Matriks. Bab II. Motivasi. Tujuan Pembelajaran
|
|
|
- Sonny Atmadja
- 8 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Mtriks Bb II Mtriks Sumber: Ensiklopedi Peljr, 999 Motivsi Secr umum mtriks merupkn sutu dftr yng berisi ngkngk dn ditulis di dlm tnd kurung. Dftr-dftr yng dpt ditulis dlm bentuk mtriks, mislny perolehn medli dlm sutu perminn olhrg, dftr gji pegwi, dn dftr nili sisw. Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri bb ini, dihrpkn klin dpt. menjelskn ciri sutu mtriks;. menuliskn informsi dlm bentuk mtriks;. melkukn opersi ljbr ts du mtriks;. menentukn determinn mtriks persegi ordo dn kitnny dengn mtriks mempunyi invers;. menentukn invers mtriks persegi ordo ; 6. membuktikn rumus invers mtriks ordo ; 7. menjelskn sift-sift opersi mtriks; 8. menjelskn sift-sift mtriks yng digunkn dlm menentukn penyelesin sistem persmn liner; 9. menentukn penyelesin sistem persmn liner du vribel dengn invers mtriks;. menentukn penyelesin sistem persmn liner du vribel dengn determinn.
2 Mmt Apliksi SMA Bhs Pet Konsep Mtriks mempeljri Pengertin, Notsi, dn Ordo Sutu Mtriks Kesmn Du Mtriks Penjumlhn dn Pengurngn Mtriks Mtriks Khusus Perklin Mtriks Determinn Mtriks Blikn tu Invers Mtriks Penggunn Mtriks untuk Menyelesikn Sistem Persmn Liner Sift-Sift Penjumlhn Mtriks Persmn Mtriks Trnspose Sutu Mtriks membhs Perklin Sklr dengn Mtriks Perklin Mtriks dengn Mtriks Kt Kunci elemen mtriks mtriks mtriks bris mtriks digonl mtriks identits mtriks kolom mtriks nol ordo trnspose
3 Mtriks Mtriks merupkn bentuk penulisn yng sering kit jumpi dlm kehidupn sehri-hri, yitu berup isi di setip bris dn kolomny. Mislny, pd dftr gji pegwi, dt bsensi sisw, dn dftr nili sisw. Pembhsn mtriks pd bb ini meliputi pengertin, notsi, dn ordo sutu mtriks, kesmn du mtriks, penjumlhn dn pengurngn mtriks, perklin bilngn rel (sklr) dengn mtriks, perklin mtriks, blikn tu invers mtriks, dn penggunn mtriks untuk menyelesikn sistem persmn liner du dn tig vribel. Sebelum lebih juh mempeljri bb ini, cob jwblh sol berikut. Uji Prsyrt Kerjkn di buku tugs Dikethui sistem persmn liner tig vribel berikut. x + by + cz p dx + ey + fz q gx + hy + iz r Susunlh koefisien-koefisien pd sistem persmn itu dlm tbel berikut. Tbel. Koefisien x Koefisien y Koefisien z Persmn Persmn Persmn Jelskn rti (mkn) ngk-ngk (elemen) pd tbel itu. Setelh klin mmpu menjwb permslhn di ts, mri kit lnjutkn ke mteri berikut. A. Pengertin Dsr tentng Mtriks Dlm kehidupn sehri-hri, bnyk keterngn tu informsi yng disjikn dlm bentuk dftr berisi ngk-ngk yng disusun menurut bris dn kolom. Mislny, hrg krcis msuk sutu tempt wist disjikn dlm bentuk dftr seperti berikut. Tbel. Pengunjung Hri Bis Hri Minggu Dews. 8. Ank-Ank..7
4 Mmt Apliksi SMA Bhs Dftr di depn dpt disusun lebih sederhn dengn menghilngkn judul bris dn judul kolom sehingg tmpk sebgi berikut Jik susunn bilngn-bilngn tersebut ditulis di ntr du tnd kurung (bukn kurung kurwl), diperoleh sutu susunn bilngn sebgi berikut Susunn bilngn yng demikin disebut mtriks. Secr umum, mtriks dpt didefinisikn sebgi berikut. Mtriks dlh susunn berbentuk persegi pnjng dri bilngnbilngn menurut bris dn kolom sert ditemptkn dlm tnd kurung (kurung bis tu kurung siku). Pd mtriks di ts 8. dlh elemen (unsur) mtriks pd bris pertm dn kolom pertm, ditulis.. Elemen-elemen yng lin, yitu 8.,., dn.7 berturut-turut menunjukkn elemen-elemen mtriks pd bris pertm kolom kedu, bris kedu kolom pertm, dn bris kedu kolom kedu. Selnjutny, ditulis 8.,., dn.7. Sutu mtriks dinytkn dengn huruf kpitl A, B, C, dn seterusny. Bilngn-bilngn yng terdpt di dlm mtriks dinmkn elemen mtriks. Adpun bentuk umum mtriks A yng mempunyi m bris dn n kolom dlh A... n... n m m... mn kolom ke- kolom ke- kolom ke-n Keterngn: ij dlh elemen pd bris ke-i kolom ke-j mtriks A.,,, j dlh elemen-elemen bris ke-.,,, i dlh elemen-elemen kolom ke-. bris ke- bris ke- bris ke-m Bentuk umum mtriks A tersebut ditulis secr singkt menjdi A ( ij ) m n
5 Mtriks Contoh:. Hsil ulngn hrin (UH) Mtemtik dri lim orng sisw dlh sebgi berikut. Tbel. No. Nm Sisw UH UH UH. Anik Ni 6. Hesti Ardi Dnr Susunlh dt di ts dlm bentuk mtriks dengn notsi A. b. Berp bnyk bris pd mtriks A? c. Sebutkn elemen-elemen pd bris pertm. d. Berp bnyk kolom pd mtriks A? e. Sebutkn elemen-elemen pd kolom kedu. Penyelesin: b. Bnyk bris pd mtriks A dlh. c. Elemen-elemen bris pertm dlh 6, 7, dn 7. d. Bnyk kolom pd mtriks A dlh. e. Elemen-elemen kolom kedu dlh 7, 6, 7, 7, dn 8.. Dikethui mtriks A Tentukn berikut ini.. Elemen-elemen pd bris ke-. b. Elemen-elemen kolom ke-. c. Elemen pd bris ke- kolom ke-. d. Elemen pd bris ke- kolom ke-. Penyelesin:. Elemen-elemen pd bris ke- dlh,, dn. b. Elemen-elemen pd kolom ke- dlh dn. c. Elemen pd bris ke- kolom ke- dlh. d. Elemen pd bris ke- kolom ke- dlh.
6 6 Mmt Apliksi SMA Bhs. Ordo Mtriks Jik sutu mtriks A mempunyi m bris dn n kolom, diktkn bhw ordo mtriks A dlh m n, ditulis dengn notsi A m Perhtikn mtriks R dn S di bwh ini. R, S ( ) 6 n. Mtriks R mempunyi ukurn bris dn kolom sehingg dpt diktkn bhw mtriks R berordo dn ditulis R. Adpun mtriks S mempunyi bris dn kolom sehingg diktkn bhw mtriks S berordo dn ditulis S. Secr umum, ordo sutu mtriks dpt didefinisikn sebgi berikut. Ordo sutu mtriks dlh ukurn mtriks tersebut yng dinytkn dengn bnyk bris kli bnyk kolom. Tugs Crilh dt tentng jumlh penghuni rumhmu dn susunlh dlm bentuk tbel berikut. Penghuni Observsi Lki-Lki Kerjkn di buku tugs Perempun Orng tu Ank PRT Fmili Dri tbel itu, nytkn dlm sebuh mtriks. Ad berp mtriks yng terbentuk? Kemudin, dengn bhsmu sendiri, jelskn rti ngk-ngk dri setip elemen mtriks yng terbentuk.. Trnspose Sutu Mtriks Trnspose dri mtriks A dlh sutu mtriks yng diperoleh dengn cr menukr setip elemen bris mtriks A dengn elemen kolom mtriks trnsposeny. Trnspose sutu mtriks A ditulis dengn lmbng A t tu A'. Contoh: Dikethui A 6 dn B. Tentukn trnspose dri mtriks A dn B.
7 Mtriks 7 Penyelesin: Berdsrkn pengertin trnspose sutu mtriks, bris ke- mtriks A menjdi kolom ke- mtriks A t, sedngkn bris ke- mtriks A menjdi kolom ke- mtriks A t. Dengn demikin, diperoleh A t. 6 Dengn cr yng sm, jik B, mtriks trnsposeny dlh B t ( ). Tugs Berpikir Kritis Kerjkn di buku tugs Cob cri thu tentng pengertin mtriks simetris. Apkh mtriks A merupkn mtriks simetris? Mengp?. Mtriks-Mtriks Khusus. Mtriks Persegi Mtriks persegi dlh sutu mtriks yng bnyk brisny sm dengn bnyk kolomny. Jik bnykny bris pd mtriks persegi A dlh n, bnykny kolom mtriks A jug n sehingg ordo mtriks A dlh n n. Secr singkt, mtriks A dpt disebut mtriks persegi ordo n. Elemen,,,, nn disebut elemen-elemen digonl utm (pertm). Mislny: p q A merupkn mtriks persegi ordo, dpt ditulis r s A. B 6 merupkn mtriks persegi ordo, dpt ditulis B. Elemen-elemen digonl utm pd mtriks A dlh p dn s, sedngkn elemen-elemen digonl utm pd mtriks B dlh,, dn 9.
8 8 Mmt Apliksi SMA Bhs b. Mtriks Bris Mtriks bris dlh mtriks yng hny terdiri ts stu bris. Mislny: D ( ) E ( ) c. Mtriks Kolom Mtriks kolom dlh mtriks yng hny terdiri ts stu kolom. Mislny: P Q R d. Mtriks Digonl Mtriks digonl dlh sutu mtriks persegi dengn setip elemen yng tidk terletk pd digonl utm dlh nol. Mislny: A B e. Mtriks Stun Mtriks stun dlh sutu mtriks digonl dengn setip elemen digonl utm dlh. Mtriks identits bisny dilmbngkn dengn I tu I n, untuk n bilngn sli. Mislny: I I I f. Mtriks Nol Mtriks nol dlh sutu mtriks yng setip elemenny nol. Mtriks nol berordo m n dinotsikn dengn O m n. Diskusi Berpikir Kritis Klin tentu mengenl mtriks persegi ordo. Adkh mtriks identits ordo? Jik d, seperti pkh? Jik tidk d, berikn lsn seperluny.
