Phasor dan Slide-09 Ir. Agus Arif, MT Semester Gasal 2016/2017 1 / 23
Materi Kuliah 1 Phasor Frekuensi Komplex Definisi Phasor Transformasi Phasor Hubungan Tegangan-Arus Hukum Ohm dan Kirchhoff Rangkaian RL dan RLC 2 Definisi Seri dan Paralel Reaktans Admitans 2 / 23
Frekuensi Komplex Berdasarkan pengalaman menerapkan sumber sinusoidal komplex pd suatu rangkaian linear utk mendapatkan tanggapan ajeg yg komplex: Faktor e jωt sempat dilenyapkan dr kedua sisi persamaan utk menyederhanakan persamaan aljabar yg dihasilkan Faktor e jωt kemudian disertakan kembali sebelum menentukan bagian real dr tanggapan yg komplex Stp tegangan dan arus dlm suatu rangkaian pasif mengandung faktor e jωt yg sama dgn frekuensi yg tidak berubah selama proses analisis Oleh krn itu, frekuensi sudut ω dpt diperlakukan sbg suatu besaran yg implisit (tersembunyi) 3 / 23
Definisi Phasor Demi memperoleh bentuk yg ringkas, besaran komplex dpt dinyatakan dlm bentuk polar drpd dlm bentuk exponensial Suatu sumber tegangan sinusoidal v(t) = V m cos ωt = V m cos (ωt + 0 ) dpt dinyatakan dlm bentuk komplex: V m 0 Dan arus tanggapannya: i(t) = I m cos (ωt + φ) dpt juga dinyatakan dlm bentuk komplex: I m φ Bentuk komplex yg ringkas ini disebut phasor 4 / 23
Transformasi Phasor [1] Suatu arus sinusoidal yg real i(t) = I m cos (ωt + φ) dinyatakan sbg bagian real dr besaran komplex i(t) = Re{I m e j(ωt+φ) } Dgn melenyapkan operator Re{} dan melenyapkan faktor e j(ωt) : I = I m e j φ serta menuliskannya dlm bentuk polar: I = I m φ 5 / 23
Transformasi Phasor [2] Bentuk ringkas I = I m φ adalah representasi phasor phasor = besaran komplex yg tidak gayut waktu phasor hanya mengandung info amplitudo dan sudut fase i(t) = representasi lingkup-waktu I = representasi lingkup-frekuensi (walau frekuensi dinyatakan scr implisit) Contoh: Tegangan phasor V = 115 45 dan frekuensi ω = 500 rad/s adalah setara dgn tegangan lingkup-waktu: v(t) = 115 cos(500t 45 ) atau v(t) = 115 sin(500t + 45 ) Berikutnya, penyederhanaan hubungan v-i dr resistor, induktor dan kapasitor 6 / 23
Resistor [1] Pd rangkaian sebelah kiri dan dlm lingkup waktu berlaku v(t) = R i(t) Jk pd resistor diterapkan sumber tegangan komplex: v(t) = V m cos(ωt + θ) + j V m sin(ωt + θ) = V m e j(ωt+θ) maka dihasilkan tanggapan arus komplex: i(t) = I m cos(ωt + φ) + j I m sin(ωt + φ) = I m e j(ωt+φ) 7 / 23
Resistor [2] dgn hubungan v-i di antara keduanya: V m e j(ωt+θ) = R I m e j(ωt+φ) Pembagian faktor e jωt pd kedua sisi persamaan menghasilkan: V m e jθ = R I m e jφ atau V m θ = R I m φ yg tidak lain adalah bentuk phasor pd rangkaian sebelah kanan V = R I Sudut fase θ = φ shg tegangan & arus selalu sefase pd resistor 8 / 23
