PELUANG Bab 11 1. Faktorial Faktorial adalah perkalian bilangan asli berurutan Hasil perkalian dari n bilangan asli pertama yang terurut dikatakan sebagai n faktorial (n!) n! n( n 1)( n 2)...3.2.1 5! = 5. 4. 3. 2. 1 = 2. Permutasi Jika ada n unsur yang berbeda diambil n unsur, maka banyaknya susunan (permutasi) yang berbeda dari n unsur tersebut adalah sebanyak P(n,n) = n! Susunan berurutan dari semua atau sebagian anggota himpunan itu diperhatikan urutannya. Banyak permutasi r unsur yang diambil dari n buah unsur yang berbeda adalah : n! P ( n, r ) P untuk r n n r ( n r)! Berapa banyak bilangan yang terdiri dari 4 angka dapat dibentuk dari angka-angka : 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 n = 7 ; k = 4 7! 7! P 7 4 (7 4)! 3! = 840 Dari 6 orang calon akan dipilih 3 orang menjadi ketua, sekretaris dan bendahara. Berapa cara susunan dapat terjadi? Peristiwa pemilihan diatas adalah suatu permutasi dari 6 unsur yang berbeda diambil 3 unsur yaitu : P 6 3 6! ( 6 3)! 6.5.4.3.2.1 3.2.1 Permutasi dengan beberapa elemen yang sama: Dari n obyek terdapat n, n,... jenis elemen yang sama maka banyak permutasi : 1 2 P 1 2 n! n! n!... n! k Berapa banyak kata yang terdiri dari 10 huruf dapat dibentuk dari kata MATEMATIKA? n = 10 k = 2 ( jumlah huruf M sejenis ) l = 3 ( jumlah huruf A sejenis ) m = 2 ( jumlah huruf T sejenis ) P 10 2!.3!.2! 150 Permutasi siklis (melingkar) untuk n obyek : P ( n i )! Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 54
3. Kombinasi Kombinasi r elemen yang diambil dari n elemen yang berbeda tanpa mengindahkan urutannya: n! C n r ( n r )! r! Seorang petani membeli 4 sapi, 3 kuda dan 2 kambing dari seorang yang memiliki 6 sapi, 7 kuda dan 10 kambing. Dengan berapa banyak cara petani itu dapat memilih hewan itu? 6! Memilih sapi dengan 6 k 4 15 cara 4!(6 4)! 7! Memilih kuda dengan 7 k 3 35 cara 3!(7 3)! 10! Memilih kambing dengan 10 k 2 45 cara 2!(10 2)! Maka petani dapat memilih hewan dengan : 15 x 35 x 45 = 23625 cara 4. Ekspansi Binomial Rumus Binomium Newton : ( aplikasi polinomial ) n n n r r n r r 0 ( a b) c a b Pakai segitiga pascal sebagai pola bilangan. Cari kofisien suku ke-7 pada n=9, a=4x, b=- y 3,r=6 Suku ke-7 : 9 6 3 9 (4 x y ) 9! c (4 x) ( y ) 64 x y 5376 x y 6!3! 9 6 3 6 3 18 3 18 Jadi, koefisien suku ke-7 adalah : 5376 5. Probabilitas ( peluang suatu kejadian ) n( E) P( E) n( S) N(E) = banyak anggota E (suatu kejadian ) N(S) = banyak anggota S ( sampel ) Terdapat 10 kartu yang diberi nomor 1 sampai 19. Jika diambil 2 kartu secara acak dari kartu itu, berapa peluang terambil2 kartu dengan nomor bilangan prima? 10! Dua kartu diambil dari 10 kartu maka 10 K 2 45 cara 2!(10 2)! 4! Dua kartu diambil dengan nmor prima maka 4 K 2 6 cara 2!(4 2)! Jadi peluang terambil 2 kartu dengan nomor bil. Prima adalah : P(prima) = 6 3 45 15 cara Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 55
