BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Seiring dengan perkembangan zaman, banyak sekali topik matematika khususnya dalam bidang analisis fungsional yang mengalami perluasan, seperti: ruang vektor, ruang norm, dan ruang metrik. Perluasan analisis fungsional pada konsep ruang metrik sudah banyak dikembangkan, seperti: ruang quasi metrik, ruang pseudo metrik, ruang ultrametrik, ruang metrik terurut, dan ruang metrik parsial. Pada umumnya perkembangan tersebut mengacu pada masing masing konsep ruang metrik yang digunakan. Salah satu perluasan dari konsep ruang metrik adalah ruang matrik parsial. Dalam ruang metrik parsial, setiap titik tidak harus mempunyai jarak sama dengan nol terhadap dirinya sendiri. Pengenalan konsep metrik parsial antara lain dilatarbelakangi oleh suatu tujuan untuk memperoleh model matematika dalam teori komputasi atau untuk memodifikasi prinsip kontraksi Banach. Teori titik tetap merupakan salah satu subjek yang menarik untuk dikaji karena memiliki banyak aplikasi dalam berbagai bidang. Selama kurun waktu sepuluh tahun terakhir, pengembangan teori titik tetap telah menyita perhatian banyak ahli. Hal ini karena peranannya, baik di dalam maupun di luar bidang matematika. Bebeberapa di antaranya adalah dalam permasalahan persamaan diferensial, persamaan matriks, sistem dinamik, biologi dan ekonomi. Pengembangan teori titik tetap pada umumnya terfokus pada dua hal yaitu pemetaan kontraksi dan himpunan atau ruang yang akan dikenai pemetaan kontraksi tersebut. Dalam teori titik tetap, prinsip kontraksi Banach memegang peranan penting untuk menunjukkan eksistensi titik tetap dari suatu fungsi pada himpunan. Oleh karena itu, sejumlah matematikawan berusaha mengembangkan prinsip 1
2 kontraksi Banach dengan membuat perumuman pada pemetaan kontraksinya. Salah satu hasil yang telah diperoleh yaitu pemetaan kontraksi lemah yang merupakan perumuman dari pemetaan kontraksi. Selain itu, eksistensi titik tetap dapat juga dikaji berdasarkan himpunan atau ruangnya. Pada prinsip kontraksi Banach, dalam menunjukkan eksistensi titik tetap dilakukan pada ruang metrik lengkap. Karena luasnya perkembangan titik tetap dan luasnya terapan dari titik tetap, penulis mempunyai motivasi untuk mengkaji lebih dalam tentang eksistensi titik tetap di ruang metrik parsial. 1.2. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang di atas, maka beberapa permasalahan yang akan dibahas adalah sebagai berikut: (i) Akan dipelajari tentang topologi pada ruang metrik parsial yang meliputi barisan p-konvergen, barisan p-cauchy, fungsi p-kontinu, dan ruang metrik parsial lengkap. (ii) Akan dipelajari tentang eksistensi dan ketunggalan titik tetap untuk pemetaan kontraksi pada ruang metrik parsial lengkap. (iii) Akan dipelajari syarat-syarat cukup suatu fungsi atau beberapa fungsi pada ruang metrik parsial lengkap yang mempunyai titik tetap tunggal. 1.3. Tujuan dan Manfaat Penelitian Tujuan utama dari penelitian ini adalah untuk mempelajari/meneliti tentang ruang metrik parsial serta eksistensi dan ketunggalan titik tetap pada ruang metrik parsial lengkap. Oleh karena itu, hasil dari skripsi ini diharapkan dapat memperluas dan memperdalam wawasan tentang konsep ruang metrik parsial dan teori titik tetap di ruang metrik parsial serta membuka peluang aplikasi baik di dalam maupun di luar bidang matematika.
