III. HASIL DAN PEMBAHASAN

III. HASIL DAN PEMBAHASAN 3.1 Perumusan Masalah Misalkan adalah proses Poisson nonhomogen pada interval dengan fungsi intensitas yang tidak diketahui. Fungsi intensitas diasumsikan terintegralkan lokal dan merupakan hasil kali dari dua komponen yaitu komponen periodik atau komponen siklik dengan periode (diketahui) dikalikan komponen tren linear. Konstanta merupakan kemiringan dari tren linear dimana Dengan demikian, sebarang titik fungsi intensitas dapat dinyatakan sebagai berikut dengan adalah fungsi periodik dengan periode Persamaan (1) juga dapat ditulis menjadi dengan adalah fungsi periodik. Misalkan maka persamaan (1) dapat ditulis menjadi Karena adalah fungsi periodik dengan periode dan adalah konstanta, maka adalah fungsi periodik dengan periode sehingga persamaan berlaku setiap dan, dengan adalah himpunan bilangan bulat. Berdasarkan persamaan (3), menduga cukup diduga Karena adalah fungsi periodik dengan periode, maka menduga pada cukup diduga nilai pada Pada karya ilmiah ini dipelajari penyusunan penduga konsisten bagi dengan menggunakan realisasi tunggal dari proses Poisson yang diamati pada interval Diasumsikan bahwa adalah titik Lebesque dari, yang secara otomatis berarti bahwa adalah titik Lebesque dari 3.2 Perumusan Penduga Penduga bagi pada titik dapat dirumuskan sebagai berikut dengan menyatakan banyak kejadian pada interval, k merupakan suatu bilangan bulat dan adalah barisan bilangan real positif yang konvergen menuju nol yaitu Pada penduga di atas disebut bandwidth. Penduga pada (5) adalah bentuk khusus dari penduga yang dibahas pada Mangku (2011). Penduga pada (5) menggunakan kernel seragam, sedangkan penduga pada Mangku (2011) menggunakan fungsi kernel umum. Berikut diuraikan ide tentang pembentukan dari penduga bagi. Menurut persamaan (3) dan (4) diperoleh Maka rata-rata nilai yang diduga dengan menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan Dari persamaan (8) diperoleh

8 Untuk melakukan pendekatan terhadap persamaan (9) diperlukan asumsi bahwa s adalah titik Lebesque bagi dan asumsi (6) terpenuhi, sehingga persamaan (9) menjadi Bukti: Berdasarkan definisi MSE (Definisi 22), Teorema 1 merupakan akibat dari dua lema berikut, yaitu Lema 4 mengenai ketakbiasan asimtotik dan Lema 5 mengenai kekonvergenan ragam. Lema 4 (Ketakbiasan asimtotik) asumsi (6) dipenuhi maka asalkan s adalah titik Lebesgue bagi. Dengan kata lain adalah penduga tak bias asimtotik bagi Dengan mengganti dengan yang merupakan padanan stokastiknya, maka dapat diaproksimasi Bukti: Untuk membuktikan persamaan (11) akan diperlihatkan bahwa Untuk menyelesaikan persamaan (12) dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut Karena tidak mengandung indeks k, maka persamaan (13) dapat ditulis menjadi Sehingga diperoleh penduga bagi adalah Nilai harapan pada persamaan (14) dapat diuraikan menjadi seperti pada persamaan (5). Teorema 1 (Kekonvergenan MSE penduga) asumsi (6) dipenuhi dan maka asalkan s adalah titik Lebesgue bagi Kita misalkan : Maka pada persamaan (15) dilakukan pergantian peubah sehingga diperoleh

9 Dengan berpedoman pada persamaan (7), maka persamaan (16) dapat diubah menjadi Suku pertama pada ruas kanan dari persamaan (22) dapat ditulis menjadi Berdasarkan sifat keperiodikan pada persamaan (4), maka persamaan (17) dapat ditulis menjadi Kemudian persamaan (18) disubstitusikan kembali ke persamaan (14) sehingga diperoleh Untuk menunjukkan bahwa suku pertama dari persamaan (23) adalah konvergen ke nol, akan digunakan nilai yang lebih besar, yaitu Lalu unsur yang memiliki indeks k dikelompokkan sehingga diperoleh Berdasarkan asumsi (6) dan dengan asumsi bahwa s adalah titik Lebesgue bagi maka kuantitas pada persamaan (24) konvergen ke nol, jika atau dapat juga ditulis Sedangkan suku kedua persamaan (23) adalah Karena jika maka Dengan menggabungkan hasil yang diperoleh, maka semua Dari persamaan (20), maka persamaan (19) dapat ditulis sebagai Dengan melakukan operasi perkalian pada ruas kanan, maka diperoleh jika Dengan demikian diperoleh bahwa suku pertama pada ruas kanan persamaan (22) adalah