Induktor [1] Pd rangkaian sebelah kiri dan dlm lingkup waktu berlaku v(t) = L d i(t) dt Setelah penyulihan tegangan komplex dan arus komplex diperoleh: V m e j(ωt+θ) = L d [I m e j(ωt+φ)] dt Penjabaran derivatif menghasilkan: V m e j(ωt+θ) = j ω L I m e j(ωt+φ) 9 / 23
Induktor [2] Pembagian faktor e jωt pd kedua sisi persamaan menghasilkan: V m e jθ = jωl I m e jφ atau V m θ = jωl I m φ yg tidak lain adalah bentuk phasor pd rangkaian sebelah kanan V = jωl I Sudut fase dr faktor jωl adalah tepat +90 shg I selalu tertinggal dr V sebesar 90 pd induktor 10 / 23
Kapasitor Pd rangkaian sebelah kiri dan dlm lingkup waktu berlaku i(t) = C d v(t) dt Stlh penyulihan tegangan dan arus komplex, penjabaran derivatif, pembagian faktor e jωt, dan pemakaian bentuk phasor diperoleh: I = jωc V atau V = 1 jωc I Dgn demikian, I selalu memimpin V sebesar 90 pd kapasitor 11 / 23
Lingkup-Waktu vs Lingkup-Frekuensi Hubungan v-i dlm lingkup-frekuensi disebut jg sbg Hukum Ohm: Hukum Tegangan Kirchhoff (KVL) dlm lingkup-waktu: v 1 (t) + v 2 (t) + + v N (t) = 0 dpt diolah spt sebelumnya pd komponen pasif shg menghasilkan: V 1 + V 2 + + V N = 0 Hal serupa juga dpt dijabarkan bagi Hukum Arus Kirchhoff (KCL) 12 / 23
Rangkaian RL [1] Rangkaian RL yg telah dibahas pd kuliah sebelumnya dpt digambarkan dgn menggunakan besaran 2 phasor: Penerapan KVL menghasilkan: V R + V L = V s Pemanfaatan hubungan v-i komponen 2 pasif membuat: R I + jωl I = V s 13 / 23
Rangkaian RL [2] Dgn demikian, arus phasor dijabarkan trhdp tegangan sumber: I = V s R + jωl Dianggap amplitudo sumber tegangan adl V m dgn sudut fase 0 : I = V m 0 R + jωl Berikutnya, arus phasor dpt dinyatakan dlm bentuk polar: I = V ] m [ R 2 + ω 2 L tan 1 (ωl/r) 2 dan ditransformasikan mjd bentuk real: ( V m i(t) = R 2 + ω 2 L cos ωt tan 2 ) 1 ωl R 14 / 23
Contoh #1: Rangkaian RLC [1] Utk rangkaian RLC berikut, tentukan I s dan i s (t) jk kedua sumber bekerja pd ω = 2 rad/s dan diketahui I C = 2 28 Jawab: Krn I C diketahui mk KCL dpt diterapkan pd simpul yg menghubungkan sumber arus sinudoidal I s, resistor 2 Ω dan kapasitor 1 F shg tegangan kapasitor: V C = 1 jωc I C = j ωc I C = j 2 (2 28 ) = (0.5 90 )(2 28 ) = 1 62 V 15 / 23
Contoh #1: Rangkaian RLC [2] Tegangan ini juga yg berada di ujung-ujung resistor 2 Ω shg arus resistor tsb: I R2 = 1 2 V C = 0.5 62 A Berdasarkan KCL, sumber arus dlm bentuk phasor: I s = I R2 + I C = 0.5 62 + 2 28 = (0.25 j 0.44) + (1.77 + j 0.94) = 2.02 + j 0.5 = 2.08 13.09 A Alhasil, dgn diketahui frekuensi ω, dpt ditentukan kuat sumber arus sinusoidal yg real: i s (t) = 2.08 cos(2 t + 13.09 ) A 16 / 23
Definisi Hubungan v-i dr ketiga komponen pasif pd lingkup-frekuensi: V = R I V = jωl I V = I jωc yg dpt ditulis sbg rasio antara phasor tegangan dan phasor arus: V I = R V I = jωl V I = 1 jωc = rasio antara phasor tegangan dan phasor arus: Z R = R Z L = jωl Z C = 1 jωc besaran komplex dgn dimensi ohm (Ω) bukan fasor shg tidak dpt ditransformasikan dgn faktor e jωt besaran lingkup-frekuensi dan bukan lingkup-waktu 17 / 23