9 Mtriks 9 Mislny: O ( ), O, O g. Lwn Sutu Mtriks Lwn sutu mtriks dlh sutu mtriks yng elemenelemenny merupkn lwn elemen dri mtriks semul. Lwn dri sutu mtriks A dinotsikn dengn A. Mislny: 6 6 Lwn mtriks A 7 dlh A 7. Diskusi Mengomuniksikn Ggsn Menurutmu, p keungguln penyjin sutu dt dengn menggunkn mtriks? Apkh semu jenis dt dpt disjikn dengn mtriks? Berikn contoh dn lsnmu. Uji Kompetensi Kerjkn di buku tugs. Hsil perolehn medli sementr pd sutu Pekn Olhrg Nsionl dlh sebgi berikut. Tbel. No. Kontingen Ems Perk Perunggu. Jw Timur Jw Brt 9 7. DKI Jkrt 8. Lmpung. DI Yogykrt. Susunlh dt di ts dlm bentuk mtriks dengn notsi A. b. Berp bnyk bris dn kolom pd mtriks A? c. Sebutkn elemen-elemen pd bris keempt. d. Sebutkn elemen-elemen pd kolom pertm. e. Sebutkn elemen pd bris kedu kolom ketig. f. Sebutkn elemen pd bris kelim kolom pertm.. Dikethui mtriks B
10 Mmt Apliksi SMA Bhs. Tentukn ordo mtriks B. b. Tentukn elemen bris kedu kolom keempt. c. Tentukn elemen bris ketig kolom ketig. d. Tentukn trnspose mtriks B.. Tulislh koefisien dn konstnt sistem persmn liner du vribel berikut dlm bentuk mtriks lengkp, dengn ordo.. x + y c. x + y { x y { y x 6 b. x y 6 d. x { x + y 7 { y 9. Mtriks A ( ij ) ditentukn oleh A.. Tentukn ordo mtriks A. b. Hitunglh nili +,, dn +. c. Jik k, tentukn nili k k + 6. d. Tentukn trnspose mtriks A.. u Dikethui mtriks B (b ij ) ditentukn oleh B. v Tentukn nili u dn v jik. b 6b dn b b ; b. b b 6 dn b b. B. Kesmn Du Mtriks Amtilh mtriks-mtriks A, B, dn C berikut ini. A, B, dn C. + Ap yng dpt klin ktkn tentng mtriks-mtriks tersebut? Apkh mtriks A B? Apkh A C? Mengp? Dri ketig mtriks tersebut, tmpk bhw mtriks A mtriks B kren ordony sm dn elemen-elemen yng seletk niliny sm, sedngkn mtriks A tidk sm dengn mtriks C kren meskipun ordony sm, tetpi elemen-elemen yng seletk niliny tidk sm. Du mtriks A dn B diktkn sm, ditulis A B jik kedu mtriks itu ordony sm dn elemen-elemen yng seletk bernili sm.
11 Mtriks Contoh: b Dikethui mtriks A dn B dlh du mtriks yng sm. Tentukn c nili, b, dn c. Penyelesin: Dikethui A B, berrti c b. Berdsrkn sift kesmn du mtriks, diperoleh b b c c. Oleh kren itu, diperoleh, b, dn c Uji Kompetensi Kerjkn di buku tugs. Tentukn nili x dn y jik dikethui persmn mtriks berikut. x x 6 y 6. e. y y b. x y y 7 f. x x x+ y y x y y 8 c. xy9 x y+ g. 7x+ y+ x+ 6y+ 9 x 6 y 9 6 d. 6 x 6 + y y x x h. 7 7 x y y. Tentukn nili, b, dn c jik dikethui persmn mtriks berikut. b + c b. c. 7 c c c b. b+ 7 c+ b+ c c
12 Mmt Apliksi SMA Bhs. Tentukn nili dn b jik mtriks P Q t.. P dn Q b 6 b. P dn Q b b + c. P 6 dn Q + b b 6 C. Opersi pd Mtriks dn Sift-Siftny Seperti hlny pd bilngn, mtriks jug dpt diopersikn. Mislny, dijumlhkn, dikurngkn, diklikn dengn sklr, dn diklikn dengn mtriks dengn turn tertentu. Nmun, mtriks tidk dpt dibgi dengn mtriks lin.. Penjumlhn dn Pengurngn Mtriks Jumlh mtriks A dn B, ditulis A + B dlh sutu mtriks bru C yng elemen-elemenny diperoleh dengn menjumlhkn elemen-elemen yng seletk dri mtriks A dn B. Dengn demikin, syrt gr du mtriks tu lebih dpt dijumlhkn dlh ordo mtriks-mtriks itu hrus sm. Tes Mndiri Kerjkn di buku tugs Dikethui: B C A,, b Jik C dlh invers dri (A + B) mk nili b sm dengn.... d. 6 b. e. 7 c. Sol SPMB, Contoh: Dikethui A, B, C c Tentukn. A + B; b. B + C; c. C + D. Penyelesin:. A + B + b, dn D d d. + ( ) + ( ) ( ) + 6 7
13 Mtriks b. B + C + c tidk sm. b, tidk dpt dijumlhkn kren ordony d c. C + D c b + d d + b+ c+ d+ d b c+ d Bgimn dengn pengurngn terhdp mtriks? Pengurngn mtriks dpt dikerjkn dengn menggunkn sift seperti pd pengurngn bilngn rel, yitu jik dn b du bilngn rel mk b + ( b). Oleh kren itu, untuk du mtriks A dn B, berlku A B A + ( B) dengn B dlh lwn mtriks B. Syrt pengurngn mtriks dlh ordo kedu mtriks itu hrus sm. Contoh:. Dikethui A dn B 7 Penyelesin: A B A + ( B) 7. Crilh mtriks X jik Penyelesin: X. Tentukn A B X.
14 Mmt Apliksi SMA Bhs. Sift-Sift Penjumlhn dn Pengurngn Mtriks Untuk mendptkn sift-sift penjumlhn mtriks, lkukn kegitn berikut. Kegitn Kerjkn di buku tugs Tujun: Menyelidiki sift-sift yng berlku pd penjumlhn dn pengurngn mtriks. Permslhn: Sift pkh yng berlku pd opersi penjumlhn dn pengurngn mtriks? Lngkh-Lngkh: Kerjkn persoln-persoln berikut.. Dikethui mtriks A, B, dn 6 7 C. Selidiki hsil penjumlhn berikut ini, kemudin simpulkn.. A + B b. B + A c. (A + B) + C d. A + (B + C). Dikethui O dn P. Apkh O + P P + O?. 7 Dikethui A Tentukn. A + ( A); b. A + A; c. Apkh A + ( A) A + A? dn A 7. Kesimpuln: Dri sol,, dn klin kn memperoleh sift-sift penjumlhn dn pengurngn mtriks. Jik melkukn kegitn di ts dengn benr, klin kn memperoleh sift-sift berikut.
15 Mtriks Jik A, B, dn C dlh mtriks-mtriks yng berordo sm, pd penjumlhn mtriks berlku sift-sift berikut:. komuttif sehingg A + B B + A; b. sositif sehingg (A + B) + C A + (B + C); c. unsur identitsny O sehingg A + O O + A A; d. invers penjumlhn A dlh A sehingg A + ( A) A + A O. Tugs Eksplorsi Kerjkn di buku tugs Sift-sift di ts dpt klin buktikn dengn mudh. Cob klin buktikn sift-sift di ts dengn mengmbil mtriks A ( ij ), B (b ij ), C (c ij ), dn O (o ij ), untuk o ij. Ingt mtriks A L L M M L M m m mn n n dpt ditulis A ( ij ); i,,..., m j,,..., n Apkh pd pengurngn mtriks berlku sift komuttif dn sift sositif? Adkh unsur identitsny? Cob klin selidiki dengn mengmbil beberp mtriks yng dpt dijumlhkn tu dikurngkn. Kemukkn hsilny. Uji Kompetensi Kerjkn di buku tugs. Dikethui A, B, dn C. 6 Tentukn hsil opersi berikut.. A + B d. (A B) + (B C) b. A + C B e. C B A c. A (B + C) f. B C (A + B). Dikethui P, Q, dn R. 6 Tentukn hsil opersi berikut.. P + Q t d. (R P) Q t b. R t P + Q e. (P + R) (Q + Q t ) c. P t + (Q t R) f. (P P t ) + (R R t ). 7 Dikethui U 8 6
16 6 Mmt Apliksi SMA Bhs Tentukn hsil opersi berikut.. (U + V) t c. (U V) t b. U t + V t d. U t V t. Tentukn mtriks A yng memenuhi persmn berikut A c. 6 A b. A + d.. Tentukn nili x, y, dn z yng memenuhi persmn berikut.. y + x z y z b. x y z z + 6. Tentukn nili, b, dn c yng memenuhi persmn berikut.. 6 b 6 c c 7 7 b. c b A x x z 6 b b c c c 7 Info Mth: Informsi Lebih Lnjut Arthur Cyley (8 89) Sumber: Arthur Cyley Arthur Cyley (8 89), pencetus perhitungn mtriks, ini mengembngkn mtriks pd thun 87. Seperti yng telh dikethui bnyk orng, dlm mtriks bnyk sekli istilhistilh yng mewkili sutu opersi tertentu, di ntrny dlh penjumlhn, pengurngn, perklin, determinn, invers, dn trnspose. Mtriks sngt diminti kren penyjin dt tu informsi numerikl dengn cr ini sngt efisien. Dlm mtemtik sendiri, mtriks menjdi sutu lt yng sngt fleksibel, dinmis, dn hmpir semu bidng kjin mtemtis dpt menerpkn mtriks. Sumber: Perklin Sutu Sklr dengn Mtriks Kit telh mengethui bhw penjumlhn bilngn rel (sklr) secr berulng dpt dinytkn sebgi sutu perklin. Mislny, +, + +, dn seterusny. Hl tersebut
17 Mtriks 7 berlku jug pd opersi mtriks. Mislkn dikethui mtriks A. Oleh kren itu, A + A A. 8 Jdi, perklin mtriks A dengn sutu bilngn sli k dlh penjumlhn berulng mtriks A sebnyk k kli. Dengn kt lin, pengertin ini dpt ditulis sebgi berikut. Jik k bilngn rel dn A mtriks berordo m n mk ka didefinisikn dengn... n... n k m m mn k k... kn k k... k n k k... k m m mn Contoh: 7 Dikethui A dn B. Tentukn. A + B; b. A B. Penyelesin: 7. A + B b. A B A + ( B)
18 8 Mmt Apliksi SMA Bhs. Sift-Sift Perklin Sklr Jik A dn B dlh mtriks-mtriks berordo m n, sedngkn k dn k dlh sklr, berlku sift-sift berikut.. k (A + B) k A + k B b. (k + k )A k A + k A c. k (k A) (k k )A Jik A mtriks persegi mk berlku d. I A A I A e. ( I)A A Mtriks identits I merupkn mtriks persegi. Bukti: Pembuktin sift-sift di ts sngt mudh. Untuk itu, di sini kn dibuktikn sift sj. Selebihny dpt klin kerjkn sebgi bhn ltihn. Mislkn k sklr, K K A M M K M K m m mn n n, dn b b K b b b K b B M M K M b b K b m m mn n n k (A + B) k K K M M K M K m m mn n n b b K b b b K b + M M K M b b K b m m mn n n + b + b L n + b + b + b L n + b k M M M + b + b L + b n n m m m m mn mn k + b k b L k n b k ( + b ) k ( + b ) L k n + b M M M k + b k b L k b ( ) ( + ) ( + ) ( ) n n ( ) ( + ) ( + ) m m m m mn mn k + kb k + kb L kn + kb k + kb k + kb L kn + kb M M M k + kb k + kb L k + kb n n m m m m mn mn
19 Mtriks 9 k k K k k k K k M M K M k k K k n n m m mn kb kb K kb kb kb K kb + M M K M kb kb K kb n n m m mn K K k M M K M K m m mn n n b b K b b b K b + k M M K M b b K b m m mn k A + k B... (terbukti) n n Uji Kompetensi Kerjkn di buku tugs. Dikethui P. Tentukn hsil perklin sklr berikut.. P c. P t b. P d. P t 6. Jik Q, tentukn hsil perklin sklr berikut. 8. Q c. (Q + Qt ) b. Qt d. ((Q + Qt )). Tentukn mtriks X yng memenuhi persmn berikut X c. X b. X d. X 8 6. Tentukn mtriks A yng memenuhi persmn berikut A t 8 6 c. 6 A t b. A t 9 d. 6 A t 6 9
20 Mmt Apliksi SMA Bhs. Tentukn nili, b, c, dn d yng memenuhi persmn berikut. b d. c. c d c b c b. b c d d d. c b c d 6 b. Perklin Antrmtriks Sutu ketik Rini dn Nit membeli lt tulis di kopersi sekolh. Rini membeli buku tulis dn sebtng pensil, sedngkn Nit membeli buku tulis dn pensil. Hrg sebuh buku tulis dlh Rp., dn hrg stu pensil Rp,. Berpkh jumlh ung yng hrus dibyr Rini dn Nit? Untuk menyelesikn permslhn di ts, kit dpt lngsung menglikn jumlh brng yng dibeli dengn hrg stun. Jumlh ung yng hrus dibyr Rini dlh (.) + ( )., sedngkn jumlh ung yng hrus dibyr Nit dlh (.) + ( ).. Di smping itu, persoln di ts dpt disjikn dlm bentuk tbel seperti terliht berikut ini. Tbel. Pembelin Brng Tbel.6 Dftr Hrg Brng Buku Tulis Pensil Nm Brng Hrg Stun Rini Nit Buku tulis. Pensil Jik keperlun Rini kit tulis dlm bentuk mtriks bris dn hrg stun brng dlm bentuk mtriks kolom, jumlh ung yng hrus dibyr Rini dpt dinytkn sebgi perklin mtriks berikut.. (.) + ( ) ( ). Dengn cr yng sm, jumlh ung yng hrus dibyr Nit dpt dinytkn sebgi perklin mtriks.. (.) + ( ) ( ). Hsil perhitungn di ts diperoleh dengn cr menglikn setip elemen mtriks berordo dengn mtriks berordo yng hsilny dlh mtriks bru berordo. Untuk mudh dlm mengingtny, perhtikn bgn berikut.
