ATRIKS A. PENGERTIAN triks dlh sutu deretn elemen yng mementuk empt persegi pnjng, terdiri dri m ris dn n kolom. Elemen terseut dpt erentuk koefisien, ilngn tu simul. triks yng mempunyi m ris dn n kolom diseut mtriks erdimensi m x n. islkn sutu mtriks A dengn elemen ij dpt ditulis segi erikut : A = ( ij ) untuk i =,,,..., m : ris j =,,,..., n : kolom cttn : dlm menulis elemen, seutlh risny dulu, ru diikuti kolom. Contoh : mksudny dlh elemn ris kolom A mksudny dlh elemen ris kolom triks yng mempunyi jumlh ris sm dengn jumlh kolomny diseut mtriks ujur sngkr (squre mtrix). contoh : A = dn B = B. DETERINAN ATRIKS triks Hlmn
islkn sutu mtriks A mk determinn mtriks terseut dieri simul dengn (A). Demikin jug simul untuk determinn mtriks B dlh (B). Ekspnsi determinn terseut dlh : (A) = =.. (B) = = - +.) = (..) (..) + (. Opersi ini diseut ekspnsi diterminn mtriks A dn mtriks B. Determinn mtriks hny d pd mtriks ujur sngkr sj. Pedomn untuk menentukn tnd + tu dlh segi erikut : + - + - +... - + - + -... + - + - +........... triks Hlmn
C. JENIS-JENIS ATRIKS. triks Trnspose triks A T diseut trnspose mtriks A jik kolom-kolom mtriks A merupkn ris-ris mtriks A T. Simul untuk menytkn trspose dri mtrik A dlh A ~ A T, A* tu. Kit kn menggunkn A T segi simul trspose mtrik A. Jik : A = mk A T = Jik : B = mk B T =. triks Simetri triks ujur sngkr A diseut mtriks simetri jik elemen ij = ji untuk semu i dn j. Contoh mtriks simetri terhdp digonl utmny dlh segi erikut : A = A = 7 7. triks Digonl triks ujur sngkr A diseut mtriks digonl jik semu elemen dilur elemen digonlny sm dengn. triks identits dlh triks Hlmn
mtriks digonl yng semu elemenny sm dengn. triks digonl dn mtriks identits dlh segi erikut : A = I = triks digonl triks identits. triks Segitig Ats dn Segitig Bwh triks ujur sngkr A diseut mtiks segitig ts jik semu elemen di wh elemen digonl utmny sm dengn. Sedngkn mtriks ujur sngkr A diseut mtriks segitig wh jik semu elemen di ts elemen digonl utmny sm dengn. triks segitig ts dn wh dlh segi erikut : A = A = triks segitig ts triks segitig wh ( ij = untuk i > j ) ( ij = untuk i < j ). triks Kolom dn triks Bris triks A diseut mtriks kolom jik elemenny hny terdiri dri kolom tunggl. triks A diseut mtriks ris jik elemenny hny terdiri dri ris tunggl. A = A = triks kolom A erdimensi x erdimensi x [ ] triks ris A triks Hlmn
. triks Nol triks nol (ordo erppun) yng semu elemenny dlh nol. D. OPERASI ATRIKS Opersi mtriks dlh opersi ritmtik terhdp elemenelemenny. Pd sutu mtriks dpt dilkukn opersi penmhn, pengurngn dn perklin. Opersi penmhn, pengurngn dn perklin terseut mellui elemen-elemenny.. Kesmn Du triks Du mtriks A dn B dlh sm jik elemen yng ersesuin sm. Oleh se itu A = B jik ij = ij untuk semu i dn j. Contoh du mtriks A dn B yng sm mislny : A = dn B = 7 7 triks A sm dengn mtriks B kren = = ; = = ; = = 7 dn = =.. Penjumlhn triks Jumlh du mtriks A dn B dlh mtriks C yng elemenny merupkn penmhn elemen mtriks A dn mtriks B yng ersesuin. triks Hlmn