10 Sedangkan suku kedua pada ruas kanan persamaan (22) menjadi Karena ~ Poisson, maka sehingga persamaan (28) menjadi Dengan mensubstitusikan hasil yang diperoleh dari suku pertama dan suku kedua di atas maka diperoleh Dengan demikian Lema 4 terbukti. (29) Dari persamaan (18) sebarang k, kita bisa tuliskan Dengan demikian persamaan (29) dapat ditulis menjadi Lema 5 (Kekonvergenan ragam) asumsi (6) dipenuhi, terbatas di sekitar s dan, maka Bukti : Karena jika maka nilai n yang cukup besar, interval dan tidak tumpang tindih atau tidak overlap. Akibatnya, berdasarkan sifat inkremen bebas dari proses Poisson (Definisi (25), diperoleh bahwa dan adalah peubah acak bebas. Sehingga dapat ditentukan sebagai berikut Dengan mengelompokan unsur yang memiliki indeks k, persamaan (30) dapat ditulis menjadi Perhatikan bahwa, karena maka persamaan (31) menjadi Karena terbatas di sekitar, maka ada konstanta K sehingga semua Maka ruas kanan persamaan (33) tidak melebihi

11 jika Dengan demikian Lema 5 terbukti. Berdasarkan kedua lema tersebut, yaitu (i) Lema 4 (ketakbiasan asimtotik) maka, jika (ii) Lema 5 (kekonvergenan ragam) jika maka definisi MSE (Definisi 22) akan diperoleh, yaitu sebagai berikut Diperlukan asumsi memiliki turunan yang terhingga di s maka ada dan kontinu pada s, mengakibatkan memiliki nilai yang terbatas di sekitar s. Dengan Formula Young (Lema 2), maka diperoleh atau bila diuraikan menjadi Misalkan maka persamaan (36) dapat ditulis menjadi Dengan demikian Teorema 1 terbukti. 3.3 Aproksimasi Asimtotik bagi Bias, Ragam dan MSE Teorema 2 (Aproksimasi asimtotik bagi bias) asumsi (6) dipenuhi, dan memiliki turunan kedua berhingga pada s, maka Sehingga dapat dinyatakan Bukti : Berdasarkan bukti Lema 4 mengenai ketakbiasan asimtotik, maka nilai harapan dari dapat dituliskan sebagai berikut Berdasarkan persamaan (19), maka diperoleh

12 Perhatikan persamaan (32) n. Karena menurut persamaan (20) Maka persamaan (31) menjadi maka persamaan (35) akan menjadi Dari persamaan (33) kita mempunyai Dengan demikian Teorema 2 terbukti. Teorema 3 (Aproksimasi asimtotik bagi ragam) Misalkan fungsi intensitas memenuhi asumsi (6) dipenuhi, terbatas di sekitar s dan maka Bukti: Berdasarkan bukti dari Lema 5 (kekonvergenan ragam), maka ragam dari dapat ditulis seperti pada persamaan (31) Untuk menunjukkan bahwa suku pertama dari persamaan (38) adalah konvergen ke nol, akan digunakan nilai yang lebih besar, yaitu Berdasarkan asumsi (6) dan dengan asumsi bahwa s adalah titik Lebesgue bagi maka kuantitas pada (39) akan menuju nol jika, atau dapat juga ditulis Sedangkan suku kedua persamaan (38) adalah Dengan menggabungkan hasil yang diperoleh, maka

13 Dengan demikian menurut persamaan (25) maka persamaan (33) dapat ditulis menjadi Karena mempunyai turunan kedua berhingga pada s, maka sehingga diperoleh persamaan (37). Dengan demikian Teorema 4 terbukti. Dengan demikian Terorema 3 terbukti. Teorema 4 (Aproksimasi asimtotik bagi MSE) asumsi (6) dipenuhi bagi dan memiliki turunan kedua berhingga pada s, maka Bukti : Berdasarkan definisi MSE (Definisi 22), maka 3.3 Penentuan Bandwidth Optimal Asimtotik Ukuran terbaik dari suatu penduga relatif terhadap kesalahannya adalah penduga dengan MSE yang bernilai minimum. Misalkan yang merupakan fungsi dari, menyatakan suku utama dari yaitu Dapat diperoleh nilai yang meminimumkan n tetap, dengan membuat turunan pertama sama dengan nol, sehingga diperoleh dengan Pada persamaan (34) diperoleh Berdasarkan Teorema 3 diperoleh Sehingga ruas kanan (42) dapat ditulis menjadi Selanjutnya akan diperiksa apakah yang diperoleh meminimumkan dengan memeriksa turunan kedua, yaitu Telah kita ketahui bahwa nilai dari dan adalah bandwidth yang bernilai positif, sehingga

14 Dengan demikian yang diperoleh meminimumkan. Sehingga nilai bandwidth yang optimal adalah turunan pertama sama dengan nol dan turunan kedua bernilai positif maka memenuhi syarat minimum. Karena tidak diketahui, sehingga bandwidth di atas bersifat asimtotik. turunan pertama sama dengan nol dan turunan kedua bernilai positif maka memenuhi syarat minimum. Karena tidak diketahui, sehingga bandwidth di atas bersifat asimtotik.