21 Mtriks Tes Mndiri Ordo hsil kli Kerjkn di buku tugs Perklin mtriks ( x) p x mempunyi kr positif x dn x. Jik x x mk konstnt p. 6 b. c. d. e. 6 Sol SPMB, Kemmpun Dsr, 6 ( )( ) ( ) sm Jik mtriks A ( b) diklikn dengn mtriks B p q, p hsilny dlh A B ( b) q (p + bq). Oleh kren itu, jumlh ung yng hrus dibyr Rini dn Nit dpt ditulis dlm bentuk perklin mtriks berikut.. (.) + ( ) +. (.) ( ). Pd perklin mtriks di ts, mtriks yng diklikn (mtriks yng terletk di sebelh kiri) berordo, mtriks pengliny (mtriks yng terletk di sebelh knn) berordo. Ordo hsil kli ( )( ) ( ) sm Tes Mndiri Kerjkn di buku tugs Jik b 7 mk + b.... d. b. e. c. Sol SPMB, Kemmpun Dsr,. Perklin Mtriks Ordo m x q dengn Mtriks Ordo q x n Berdsrkn urin di ts, syrt gr du mtriks A dn B dpt diklikn dlh bnyk kolom mtriks A hrus sm dengn bnyk bris mtriks B. Adpun cr menglikn kedu mtriks itu dlh sebgi berikut. Jik A dlh mtriks berordo m q dn B dlh mtriks berordo q n, mk A B dlh sutu mtriks C (c ij ) berordo m n yng elemen-elemenny diperoleh dri penjumlhn hsil kli elemen-elemen pd bris ke-i mtriks A dengn elemen-elemen pd kolom ke-j mtriks B yng bersesuin, dengn i,,..., m dn j,,..., n.
22 Mmt Apliksi SMA Bhs Contoh: Dikethui A ( ), B, C, dn D 6 7. Tentukn hsil perklin mtriks berikut.. A B b. C D c. D C Penyelesin:. A B ( ) (( ( ) + )) () b. C D 6 7 tidk sm dengn bnyk bris mtriks D. c. D C 6 7 tidk dpt diklikn kren bnyk kolom mtriks C ( ) + ( 6) ( ) + ( ) ( ) + ( 6) ( ) + ( ) ( 7 ) + ( 6) (7 ) + ( ) b. Pengertin Diklikn dri Kiri dn Diklikn dri Knn Pd urin sebelumny, kit peljri bhw du mtriks A dn B dpt diklikn jik bnyk kolom mtriks A sm dengn bnyk bris mtriks B. Selnjutny, jik terdpt perklin du mtriks A B, dpt diktkn. mtriks B diklikn dri kiri pd mtriks A; b. mtriks A diklikn dri knn pd mtriks B. Contoh: Dikethui A dn B. Tentukn hsil perklin mtriks berikut ini.. Mtriks A diklikn dri kiri pd mtriks B. b. Mtriks A diklikn dri knn pd mtriks B.
23 Mtriks Penyelesin:. Mtriks A diklikn dri kiri pd mtriks B, berrti B A b. Mtriks A diklikn dri knn pd mtriks B, berrti 8 A B Dri contoh tersebut, tmpk bhw AB BA. Dri hsil tersebut dpt disimpulkn bhw perklin mtriks (pd umumny) tidk bersift komuttif. Tes Mndiri Kerjkn di buku tugs Jik A dn I mk A 6A + I.... 8A d. A b. A e. A c. A Sol SPMB, Kemmpun Dsr, 6 c. Perklin dengn Mtriks Stun dn Siftny Pd pembhsn sebelumny, dijelskn bhw mtriks stun dlh sutu mtriks digonl dengn setip elemen digonl utmny. Jik sutu mtriks diklikn dri kiri tu dri knn dengn mtriks stun, hsilny dlh mtriks itu sendiri. Oleh kren itu, perklin sutu mtriks A dengn mtriks stun memiliki sift IA AI A Dengn demikin, mtriks stun disebut jug mtriks identits. Contoh: Dikethui A Penyelesin: AI. Tentukn AI dn IA. Bgimn hsil perklin itu? IA Dengn memerhtikn hsil perklin di ts, tmpk bhw AI IA A. Cob klin selidiki, bgimn jik A bukn mtriks persegi? Apkh AI IA A? Mengp? d. Perpngktn Mtriks Persegi Seperti hlny pd bilngn rel, perpngktn mtriks persegi A didefinisikn sebgi berikut.
24 Mmt Apliksi SMA Bhs Dri pengertin di ts, jik A sutu mtriks persegi berordo m, A A A, A A A A A A, dn seterusny. Contoh: Dikethui A. Tentukn. A ; b. A A. Penyelesin: 8. A A A 8 8 b. A A Sekrng, cob klin selidiki, pkh A A A A A? Selidiki pul, pkh A A A A A A A? Diskusi Berpikir Kritis Mislkn diberikn mtriks A berordo m n, dengn m n dn m, n bilngn sli. Untuk A k, k bilngn sli, dptkh ditentukn niliny? Mengp? 6. Sift-Sift Perklin Mtriks Untuk memhmi sift-sift perklin mtriks, perhtikn contoh-contoh berikut. Contoh:. Dikethui A, B, dn C.. Tentukn A B, B C, dn A C. b. Apkh A (B C) (A B) C? c. Apkh A (B + C) A B + A C?
25 Mtriks Penyelesin:. A B 6 B C 7 A C b. A (B C) 6 7 (A B) C 6 6 Ternyt A (B C) (A B) C. Berrti, perklin mtriks bersift sositif. c. A (B + C) + 7 A B + A C Ternyt A (B + C) (A B) + (A C) berrti perklin mtriks bersift distributif knn. Dengn menggunkn contoh di ts, dpt ditunjukkn bhw perklin mtriks jug bersift distributif kiri, yitu (A + B) C (A C) + (B C).. Dikethui A 7 dn O. Tentukn OA dn AO. OA 7 AO 7 Dengn demikin, OA AO O.
26 6 Mmt Apliksi SMA Bhs. Dikethui A dn B. Tentukn hsil perklin mtriks berikut ini.. (A)B b. (AB) c. A(B) Penyelesin:. (A)B b. (AB) 8 9 c. A(B) Dri hsil perklin tersebut, tmpk bhw (A)B (AB) A(B). Apkh (AB) (AB)? Apkh hl ini termsuk sift sositif? Kemukkn lsnmu. Berdsrkn contoh-contoh di ts dn pembhsn sebelumny, untuk setip mtriks A, B, dn C yng dpt diklikn tu dijumlhkn, dengn k dlh sutu sklr nggot himpunn bilngn rel, pd perklin mtriks berlku siftsift berikut:. Tidk komuttif, yitu A B B A b. Asositif, yitu (A B) C A (B C) c. Distributif knn, yitu A (B + C) (A B) + (A C) d. Distributif kiri, (A + B) C (A C) + (B C) e. Perklin dengn sklr k, yitu (ka) B k(a B). f. Jik perklin hny memut mtriks-mtriks persegi, terdpt unsur identits, yitu I sehingg AI IA A g. Perklin dengn mtriks O, yitu AO OA O.
27 Mtriks 7 Tugs Investigsi Kerjkn di buku tugs Mislkn A, B, C, dn D mtriks. Apkh berlku sift-sift berikut?. Jik AB AC dn A bukn mtriks C. b. Jik AD mtriks nol mk A tu D mtriks nol. Jik y, buktikn. Jik tidk, crilh contoh mtriks A, B, C, dn D sehingg. AB BC dn A bukn mtriks tetpi B C. b. AD mtriks nol tetpi A dn D bukn mtriks nol. Uji Kompetensi Kerjkn di buku tugs. Dikethui A, B, dn C. Tentukn hsil perklin berikut.. A B d. C t A b. B C e. C t B c. A C f. C t A t. Dikethui P, Q, dn R. Tentukn hsil perklin berikut.. P (Q R) d. Q t R b. (Q R) P e. P Q t c. (P + Q) R f. P Q t R t. Tentukn nili dn b yng memenuhi persmn berikut.. b 6 b d. b. b 9 8 e. b c. b 6. Tentukn mtriks persegi X ordo yng memenuhi persmn berikut.. X b. X
28 8 Mmt Apliksi SMA Bhs. Dikethui A. Tentukn hsil opersi berikut.. A c. A A b. A A d. A 6. Dikethui A. Tentukn hsil opersi berikut.. (A + B) c. (B A) b. A + AB + B d. B BA + A Sol Terbuk Kerjkn di buku tugs. Jik X dn I. Tunjukkn bhw X + X + I (X I) X X + I.. Selidiki pkh. Dikethui mtriks A dn B Tentukn hsil opersi berikut.. A d. (A B) (A + B) b. B e. A (B + B t ) c. A B f. A t (A t + B t ). Tes Mndiri D. Blikn tu Invers Mtriks Kmu tentu thu bhw blikn (invers) dri dlh tu, invers dri dlh tu, dn seterusny. Jik klin cermti,,, dn seterusny. Angk merupkn identits terhdp perklin. Opersi invers jug berlku pd mtriks. Sebelum lebih lnjut mempeljri tentng invers sutu mtriks, terlebih dhulu cob klin peljri determinn. Untuk lebih mudhny, determinn yng dipeljri dlh determinn mtriks ordo. Mengp determinn hrus dipeljri terlebih dhulu? Kren invers sutu mtriks dpt ditentukn jik determinnny dikethui dn determinn itu tidk sm dengn nol. Kerjkn di buku tugs Jik mtriks A mk nili x yng memenuhi persmn A xi dengn I mtriks stun dn A xi determinn dri A xi dlh.... dn b. dn c. dn d. dn e. dn Sol SPMB, Kemmpun Dsr,
29 Mtriks 9 Kethuilh Determinn sutu mtriks ditulis dengn menggunkn gris lurus seperti pd rumus di ts, bukn kurung tu kurung siku seperti hlny pd penulisn mtriks.. Pengertin Determinn Mtriks Ordo x b Mislkn terdpt mtriks A yng berordo. c d Elemen dn d pd mtriks tersebut terletk pd digonl utm (pertm), sedngkn b dn c terletk pd digonl smping (kedu). Determinn mtriks A (disingkt det A ) yng berordo diperoleh dengn mengurngkn hsil kli elemenelemen pd digonl utm dengn hsil kli elemen-elemen pd digonl kedu. Oleh kren itu, determinn mtriks A dlh det A b c d d bc Contoh: Tentukn determinn mtriks-mtriks berikut A b. B Penyelesin:. det A ( ) ( ) 6 b. det B 6 8 (6 ) (8 ). Pengertin Du Mtriks Sling Invers Du mtriks diktkn sling invers jik perklin kedu mtriks itu menghsilkn mtriks identits. Pengertin ini tertung dlm definisi berikut. Mtriks A disebut invers dri mtriks B jik A B B A I, dengn I dlh mtriks identits. Invers dri mtriks B ditulis B, sedngkn invers mtriks A dituliskn dengn A. Perhtikn bhw pd umumny perklin mtriks tidk bersift komuttif, tetpi d yng bersift komuttif, yitu perklin mtriks persegi dengn inversny dn perklin mtriks persegi dengn mtriks identitsny.
