* By. Risa Farrid Christianti, S.T.,M.T.
* Fasor tegangan dan arus pada resistor Perhatikan Gabar 1 dibawah ini Gabar 1.a. Dala daerah waktu Gabar 1.b. Dala daerah frekuensi
Kita ulai dari persaaan daerah waktu, lalu buat kedua arus dan tegangan enjadi kuantitas kopleks e jωt, setelah enekan di seluruh persaaan, aka didapatkan hubungan yg diinginkan antara tegangan fasor dan arus fasor. Pada rangkaian R, gabar 1.a, dapat diperoleh persaaan : v(t = Ri(t (1 Sekarang kita pakai tegangan kopleks : V e j( t V cos( t jv sin( t.(2
Untuk arus kopleks : I e j( t I cos( t ji sin( t..(3 Sehingga dari persaaan (2 dan (3 didapatkan : V e aka didapatkan : j( t j( t Persaaan (5 dala bentuk polar, RI e..(4 j t Dengan ebagi seluruh ruas dengan e V e RI e j j V RI..(5. (6
Persaaan (6 hanya erupakan bentuk fasor tegangan uu dan fasor arus uu V dan I, jadi : V = RI.(7 Jadi hubungan tegangan arus di dala bentuk fasor sebuah tahanan epunyai bentuk yang saa seperti hubungan tegangan dan arus daerah waktu. (Lihat Gabar 1.b
Contoh : Jika sebuah tegangan v 8cos(1t 5 elintasi tahanan 4 Oh, aka carilah arus pada daerah waktu dan fasor (frekuensi? jawab : arus (daerah waktu : v( t i( t R 8cos(1t 5 4 Dala bentuk fasor, tegangan enjadi : 2cos(1t Sehingga arus dala bentuk fasor adalah : 8 5 5 V A I R V 8 5 4 2 5 A
Fasor tegangan dan arus pada induktor Perhatikan Gabar 2.a dan 2.b dibawah ini. Gabar 2.a. daerah waktu Gabar 2.b. daerah frekuensi
Kita bisa endapatkan persaaan tegangan untuk Gabar 2.a pada daerah waktu : v( t di( t L dt (8 Subtitusikan persaaan (2 dan (3 pada persaaan (8, sehingga didapatkan : V e j( t d( I L j e dt ( t.(9 Dari hasil turunan persaaan (9, didapat V e jli e j( t j( t (1
Dengan enekan e j t, aka didapatkan : V e j jli e j.(11 Maka didapatkan hubungan fasor yang diinginkan sbb: V jli (12 Untuk sudut dari faktor jl besarnya tepat +9 derajat, jadi dapat disipulkan bahwa arus (I harus tertinggal dari V sebesar 9 derajat dala sebuah induktor.
Contoh soal Jika diberikan sebuah tegangan fasor Volt dengan frekuensi = 1 rad/s kepada sebuah induktor 4H. Maka arus fasornya adalah : jawab : I V jl 5 j.1.4 8 5 8 j,2 5 A arus diatas dala bentuk iajiner, aka bentuk riilnya adalah : I,2 14 A
Jika kita nyatakan arus fasor diatas ke dala ungkapan arus doain waktu, aka : i ( t,2cos(1t 14 A
Fasor tegangan dan arus pada kapasitor Perhatikanlah Gabar 3.a dan 3.b dibawah ini. Gabar 3.a. daerah waktu Gabar 3.b. daerah frekuensi
Pada Gabar 3.a, kita endapatkan persaaan sbb : i( t C dv( t dt (13 Sekali lagi, dengan engabil v(t dan i(t sebagai kuantitas koplek (2 dan (3, dengan engabil turunan yang ditunjukkan, serta enekan e j t,aka persaaan fasor dari I didapatkan sbb: I jcv (14 Jadi, dapat dilihat bahwa arus (I endahului tegangan V sebesar 9 derajat.
Contoh soal Jika sebuah tegangan fasor 8 5 Volt, diberikan pada kapasitor 4 F dan = 1 rad/s, aka arus fasornya adalah Jawab: I I jcv j.1.4.(8 5 49 4.8.(8 5 9 324-5 A Persaaan arus dala doain waktunya adalah : j4(8 5 i( t 32 cos(1t 4 A
Rangkuan hubungan fasor tegangan dan arus pada tahanan, induktor dan kapasitor Koponen Pers. daerah waktu Pers. daerah frekuensi Tahanan v = Ri V = RI Induktor v = L di/dt V = jli Kapasitor i = C dv/dt I = jcv
* Hubungan arus dan tegangan untuk ketiga eleen pasif (R, L, dan C adalah sbb: V RI V jli V I jc Jika ketiga persaaan diatas kita tuliskan kedala perbandingan fasor tegangan dan arus aka: V I R V I j L V I 1 jc
Kita dapatkan bahwa untuk L dan C adalah fungsi sederhana dari harga eleen dan juga frekuensinya. Perbandingan tegangan dan arus adalah yang disebut ipedansi dengan sibol Z. Ipedansi adalah sebuah kuantitas kopleks yang berdiensi oh, ipedansi bukanlah fasor yang bisa ditransforasikan ke daerah waktu.