6. Frekwensi harapan Suatu dadu dilempar 24 kali berturut-turut, maka frekwensi harapan munculnya mata 5 adalah : 1 24 4 6 7. Kejadian lepas Dua kejadian yang tak dapat terjadi pada saat yang bersamaan P( A B) P( A) P( B) P( A B ) A dan B suatu kejadian epas maka n( A B) 0 atau P( A B ) 0 Jadi P( A B) P( A) P( B ) Terdapat 11 kartu yang diberi nomor 1 sampai 11. Bila diambil satu kartu secatra acak, berapa peluang terambil kartu dengan nomor bilangan prima atau kartu dengan nomor bilangan ganjil? A = {2,3,5,7,11} n( A ) 5 ( prima ) B = {1,3,5,7,9,11} n( B ) 6 (ganjil ) A B {3, 5, 7,11} n( A B ) 4 ( tidak lepas ) P( A B) P( A) P( B) P( A B ) = 5 6 4 7 11 11 11 11 8. Kejadian bebas Suatu kejadian yang satu dengan yang lain saling tidak saling mempengaruhi P( A B) P( A) P( B ) Sekeping mata uang dan sebuah dadu dilempar satu kali. Berapa peluang munculnya angka pada mata uang dan mata 3 pada dadu? 1 1 1 P ( A B ) x 2 6 12 Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 56
SOAL LATIHAN : 1. Ada 3 perusahaan bus yang menghubungkan kota P dan kota Q; dan 2 perusahaan bus yang menghubungkan kota Q dan kota R. Dengan berapa cara seseorang dapat bepergian dari kota P ke kota Q? a. 1 b. 3 c. 4 d. 6 e. 7 2. Suatu kelas hendak memilih ketua kelas, sekretaris, dan bendahara. Bila banyaknya anggota kelas tersebut 25 orang, berapa cara pengurus kelas itu dapat dibentuk? a. 13.000 b. 13.400 c. 13.800 d. 14.200 e. 14.600 3. Berapa banyak kata yang dapat disusun dari kata INTAN a. 10 b. 15 c. 30 d. 60 e. 4. Salam suatu ruangan terdapat 24 orang. Setiap orang saling bersalaman. Berapa banyak salaman yang dilakukan seluruhnya? a. 250 b. 256 c. 260 d. 270 e. 276 5. Diberikan lima angka 1, 2, 3, 4, 5. Banyaknya bilangan cacah berlainan terdiri dari atas tiga angka dari anga-angka tersebut adalah... a. 25 b. 30 c. 60 d. 125 e. 150 6. Suatu panitia akan dibentuk terdiri dari 3 pria dan 4 wanita. Jika yang akan dipilih berasal dari 8 pria dan 6 wanita, maka banyaknya cara kepanitiaan yang dapat dibentuk adalah... a. 800 b. 820 c. 840 d. 860 e. 880 7. Dalam suatu kotak terdapat 11 bola, 5 warna merah, 4 warna putih dan 2 warna biru. Jika diambil 3 bola secara acak dari kotak itu maka peluang terambilnya 3 bola merah adalah... a. 1 33 b. 2 33 c. 1 11 d. 33 e. 66 8. Dari 100 mahasiswa terdaftar 45 orang mengikuti kuliah bahasa Indonesia, 50 orang mengikuti kuliah sejarah, dan 25 orang orang mengikuti kedua mata kuliah itu. Dipanggil seorang diantara 100 mahasiswa itu. Berapakah peluang agar mahasiswa yang terpanggil itu tidak mengikuti kuliah bahasa Indonesia maupun sejarah. a. 0,10 b. 0,15 c. 0,20 d. 0,25 e. 0,30 9. Peluang siswa A dan B lulus SPMB berturut-turut adalah 0,98 dan 0,95. Peluang siswa A lulus SPMB dan B tidak lulus adalah... a. 0,019 b. 0,049 c. 0,074 d. 0,935 e. 0,978 10. Dalam sebuah kotak berisi 7 kelereng merah dan 5 kelereng putih. Dari kotak itu diambil 3 kelereng sekaligus secara acak. Peluang terambil sekurang-kurangnya 1 kelereng putih adalah... a. 7 b. 10 c. 34 d. 35 e. 37 11. Dari 7 orang pria dan 5 wanita akan dipilih 4 orang yang terdiri dari 3 pria dan seorang wanita. Peluang terpilihnya 4 orang tersebut adalah... a. 6 198 b. 8 99 c. 35 396 d. 35 99 e. 37 99 12. Pengurus suatu organisasi yang terdiri dari ketua, wakil ketua dan sekretaris dipilih dari 7 orang calon. Banyaknya cara yang mungkin untuk memilih pengurus organisasi itu dengan tidak ada jabatan rangkap adalah... a. 7 b. 10 c. 21 d. 35 e. 210 13. Sebuah kantong berisi 4 bola merah dan 5 bola putih. Jika dua bola diambil dari dalam kantong satu persatu tanpa pengembalian, peluang terambilnya kedua bola berwarna merah adalah... a. 1 27 b. 1 72 c. 1 16 d. 1 12 14. Dalam suatu kotak I tersapat 4 bola merah dan 3 bola putih, sedangkan dalam kotak ke II terdapat 7 bola merah dan 2 bola hitam. Dari setiap kotak diambil satu bola secara acak. Peluang terambilnya bola putih dari kotak I dan bola hitam dari kotak II adalah... e. 1 6 Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 57