30 6 Mmt Apliksi SMA Bhs Contoh: Dikethui A dn B. Selidiki pkh A dn B sling invers. Penyelesin: Mtriks A dn B sling invers jik berlku A B B A I. A B I B A I Kren A B B A I, mtriks A dn B sling invers. Diskusi Berpikir Kritis Dengn mengingt definisi mtriks persegi, invers sutu mtriks, dn mtriks identits, sert sift perklin mtriks, tunjukkn bhw. perklin mtriks persegi dengn inversny bersift komuttif; b. perklin mtriks persegi dengn mtriks identitsny bersift komuttif.. Rumus Invers Mtriks Persegi Berordo x Mislkn mtriks A c kiri dengn mtriks d c b c d c b d d bc b. Jik mtriks A diklikn dri d b, diperoleh d bc (d bc) Jik hsil perklin ini diklikn dengn, untuk d bc d bc, diperoleh d bc ( d bc). Dengn demikin, jik Tes Mndiri Kerjkn di buku tugs Diberikn mtriks A, dengn A b ; b, b tidk keduny nol. Jik A t dn A msingmsing menytkn trnspose dn invers dri A, dn A t A mk dn b memenuhi.... b b. + b c. b d. b e. + b Sol SPMB, Kemmpun IPA,
31 Mtriks 6 Tes Mndiri Kerjkn di buku tugs Jik A dn A B mk mtriks B dlh.... b. c. d. e. Sol SPMB, Kemmpun Dsr, Diskusi Investigsi Mislkn A dn B mtriks persegi berordo, pkh berlku sift:. det (AB) det A. det B? b. det (A + B) det A + det B? mtriks A diklikn dri kiri dengn mtriks untuk d bc, diperoleh d b b d bc c c d I. d d bc c b, Dengn cr yng sm, jik mtriks A diklikn dri knn d b dengn mtriks untuk d bc, diperoleh d bc c b d b c d d bc c I. Berdsrkn pengertin invers sutu mtriks, jik hsil kli du mtriks dlh mtriks identits mk mtriks yng stu merupkn invers mtriks yng lin. Dengn demikin, invers mtriks berordo dpt dirumuskn sebgi berikut. b Jik A dengn d bc mk invers mtriks A, c d ditulis A dlh A d d bc c b det A d c b Berdsrkn pengertin di ts, mtriks A mempunyi invers jik dn hny jik det A. Mtriks semcm ini disebut mtriks nonsingulr. Adpun mtriks yng nili determinnny nol disebut mtriks singulr. Contoh: Dikethui Q Penyelesin: det Q. Tentukn Q. ( ) ( ). Berrti, Q mempunyi invers. Q det Q
32 6 Mmt Apliksi SMA Bhs. Psngn mtriks-mtriks mnkh yng sling invers?. dn c. 7 dn 7 b. 7 dn 7 d. dn. Tentukn determinn mtriks-mtriks berikut c. e. x x x x + b. 8 d. 7 8 f. x x. Mnkh di ntr mtriks-mtriks di bwh ini yng merupkn mtriks nonsingulr?. 6 8 c. b d Tentukn nili pd persmn berikut d. b. 8 7 e. c. f.. Tentukn invers mtriks berikut.. c b. d. 8 Uji Kompetensi 6 Kerjkn di buku tugs
33 Mtriks Dikethui A dn B 7 7 Tentukn. A B c. (AB) b. B A d. (BA) 7. Jik A 7 6, tentukn (A ). 8. Jik A. (A t ) b. (A ) t, tentukn. Determinn dn Invers Mtriks Ordo (Pengyn) Mislkn mtriks A. Determinn mtriks A dpt ditentukn dengn menggunkn turn Srrus. det A + + Selin menggunkn turn Srrus, determinn mtriks A jug dpt dicri menggunkn rumus berikut. det A + dengn minor elemen, dn disebut minor elemen, disebut minor elemen. disebut
34 6 Mmt Apliksi SMA Bhs Cob klin buktikn bhw rumus yng kedu sm dengn rumus yng pertm. Secr umum, jik elemen-elemen pd bris ke-i dn kolom ke-j dri mtriks A dihilngkn mk diperoleh submtriks berukurn. Determinn submtriks ini disebut minor elemen ij ditulis M ij, sedngkn ( ) +j M ij disebut kofktor elemen ij ditulis K ij. Dengn menggunkn beberp pengertin tersebut, rumus determinn mtriks A sebgi berikut. det A j K ij ij dengn i,,, tu det A j K ij ij dengn j,,. Cob klin tuliskn rumus-rumus determinn mtriks A tnp menggunkn notsi sigm. Bukti rumus ini kn dipeljri di jenjng pendidikn yng lebih tinggi.. Rumus Invers Mtriks Persegi Ordo Menggunkn Adjoin Invers mtriks persegi berordo dpt ditentukn menggunkn beberp cr. Pd pembhsn kli ini, kn kit pergunkn du cr, yitu mengunkn djoin dn trnsformsi bris elementer. Nmun, kli ini kit hny kn menggunkn cr djoin. Cr-cr menentukn invers berordo dpt diperlus untuk mtriks yng ordony,, 6 6, dn seterusny. Diberikn mtriks A. Untuk menentukn invers mtriks A dengn menggunkn djoin, selin beberp pengertin yng sudh klin peljri sebelumny d pengertin yng hrus klin phmi, yitu tentng kofktor dri mtriks A dn djoin mtriks A. Kofktor dri mtriks A ditulis kof(a) K K K K K K K K K, sedngkn djoin dri mtriks A ditulis dj(a) dlh trnspose dri kof (A).
35 Mtriks 6 [kof(a)] t K K K K K K K K K M M M M M M M M M Terlebih dhulu, kit tentukn nili minor M ij.. Dri mtriks A, diperoleh M K ( ) + M M Dengn cr serup, diperoleh M K ( ) + M M M K ( ) + M M Cob, klin tentukn K, K, K, K, K, dn K. Jik klin telh menentukn kofktor-kofktor itu, diperoleh dj(a) Jdi, invers mtriks A yng berordo, yitu A ditentukn dengn rumus A det dj ( A) A Bukti rumus ini kn klin peljri di jenjng pendidikn yng lebih tinggi.
36 66 Mmt Apliksi SMA Bhs Contoh: Dikethui mtriks A 6 9. Tentukn berikut ini.. det A b. dj(a) c. A Penyelesin:. Cr : (Dengn menggunkn turn Srrus) det A Cr : (Dengn cr minor-kofktor untuk bris pertm) 6 6 det A (6) ( ) + ( ) Coblh dengn cr bris tu kolom yng lin. Apkh hsilny sm? 6 6 b. K ( ) K ( ) + (8 ) 6 6 K ( ) Cob klin cri K, K, K, K, K, dn K. Jik sudh menentukn kofktor-kofktor itu, klin kn memperoleh mtriks kofktor A. kof(a) Kren dj(a) [kof(a)] t mk diperoleh dj(a)
37 Mtriks 67 c. A det A dj(a) dj(a) Penyelesin Persmn Mtriks yng Berbentuk AX B dn XA B Mislkn A, B, dn X dlh mtriks-mtriks persegi berordo, dengn mtriks A dn B sudh dikethui elemenelemenny. Mtriks X yng memenuhi persmn AX B dn XA B dpt ditentukn jik A merupkn mtriks nonsingulr (det A ). Cr menyelesikn persmn mtriks AX B dn XA B dlh sebgi berikut. Lngkh : Tentukn invers mtriks A, yitu A. Lngkh : Klikn rus kiri dn rus knn persmn tersebut dengn A dri kiri ke knn. (Ingt: A A AA I dn IX XI X).. Untuk menyelesikn persmn AX B, klikn kedu rus persmn itu dengn A dri kiri sehingg diperoleh A (AX) A B (A A)X A B IX A B X A B b. Untuk menyelesikn persmn XA B, klikn kedu rus persmn itu dengn A dri knn sehingg diperoleh (XA)A BA X(AA ) BA XI BA X BA Dengn demikin, dpt disimpulkn bhw penyelesin persmn AX B dn XA B, dpt ditentukn dengn rumus berikut. Penyelesin persmn mtriks AX B dlh X A B. Penyelesin persmn mtriks XA B dlh X BA.
