MA3231 Pengantar Analisis Real Semester II, Tahun 2016-2017 Hendra Gunawan, Ph.D.
Bab 7 Limit dan Kekontinuan 2
Isaac Newton (1643-1727) Isaac Newton adalah seorang fisikawan & matematikawan Inggris yang bersama dengan Leibniz dinobatkan sebagai penemu Kalkulus. Karyanya yang terkenal adalah Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687) dan Opticks (1706).
Gottfried W. Leibniz (1646-1716) Gottfried Wilhem (von) Leibniz adalah seorang filsuf & matematikawan Jerman yang bersama dengan Newton dinobatkan sebagai penemu Kalkulus. Notasi dy/dx untuk turunan dan ʃ untuk integral yang kita pakai sekarang adalah notasi ciptaannya.
7.1 Limit Fungsi di Suatu Titik Diberikanfungsi f yang terdefinisi pada interval (a, b) kecuali mungkin di titik c (a, b), kita tertarik untuk mengamati nilai f(x) untuk x di sekitar c. Khususnya, kita bertanya: apakah f(x) menuju suatu bilangan tertentu bila x menuju c? Misalkan L R. Kita katakan bahwa f menuju L bila x menuju c, dan kita tuliskan f x L bila x c atau lim f(x) = L, apabila untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga jika 0 < x c < δ, maka f(x) L < ε. 5
Limit Fungsi Dalam hal ini, bilangan L disebut sebagai limit f di c, dan f dikatakan mempunyai limit L di c. 2/26/2017 (c) Hendra Gunawan 6
PROPOSISI (i) lim k = k. (ii) lim x = c. 2/26/2017 (c) Hendra Gunawan 7
Limit Kiri dan Limit Kanan (1) Kadang, yang terjadi di sebelah kiri c berbeda dengan yang terjadi di sebelah kanan c. Sehubungan dengan itu, kita mempunyai definisi limit sepihak, yaitu limit kiri dan limit kanan, di suatu titik. Misalkan f terdefinisi pada interval (a, c) dan L R. Kita katakan bhw f menuju L bila x menuju c dari kiri; kita tulis f x L bila x c atau lim f(x) = L, apabila untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sedemikian shg jika c δ < x < c, maka f(x) L < ε. 2/26/2017 (c) Hendra Gunawan 8
Limit Kiri dan Limit Kanan (2) Misalkan f terdefinisi pada interval (c, b) dan M R. Kita katakan bhw f menuju M bila x menuju c dari kanan; kita tulis f x L bila x c + atau lim f(x) = M, + apabila untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sedemikian shg jika c < x < c + δ, maka f(x) L < ε. Bilangan L dan M berturut-turut disebut limit kiri dan limit kanan dari f di c. 2/26/2017 (c) Hendra Gunawan 9
Proposisi lim f x = L jika dan hanya jika lim f(x) = L dan lim f(x) = L. + 2/26/2017 (c) Hendra Gunawan 10
7.2 Kekontinuan Fungsi Dalam definisi lim f(x), nilai f di c sama sekali tidak diperhatikan. Kita hanya tertarik dengan nilai f(x) untuk x di dekat c, bukan dengan nilai f di c. Jadi mungkin saja f mempunyai limit L di c sekalipun f tidak terdefinisi di titik c. Dalam hal f terdefinisi di c, menarik untuk membandingkan nilai lim f(x) dan f(c). Jika lim f x = f(c), kita katakan f kontinu di c. 2/26/2017 (c) Hendra Gunawan 11
Catatan Berdasarkan Proposisi 3, f kontinu di c jika dan hanya jika untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga: jika x c < δ, maka f(x) f(c) < ε. Secara intuitif, f kontinu di c berarti grafik fungsi f tidak `terputus' di c. Jelas bahwa f kontinu di c jika dan hanya jika f kontinu kiri dan kontinu kanan di c. 2/26/2017 (c) Hendra Gunawan 12
Ketakkontinuan yang Dapat Dihapuskan dan Ketakkontinuan Loncat Jika limit kiri dan limit kanan f di c ada, tetapi salah satu atau kedua limit tersebut tidak sama dengan f(c), maka f tidak kontinu di c. Jika limit kiri dan limit kanan f di c bernilai sama tetapi tidak sama dengan f(c), maka ketakkontinuan f di c disebut sebagai ketakkontinuan yang dapat dihapuskan. Jika limit kiri dan limit kanan f di c ada tetapi berbeda nilainya, maka ketakkontinuan f di c dikenal sebagai ketakkontinuan loncat. 2/26/2017 (c) Hendra Gunawan 13
Contoh (i) Untuk setiap n N, fungsi f(x) = x 1 n kontinu kanan di 0, dan kontinu di setiap x > 0. (ii) Fungsi f(x) = px + q kontinu di setiap titik. (iii) Fungsi f(x) = x, yang sama dengan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x, kontinu kecuali di setiap bilangan bulat. Ketakkontinuan f di setiap bilangan bulat merupakan ketakkontinuan loncat. 2/26/2017 (c) Hendra Gunawan 14
TEOREMA Misalkan f terdefinisi pada (a, b) kecuali mungkin di c a, b. Maka, kedua pernyataan berikut ekuivalen: (a) lim n f x = L. (b) Untuk setiap barisan x n di (a, b), dengan x n c (n N) dan lim n x n = c, berlaku lim n f x n = L. Catatan. Jika f kontinu di c, maka lim f x n = f( lim x n ). n n 2/26/2017 (c) Hendra Gunawan 15
SOAL Misalkan f terdefinisi pada (a, b) dan kontinu di suatu titik c (a, b). Buktikan jika f(c) > 0, maka terdapat δ > 0 sehingga f(x) > 0 untuk x (c δ, c + δ). 16
7.3 Sifat-Sifat Limit & Kekontinuan Proposisi. Misalkan f dan g terdefinisi pada interval (a, b) kecuali mungkin di c (a, b). Misalkan lim f x = L dan lim g x = M, dan λ, μ R. Maka (i) lim λf x + μg x (ii) lim f x g x = LM. = λl + μm. f x (iii) lim g x = L, asalkan M 0. M 17
AKIBAT Jika f dan g kontinu di c, maka λf + μg, fg, dan f g kontinu di c (asalkan g c 0.) AKIBAT Fungsi polinom kontinu di setiap titik. Fungsi rasional kontinu di setiap titik dalam daerah asalnya. 18
Teorema Jika g kontinu di c dan f kontinu di g(c), maka f g kontinu pada c. Bukti. Ambil ε > 0 sembarang. 19
SOAL Benar atau salah: Jika lim g(x) = L dan lim f(y) = M, maka lim f(g(x)) = M? y L 20