a. 28 b. 21 c. 8 d. 6 15. Peluang dua siswa A dan B lulus tes berturut-turut adalah 9 A llus tetapi B tidak lulus adalah... a. 9 b. 11 c. 22 d. 99 10 e. 5 11 dan > Peluang siswa 12 e. 109 Come to the water, stand by my side I know you are thristy, you won t be denied Materi pokok : Kaidah Perkalian, Permutasi, dan kombinasi 1. 10 orang finalis suatu lomba kecantikan akan dipilih secara acak 3 yang terbaik. Banyak cara pemilihan tersebut ada cara. a. 70 b.80 c. d.360 e.720 2. Banyaknya bilangan antara 2000 dan 6000 yang dapat disusun dari angka 0,1,2,3,4,5,6,7, dan tidak ada angka yang sama adalah. a. 1680 b.1470 c.1260 d.1050 e.840 3. Dari kota A ke kota B dilayani oleh 4 bus dan dari B ke C oleh 3 bus. Seseorang berangkat dari kota A ke kota C melalui B kemudian kembali lagi ke A juga melalui B. Jika saat kembali dari C ke A, ia tidak mau menggunakan bus yang sama, maka banyak cara perjalanan orang tersebut adalah. a. 12 b.36 c.72 d.96 e.1 4. Banyak garis yang dapat dibuat dari 8 titik yang tersedia, dengan tidak ada 3 titik yang segaris adalah. a. 336 b.168 c.56 d.28 e.16 Materi pokok : Peluang dan Kejadian Majemuk 5. Dalam kantong I terdapat 5 kelereng merah dan 3 kelereng putih, dalam kantong II terdapat 4 kelereng merah dan 6 kelereng hitam. Dari setiap kantong diambil satu kelereng secara acak. Peluang terambilnya kelereng putih dari kantong I dan kelereng hitam dari kantong II adalah. a. 39 / 40 b. 9 / 13 c. 1 / 2 d. 9 / 20 e. 9 / 40 6. A,B,C, dan D akan berfoto secara berdampingan. Peluang A dan B selalu berdampingan adalah. a. 1 / 12 b. 1 / 6 c. 1 / 3 d. 1 / 2 e. 2 / 3 7. Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 4 bola biru, dan 3 bola kuning. Dari dalam kotak diambil 3 bola sekaligus secara acak, peluang terambil 2 bola merah dan 1 bola biru adalah. a. 1 / 10 b. 5 / 36 c. 1 / 6 d. 2 / 11 e. 4 / 11 8. Dalam suatu populasi keluarga dengan tiga orang anak, peluang keluarga tersebut mempunyai paling sedikit dua anak laki laki adalah. a. 1 /8 b. 1 /3 c. 3 /8 d. 1 /2 e. 3 /4 9. Dua buah dadu dilempar bersama sama. Peluang munculnya jumlah mata dadu 9 atau 10 adalah. a. 5 /36 b. 7 /36 c. 8 /36 d. 9 /36 e. 11 /36 Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 58
10. Sebuah dompet berisi uang logam, 5 keping lima ratusan dan 2 keping ratusan rupiah. Dompet yag lain berisi uang logam 1 keping lima ratusan dan 3 keping ratusan rupiah. Jika sebuah uang logam diambil secara acak dari salah satu dompet, peluang untuk mendapatkan uang logam ratusan rupiah adalah. a. 3 /56 b. 6 /28 c. 8 /28 d. 29 /56 e. 30 /56 11. Suatu kelas terdiri dari 40 orang. Peluang seorang siswa lulus tes matematika adalah 0,4. Peluang seorang siswa lulus fisika adalah 0,2. Banyaknya siswa yang lulus tes matematika atau fisika adalah orang. a. 6 b.7 c.14 d.24 e.32 12. Kotak I berisi 3 bola merah dan 2 bola putih, Kotak II berisi 3 bola hijau dan 5 bola biru. Dari masing masing kotak diambil 2 bola sekaligus secara acak. Peluang terambilnya 2 bola merah dari kotak I dan 2 bola biru dari kotak II adalah. a. 1 /10 b. 3 /28 c. 4 /15 d. 3 /8 e. 57 /110 13. Suatu kelas terdiri dari 40 siswa. 25 siswa gemar matematika, 21 siswa gemar IPA, dan 9 siswa gemar matematika dan IPA. Peluang seorang tidak gemar matematika maupun IPA adalah. a. 25 /40 b. 12 /40 c. 9 /40 d. 4 /40 e. 3 /40 Kunci Jawaban Peluang 1C 2E 3C 4D 5E 6D 7D 8D 9B 10B 11D 12B 13E Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 59