38 68 Mmt Apliksi SMA Bhs Contoh: Dikethui A dn B 7. Tentukn mtriks X yng memenuhi persmn berikut.. AX B b. XA B Penyelesin: Kren A mk det A 6. Oleh kren itu, A.. Kren AX B mk X A B 9 7. b. Kren XA B mk X BA Uji Kompetensi 7 Kerjkn di buku tugs. Tentukn determinn dn djoin mtriks-mtriks berikut.. A 6 c. C b. B 6 d. D. Mnkh yng merupkn mtriks nonsingulr?. P 6 c. R b. Q 8 6 d. S
39 Mtriks 69. Tentukn nili yng memenuhi persmn berikut.. 6 c. 9 b. 8 d.. Tentukn invers mtriks-mtriks berikut.. K 7 6 c. M b. L d. N. Tentukn mtriks X jik dikethui persmn berikut.. X c. X b. 6 X d. X 6 ( 6) E. Menyelesikn Sistem Persmn Liner Di wl bb ini, klin telh dipncing dengn sol prsyrt, bgimn cr menyjikn koefisien-koefisien sistem persmn liner ke dlm sutu tbel. Dri tbel itu, tentu klin kn dpt menyusun sebuh mtriks yng berhubungn dengn koefisienkoefisien sistem persmn liner. Sekrng, mri kit lnjutkn dengn cr menyelesikn sistem persmn liner dengn cr mtriks.. Penyelesin Sistem Persmn Liner Du Vribel Sistem persmn liner du vribel dpt jug diselesikn menggunkn mtriks. Mislkn terdpt sistem persmn liner dengn vribel x dn y sebgi berikut. x + by p {... () cx + dy q
40 7 Mmt Apliksi SMA Bhs Sistem persmn tersebut dpt dinytkn dlm bentuk mtriks berikut. b x p c d y q... () Persmn () merupkn bentuk persmn mtriks AX B b dengn elemen mtriks A c d, X x p y, dn B q. Persmn ini dpt diselesikn dengn menglikn mtriks A dri kiri, seperti yng telh kit peljri pd pembhsn sebelumny. A (AX) A B (A A)X A B IX A B X A B Kren A c b mk A d d d bc c b. Kren B p q, mtriks X x y dpt ditentukn dengn rumus x y d bc d c b p q Contoh: Tentukn himpunn penyelesin sistem persmn liner berikut. x + y x + y 9 { Penyelesin: Jik sistem persmn tersebut ditulis dlm bentuk mtriks, diperoleh x y 9. Persmn mtriks di ts dpt ditulis menjdi AX B, dengn A, X x y, dn B. 9
41 Mtriks 7 det A dn A Oleh kren itu, X A B x y 9 6 Jdi, himpunn penyelesinny dlh {(, 6)}... Penyelesin Sistem Persmn Liner Tig Vribel (Pengyn) Mislkn terdpt sistem persmn liner tig vribel berikut. { x + by + cz p dx + ey + fz q... () gx + hy + iz r Sistem persmn liner tersebut dpt dinytkn dlm bentuk mtriks, yitu b c x p d e f y q... () g h i z r Persmn () merupkn bentuk persmn mtriks AX B, dengn b c x p A d e f, X y, dn B q... () g h i z r Anlog dengn pembhsn pd penyelesin sistem persmn liner du vribel, persmn mtriks tersebut dpt diselesikn dengn menglikn A dri kiri sebgi berikut. A (AX) A B (A A)X A B IX A B X A B Dlm hl ini, kren A dlh mtriks berordo mk A det A dj(a). Oleh kren itu, X det A dj( A) B det A dj(a)b
42 7 Mmt Apliksi SMA Bhs Contoh: Tentukn penyelesin dri sistem persmn liner berikut. x + y + z x + y z x y + z Penyelesin: Sistem persmn liner di ts dpt ditulis dlm bentuk persmn mtriks sebgi berikut. x y z Dri bentuk persmn mtriks tersebut, diperoleh A, X x y z, dn B. det A ( 6 + ) ( + ) 6 dj(a)... (Cob klin buktikn) Oleh kren itu, X 6 x y z 6 9 Jdi, penyelesin dri sistem persmn liner di ts dlh x, y, dn z. {
43 Mtriks 7 Sol Terbuk Kerjkn di buku tugs. Seorng nk membeli buku tulis dn pensil. I hrus membyr Rp9.,. Jik nk itu membeli buku tulis dn pensil mk nk itu hrus membyr Rp6.,. Dengn menggunkn invers mtriks, tentukn hrg sebuh buku tulis dn hrg sebuh pensil.. Sebuh kios menjul bermcm-mcm buh di ntrny jeruk, slk, dn pel. Seseorng yng membeli kg pel, kg slk, dn kg jeruk hrus membyr Rp.,. Orng yng membeli kg jeruk, kg slk, dn kg pel hrus membyr Rp.,. Orng yng membeli kg jeruk, kg slk, dn kg pel hrus membyr Rp6.,. Dengn menggunkn metode determinn, tentukn hrg msing-msing buh per kg-ny.. Menyelesikn Sistem Persmn Liner dengn Metode Determinn (Pengyn) Klin telh mempeljri determinn mtriks berordo dn. Sekrng kit kn menggunkn determinn untuk menyelesikn sistem persmn liner du dn tig vribel. Perhtikn sistem persmn liner berikut. { {. x + by p cx + dy q. x + y + z p x + y + z q x + y + z r Sistem persmn liner du vribel di ts dpt ditulis dlm b x bentuk mtriks AX B, dengn A, X c d y, dn B p q. Untuk mendptkn penyelesinny, terlebih dhulu tentukn D, D, dn D, dengn x y D b dlh determinn dri mtriks koefisien vribel c d x dn y. p b D x dlh determinn D, dengn elemen-elemen pd q d kolom pertm dignti elemen-elemen mtriks B, yitu p dn q. D y p dlh determinn D, dengn elemen-elemen pd c q kolom kedu dignti elemen-elemen mtriks B, yitu p dn q.
44 7 Mmt Apliksi SMA Bhs Setelh D, D x, dn D y ditentukn, nili x dn y dpt diperoleh dengn x D x D dn y D y D Dengn cr yng sm, sistem persmn liner tig vribel dpt diselesikn dengn cr berikut. D D y p q r D x p q r Nili x, y, dn z diperoleh dri D z p q r x Dx, y Dy, dn z Dz. D D D Agr klin dpt memhminy, perhtikn contoh berikut. Dlm hl ini, diberikn contoh sistem persmn liner tig vribel. Jik klin memhmi contoh ini, tentuny klin kn lebih mudh memhmi penyelesin sistem persmn liner du vribel dengn cr determinn. Contoh: Tentukn penyelesin sistem persmn liner tig vribel berikut dengn cr determinn. x + y + z x y z x y z { Penyelesin: Sistem persmn liner di ts dpt diubh ke dlm bentuk mtriks berikut. x y z Dengn demikin, kit dpt menentukn D, D x, D y, dn D z.
45 Mtriks 7 D ( 6 8) ( 6 + ) 9 D x ( 6 + ) ( ) 9 D y D z ( + ) ( 6 8 6) 9 ( 6) ( ) 8 Nili x, y, dn z ditentukn dengn x D x D 9 9 ; y Dy D 9 9 ; z D x D 8 9 Jdi, penyelesin sistem persmn liner tersebut dlh x, y, dn z. Untuk meltih klin gr mengusi mteri ini, kerjkn Uji Kompetensi 8 nomor dn dengn metode determinn. Tugs Eksplorsi Kerjkn di buku tugs. Tentukn penyelesin sistem persmn liner berikut.. x + y { 7x y b. x y { x y. Tentukn nili + b + c jik {(, b, c)} dlh himpunn penyelesin dri sistem persmn berikut.. { x + y z x + y z x + y + z b. { x + y + z x + y + z x + y + z 8
46 76 Mmt Apliksi SMA Bhs Uji Kompetensi 8 Kerjkn di buku tugs. Dengn menggunkn mtriks, tentukn himpunn penyelesin sistem persmn berikut.. x y f. x y 7 { x + y { x y b. x y g. 6x + y { x + y { x + y 6 c. x + y h. x + y 7 { x + y { x y d. x + 6y i. x + y { x + y { x y e. x + y j. x y 7 { x y 6 { x y. Dengn menggunkn mtriks, tentukn himpunn penyelesin sistem persmn liner berikut.. { x y + z d. { x + y + z 9 x + y z 7 x y z x + y + z x + y + z b. { x y z e. { x + 6y z x + y + z x + y z 8 x + y z 6x y + z c. { x y + z 6 f. { x + 8y + z x + y + z x y + z x y z x + y z. Tentukn penyelesin sistem persmn berikut. (Petunjuk: Gunkn pemisln vribel yng sesui). x + y { { x y b. x + y x y. Mislny keliling sutu persegi pnjng dlh cm dn kli pnjngny dikurngi kli lebrny sm dengn cm. Butlh sistem persmn linerny. Kemudin, dri sistem persmn itu, tentukn pnjng dn lebr persegi pnjng itu dengn menggunkn mtriks.. Sepuluh thun llu umur seorng yh sm dengn kli umur nkny. Mislkn jumlh kli umur yh dn kli umur nkny sekrng thun. Butlh sistem persmn liner ksus itu, kemudin tentukn umur yh dn nk sekrng dengn menggunkn mtriks.
47 Mtriks 77 Sol Terbuk Kerjkn di buku tugs Tig orng A, B, dn C berbelnj gul, bers, dn telur secr bersmn. A membeli kg gul, kg bers, dn kg telur; B membeli kg gul, kg bers, dn kg telur; sedngkn C membeli kg gul, kg bers, dn kg telur. Ung yng dibyrkn A, B, dn C berturut-turut dlh Rp7.,, Rp.,, dn Rp.,. Butlh sistem persmn linerny, kemudin dengn menggunkn mtriks, tentukn hrg gul, bers, dn telur per kilogrmny. Refleksi Cob ingt kembli mteri mtriks yng bru sj klin peljri. Ternyt klin menemukn cr yng mudh dlm penyusunn ngk-ngk dengn cr yng ringks. Menurutmu, pkh mteri ini dpt diterpkn dlm prktik nyt? Berikn lsnmu. Rngkumn. Mtriks dlh susunn bilngn-bilngn yng berbentuk persegi pnjng dn disusun menurut turn bris dn turn kolom.. Jik sutu mtriks mempunyi m bris dn n kolom, mtriks tersebut diktkn mempunyi ordo m n.. Trnspose dri mtriks A dlh sutu mtriks yng diperoleh dengn cr menukrkn setip elemen bris mtriks A menjdi elemen kolom mtriks trnsposeny.. Jik A dn B du mtriks yng ordony sm, pd penjumlhn berlku A B A + ( B).. Jik A, B, dn C dlh mtriks-mtriks yng ordony sm, pd penjumlhn mtriks berlku. sift komuttif, yitu A + B B + A; b. sift sositif, yitu (A + B) + C A + (B + C); c. terdpt unsur identits, yitu mtriks nol sehingg A + O O + A A; d. setip mtriks A mempunyi invers penjumlhn, yitu A sehingg A + ( A) A + A O. Pd pengurngn mtriks tidk berlku sift komuttif, tidk sositif, dn tidk terdpt unsur identits. 6. Jik A, B, dn C dlh tig mtriks yng dpt dijumlhkn tu diklikn dn k sutu sklr nggot himpunn bilngn rel, pd perklin mtriks berlku siftsift berikut:. tidk komuttif AB BA; b. sositif, yitu (A B) C A (B C); c. distributif kiri, yitu A (B + C) (A B) + (A C);
48 78 Mmt Apliksi SMA Bhs d. distributif knn, yitu (A + B) C (A C) + (B C); e. perklin dengn sklr k, yitu (ka) B k (A B); f. jik perklin hny memut mtriks-mtriks persegi, terdpt unsur identits, yitu I sehingg AI IA A; g. perklin dengn mtriks O, yitu AO OA O. 7. Jik k bilngn bult positif dn A mtriks persegi, A k A A A A (sebnyk k fktor). 8. Mtriks A sling invers dengn mtriks B jik AB BA I, dengn I mtriks identits. 9. Jik A b mk invers mtriks A dlh A c d d det A c d bc d c b b ; d bc. Nili b bc disebut determinn mtriks A, disingkt dengn det A. Jik det A, mtriks A tidk mempunyi invers dn disebut mtriks singulr, sedngkn jik det A, mtriks A disebut mtriks nonsingulr.
Kerjakan di buku tugas. Tentukan hasil operasi berikut. a. A 2 d. (A B) (A + B) b. B 2 e. A (B + B t ) c. A B f. A t (A t + B t ) Tes Mandiri
Mmt Apliksi SMA Bhs Dikethui A = Tentukn hsil opersi berikut A c A A b A A d A Dikethui A = Tentukn hsil opersi berikut (A + B) c (B A) b A + AB + B d B BA + A Sol Terbuk Kerjkn di buku tugs Jik X = dn
BAB III MATRIKS
BB III MTRIKS PENGERTIN MTRIKS Pengertin Mtriks Mtriks dlh susunn bilngn-bilngn ng berbentuk persegi tu persegi pnjng ng ditur dlm bris dn kolom Bentuk Umum Mtriks : i m i m i m j j j ij mj n n n in mn
BAB 10. MATRIKS DAN DETERMINAN
Dessy Dwiynti, S.Si, MBA Mtemtik Ekonomi 1 BAB 10. MATRIKS DAN DETERMINAN 1. Pengertin mtriks Mtriks kumpuln bilngn yng disjikn secr tertur dlm bris dn kolom yng membentuk sutu persegi pnjng, sert termut
PERTEMUAN - 1 JENIS DAN OPERASI MATRIKS
PERTEMUN - JENIS DN OPERSI MTRIKS Pengertin Mtriks : merupkn sutu lt tu srn yng sngt mpuh untuk menyelesikn model-model liner. Definisi : Mtriks dlh susunn empt persegi pnjng tu bujur sngkr dri bilngn-bilngn
III. Bab. Matriks. Di unduh dari: (www.bukupaket.com) Sumber buku : (bse.kemdikbud.go.id)
Bb III Mtriks 79 Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri bb ini, dihrpkn klin dpt. menjelskn ciri sutu mtriks;. menuliskn informsi dlm bentuk mtriks;. melkukn opersi ljbr ts du mtriks; 4. menentukn determinn
4. Perkalian Matriks. Riki 3 2 Fera 2 5. Data harga bolpoin dan buku (dinyatakan oleh matriks Q), yaitu
Sift-Sift Perklin Sklr Mislkn dn b sklr, D dn H mtriks sebrng dengn ordo sm, mk berlku sift-sift sebgi berikut. D + H (D + H) 2. D + bd ( + b)d 3. (bd) (b)d 4. Perklin Mtriks Du buh mtriks tu lebih selin
BAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI Bb berikut ini kn disjikn mteri pendukung yng dpt membntu penulis untuk menyelesikn permslhn yng kn dibhs pd bb selnjutny. Adpun mteri pendukungny dlh pengertin mtriks, jenis-jenis
Bab a. maka notasi determinan dari matriks A ditulis : det (A) atau. atau A.
