PENDUGAAN FUNGSI RAGAM PADA PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK FITRIANI IDA MAKHMUDAH

PENDUGAAN FUNGSI RAGAM PADA PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK FITRIANI IDA MAKHMUDAH SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2016

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Pendugaan Fungsi Ragam pada Proses Poisson Periodik Majemuk adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Agustus 2016 Fitriani Ida Makhmudah NIM G551150426

RINGKASAN FITRIANI IDA MAKHMUDAH. Pendugaan Fungsi Ragam pada Proses Poisson Periodik Majemuk. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan HADI SUMARNO. Proses stokastik mempunyai peranan penting dalam memodelkan berbagai fenomena nyata. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik adalah proses Poisson majemuk. Banyak fenomena dalam berbagai bidang yang telah dimodelkan sebagai suatu proses Poisson majemuk, antara lain fenomena di bidang asuransi dan keuangan, fisika, dan demografi. Pengembangan model proses Poisson majemuk dapat dilakukan dengan memperumum proses Poisson yang digunakan. Salah satunya adalah dengan menggunakan proses Poisson periodik, sehingga modelnya menjadi proses Poisson periodik majemuk. Ada tiga tujuan dalam penelitian ini, yaitu: (1) merumuskan penduga bagi fungsi ragam pada proses Poisson periodik majemuk, (2) menganalisis kekonsistenan penduga, dan (3) menganalisis bias, ragam, dan mean squared error (MSE) penduga. Misalkan * + adalah suatu proses Poisson takhomogen dengan fungsi intensitas yang terintegralkan lokal dan tidak diketahui. Fungsi intensitas diasumsikan berupa fungsi periodik dengan periode (diketahui). Fungsi intensitas tidak diasumsikan memiliki bentuk parametrik apapun kecuali berupa fungsi periodik, yaitu memenuhi persamaan untuk setiap dan n, dengan n adalah himpunan bilangan asli. Misalkan * + adalah suatu proses Poisson periodik majemuk, yaitu dimana * + adalah barisan peubah acak yang independent and identically distribution (i.i.d) dengan nilai harapan dan ragam, yang juga bebas terhadap proses Poisson periodik * +. Fungsi ragam dari dinotasikan dengan, diberikan oleh dengan, - [ ]. / dan. Misalkan untuk suatu, suatu realisasi tunggal dari suatu proses Poisson periodik * + dengan fungsi intensitas yang diamati pada suatu interval terbatas, - Selanjutnya, untuk setiap titik data pada realisasi, - yang diamati, misalkan titik data ke- (, -) peubah acak yang bersesuaian juga diamati.

dengan Penduga bagi fungsi ragam adalah. / (, -) dan (, -) (, -) (, -) dimana dan, saat (, -) Penduga bagi fungsi ragam dengan rumusan ini merupakan penduga yang konsisten lemah dan kuat, yaitu dan untuk Pendekatan asimtotik untuk bias, ragam, dan MSE penduga berturut-turut adalah [ ] dengan [ ] ( ) ( * dan [ ] ( ) ( * untuk Kata kunci: fungsi intensitas periodik, fungsi ragam, pendugaan konsisten, proses Poisson majemuk

SUMMARY FITRIANI IDA MAKHMUDAH. Estimating the Variance Function of a Compound Cyclic Poisson Process. Supervised by I WAYAN MANGKU and HADI SUMARNO. A stochastic process has an important role in modeling various real phenomena. One special form of the stochastic process is a compound Poisson process. Many phenomena in different fields have been modeled as a compound Poisson process, such as phenomena in the fields of insurance and finance, physics, and demography. A compound Poisson process model can be extended by generalizing the corresponding Poisson process. One of them is using cyclic Poisson process, so that the model becomes a compound cyclic Poisson process. There are three objectives in this research, as follows: (1) to formulate an estimator of the variance function of a compound cyclic Poisson process, (2) to analyze consistency of the estimator, and (3) to analyze the bias, variance, and mean squared error (MSE) of the estimator. Let * + be a cyclic Poisson process with (unknown) locally integrable intensity function. We consider the case when the intensity function has a (known) period. We do not assume any (parametric) form of except that it is periodic, that is, the equality holds for all and n, with n denotes the set of natural numbers. Let * + be a compound cyclic Poisson process, that is with * + is a sequence of independent and identically distributed random variables having mean and variance, which is also independent of the process * +. The variance function of is given by where, - [ ]. / and. Suppose that, for some, a single realization of the process * + though only within a bounded interval, -. Furthermoe, suppose that for each data point in the observed realization, - say -th data point, (, -), its corresponding random variable is also observed. The estimator of the variance function is given by. /