islkn du mtriks A dn mtriks B segi erikut : A = B = 7 Jik mtriks C merupkn penjumlhn mtriks A dn B mk elemen mtriks C dlh : C = + = + = C = + = + = 7 C = + = + = C = + = + 7 = 7 Sehingg diperoleh mtriks C segi erikut : C = 7 7. Pengurngn triks Pengurngn du mtriks A dn B dlh mtriks C mtriks yng elemen-elemenny merupkn pengurngn elemen mtriks A dn mtriks B yng ersesuin. A = B = 7 islkn mtriks A dn B seperti di ts mk jik C=A-B mk elemen mtriks C : C = = = C = = = - C = = = - C = = 7 = - Sehingg mtriks C dlh : C = 7 triks Hlmn
. Perklin Du triks Perklin mtriks A erdimensi m x n dengn mtriks B erdimensi n x p dlh mtriks C erdimensi m x p yng elemenny merupkn perklin dri elemen ris pd mtriks A dengn elemen kolom pd mtriks B. isl mtriks C = mtriks A x mtriks B, mk elemen mtriks C : A = kli B = sm dengn C = 7 C C C C C =. +. = + 7 = (ris x kolom ) C =. +. 7 = 8 + = (ris x kolom ) C =. +. = + = (ris x kolom ) C =. +. 7 = + = (ris x kolom ) Sehingg mtriks C dlh : C = 7. Perklin triks dengn Sklr Perklin mtriks A erdimensi m x n dengn sklr ( sutu ilngn ) dlh mtriks D erdimensi m x n yng setip elemenny merupkn perklin setip elemen mtriks A dengn sklr itu. Jik A = mk A = sehingg mtriks D dlh : D = triks Hlmn 7
. Perklin triks Ordo Tig Perklin du mtriks A. B dn B. A erdimensi x wh ini menunjukkn hw tidk setip perklin du mtriks erlku komultif. islkn mtriks A dn B segi erikut : A = B = islkn mtriks C = A. B mk elemen-elemen mtriks C dlh : C =. +. +. =. +. +. = ++ = 7 C =. +. +. =. - +. +. = ++ =- C =. +. +. =. +. +. - = ++ = C =. +. +. =. +. +. = + + 8 = 7 C =. +. +. =. - +. +. = + + = C =. +. +. =. +. +. - = + = - C =. +. +. =. +. +. = + + = C =. +. +. =. - +. +. = - + 8 + = C =. +. +. =. +. +. - = + + = 7 Berdsrkn perhitungnterseut mtriks A. B = C dlh : A. B = C. = 7 7 islkn B. A = D mk elemen-elemen mtriks D dlh : d =. +. +. =. + -. +. = + = d =. +. +. =. + -. +. = + = - triks Hlmn 8
d =. +. +. =. + -. +. = + = - d =. +. +. =. +. +. = + + = 8 d =. +. +. =. +. +. = + + = d =. +. +. =. +. +. = + + = d =. +. +. =. +. + -. = + = d =. +. +. =. +. + -. = + = d =. +. +. =. +. + -. = + = Berdsrkn perhitungn terseut mk mtriks B. A = D dlh : B. A = D. = 8 Dri hsil A. B = C dn B. A = D ternyt elemen cij tidk sm dengn elemen dij. Dengn demikin tidk sellu A. B = B. A.. triks yng Dikudrtkn islkn A = E mk mtriks E = A. A sehingg elemen eij dlh : e =. +. +. =. +. +. = + + = e =. +. +. =. +. +. = + + = 8 e =. +. +. =. +. +. = + + = e =. +. +. =. +. +. = + + = e =. +. +. =. +. +. = + + = e =. +. +. =. +. +. = + + 8 = 8 e =. +. +. =. +. +. = + 8 + = e =. +. +. =. +. +. = + + = e =. +. +. =. +. +. = + + = Berdsrkn perhitungn terseut mtriks A = A. A = E dlh : triks Hlmn
A. A = E. = 8 8 7. Kofktor triks Bujursngkr Jik mtriks A = k inor-minor dri mtriks A dlh : = = =.. = = - = = =.. = = = = =.. = 8 = = = =.. = = triks Hlmn
= = =.. = = = = =.. = = = = =.. = = = = =.. = 8 = 8 = = =.. = = islkn Aij dlh kofktor-kofktor elemen mtriks A mk esrny setip elemen mtriks A dlh dlh nili (tnd) setip elemenny diklikn minorny. Pedomn untuk menentukn tnd dlh segi erikut : + - + - +... - + - + -... + - + - +........... triks Hlmn