Bb DETERMINAN MATRIKS Determinn sutu mtriks dlh sutu fungsi sklr dengn domin mtriks bujur sngkr. Dengn kt lin, determinn merupkn pemetn dengn domin berup mtriks bujur sngkr, sementr kodomin berup sutu
VEKTOR. 1. Pengertian Vektor adalah besaran yang memiliki besar (nilai) dan arah. Vektor merupakan sebuah ruas garis yang
VEKTOR 1. Pengertin Vektor dlh besrn yng memiliki besr (nili dn rh. Vektor merupkn sebuh rus gris yng P berrh dn memiliki pnjng. Pnjng rus gris tersebut dlh pnjng vektor. Rus gris dri titik P dn berujung
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA
K- Kels X mtemtik PEMINATAN PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi definisi persmn dn pertidksmn logritm.. Dpt
BAB ALJABAR MARIX Dlm pokok bhsn ini kn disjikn dsr-dsr opersi ljbr mtrix yng berhubungn dengn nlisis struktur dengn menggunkn metode mtrix kekkun (stiffness method)... Pengertin Mtrix Mtrix merupkn sutu
BAB I. MATRIKS BAB II. DETERMINAN BAB III. INVERS MATRIKS BAB IV. PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR SIMULTAN
DFTR ISI BB I. MTRIKS BB II. DETERMINN BB III. INVERS MTRIKS BB IV. PENYELESIN PERSMN LINER SIMULTN BB I. MTRIKS Mtriks erup sekelompok ilngn yng disusun empt persegi dn ditsi tnd terdiri dri ris dn kolom
DETERMINAN. Misalkan A adalah suatu matriks persegi. a) Jika A memiliki satu baris atau satu kolom bilangan nol, maka det(a) = 0.
DETERMINAN Fungsi determinn dri sutu mtriks persegi A (dinotsikn dengn det(a) tu A ) didefinisikn sebgi jumlh dri semu hsil kli elementer bertnd dri A. Sementr, ngk tu bilngn dri det(a) disebut determinn
SISTEM BILANGAN REAL. 1. Sifat Aljabar Bilangan Real
SISTEM BILANGAN REAL Dlm terminologi Aljbr Abstrk, sistem bilngn rel disebut dengn field (lpngn) pd opersi penjumlhn dn perklin. Sutu opersi biner bis ditulis dengn sutu psngn terurut (, b) yng unik dri
Matriks. Pengertian. Lambang Matrik
triks Pengertin Definisi: trik dlh susunn bilngn tu fungsi yng diletkkn ts bris dn kolom sert dipit oleh du kurung siku. Bilngn tu fungsi tersebut disebut entri tu elemen mtrik. mbng mtrik dilmbngkn dengn
BAHAN AJAR MATEMATIKA UMUM KELAS XI MATERI POKOK : OPERASI MATRIKS
BAHAN AJAR MATEMATIKA UMUM KELAS XI MATERI POKOK : OPERASI MATRIKS Mtriks A dn mtriks B diktkn sm (A = B), jik dn hny jik: 1. Ordo mtriks A sm dengn ordo mtriks B 2. Setip elemen yng seletk pd mtriks A
M A T R I K S. Oleh: Dimas Rahadian AM, S.TP. M.Sc.
M T R I K S Oleh Dims Rhdin M, S.TP. M.Sc Emil [email protected] JURUSN ILMU DN TEKNOLOGI PNGN UNIVERSITS SEBELS MRET SURKRT DEFINISI... Mtriks dlh susunn bilngn berbentuk jjrn segi empt siku-siku yng
MATRIKS A. Pengertian, Notasi dan Bagian Dalam Matriks
MATRIKS A. Pengertin, Notsi dn Bgin Dlm Mtriks Dlm kehidupn sehri-hri kit sering menemui dt tu informsi dlm entuk tel, seperti tel pertndingn sepkol, tel sensi kels, tel hrg tiket keret pi dn seginy..
Minggu ke 3 : Lanjutan Matriks
inggu ke : Lnjutn triks Pokok Bhsn Sub Pokok Bhsn Tujun Instruksionl Umum Tujun Instruksionl Khusus : triks :. Trnsformsi Elementer. Trnsformsi Elementer pd bris dn kolom. triks Ekivlen. Rnk triks B. Determinn.
Matriks yang mempunyai jumlah baris sama dengan jumlah kolomnya disebut matriks bujur sangkar (square matrix). contoh :
TRIKS. PENGERTIN triks dlh sutu deretn elemen yng mementuk empt persegi pnjng, terdiri dri m ris dn n kolom. Elemen terseut dpt erentuk koefisien, ilngn tu simul. triks yng mempunyi m ris dn n kolom diseut
1) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persamaan kuadrat adalah seperti di bawah ini:
) BENTUK UMUM DAN BAGIAN-BAGIAN PERSAMAAN KUADRAT Bentuk umum persmn kudrt dlh seperti di bwh ini: b c dengn, b, c bilngn dn riil Dimn, disebut sebgi koefisien dri b disebut sebgi koefisien dri c disebut
1. Pengertian Matriks
BAB MATRIKS BAB MATRIKS. Pengertin Mtriks. Opersi Mtriks. Trnspose Sutu Mtriks. Kesmn Duh Buh Mtriks. Jenis-Jenis Mtriks. Trnsformsi Elementer 7. Rnk Mtriks . Pengertin Mtriks Mtriks dlh dftr ilngn yng
Universitas Esa Unggul
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS BHAN KULIAH DRA SURYARI PURNAMA, MM Universits Es Unggul Minggu I Mtriks Pokok Bhsn Sub Pokok Bhsn Tujun Instruksionl Umum Tujun Instruksionl Khusus : Pendhulun Mtriks : A. Pengertin
Aljabar Linear Elementer
ljbr Liner Elementer M SKS Silbus : Bb I Mtriks dn Opersiny Bb II Determinn Mtriks Bb III Sistem Persmn Liner Bb IV Vektor di Bidng dn di Rung Bb V Rung Vektor Bb VI Rung Hsil Kli Dlm Bb VII Trnsformsi
CHAPTER 1 EXPONENTS, ROOTS, AND LOGARITHMS
CHAPTER EXPONENTS, ROOTS, AND LOGARITHMS Indiktor (penunjuk): Mengubh bentuk pngkt negtif ke pngkt positif dn seblikny. (4 jp) A. EXPONENTS. Definition (ketentun): Positive Integers Exponents n = x x...
A. PENGERTIAN B. DETERMINAN MATRIKS
ATRIKS A. PENGERTIAN triks dlh sutu deretn elemen yng mementuk empt persegi pnjng, terdiri dri m ris dn n kolom. Elemen terseut dpt erentuk koefisien, ilngn tu simul. triks yng mempunyi m ris dn n kolom
CONTOH SOLUSI BEBERAPA SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh: Wiworo, S.Si, M.M. 3. Untuk k 2 didefinisikan bahwa a
CONTOH SOLUSI BEBERAPA SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Oleh: Wiworo, S.Si, M.M. Dikethui bhw,. Untuk k didefinisikn bhw k k k. Tentukn jumlh tk hingg dri. Kit mislkn S S. Dengn demikin kit dpt menuliskn Kedu
BAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI. Mtriks Definisi. (Anton, Howrd. ). Mtriks dlh sutu susunn bilngn berbentuk segi empt. Bilngn-bilngn dlm susunn itu disebut nggot dlm mtriks tersebut. Ukurn (size) sutu mtriks dinytkn
Aljabar Linear Elementer
ljbr Liner Elementer M3 3 SKS Silbus : Bb I Mtriks dn Opersiny Bb II Determinn Mtriks Bb III Sistem Persmn Liner Bb IV Vektor di Bidng dn di Rung Bb V Rung Vektor Bb VI Rung Hsil Kli Dlm Bb VII Trnsformsi
MATRIKS. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah.
MATRIKS Stndr Kompetensi : Menggunkn konsep mtriks, vektor, dn trnsformsi dlm pemechn mslh Kompetensi Dsr : Menggunkn sift-sift dn opersi mtriks untuk menentukn invers mtriks persegi Menggunkn determinn
MATRIKS Definisi: Matriks Susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Matriks ditulis sebagai berikut (1)...
MATRIKS Definisi: Mtriks Susunn persegi pnjng dri ilngn-ilngn yng ditur dlm ris dn kolom. Mtriks ditulis segi erikut ()... m... m... n... n......... mn Susunn dits diseut mtriks m x n kren memiliki m ris
BAB I MATRIKS. Aljabar matriks merupakan salah satu cabang matematika yang. dikembangkan oleh seorang matematikawan Inggris Arthur Cayley ( ).
BAB I MATRIKS Aljbr mtriks merupkn slh stu cbng mtemtik yng dikembngkn oleh seorng mtemtikwn Inggris Arthur Cyley (8 89) Mtriks berkembng kren pernnny dlm cbng-cbng Mtemtik linny, mislny bidng ekonomi,
Skew- Semifield dan Beberapa Sifatnya 1
Skew- Semifield dn Beberp Siftny K r y t i Jurusn Pendidikn Mtemtik Fkults Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm Universits Negeri Yogykrt E-mil: [email protected] Abstrk Sutu field ( lpngn ) F dlh struktur ljbr
b. Notasi vektor : - Vektor A dinotasikan a atau a atau PQ - Panjang vektor a dinotasikan a atau PQ
BAB 4 VEKTOR Stndr Kompetensi: 3. Menggunkn konsep mtriks, vektor, dn trnsformsi Kompetensi Dsr: 3.4 Menggunkn sift-sift dn opersi ljbr vktor dlm pemechn mslh 3.5 Menggunkn sift-sift dn opersi perklin
3.1 Permutasi. Secara umum, bilangan-bilangan pada {1, 2,, n} akan mempunyai n! permutasi
BB Determinn . Permutsi Definisi Permutsi: (i) Sutu permutsi dri bilngn-bilngn bult {,,,, n} dlh penyusunn bilngn-bilngn tersebut dengn urutn tnp pengulngn. (ii) Brisn bilngn ( j, j,.., j n ) dimn j i
Topik: Matriks Dan Sistem Persamaan Linier
Mt Kulih: Mtemtik Kode: TKF Topik: Mtriks Dn Sistem Persmn Linier MAT Kompetensi : Dpt menerpkn konsep-konsep mtriks dn sistem persmn linier dlm mempeljri konsep-konsep keteknikn pd mt kulih mt kulih progrm
didefinisikan sebagai bilangan yang dapat ditulis dengan b
1 PENDAHULUAN 1.1 Sistem Bilngn Rel Untuk mempeljri klkulus perlu memhmi hsn tentng system ilngn rel, kren klkulus didsrkn pd system ilngn rel dn siftsiftny. Sistem ilngn yng pling sederhn dlh ilngn sli,
MATRIKS. Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ
MTRIKS gustin Prdjningsih, M.Si. Jurusn Mtemtik FMIP UNEJ [email protected] DEFINISI MTRIKS Sutu dftr bilngn-bilngn rel tu kompleks terdiri ts m bris dn n kolom, m dn n bilngn bult positip disebut mtriks
DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS BLOK 2 2
Buletin Ilmih Mth. Stt. dn Terpnny (Bimster) Volume 06, No. 3(2017), hl 193 202. DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS BLOK 2 2 Ilhmsyh, Helmi, Frnsiskus Frn INTISARI Mtriks blok merupkn mtriks persegi yng diblok
LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN
LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN RANGKUMAN MATERI Sebelum memsuki mteri, perhtikn himpunn-himpunn berikut: ) Himpunn bilngn sli:,,,4,5,.... b) Himpunn bilngn bult:...,,,0,,,.... p c) Himpunn bilngn rsionl:
Integral Tak Wajar. Ayundyah Kesumawati. March 25, Prodi Statistika FMIPA-UII
Kesumwti Prodi Sttistik FMIPA-UII Mrch 25, 205 Sutu integrl tertentu b f (x)dx () diktkn wjr jik i memenuhi du syrt berikut: i. Bts integrsi dn b merupkn bilngn berhingg ii. fungsi f (x) terbts pd intervl
Pengertian Matriks. B. Notasi Matriks. a 21 adalah elemen baris 2 kolom 1. Banyaknya baris : Banyaknya kolom : Ordo Matrik :
MATRIKS Segi gmrn wl mengeni mteri mtriks mri kit ermti urin erikut ini. Dikethui dt hsil penjuln tiket penerngn tujun Medn dn Sury dri seuh gen tiket selm empt hri erturut-turut disjikn dlm tel erikut.