where (, -) and (, -) (, -) (, -) where dan, when (, -) The estimator of the variance function is both weakly and strongly consistent estimator, that is and as Asymptotic approximations to the bias, variance, and MSE of the estimator are given respectively by [ ] where and [ ] ( [ ] ( ) ( * ) ( * as Keywords: compound Poisson process, consistent estimation, cyclic intensity function, variance function

Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2016 Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah: dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan IPB. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini dalam bentuk apapun tanpa izin IPB.

PENDUGAAN FUNGSI RAGAM PADA PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK FITRIANI IDA MAKHMUDAH Tesis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada Program Studi Matematika Terapan SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2016

Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA

PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-nya serta sholawat dan salam kepada Nabi Muhammad SAW sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu, penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar- besarnya kepada : 1 Keluarga tercinta Bapak Muhamad Nadjib, Ibu Supriyati, Mbak Nisa, dan Umar yang selalu memberikan doa, dukungan, semangat, bimbingan, kasih sayang, dan motivasi. 2 Prof Dr Ir I Wayan Mangku, M.Sc selaku dosen Pembimbing I yang telah memberikan ilmu, motivasi, kesabaran, bimbingan, saran, dan bantuannya selama penulisan tesis ini. 3 Dr Ir Hadi Sumarno, MS selaku dosen Pembimbing II yang telah memberikan ilmu, motivasi, kesabaran, bimbingan, dan saran. 4 Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA selaku dosen penguji yang telah memberikan ilmu dan sarannya. 5 Kakak-kakak Matematika Terapan S2 angkatan 9 yang telah memberikan doa, semangat, dan dukungannya. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya Matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya. Bogor, Agustus 2016 Fitriani Ida Makhmudah

DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR vi DAFTAR LAMPIRAN vi PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Kerangka Pikir Penelitian 1 Tujuan Penelitian 3 KEBARUAN PENELITIAN 3 PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK 3 PENDUGAAN FUNGSI RAGAM 4 Perumusan Penduga 4 Kekonsistenan Penduga 5 Bias, Ragam, dan Mean Squared Error (MSE) Penduga 10 SIMPULAN 19 SARAN 20 DAFTAR PUSTAKA 20 LAMPIRAN 22 RIWAYAT HIDUP 26

DAFTAR GAMBAR 1 Kerangka pikir penelitian 2 DAFTAR LAMPIRAN 1 Bukti beberapa persamaan 22 2 Beberapa definisi, lema dan teorema teknis 24