Seri Krn KVL dan KCL berlaku pd lingkup-frekuensi mk impedans dpt dikombinasikan scr seri dan paralel menurut aturan yg sama spt pd resistor: Contoh: Pd ω = 10 10 3 rad/s, suatu induktor 5 mh terhubung seri dgn suatu kapasitor 100µF Z L = jωl = j 50 Ω Z C = 1 jωc = j ωc = j 1 Ω Keduanya dpt diganti dgn impedans ekivalen: Z eq = Z L + Z C = j 50 j 1 = j 49 Ω Nilai ini hanya berlaku pd frekuensi tunggal, yakni ω = 10000 rad/s 18 / 23
Paralel Contoh: Pd ω = 10 10 3 rad/s, suatu induktor 5 mh terhubung paralel dgn suatu kapasitor 100µF Z L = jωl = j 50 Ω Z C = 1 jωc = j ωc = j 1 Ω Keduanya dpt diganti dgn impedans ekivalen: Z eq = Z L Z C (j 50)( j 1) = Z L + Z C j 50 j 1 = 50 = j 1.020 Ω j 49 Nilai ini hanya berlaku pd frekuensi tunggal, yakni ω = 10000 rad/s Pd frekuensi yg berbeda, misalnya: ω = 5000 rad/s, impedans paralel ekivalen adl j 2.17 Ω 19 / 23
Reaktans Kombinasi impedans dpt dinyatakan dlm bentuk rectangular dan polar: Z = R + j X Z = Z Θ Dlm bentuk rectangular, bagian real impedans terbentuk hanya dr resistans murni R bagian imajiner impedans, disebut reaktans X, terbentuk dr komponen 2 penyimpan tenaga resistans dan reaktans memiliki satuan ohm (Ω), tp hanya reaktans yg gayut pd frekuensi ω resistor ideal memiliki reaktans nol dan induktor/kapasitor ideal sepenuhnya bersifat reaktif (dicirikan oleh resistans nol) Pertanyaan: Mungkinkah suatu kombinasi paralel atau seri dr kapasitor dan induktor menghasilkan reaktans nol? 20 / 23
Definisi Admitans Admitans Y dr komponen pasif = rasio antar phasor arus dan phasor tegangan atau kebalikan dr impedans: Y R = 1 R Y L = 1 jωl Y C = jωc Bagian real dr admitans = konduktans (G) dan bagian imajiner dr admitans = suseptans (B), ketiga 2 nya bersatuan siemens (S) Y = G + j B = 1 Z = 1 R + j X Perhatian: persamaan tsb menyatakan bhw konduktans bukan kebalikan dr resistans suseptans bukan kebalikan dr reaktans 21 / 23
Contoh #2: Ekivalen [1] Tentukan impedans ekivalen yg setara dgn rangkaian berikut, jk diketahui frekuensi kerjanya adl 5 rad/s Jawab: Mula 2 stp komponen pasif diubah mjd impedans-nya masing 2 shg rangkaian berubah mjd: 22 / 23
Contoh #2: Ekivalen [2] 6 Ω terhubung paralel dgn j 0.4 Ω shg (6)( j 0.4) 6 j 0.4 = 0.02655 j 0.3982 Ω yg kemudian terhubung seri dgn kedua 2 impedans j Ω dan j 10 Ω shg 0.02655 j 0.3982 j + j 10 = 0.02655 + j 8.602 Ω baru ini lalu terhubung paralel dgn resistor 10 Ω shg impedans ekivalen adl 10 (0.02655+j 8.602) = (10)(0.02655 + j 8.602) 10 + 0.02655 + j 8.602 = 4.255+j 4.929 Ω Atau impedans ekivalen dpt jg dinyatakan dlm bentuk polar: 6.511 49.20 23 / 23