BAB IV BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR
BAB IV BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR Pet Konsep Bilngn Berpngkt dn Bentuk Akr mempeljri Bilngn berpngkt meliputi Bentuk kr meliputi Sift Opersi Mersionlkn Opersi Sift Kt Kunci. Pngkt 2. Akr 3. Sift
Menerapkan konsep vektor dalam pemecahan masalah. Menerapkan konsep vektor pada bangun ruang
VEKTOR PADA BIDANG SK : Menerpkn konsep vektor dlm pemechn mslh KD : Menerpkn konsep vektor pd bidng dtr Menerpkn konsep vektor pd bngun rung TUJUAN PELATIHAN: Pesert memiliki kemmpun untuk mengembngkn
VEKTOR. Adri Priadana. ilkomadri.com
VEKTOR Adri Pridn ilkomdri.com Pengertin Dlm Fisik dikenl du buh besrn, yitu 1. Besrn Sklr. Besrn Vektor Pengertin Besrn Sklr dlh sutu besrn yng hny mempunyi nili dn dinytkn dengn sutu bilngn tunggl diserti
det DEFINISI Jika A 0 disebut matriks non singular
DETERINAN DEFINISI Untuk setip mtriks persegi (bujur sngkr), d stu bilngn tertentu yng disebut determinn Determinn dlh jumlh semu hsil kli elementer bertnd dri sutu mtriks bujur sngkr. Disimbolkn dengn:
matematika WAJIB Kelas X RASIO TRIGONOMETRI Kurikulum 2013 A. Definisi Trigonometri
Kurikulum 0 Kels X mtemtik WAJIB RASIO TRIGONOMETRI Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi rsio-rsio trigonometri yng meliputi sinus, kosinus, tngen,
2.Matriks & Vektor (1)
.triks & Vektor () t Kulih: ljbr Liner dn triks Semester Pendek T. / S Teknik Informtik Dosen Pengmpu: Heri Sismoro,.Kom. STIK IKO YOGYKRT Jl. Ringrod Utr Condong Ctur Yogykrt. Telp. 7 88 Fx 7-888 Website:
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE)
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS MATRIKS (DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE) Mcm Mtriks Mtriks Nol () Mtriks yng semu entriny nol. Ex: Mtriks Identits (I) Mtriks persegi dengn entri pd digonl utmny dn pd tempt lin.
Catatan Kuliah 2 Matematika Ekonomi Memahami dan Menganalisa Aljabar Matriks (2)
Cttn Kulih Mtemtik Ekonomi Memhmi dn Mengnlis ljbr Mtriks (). Vektor dn kr Krkteristik pbil dlh mtriks berordo n n dn X dlh vector n, kn dicri sklr λ R yng memenuhi persmn : X λ X tu ( λi) X gr X (solusiny
ALJABAR LINIER _1 Matrik. Ira Prasetyaningrum
LJR LINIER _ Mtrik Ir Prsetyningrum DEFINISI MTRIKS pkh yng dimksud dengn Mtriks? kumpuln ilngn yng disjikn secr tertur dlm ris dn kolom yng mementuk sutu persegi pnjng, sert termut dintr sepsng tnd kurung.
MODUL 2 DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS
MODUL DETERMINN DN INVERS MTRIKS.. Determinn Definisi. (Determinn) Untuk setip mtriks berukurn n x n, yng dikitkn dengn sutu bilngn rel dengn sift tertentu dinmkn determinn, dengn notsi dri determinn mtriks
matematika K-13 TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR K e l a s
K-3 mtemtik K e l s XI TEOREMA FAKTOR DAN OPERASI AKAR Tujun Pemeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun erikut.. Memhmi teorem fktor.. Menentukn kr dn fktor liner suku nyk dengn
Vektor di R 2 dan R 3
Vektor di R dn R Pengertin Vektor dlh besrn yng mempunyi besr dn rh Vektor digmbrkn oleh rus gris yng dilengkpi dengn nk pnh vektor dimuli dri titik wl (initil point) dn dikhiri oleh titik khir (terminl
Bilangan. Bilangan Nol. Bilangan Bulat (Z )
Bilngn Bilngn Asli (N) (,2,, ) Bilngn Nol (0) Bilngn Negtif (,, 2, ) Bilngn Bult (Z ) Bilngn Pechn ( 2 ; 5 ; 5%; 6,82; ) 7 A. Bilngn Asli (N) Bilngn Asli dlh himpunn bilngn bult positif (nol tidk termsuk).
matematika PEMINATAN Kelas X FUNGSI LOGARITMA K-13 A. Definisi Fungsi Logaritma
K-3 Kels mtemtik PEMINATAN FUNGSI LOGARITMA Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi definisi fungsi logritm.. Dpt menggunkn konsep fungsi logritm dlm menyelesikn
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN MENGGUNAKAN DETERMINAN (ATURAN CRAMER)
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN MENGGUNAKAN DETERMINAN (ATURAN CRAMER) Dikethui system Persmn Linier x+ x + x = x+ x + x = x+ x + x = dlm entuk mtriks x x x Penyelesin Dengn Aturn Crmer dlh
Sistem Persamaan Linear Bagian 1
Sistem Persmn Liner Bgin. SISTEM PERSAMAAN LINEAR PENGANTAR Dlm bgin ini kn kit perkenlkn istilh dsr dn kit bhs sebuh metode untuk memechkn sistem-sistem persmn liner. Sebuh gris dlm bidng xy secr ljbr
Bab. Matriks. A. Pengertian dan Jenis. Matriks. B. Operasi Aljabar pada. Matriks
Bb IV Sumber: www.gerrysckes.com Mtriks Pd bb sebelumny, And telh mempeljri persmn dn pertidksmn. Bentuk persmn dpt diubh ke bentuk mtriks untuk mempermudh dlm perhitungn, mislny pliksi berikut ini. Ti,
r x = 0. Koefisien-koefisien persamaan yang dihasilkan adalah analitik pada x = 0. Jadi dapat kita gunakan metode deret pangkat.
Husn Arifh,M.Sc : Persmn Legendre Emil : [email protected] Persmn diferensil Legendre (1) 1 x 2 y 2xy + n n + 1 y = 0 Prmeter n pd (1) dlh bilngn rill yng diberikn. Setip penyelesin dri (1) dinmkn fungsi
1. Introduction. Aljabar Linear dan Matriks Semester Pendek TA 2009/2010 S1 Teknik Informatika. Mata Kuliah: Dosen Pengampu: Heri Sismoro, M.Kom.
1. Introduction Mt Kulih: Aljbr Liner dn Mtriks Semester Pendek TA 9/1 S1 Teknik Informtik Dosen Pengmpu: Heri Sismoro, M.Kom. STMIK AMIKOM YOGYAKARTA Jl. Ringrod Utr Condong Ctur Yogykrt. Telp. 74 8841
Materi V. Determianan dinotasikan berupa pembatas dua gris lurus,
Mteri V Tujun : 1. Mhsisw dpt mengenli determinn.. Mhsisw dpt merubh persmn linier menjdi persmn determinn.. Mhsisw menelesikn determinn ordo du. Mhsisw mmpu menelesikn determinn ordo tig. Mhsisw mengethui
2. Paman mempunyai sebidang tanah yang luasnya 5 hektar. Tanah itu dibagikan kepada 3. Luas tanah yang diterima oleh mereka masing-masing = 5 :3 1
. Hitunglh 7 5. : b. 5 : c. 8 : 6 d. 8 9 7 7 7 5 77 77 77. : c. 8 : 6 : 6 6 9 9 9 6 54 8 40 7 b. 5: 5 d. 4: 4: 4 6 8 7 95 Husein Tmpoms, Rumus-rumus Dsr Mtemtik 4 :. Pmn mempunyi sebidng tnh yng lusny
Materi IX A. Pendahuluan
Mteri IX Tujun :. Mhsisw dpt memhmi vektor. Mhsisw mmpu mengunkn vektor dlm persoln sederhn 3. Mhsisw mengimplementsikn konsep vektor pd rngkin listrik. Pendhulun Sudh menjdi kesepktn umum hw untuk menentukn
Sistem Persamaan Linier
b I Sistem Persmn Linier I Sistem Persmn Linier TUJUN PEMELJRN: Mhsisw memhmi konsep-konsep tentng sistem persmn linier, eksistensi dn keunikn sistem persmn linier, keunikn sistem persmn linier homogen,
LEMBAR KERJA SISWA. Pengurangan matriks A dengan B, dilakukan dengan menjumlahkan matriks A dengan matriks negatif (lawan) B.
LEMBAR KERJA SISWA Juul (Mteri Pokok) : Pengertin, Kesmn, Trnspos, Opersi n Sift Mtriks Mt Peljrn : Mtemtik Kels / Semester : XII / Wktu : menit Stnr Kompetensi : Menggunkn konsep mtriks, vektor n trnsformsi
Bab. Vektor. A. Vektor B. Perkalian Vektor. Hasil yang harus Anda capai: menerapkan konsep besaran Fisika dan pengukurannya.
2 Sumer: Dsr-Dsr Foto Jurnlistik, 2003 esrn yng memiliki esr dn rh diseut esrn vektor. Keceptn merupkn slh stu esrn vektor. Vektor Hsil yng hrus nd cpi: menerpkn konsep esrn Fisik dn pengukurnny. Setelh
A x = b apakah solusi x
MTRIKS INVERSI & SIFT-SIFTNY Bil, x, dlh sklr ilngn rel yng memenuhi x, mk x pil. Sekrng, untuk sistem persmn linier x pkh solusi x dpt diselesikn dengn x? Mtriks Identits Untuk sklr (rel numer dn ), mk.