PENDAHULUAN Latar Belakang Proses Poisson majemuk merupakan salah satu bentuk khusus dari proses stokastik yang bermanfaat dalam memodelkan berbagai fenomena nyata yang terjadi. Byrne (1969) menggunakan proses Poisson majemuk pada beberapa masalah fisika. Sedangkan dalam bidang demografi diterapkan oleh Kegler (2007). Bening dan Korolev (2002) juga menerapkan proses Poisson majemuk dalam bidang asuransi dan keuangan. Proses Poisson majemuk dapat dilakukan dengan menggunakan proses Poisson homogen atau tak homogen. Proses Poisson homogen merupakan proses Poisson yang fungsi intensitasnya konstan (tidak bergantung pada waktu). Sedangkan proses Poisson takhomogen fungsi intensitasnya bergantung pada waktu. Jika suatu kejadian memiliki peluang yang lebih besar terjadi pada suatu interval tertentu dibanding dengan interval lainnya, maka proses Poisson homogen tak sesuai untuk digunakan. Sehingga proses Poisson takhomogen yang lebih sesuai untuk digunakan. Penelitian ini mengkaji proses Poisson perodik majemuk dimana proses Poisson periodik ini merupakan salah satu bentuk khusus dari proses Poisson tak homogen. Proses Poisson periodik ini cocok untuk menggambarkan suatu kejadian yang terjadi secara periodik, misalkan proses kedatangan nasabah ke suatu bank dengan periode satu hari. Untuk menduga sebaran dari proses Poisson periodik majemuk tidaklah mudah. Oleh karena itu dilakukan pendugaan terhadap fungsi nilai harapan dan juga ragamnya. Pendugaan fungsi nilai harapan proses Poisson periodik majemuk telah dilakukan pada Ruhiyat (2013) dan pada penelitian ini diduga fungsi ragam pada proses Poisson periodik majemuk. Kerangka Pikir Penelitian Keterbatasan model proses Poisson majemuk akibat dari asumsi bahwa fungsi intesitas merupakan fungsi konstan, menjadikan model tersebut perlu dikembangkan. Pengembangan dapat dilakukan dengan mengganti proses Poisson homogen menjadi proses Poisson periodik, sehingga modelnya menjadi proses Poisson periodik majemuk. Sebaran dari peubah acak Poisson periodik majemuk sulit ditentukan, sehingga salah satu hal yang penting yang dapat diusahakan untuk ditentukan adalah nilai harapan dan ragam dari peubah acak tersebut. Fungsi intensitas dari fenomena yang dimodelkan dengan proses Poisson periodik majemuk umumnya tidak diketahui, sehingga fungsi nilai harapan dan ragamnya juga tidak diketahui. Oleh karena itu, diperlukan pendugaan terhadap fungsi nilai harapan dan juga fungsi ragamnya. Pada Ruhiyat (2013) telah dilakukan pendugaan fungsi nilai harapan dari proses Poisson periodik majemuk. Oleh karena itu pada penelitian ini dilakukan pendugaan bagi fungsi ragamnya. Pendugaan diawali dengan merumuskan penduga bagi fungsi ragam. Suatu penduga merupakan penduga yang tidak baik apabila tidak dapat mendekati nilai yang diduganya ketika banyaknya sampel yang digunakan membesar. Oleh karena itu, penduga yang diperoleh harus dianalisis kekonsistenannya.

2 Keterbatasan Model Proses Poisson Majemuk Pengembangan Model Proses Poisson Majemuk Keperiodikan Fungsi Intensitas Model Proses Poisson Periodik Majemuk Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik Majemuk Fungsi Ragam pada Proses Poisson Periodik Majemuk Pendugaan Komponen Fungsi Ragam Penjabaran Fungsi Ragam Perumusan Penduga Fungsi Ragam Kekonsistenan Penduga Bias, Ragam, dan Mean Squared Error (MSE) Kekonsistenan Lemah Kekonsistenan Kuat Gambar 1. Kerangka pikir penelitian

Kekonsistenan yang dianalisis ada dua, yaitu kekonsistenan lemah dan kuat. Selain itu, dilakukan analisis terhadap bias, ragam, dan mean squared error (MSE) dari penduga. Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah sebagai berikut: 1 merumuskan penduga bagi fungsi ragam pada proses Poisson periodik majemuk, 2 menganalisis kekonsistenan penduga, dan 3 menganalisis bias, ragam, dan mean squared error (MSE) penduga. KEBARUAN PENELITIAN Semua teorema dan bukti yang dihasilkan pada penelitian ini merupakan kebaruan penelitian. PROSES POISSON PERIODIK MAJEMUK Misalkan * + adalah suatu proses Poisson takhomogen dengan fungsi intensitas yang terintegralkan lokal dan tidak diketahui. Fungsi intensitas diasumsikan berupa fungsi periodik dengan periode (diketahui). Fungsi intensitas tidak diasumsikan memiliki bentuk parametrik apapun kecuali berupa fungsi periodik, yaitu memenuhi persamaan (1) untuk setiap dan n, dengan n menyatakan himpunan bilangan asli. Proses * + dengan fungsi intensitas yang demikian disebut dengan proses Poisson periodik. Misalkan * + adalah suatu proses dengan (2) dimana * + adalah barisan peubah acak yang independent and identically distribution (i.i.d) dengan nilai harapan dan ragam, yang juga bebas terhadap proses Poisson periodik * +. Proses * + disebut dengan proses Poisson periodik majemuk. Fungsi nilai harapan dari dinotasikan dengan, diberikan oleh, -, -, (3) dengan (4) Bukti persamaan (3) dapat dilihat pada Ruhiyat (2013). Misalkan [ ] Fungsi ragam dari dapat dinotasikan dengan, diberikan oleh =, - [ ] (5) Bukti persamaan (5) dapat dilihat pada Lampiran 1. Misalkan (6) dimana untuk setiap bilangan real, menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari atau sama dengan dan misalkan pula 3

