahas tentang teori dasar yang menunjang pembahasan tentang konsistensi dan normalitas asimtotik dari estimator martingale. BAB III PEMBAHASAN Bab III membahas penjelasan mengenai konsistensi dan normalitas asimtotik dari estimator martingale pada model epidemi. BAB IV SIMULASI DATA Bab IV berisi tentang simulasi data untuk menunjukan konsistensi serta normalitas asimtotik dari estimator martingale BAB V PENUTUP Bab ini berisi tentang kesimpulan dan saran yang diperoleh dari hasil penelitian ini.