1. 10 orang finalis suatu lomba kecantikan akan dipilih secara acak 3 yang terbaik. Banyak cara pemilihan tersebut ada cara. a. 70 b.80 c. d.360 e.720 2. Banyaknya bilangan antara 2000 dan 6000 yang dapat disusun dari angka 0,1,2,3,4,5,6,7, dan tidak ada angka yang sama adalah. b. 1680 b.1470 c.1260 d. 1050 e.840 3. Dari kota A ke kota B dilayani oleh 4 bus dan dari B ke C oleh 3 bus. Seseorang berangkat dari kota A ke kota C melalui B kemudian kembali lagi ke A juga melalui B. Jika saat kembali dari C ke A, ia tidak mau menggunakan bus yang sama, maka banyak cara perjalanan orang tersebut adalah. a. 12 b.36 c.72 d.96 e.1 4. Banyak garis yang dapat dibuat dari 8 titik yang tersedia, dengan tidak ada 3 titik yang segaris adalah. a. 336 b. 168 c. 56 d. 28 e. 16 5. Dalam kantong I terdapat 5 kelereng merah dan 3 kelereng putih, dalam kantong II terdapat 4 kelereng merah dan 6 kelereng hitam. Dari setiap kantong diambil satu kelereng secara acak. Peluang terambilnya kelereng putih dari kantong I dan kelereng hitam dari kantong II adalah. a. 39 / 9 40 b. / 1 13 c. / 2 d. 9 / 9 20 e. / 40 6. A,B,C, dan D akan berfoto secara berdampingan. Peluang A dan B selalu berdampingan adalah. a. 1 / 1 12 b. / 1 6 c. / 1 3 d. / 2 2 e. / 3 7. Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 4 bola biru, dan 3 bola kuning. Dari dalam kotak diambil 3 bola sekaligus secara acak, peluang terambil 2 bola merah dan 1 bola biru adalah. a. 1 / 10 b. 5 / 36 c. 1 / 6 d. 2 / 11 e. 4 / 11 16. Dalam suatu populasi keluarga dengan tiga orang anak, peluang keluarga tersebut mempunyai paling sedikit dua anak laki laki adalah. a. 1 / 8 b. 1 / 3 c. 3 / 8 d. ½ e. 3 / 4 17. buah dadu dilempar bersama sama. Peluang munculnya jumlah mata dadu 9 atau 10 adalah. a. 5 / 36 b.7 / 36 c.8 / 36 d.9 / 36 e.1 / 36 18. Sebuah dompet berisi uang logam, 5 keping lima ratusan dan 2 keping ratusan rupiah. Dompet yag lain berisi uang logam 1 keping lima ratusan dan 3 keping ratusan rupiah. Jika sebuah uang logam diambil secara acak dari salah satu dompet, peluang untuk mendapatkan uang logam ratusan rupiah adalah. a. 3 / 6 56 b. / 28 c.8 / 29 28 d. / 30 56 e. / 56 19. Suatu kelas terdiri dari 40 orang. Peluang seorang siswa lulus tes matematika adalah 0,4. Peluang seorang siswa lulus fisika adalah 0,2. Banyaknya siswa yang lulus tes matematika atau fisika adalah orang. a. 6 b.7 c.14 d.24 e.32 20. Kotak I berisi 3 bola merah dan 2 bola putih, Kotak II berisi 3 bola hijau dan 5 bola biru. Dari masing masing kotak diambil 2 bola sekaligus secara acak. Peluang terambilnya 2 bola merah dari kotak I dan 2 bola biru dari kotak II adalah. a. 1 / 10 b. 3 / 28 c. 4 / 15 Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 60
d. 3 / 8 e. 57 / 110 Matematika SMA by Drs. Pundjul Prijono 61
45 Mat IPA SMA 6 Malang