4 maka Misalkan (7). (8) (9) yaitu fungsi intensitas global dari proses * + dan diasumsikan (10) maka untuk setiap,. (11) Bukti persamaan (11) dapat dilihat pada Ruhiyat (2013). Pada Ruhiyat (2013) telah dirumuskan penduga untuk fungsi nilai harapan proses Poisson periodik majemuk yaitu. / (12) dengan (, -) (, -) dan saat (, -) Berdasarkan persamaan (5) dan (11), fungsi ragam dari dituliskan sebagai berikut Fungsi ragam inilah yang diduga dalam tulisan ini. dapat. / (13) PENDUGAAN FUNGSI RAGAM Pendugaan fungsi ragam pada persamaan (13) dilakukan dengan menggunakan realisasi tunggal dari suatu proses Poisson periodik * + dengan fungsi intensitas yang diamati pada suatu interval terbatas, - untuk suatu yang terdefinisi pada suatu ruang peluang (Ω,, P). Selanjutnya, untuk setiap titik data pada realisasi, - yang diamati, misalkan titik data ke- (, -) peubah acak yang bersesuaian juga diamati. Perumusan Penduga Pendugaan fungsi ragam pada persamaan (13) dapat dibagi menjadi tiga pendugaan yaitu pendugaan fungsi intensitas global, pendugaan yang merupakan nilai harapan banyaknya kejadian yang terjadi pada interval, -, dan pendugaan Misalkan Penduga bagi fungsi intensitas global telah dikaji pada Mangku et al (2013) dan rumusannya adalah sebagai berikut: (, -). Penduga ini merupakan rata-rata banyaknya kejadian yang terjadi pada interval [ ] Penduga bagi juga dirumuskan pada Mangku et al {2013) (, -). Penduga ini didapatkan dari rata-rata banyaknya kejadian yang terjadi pada setiap interval waktu, - yang termasuk dalam interval pengamatan

, - Masing-masing interval waktu ini memiliki panjang yang sama yaitu. Selain itu, masing-masing interval waktu tersebut memiliki fungsi intensitas yang sama dengan interval waktu banyaknya kejadian yang diduga. Untuk menduga fungsi ragam pada proses Poisson periodik majemuk dibutuhkan juga penduga bagi. Penduga bagi dirumuskan sebagai berikut (, -), (, -) dimana saat (, -) Dengan menggunakan rumusan penduga yang telah diberikan, penduga bagi fungsi ragam pada proses Poisson periodik majemuk dirumuskan sebagai berikut. / (14) dimana saat (, -) Kekonsistenan Penduga Beberapa lema berikut digunakan dalam mengkaji kekonsistenan penduga bagi fungsi ragam Lema 1 (Mangku et al (2013)) Jika fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal maka [ ] Dengan kata lain merupakan penduga tak bias bagi. Bukti: Nilai harapan dapat dihitung seperti berikut: [ ] * (, -)+ 5, (, -)- Bukti lengkap. Dalam tulisan ini, untuk setiap barisan peubah acak dan dalam suatu ruang peluang (Ω,, P), menyatakan konvergen lengkap ke, untuk Barisan peubah acak disebut konvergen lengkap ke jika untuk setiap (Grimmett and Stirzaker 1992). ( )

6 Lema 2 (Kekonvergenan lemah dan lengkap bagi ) Jika fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka (15) dan (16) untuk. Bukti: Karena berlakunya (16) mengakibatkan berlakunya (15), maka cukup dibuktikan (16) saja. Untuk membuktikan (16), harus diperiksa bahwa untuk setiap Sekarang lihat bahwa ( ) ( ) ( (, -) ( (, -),, (, -) ( (, -)* (, ( (, -) ( (, -),, Misalkan (, -) Sehingga, ( ) (, - ) (, - (, -) (, -) + *, -[ (, -) ] + *, - + *, - + * + * + Misalkan, sehingga

7. / ( * Jadi, berdasarkan uji banding dan uji integral diperoleh Bukti lengkap. ( ) Lema 3 (Mangku et al (2013)) Jika fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka [ ] Dengan kata lain, merupakan penduga tak bias bagi Bukti: Nilai harapan dapat dihitung seperti berikut: [ ] * (, -)+ Bukti lengkap. Lema 4 (Kekonvergenan lemah dan lengkap bagi ) Jika fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka (18) dan (19) untuk. Bukti: Sama seperti pada bukti Lema 2, karena berlakunya (19) mengakibatkan berlakunya (18), maka cukup dibuktikan (19) saja. Untuk membuktikan (19) harus ditunjukkan bahwa untuk setiap Sekarang lihat bahwa ( [ ] ) ( ) ( (, -) ( (, -),,