Contoh : Jika diketahui = 1^4 rad/s, dengan induktor sebesar 5 H yang tersusun seri dengan kapasitor sebesar 1 uf, aka ipedansi total dari rangkaian seri L-C adalah: jawab: Z L Z C Ipedansi seri adalah : jl j5 1 j1 jc Z eq j5 j1 j49
Jika rangkaian L-C di atas di rangkai secara paralel, aka ipedansi ekivalennya adalah: Z eq ( j5( j1 5 j1, 2 j5 j1 j49 Bilangan kopleks atau kuantitas yang enyatakan ipedansi dapat dinyatakan baik dala bentuk polar aupun bentuk rectangular. Dala bentuk polar, isalkan ipedansinya adalah aka artinya bahwa ipedansi ini eiliki agnitudo = 1 dan sudut fase -6. 1 6
Ipedansi yang saa 1 6, bila dinyatakan dala bentuk rectangular, aka 5 j86,6. Ini bisa dikatakan bahwa ipedansi ini epunyai koponen penahan / resistansi sebesar 5 Oh, dan koponen reaktif / reaktansi sebesar -86,6 Koponen penahan/ resistansi adalah bagian riil ipedansi sedangkan koponen reaktif adalah bagian iajiner dari ipedansi.
Secara uu, bentuk ipedansi dala bentuk rectangular adalah : Z = R + jx Sedangkan dala bentuk polar adalah : Z = Z dengan : 2 Z R X tan 1 X R 2
* Aditansi erupakan kebalikan dari ipedansi. Sebagai kebalikan ipedansi, aditansi enawarkan beberapa hal yang eudahkan didala analisis keadaan antap sinusoida dari rangkaian RLC. Kita definisikan aditansi sebagai Y, = Persaaan diatas tidak engatakan bahwa bagian riil aditansi saa dg kebalikan riil ipedansi Y I V Y 1 Z Y 1 Z G jb 1 R jx
Y 1 Z G jb 1 R jx Dengan : G = konduktansi B = suseptansi Satuan Y, G dan B seua dala ho (oh kebalik. Misalkan ipedansi Z = 1 j2 oh dapat dinyatakan dengan tahanan 1 Oh seri dengan kapasitansi,1 uf, jika = 5 Mrad/s. Maka rangkaian tanahan (R seri dengan kapasitansi epunyai aditansi
Y 1 Z 1 1 j2 1 1. 1 j2 1 j2 j2,2 j,4 Aditansi ekivalen sebuah rangkaian pararel adalah julah aditansi dari setiap cabang. Jadi pernyataan aditansi Y =,2 + j,4 itu bisa dinyatakan dengan konduktansi (G,2 pararel dengan suseptansi (B,4. Konduktansi (G,2 bisa didapat dari tahanan 5 Oh. Suseptansi (B,4 bisa didapat dari kapasitor,8 uf pada = 5 Mrad/s. Perlu diingat bahwa Y(kapasitor = jc
R = 1 Oh ; C =,1 uf ; = 5Mrad/s. Maka Z eq Z eq Z eq 1 ZR ZC R jc 1 1 6 6 j.5.1.,1.1 1 j2 Aditansi rangkaian diatas adalah : Y 1 Z eq 1 1 j2 1 Untuk enyelesaikan aditansi diatas, aka jadikan penyebutnya dala bilangan riil yaitu dengan engalikan pebilang dan penyebut dg conjugate penyebutnya j 1,5
Y 1 1. 1 j2 1 j2 j2,2 j,4 Dengan : Konduktansi (G =,2 Suseptansi (B =,4 Aditansi Y =,2 + j,4 bisa didapat dari rangkaian konduktansi (G pararel dengan suseptansi (B Y = Y(resistor + Y(kapasitor Y = G + JB Diana : Y(kapasitor = 1 / Z c = jwc
Sehingga kita endapatkan G =,2 ho dari tahanan resistor R= 5 oh. Kita endapatkan suseptansi B =,4 dari ruus Y(kapasitor = jc = jb Misalkan nilai C =,8 uf dan = 5 Mrad/s, aka dengan nilai ini kita dapat endapatkan B =,4
*