Selin itu kofktor jug dpt dihitung dengn cr menglikn minorny dengn ngk (-) pngkt jumlh dri nomor elemenny. Contoh: A = ( - ) +. = ( - ). - =. - = - A = ( - ) +. = ( - ). = -. = A = ( - ) +. = ( - ). =. = A = ( - ) +. = ( - ). = -. = - A = ( - ) +. = ( - ). =. = A = ( - ) +. = ( - ). = -. = - A = ( - ) +. = ( - ). =. = A = ( - ) +. = ( - ). = -. 8 = -8 A = ( -) +. = ( - ). =. = Susunn elemen Aij pd mtriks kofktor A dlh : A A A A A A A A A = 8 8. Adjoint triks Bujursngkr Adjoint (dj) mtriks A dlh trnspose dri mtrik kofktorny. islny dri mtriks A = telh dihitung kofktorny yitu triks Hlmn
C = 8 mk djoint mtriks A = C T C T = 8. Invers triks Bujursngkr Untuk memperoleh invers mtriks ujursngkr dlh dengn memgi djoint mtriks terseut dengn determinn mtriksny dengn cttn determinnny. Contoh : A = mk djoint A = C T = 8 (A) =. (-) (-) + (8-)= -7 Sehingg invers mtriks A tu A - = -7 8 = 7 7 7 7 7 7 7 8 7 7 triks Hlmn
k inversi mtriks A dlh A - = 7 7 Untuk memeriks pkh inversi mtriks A itu etul mk dpt dilkukn dengn menglikn dengn mtriks A dn hsilny dlh mtriks identits. Oleh se itu A -. A = I. 7 7. = Kren hsil kli mtriks A dn inversiny dlh mtriks identits I dpt disimpulkn hw inversi mtriks A dengn elemen-elemen terseut sudh etul. Kesimpuln : Lngkh untuk mencri invers mtriks dlh s:. Hitung determinn. Cri kofktorny (mtriks C). Cri trnspose mtriks (C T ) untuk memperoleh djoint mtriksny.. enghitung invers mtriks dengn cr memgi djointny dengn determinn. engecek keenrn dengn mtriks identits (il diperlukn). triks Hlmn
. Penggunn Invers triks Penggunn inversi sutu mtriks dintrny dlh untuk menyelesikn persmn linier simultn. Dlm persmn linier simultn kn dicri hrg-hrg unkown yng elum dikethui. Jik dlm persmn linier simultn mempunyi hrg determinn yng tidk sm dengn nol mk penyelesin persmnny kn mempunyi hrg yng unik ( unkwon mempunyi hrg ). islkn persmn linier simultn mempunyi persmn segi erikut :. x +. x +. x = c. x +. x +. x = c. x +. x +. x = c kn dicri hrg-hrg x, x dn x yng memenuhi persmn terseut dengn invers mtriks. Lngkh pertm dlh mementuk persmn linier simultn menjdi entuk perklin mtriks segi erikut : A x C x x. x = c c c Dengn opersi mtriks mk mtriks x dlh : x = A -. C sehingg elemen pd mtriks x dpt ditentukn. Berikut ini d penggunn inver mtriks pd penyelesin persmn linier simultn. triks Hlmn
Contoh sol: Tentukn hrg-hrg x. x dn x dlm persmn linier simultn :. x + x =. x +. x +. x = x +. x +. x = 7 Penyelesin : Persmn linier simultn dlm entuk mtriks : A. x = C x x. x = 7 Telh dihitung mellui djoint mtriks dn determinn untuk memperoleh invers mtriks A yitu A -. Sehingg entuk perklin mtriks pd persmn linier simultn menjdi : x = A -. C x x x 7 =. 7 7 Dengn perklin mtriks dpt diperoleh hrg-hrg x. x dn x segi erikut : x =. +. + -. 7 = + = = x =. + -. +. 7 = + = = x = -. + 7. + -7. 7 = - + 77 7 = Untuk mengecek pkh hrg-hrg terseut etul mk disustitusikn kemli kedlm persmn linier simultn di ts.. x + x =. + = + = ( etul ). x +. x +. x =. +. +. = + + = ( etul ) x +. x +. x = +. +. = + + = 7 (etul) triks Hlmn