8 (, -) ( (, -)* (, ( (, -) ( (, -),, Misalkan (, -) Sehingga ( [ ] ) (, - ), - ( + (, -) (, -) *, -[ (, -) ] + *, - + *, - + * + Misalkan maka * ( ) +. / ( * Jadi, berdasarkan uji banding dan uji integral diperoleh Bukti lengkap. ( ) Lema 5 Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal. Jika kondisi (10) dipenuhi, maka dengan peluang 1 (, -) (21) untuk Bukti: Nilai harapan dari (, -) dapat dihitung sebagai berikut: ( (, -))

9 ( ) ( ) Karena fungsi intensitas terintegralkan lokal dan, untuk maka untuk Jadi, ( (, -)) untuk. Kemudian, dengan Lema Borel-Cantelli, diperoleh persamaan (21). Bukti lengkap. Kekonsistenan penduga fungsi ragam disajikan dalam dua teorema berikut. Teorema 1 (Kekonsistenan lemah) Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal. Jika memenuhi persamaan (2), maka (22) untuk Jadi, merupakan penduga konsisten lemah bagi. Bukti: Perhatikan kembali persamaan (14). Dengan menerapkan Lema L.2 untuk membuktikan (22), cukup diperiksa bahwa (23) dan (24) (25) untuk. Dengan Lema 2 diperoleh (23) dan dengan Lema 4 diperoleh (24). Perlu diketahui jika * + adalah barisan peubah acak tak negatif yang independent and identically distribution (i.i.d) dengan nilai harapan dan ragam, maka { } juga merupakan barisan peubah acak yang

10 independent and identically distribution (i.i.d) dengan nilai harapan dan ragam Dengan Lema 5 serta Teorema L.2 (hukum lemah bilangan besar) diperoleh (25). Bukti Lengkap. Teorema 2 (Kekonsistenan Kuat) Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal. Jika memenuhi persamaan (2), maka (26) untuk Jadi, merupakan penduga yang konsisten kuat bagi. Bukti: Analog dengan bukti Teorema 1, dengan menerapkan Lema L.3 untuk membuktikan (26), cukup diperiksa bahwa (27) (28) dan (29) untuk Berdasarkan Lema 2,, untuk yaitu untuk setiap, ( ) sehingga dengan Teorema L.1 (Lema Borel-Cantelli), diperoleh ( ) yang merupakan (27). Dengan argument yang sama, berdasarkan Lema 4,, untuk yaitu untuk setiap, ( ) sehingga dengan Teorema L.1 (Lema Borel-Cantelli), diperoleh ( ) yang merupakan (28). Terakhir, berdasarkan Lema 5 serta Teorema L.3 (hukum kuat bilangan besar) diperoleh (29). Bukti Lengkap. Bias, Ragam, dan Mean Squared Error (MSE) Penduga Berikut disajikan hasil analisis terhadap bias, ragam, dan mean squared error (MSE) dari penduga bagi fungsi ragam. Teorema 3 (Pendekatan asimtotik untuk bias) Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal. Jika memenuhi persamaan (2), maka

11 [ ] dengan untuk Bukti: Nilai harapan dari penduga fungsi ragam dapat ditentukan melalui nilai harapan bersyarat berikut: [ ] 0 [ (, -)-]1 [ (, -) ] ( (, -) ) [ (, -) ] ( (, -) ) [ (, -) ] ( (, -) ) Berdasarkan rumusan dari untuk (, -) sedangkan untuk (, -) (, -). / (, -) Sehingga untuk [ (, -) ] [. / ] ( ) ( + ( ) ( [ ]+. / ( * Oleh karena itu,. / [ ]. / ( (, -) ). / ( (, -) ). / ( ( (, -) )). / ( ( ) +

12 Karena. / ( ) ( ) dengan maka [ ]. / ( ) untuk Jadi, [ ] [ ] untuk Bukti lengkap. Perhitungan pendekatan asimtotik untuk ragam dari penduga bagi fungsi ragam memerlukan beberapa hasil berikut. Lema 6 (Mangku et al (2013)) Jika fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka [ ] Bukti: Ragam dari dapat dihitung sebagai berikut: [ ] * (, -)+ * ( (, -))+ * + * + * + Bukti lengkap.