3 1.4. Tinjauan Pustaka Konsep ruang metrik dan pemetaan kontraksi pada ruang metrik telah dibahas oleh Royden (1989) dalam bukunya Real Analysis. Dalam buku ini, juga dijelaskan tentang teori titik tetap untuk pemetaan kontraksi tersebut, yang selanjutnya oleh Robert M. Brooks dan Klaus Schmitt (2009) dalam papernya The Contraction Mapping Principle and Some Application dijelaskan tentang beberapa aplikasinya. Konsep ruang metrik parsial yang merupakan perumuman dari ruang metrik telah dibahas oleh S.G. Matthews (1992) dalam papernya Partial Metric Topology. Dalam paper tersebut, S.G. Matthews menjelaskan tentang definisi ruang metrik parsial serta topologi pada ruang metrik parsial yang telah dikaji ulang oleh Ahmad Ansar (2013) dalam thesisnya Teori Titik Tetap di Ruang Metrik Parsial Terurut. Selain itu, S.G. Matthews juga menjelaskan tentang pemetaan kontraksi pada ruang metrik parsial beserta eksistensi dan ketunggalan titik tetap untuk pemetaan tersebut, yang selanjutnya dikaji ulang oleh Devi Arintika (2014) dalam papernya Perluasan Teorema Titik Tetap Banach pada Ruang Metrik Parsial. Pemodelan komputasi merupakan salah satu aplikasi dari konsep ruang metrik parsial yang telah diberikan oleh R. Kopperman, dkk. (2005) dalam papernya What do Partial Metrics Represent?, Spatial Representation: Discrete Vs. Continuous Computational Models. Selanjutnya, perluasan teori titik tetap untuk pemetaan kontraksi telah diteliti oleh Erdal Karapinar (2011) dalam papernya Some Fixed Point Theorems on The Class of Comparable Partial Metric Spaces, yang selanjutnya dikaji ulang oleh Khairul Ahmad Umam (2014) dalam papernya Eksistensi Titik Tetap dalam Ruang Metrik Parsial. Untuk pembahasan tentang titik tetap bersama beberapa fungsi dalam ruang metrik parsial, penulis merujuk pada tulisan Erdal Karapinar dan Ugur Yuksel (2011) dalam papernya Some Common Fixed Point Theorems in Partial Metric Spaces. Dalam paper ini, dijelaskan tentang eksistensi dan ketunggalan titik tetap bersama dari beberapa fungsi pada ruang metrik parsial lengkap.
4 1.5. Metode Penelitian Metode yang digunakan pada penyusunan skripsi ini adalah studi literatur (kajian teori). Pembahasan pada penelitian ini dilakukan dengan terlebih dahulu mempelajari konsep ruang metrik. Selanjutnya, penulis mempelajari tentang ruang metrik parsial yang meliputi definisi serta topologi yang terdapat di dalamnya. Selain itu, dipelajari juga tentang titik tetap untuk pemetaan kontraksi. Pemetaan kontraksi ini meliputi pemetaan kontraksi pada ruang metrik yang selanjutnya diperluas dengan pemetaan kontraksi pada ruang metrik parsial. Selanjutnya, mengacu pada konsep ruang metrik, ruang metrik parsial, titik tetap, serta konsep pemetaan kontraksi, dipelajari eksistensi dan ketunggalan titik tetap suatu fungsi dan titik tetap bersama beberapa fungsi pada ruang metrik parsial lengkap. 1.6. Sistematika Penulisan Pada penulisan skripsi ini, penulis menggunakan sistematika sebagai berikut. BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini, dibahas mengenai latar belakang masalah, tujuan dan manfaat penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian, dan sistematika penulisan yang akan dilakukan dalam penyusunan skripsi. BAB II RUANG METRIK Pada bab ini, dijelaskan mengenai ruang metrik beserta topologinya, pemetaan kontraksi pada ruang metrik, serta teori titik tetap untuk pemetaan kontraksi pada ruang metrik yang menjadi landasan teori untuk membahas bab-bab selanjutnya. BAB III RUANG METRIK PARSIAL Pada bab ini, dijelaskan mengenai ruang metrik parsial beserta topologinya yang merupakan generalisasi dari ruang metrik. BAB IV TEORI TITIK TETAP PADA RUANG METRIK PARSIAL Pada bab ini, dijelaskan mengenai eksistensi dan ketunggalan titik tetap suatu fungsi
5 atau beberapa fungsi pada ruang metrik parsial yang merupakan hasil dari penelitian literatur. BAB V KESIMPULAN DAN SARAN Pada bab ini, diberikan kesimpulan dari hasil penelitian dan saran untuk pengembangan lebih lanjut.