Aljabar Linier & Matriks. Tatap Muka 3
Aljbr Linier & Mtriks Ttp Muk Eliminsi Guss-Jordn Sistem persmn linier dengn n vribel dn m persmn secr umum dinytkn sbg: Sistem persmn linier tsb dpt dinytkn dlm bentuk mtriks sbb: A x X = b dengn A dlh
MUH1G3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR
MUHG3/ MATRIKS DAN RUANG VEKTOR TIM DOSEN 3 Sistem Persmn Liner Sistem Persmn Liner Su Pokok Bhsn Pendhulun Solusi SPL dengn OBE Solusi SPL dengn Invers mtriks dn Aturn Crmmer SPL Homogen Beerp Apliksi
15. INTEGRAL SEBAGAI LIMIT
15. INTEGRAL SEBAGAI LIMIT 15.1 Jumlh Riemnn Dlm kulih Klkulus pd thun pertm, integrl Riemnn bisny diperkenlkn sebgi limit dri jumlh Riemnn, tidk mellui integrl Riemnn ts dn integrl Riemnn bwh. Hl ini
TURUNAN FUNGSI. LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XI
LA - WB (Lembr Aktivits Wrg Beljr) TURUNAN FUNGSI Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XI Creted By It Yulin 33 Turunn Fungsi Kompetensi Dsr 1. Menggunkn
METODE ALTERNATIF BARU UNTUK MENGHITUNG DETERMINAN MATRIKS ORDE 3 X 3
METODE ALTERNATIF BARU UNTUK MENGHITUNG DETERMINAN MATRIKS ORDE 3 X 3 Glng Ismu Hndoko 1, M Ntsir 2, Sigit Sugirto 2 1 Mhsisw Progrm S1 Mtemtik 2 Dosen Jurusn Mtemtik Fkults Mtemtik dn Ilmu Pengethun Alm
SISTEM BILANGAN REAL. Purnami E. Soewardi. Direktorat Pembinaan Tendik Dikdasmen Ditjen GTK Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan
SISTEM BILANGAN REAL Purnmi E. Soewrdi Direktort Peminn Tendik Dikdsmen Ditjen GTK Kementerin Pendidikn dn Keudyn Himpunn Bilngn Asli (N) Bilngn sli dlh ilngn yng pertm kli dikenl dn digunkn oleh mnusi
INTEGRAL. Bogor, Departemen Matematika FMIPA IPB. (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, / 45
INTEGRAL Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB Bogor, 2012 (Deprtemen Mtemtik FMIPA IPB) Klkulus I Bogor, 2012 1 / 45 Topik Bhsn 1 Pendhulun 2 Anti-turunn 3 Lus di Bwh Kurv 4 Integrl Tentu 5 Teorem Dsr Klkulus 6
FISIKA BESARAN VEKTOR
K-3 Kels X FISIKA BESARAN VEKTOR TUJUAN PEMBELAJARAN Setelh mempeljri mteri ini, kmu dihrpkn memiliki kemmpun berikut.. Memhmi pengertin besrn vektor.. Mengusi konsep penjumlhn vektor dengn berbgi metode.
SUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 2016 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN MATEMATIKA BAB IV PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
SUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 2016 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN MATEMATIKA BAB IV PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN Dr. Djdir, M.Pd. Dr. Ilhm Minggi, M.Si J fruddin,s.pd.,m.pd. Ahmd Zki, S.Si.,M.Si Shln Sidjr,
Matriks. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Mtriks Dr. Whyu Widyt, M.Ec. S PENDAHULUAN ering kli kit berhdpn dengn mslh mencri solusi dri sistem persmn linier, tu mslh optimissi sutu fungsi dengn jumlh vribel yng bnyk. Mslh-mslh tersebut
BAB 1 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN. Standar Kompetensi Mahasiswa memahami konsep dasar sistem bilangan real (R)
BAB PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN Stndr Kompetensi Mhsisw memhmi konsep dsr sistem bilngn rel (R) sebgi semest untuk menentukn selesin persmn dn pertidksmn, dpt mengembngkn bentuk persmn dn pertidksmn yng
1. Matriks dan Jenisnya Definisi: Matrik A berukuran m x n ialah suatu susunan angka dalam persegi empat ukuran m x n, sebagai berikut:
triks dn opersiny by yudiri ATRIKS DAN OPERASINYA. triks dn Jenisny Definisi: trik A berukurn x n ilh sutu susunn ngk dl persegi ept ukurn x n, sebgi berikut: A = n n n triks berukurn (ordo) x n. tu A
PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP 2013 TINGKAT KABUPATEN
www.sip-osn.blogspot.com @Mret 0 PEMBAHASAN SOAL OSN MATEMATIKA SMP 0 TINGKAT KABUPATEN. B. x ( x ) ( x + )( x ) ( x ( ) )( x ) ( x + )( x )( x + )( x ) (d fktor) Tidk d penjelsn tentng fktor hrus bilngn
TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA TAHUN 2009
SELEKSI OLIMPIADE TINGKAT KABUPATEN/KOTA TIM OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA TAHUN 009 Bidng Mtemtik Wktu :,5 Jm DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DIREKTORAT
PELATIHAN INSTRUKTUR/PENGEMBANG SMU TANGGAL 28 JULI s.d. 10 AGUSTUS 2003 SUKU BANYAK. Oleh: Fadjar Shadiq, M.App.Sc.
PELATIHAN INSTRUKTUR/PENGEMBANG SMU TANGGAL 8 JULI s.d. 0 AGUSTUS 00 SUKU BANYAK Oleh: Fdjr Shdiq, M.App.Sc. DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH PUSAT PENGEMBANGAN
STRATEGI PENGAJARAN MATEMATIKA UNTUK MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT
Jurnl Vol II. No., Mret 08, hlm. 9-95 vilble online t www.jurnl.un.c.id/indeks/jmp STRTEGI PENGJRN MTEMTIK UNTUK MENENTUKN KR-KR PERSMN KUDRT Indh Purnm Putri, Symsudhuh, Ihd Hsbiyti 3 Progrm Studi Mgister
6. Himpunan Fungsi Ortogonal
6. Himpunn Fungsi Ortogonl Mislkn f periodik dengn periode, dn mulus bgin demi bgin pd [ π, π]. Jik S f N (θ) = N n= N c ne inθ, n =,, 2,..., dlh jumlh prsil dri deret Fourier f, mk kit telh menunjukkn
Suku banyak. Akar-akar rasional dari
Suku nyk Algoritm pemgin suku nyk menentukn Teorem sis dn teorem fktor terdiri dri Pengertin dn nili suku nyk Hsil gi dn sis pemgin suku nyk Penggunn teorem sis Penggunn teorem fktor Derjd suku nyk pd
Bab. Matriks. A. Pengertian dan Jenis. Matriks. B. Operasi Aljabar pada. Matriks
Bb IV Sumber: www.gerrysckes.com Mtriks Pd bb sebelumny, And telh mempeljri persmn dn pertidksmn. Bentuk persmn dpt diubh ke bentuk mtriks untuk mempermudh dlm perhitungn, mislny pliksi berikut ini. Ti,
RUANG VEKTOR (lanjut..)
RUANG VEKTOR (Vector Spce) dn Rung Bgin (Subspce) 8/0/009 budi murtiys ums surkrt RUANG VEKTOR (VECTOR SPACE) Dikethui himpunn V dengn u, v, w V dn opersi i(+)b berlku dintr nggot-nggot t V. Dikethui Field
LEMBAR KEGIATAN SISWA. : Menemukan Teorema Pythagoras Sekolah/Satuan Pendidikan:... Kelas/Semester :... Anggota Kelompok :
LEMBAR KEGATAN SSWA Topik : Menemukn Teorem Pythgors Sekolh/Stun Pendidikn:... Kels/Semester :... Anggot Kelompok : 1.... 2.... 3.... 4. 5.... Tnggl Mengerjkn LKS :. Petunjuk Umum: 1. Setelh mengerjkn
BILANGAN BULAT. 1 Husein Tampomas, Rumus-rumus Dasar Matematika
BILANGAN BULAT. Oprersi Hitung pd Bilngn Bult Bilngn ult (integer) memut semu ilngn cch dn lwn (negtif) ilngn sli, yitu:,, 4,,, 1, 0, 1, 2, 3, 4,, Bilngn ult disjikn dlm gris ilngn segi erikut. Bilngn
PROBLEM SOLVING TERKAIT DENGAN KELAS X SEMESTER 1 PADA STANDAR KOMPETENSI (SK) 1.
PROLEM SOLVING TERKIT DENGN KELS X SEMESTER PD STNDR KOMPETENSI (SK). LJR Memechkn mslh yng berkitn dengn bentuk pngkt, kr, dn logritm Oleh: Sigit Tri Guntoro. Du orng berselisih mengeni bnykny psngn bilngn
Jarak Titik, Garis dan Bidang dalam Ruang
Pge of Kegitn eljr. Tujun Pembeljrn Setelh mempeljri kegitn beljr, dihrpkn sisw dpt :. Menentukn jrk titik dn gris dlm rung b. Menentukn jrk titik dn bidng dlm rung c. Menentukn jrk ntr du gris dlm rung.
Teorema Dasar Integral Garis
ISBN: 978-979-79-55-9 Teorem Dsr Integrl Gris Erdwti Nurdin Progrm Studi Pendidikn Mtemtik FKIP UIR [email protected] Abstrk Slh stu generlissi integrl tentu (definite integrl) f x dx diperoleh dengn menggnti
7. Ruang L 2 (a, b) f(x) 2 dx < }.
7. Rung L (, b) Rung L (, b) didefinisikn sebgi rung semu fungsi f yng kudrtny terintegrlkn pd [, b], ykni L (, b) := {f : b f(x) dx < }. Rung ini menckup fungsi-fungsi f yng tk terbts pd [, b] tetpi f
,, % ,, % -0: 0 -0: 0! 2 % 26, &
PERSAMAAN LINIER GAUSS-SIEDEL METHOD Simultneous Liner Equtions Oleh : Purwnto,S.Si Bentuk Umum x + x + 3 x 3 + + n x n = b Sebuh persmn linier dengn : n peubh : x, x, x 3,, x n n konstnt :,, 3,, n Contoh
MATEMATIKA DASAR. Bab Bilangan Irasional dan Logaritma. Drs. Sumardi Hs., M.Sc. Modul ke: 02Fakultas FASILKOM. Program Studi Teknik Informatika
MATEMATIKA DASAR Modul ke: 0Fkults FASILKOM Progrm Studi Teknik Informtik Bb Bilngn Irsionl dn Logritm Drs. Sumrdi Hs., M.Sc. Bgin Isi Bilngn Irsionl - Berbgi bentuk kr dn opersiny Logritm - Sift-sift
PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Persmn Kudrt. Bentuk Umum Persmn Kudrt Mislkn,, Є R dn 0 mk persmn yng erentuk 0 dinmkn persmn kudrt dlm peuh. Dlm persmn kudrt 0, dlh koefisien
Rumus Luas Daerah Segi Empat Sembarang? Oleh: Al Jupri Dosen Jurusan Pendidikan Matematika Universitas Pendidikan Indonesia
Rumus Lus Derh Segi Empt Sembrng? Oleh: Al Jupri Dosen Jurusn Pendidikn Mtemtik Universits Pendidikn Indonesi Kit bisny lebih menyuki brng yng siftny serb gun dn efektif, stu brng untuk berbgi jenis keperlun.
NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN
Pert 9 (mengjrkomputer.wordpress.com) NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN 9. Definisi Sebuh mtriks bujur sngkr dengn orde n n mislkn A, dn sebuh vektor kolom X. Vektor X dlh vektor dlm rung Euklidin n R yng dihubungkn
02. OPERASI BILANGAN
0. OPERASI BILANGAN A. Mm-mm Bilngn Rel Dlm kehidupn sehri-hri dn dlm mtemtik ergi keterngn seringkli menggunkn ilngn yng is digunkn dlh ilngn sli. Bilngn dlh ungkpn dri penulisn stu tu eerp simol ilngn.