13 Berdasarkan Lema 1 dan Lema 6, diperoleh akibat berikut. Akibat 1 Jika fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka 0 1 Bukti: Momen kedua dari dapat dihitung sebagai berikut: 0 1 [ ] ( [ ]) Bukti lengkap. Lema 7 (Mangku et al (2013)) Jika fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka [ ] Bukti: Ragam dari dapat dihitung sebagai berikut: [ ] * (, -)+ * (, -)+ *, (, -)-+ *, (, -)-+ * + * + * +

14 Bukti lengkap. Berdasarkan Lema 3 dan Lema 7, diperoleh akibat berikut. Akibat 2 Jika fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka [. / ] ( ) Bukti: Momen kedua dari dapat dihitung sebagai berikut: Bukti lengkap. [. / ], - (, -) ( ) Lema 8 (Mangku et al (2013)) Jika fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal, maka [ ] Bukti: Misalkan (, -) sehingga dapat ditulis sebagai berikut Jadi, dapat kita peroleh Perlu diketahui bahwa dan. / [ ] [. / ] [. / ] [. / ] [ ] saling bebas, sehingga [ ] [. / ] [ ] [ ] Berdasarkan Lema 1, Lema 3, dan Akibat 2 diperoleh [. / ] [ ] [ ] [. / ] ( [ ] [ ]) [ ] [ ] (( ) ) ( )

15 ( ) ( ) Bukti lengkap. Berdasarkan Lema 6, Lema 7, Lema 8, Akibat 1, dan Akibat 2, ragam dari penduga fungsi ragam disajikan pada teorema berikut. Teorema 4 (Pendekatan asimtotik untuk ragam) Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal. Jika memenuhi persamaan (2), maka [ ] ( ) ( * untuk Bukti: Berdasarkan sifat ragam, ragam dari penduga bagi fungsi ragam dapat diperoleh dari rumusan berikut: [ ] [. / ] ( [ ]) (30) Bagian kedua dari ruas kanan persamaan (30) telah diperoleh pada Lema 1, sehingga tersisa bagian pertamanya yang perlu dihitung. Momen kedua dari penduga fungsi ragam dapat ditentukan melalui nilai harapan bersyarat berikut [. / ] * [. / (, -)]+ [. / (, -) ] ( (, -) ) [. / (, -) ] ( (, -) ) [. / (, -) ] ( (, -) ) Berdasarkan rumusan dari untuk (, -), sedangkan untuk (, -) (, -). / (, -) Sehingga untuk [. / (, -) ]

16 [(. / ) ] *(. /* + *( + + Pertama, dihitung *(. /* + [. / ] 0 1 [ ] [. / ] 0 1 [ ] [. / ] ( ) ( ) ( ) Kedua, dihitung *( + + *( + + [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]. [ ] ( [ ]) / Perlu diketahui bahwa [ ] [ ] ( [ ]) Sehingga

17 *( + + ( ) ( * Jadi, diperoleh untuk [. / (, -) ] ( ( * Oleh karena itu, * [. / (, -)]+ ( ) ) ( ( ) ) ( * ( (, -) ) ( ( ) ) [ ( (, -) ) ( (, -) )] Karena, maka ( (, -) ) untuk Terakhir, ( (, -) ) ( * untuk Bukti persamaan (31) dapat dilihat pada Ruhiyat (2013). Jadi diperoleh [. / ] * [. / (, -)]+ ( ( ) ) * ( ) ( ( *)+

18 (0 ( ) 1 * +) * ( ) ( ( *)+. ( ) /. ( ) /. ( ) / ( ( *+ * + * ( *+. ( ) /. ( ) /. ( ) /. ( ) / ( * ( * ( * ( * (. / *. ( ) / ( * ( * ( * ( ) ( ) ( ( * ) ( * untuk. Akhirnya, ragam dari penduga bagi fungsi ragam adalah

19 [ ] ( ) ( ) ( ( * ( ) ) ( * untuk. Bukti lengkap. Berdasarkan Teorema 3 dan Teorema 4, diperoleh MSE dari penduga fungsi ragam seperti berikut. Akibat 3 Misalkan fungsi intensitas memenuhi persamaan (1) dan terintegralkan lokal. Jika memenuhi persamaan (2), maka [ ] ( ) ( * untuk Artinya, MSE konvergen ke nol dengan laju jika Bukti: [ ] [ ] ( [ ]) Berdasarkan Teorema 3 dan Teorema 4, [ ] [ ] ( [ ]) ( ) ( * ( ( ) ) ( * untuk Bukti lengkap. SIMPULAN Rumusan penduga bagi fungsi ragam pada proses Poisson periodik majemuk adalah. / dengan (, -)

20 dan (, -) (, -) (, -) dimana dan, saat (, -) Penduga bagi fungsi ragam dengan rumusan ini merupakan penduga yang konsisten, baik konsisten lemah, maupun konsisten kuat. Pendekatan asimtotik untuk bias, ragam, dan MSE penduga berturut-turut adalah [ ] dengan dan [ ] ( [ ] ( ) ( * ) ( * untuk SARAN Pendugaan fungsi ragam penting dilakukan karena suatu peubah acak selain diketahui nilai harapannya juga perlu diketahui ragamnya agar dapat diketahui error atau kesalahan dari penduga tersebut. Studi lebih lanjut tentang penelitian ini adalah dapat dilakukan pengolahan pada suatu data atau simulasi tertentu sehingga penduga ini dapat diaplikasikan. DAFTAR PUSTAKA Bening VE, Korolev VY. 2002. Generalized Poisson Models and Their Applications in Insurance and Finance. Boston (US): VSP International Science Publishers. Byrne J. 1969. Properties of compound Poisson processes with application in statistical physics. Physica 41:575-587 Capinski M. Kopp E. 2007. Measure, Integral and Probability. Ed ke-2. New York (US): Springer. Dasgupta A. 2011. Probability for Statistics and Machine Learning: Fundamentals and Advanced Topics. New York (US): Springer. Dudley, RM. 1989. Real Analysis and Probability. California: Wadsworth & Brooks. Grimmett, GR, Stirzaker DR. 1992. Probability and Random Processes.Ed. ke-2. Oxford: Clarendon Press.

Hogg RV, McKean JW, Craig AT. 2005. Introduction to Mathematical Statistics. Ed ke-6. New Jersey (US): Prentice Hall. Kegler SR. 2007. Applying the compound Poisson process model to reporting of injury-related mortality rates. Epidemiologic Perspectives & Innovations 4:1-9. Mangku IW, Ruhiyat, and Purnaba IGP. 2013. Statistical Properties of an Estimator for The Mean Function of a Compound Cyclic Poisson Process. Far East J. Math. Sci. (FJMS) 82(2): 227-237. Reiss RD. 1993. A Course on Point Processes. New York (US): Springer-Verlag. Ruhiyat. 2013. Pendugaan Fungsi Nilai Harapan pada Proses Poisson Periodik Majemuk [thesis]. Bogor: Institut Pertanian Bogor. Sokol A, Nielsen AR. 2010. Advanced Probability. Copenhagen (DK): University of Copenhagen. 21

22 Lampiran 1 Bukti beberapa persaman LAMPIRAN Bukti persamaan (5): Berdasarkan persamaan (2), * + Dengan sifat ragam, * + [( ) ] ( * +) Dengan sifat nilai harapan, [( ) ] [(( ),] [ Pertama tentukan terlebih dahulu [(( ),] ] [ ], - [ ] [ ] [ ], -, - sehingga [ [ ] (, -) ] ( ) [ ] 0( ) 1 (, -) [( )] dan diperoleh [( ) ] [(( ),] [ ]

23 Akhirnya, diperoleh 0, - 0( ) 1 (, -) 1, -, - 0( ) 1 (, -), -(, -), - * +, -, - 0( ) 1 (, -), -(, -) [, -, -], -, - (, -) 0 0( ) 1, - (, -) 1, -, - (, -) 0 0( ) 1 (, - (, -) )1, - [ ] (, -) [(, - (, -) ) (, - (, -) )], -, - (, -) [(, - (, -) ) (, - (, -) )], -, - Dengan menggunakan kembali asumsi kebebasan antara barisan peubah acak { } dengan proses * +,, -, - [ ] Bukti lengkap.

24 Lampiran 2 Beberapa definisi, lema, dan teorema teknis Definisi D.1 (Kekonvergenan dalam Peluang) Misalkan adalah barisan peubah acak pada suatu ruang peluang (Ω,, P). Barisan peubah acak dikatakan konvergen dalam peluang ke peubah acak X, dinotasikan, jika untuk setiap berlaku P( ), untuk (Grimmet and Stirzaker 1992). Definisi D.2 (Kekonvergenan almost surely (a.s)) Misalkan adalah peubah acak yang terdefinisi pada suatu ruang peluang (Ω,, P). Suatu barisan peubah acak * + dikatakan konvergen hampir pasti (almost surely (a.s)) ke peubah acak X, ditulis, jika * + adalah kejadian dengan peluang satu (Grimmett and Stirzaker 1992). Definisi D.3 (Fungsi Terintegralkan Lokal) Fungsi intensitas λ disebut terintegralkan lokal, jika untuk sembarang himpunan Borel terbatas B diperoleh (Dudley 1989). Lema L.1 Jika adalah peubah acak Poisson dengan, -, maka untuk setiap, berlaku (, - + { } (, -) (, -) Bukti dapat dilihat pada Reiss (1993). Lema L.2 Jika dan maka dan Bukti dapat dilihat pada Hogg et al, (2005) Lema L.3 Jika dan maka dan Bukti dapat dilihat pada Sokol dan Nielsen (2010). Teorema L.1 (Lema Borel-Cantelli) Misalkan * + adalah barisan kejadian pada ruang contoh. Jika

25 maka ( + Jika * + adalah barisan kejadian yang saling bebas dan maka ( + Bukti dapat dilihat pada DasGupta (2011). Teorema L.2 (Hukum lemah bilangan besar) Jika * + adalah peubah acak i.i.d. dengan nilai harapan dan ragam, maka untuk. Bukti dapat dilihat pada Capinski dan Kopp (2007). Teorema L.3 (Hukum kuat bilangan besar) Jika * + adalah peubah acak i.i.d. dengan nilai harapan dan ragam, maka untuk. Bukti dapat dilihat pada Capinski dan Kopp (2007).

26 RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Bekasi pada tanggal 11 Januari 1993 sebagai anak kedua dari pasangan Muhamad Nadjib dan Supriyati. Tahun 2011 penulis lulus dari SMAN 10 Bekasi dan pada tahun yang sama penulis lulus seleksi masuk Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi Nasional Masuk Perguruan Tinggi (SNMPTN) Undangan dan diterima di Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Pada Tahun 2015 penulis lulus sebagai sarjana sains dari Departemen Matematika dan pada tahun yang sama diterima di program studi S2 Matematika Terapan, Sekolah Pascasarjana, Institut Pertanian Bogor Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten mata kuliah Kalkulus 2 pada semester ganjil dan genap tahun ajaran 2013/2014, asisten mata kuliah Pemodelan Matematika pada semester genap tahun ajaran 2014/2015, asisten mata kuliah Analisis Model Empirik pada semester ganjil tahun ajaran 2015/2016, asisten mata kuliah Matematika Ekonomi pada semester genap tahun ajaran 2015/2016 dan menjadi pengajar Pengantar Matematika, Landasan Matematika, dan Kalkulus TPB di Bimbingan Belajar Katalis. Penulis pernah mendapatkan beasiswa Bidik Misi pada tahun 2011-2015. Penulis juga aktif pada organisasi kemahasiswaan, antara lain Bendahara Divisi Keilmuan Himpunan Profesi Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) FMIPA IPB pada periode tahun 2012/2013 dan staf Divisi Keilmuan Himpunan Profesi Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) FMIPA IPB periode 2013/2014. Selain itu, penulis juga terlibat dalam beberapa kegiatan kepanitiaan, antara lain Panitia Math Camp Divisi Pendidikan tahun 2012 dan 2013, Panitia Welcome Ceremony Mathematics (WCM) sebagai Komisi Disiplin (KOMDIS) tahun 2013, Panitia IPB s Mathematics Challenge (IMC) Divisi Tim Khusus tahun 2013, Panitia Matematika Ria sebagai Bendahara tahun 2013, dan Panitia Matematika Ria sebagai Ketua Divisi Dana Usaha tahun 2014. Penulis juga pernah menjadi wakil dari IPB untuk mengikuti Olimpiade Sains Nasional bidang Matematika (ON-MIPA) di tingkat regional/wilayah III pada tahun 2014.