Determinan
Determinan Setiap matriks bujur sangkar A yang berukuran (nxn) dapat dikaitkan dengan suatu skalar yang disebut determinan matriks tersebut dan ditulis dengan det(a) atau A. Untuk menghitung determinan ordo n terlebih dahulu diberikan cara menghitung determinan ordo
Menghitung determinan Hitunglah determinan matriks berikut ini: A = 4 Det(A) = () (-) ()(4) = -0 B = C = 4 Det(B) = ()(4) ()() = 0 Det(C) = tidak didefinisikan
Aturan Sarrus A = a a a a a a - a a + Det(A ) = (a.a ) (a.a ) A = a a a a a a a a a a a a a a a a a a - - - + a a a a a a + + Det(A ) = a.a.a + a.a.a + a.a.a (a.a.a + a.a.a + a.a.a )
Aturan Sarrus (lanjt) M = 4 Det(M) =.- (.4) = -0 K = 4 4 5 4 4 - - - + + + Det(K) =..5+..4+..4- (..4 +..4 +..5) = 0 + 4 +8 (6+6+0) = 6 6 = 0 Pertanyaan: Apakah metode di atas dapat diterapkan pada matriks 4x4, 5x5 dst?
MENGHITUNG DETERMINAN DENGAN KOFAKTOR Untuk keperluan menghitung ordo n dengan n perlu lebih dahulu definisikan pengertian minor dan kofaktor sbb : a a.a j a n A = a a a j.a n : : : : a i a i a ij.. a in : : : : a n a n a nj. a nn Minor M ij adalah determinan matriks A dihapus baris ke i kolom ke j. Kofaktor C adalah (-) i+j M ij a a.a j a n M ij = det a a a j.a n : : : : a i a i a ij.. a in : : : : a n a n a nj. a nn C ij =(-) i+j M ij
Definisi determinan matriks dengan kofaktor a a.a j a n A= a a a j.a n : : : : a i a i a ij.. a in : : : : a n a n a nj. a nn M ij det matriks yang diperoleh dengan menghapus baris ke i kolom ke j matriks A. C ij =(-) i+j M ij Definisi: Determinan matriks A (dengan ekspansi baris ke i, atau ekspansi kolom ke j) adalah : n ac ij ij i= Det(A) = = n ac ij ij j=
Contoh: Minor dan kofaktor Minor M ij adalah determinan matriks A dihapus baris ke i kolom ke j. Kofaktor C adalah (-) i+j M ij A = a a a a a a a a a M = det a a a a C = (-) + M A = a a a a a a a a a M = det a a a a C = (-) + M C ij = (-) i+j M ij
Contoh: Hitunglah semua minor dan kofaktor matriks berikut ini: 0 0 0 4 4 5 + - + - + - + - + M = M = M = Det 0 4 5 C = C = C = C = Det 0 4 5 Det 4 4???? 0 5-0 = 0 = 5 = -4 C = (-) + 0 = 0 C = (-) + 5 = -5 C = (-) + -4 = -4 C = C =?? 0 6
A = Det(A) = Menghitung determinan dengan ekspansi baris/kolom a a a a a a a a a aa a aa a aa a aa a aa a aa a Det(A) = a ( ) ( a a a a ) a ( ) ( a a a a ) a ( ) ( a a a a ) () ( ) C C C Det(A) = Det(A) = a C a C a C a C a C a C Ekspansi baris pertama Ekspansi baris kedua
Menghitung determinan dengan ekspansi baris/kolom A = a a a a a a a a a Det(A) = a C a C a C ekspansi baris pertama = = = = = a C a C a C a C a C a C a C a C a C a C a C a C a C a C a C ekspansi baris kedua ekspansi baris ketiga ekspansi kolom pertama??
0 0 0 4 4 5 Contoh: ada 9 (= x) kofaktor C = 0 C = -5 C = 0 C = 5 C = 0 C = 0 C = -4 C = - C = 6 Determinan A dengan ekspansi baris ketiga: Det(A) = 4x0 + 4x0 + 5x6 = 0 Determinan A dengan ekspansi kolom ketiga: Det(A) = 5x6 = 0
Determinan matriks 4x4 dengan kofaktor a a a a a a a a a a a a a 4 a a a a A= 4 M 4 = det C 4 =(-) +4 M a 4 a a a 4 a a a a 4 4 4 44 4 4 n 4 ac j ij ij Ada berapa banyak kofaktor? Ada 6 kofaktor C ij, i, j =,,, 4 Det(A) = ac +ac +ac +a4c4 ekspansi baris pertama a C +a C +a C +a C = 4 4 ekspansi 8 baris ke tiga Ada. cara menghitung determinan A dengan kofaktor
Menghitung determinan matriks 4x4 dengan kofaktor matriks 4x4 berikut: Ekspansi baris : C 4 A 4 4 Det( A) a. C a. C a. C a4. C4 7 7 0 7 7 0 0 0 ( 4 70) 56 C 4 4 0 0 8 5 0 8 5 ( 0 40) 70 0 C 4 4 6 5 0 6 5 6 0 0 6 0 60 0 0 C4 4 0 0 6 6 8 6 6 ( 48 66) 8 8 Det( A).56. 70. 0. 8 4
SIFAT - SIFAT DETERMINAN Sifat det(a t ) = det(a) Contoh : A 5 4 t A 5 det(a) = 7 det(a t ) = 7 4 Sifat Jika matriks B adalah hasil dari matriks A dengan menukarkan dua baris sebarang, maka det(b) = - det(a)
Contoh Diberikan matriks maka det(a) = 6. Jika, maka det(b) = -det(a) = -6. A B
Sifat Jika matriks B diperoleh dari matriks A dengan mengalikan bil.real k dengan satu baris (kolom) dari matriks A, maka det(b) = k.det(a) Contoh: Diberikan matriks dgn det(a) = 6 Jika det(b) = x det(a) = x6 = 0 A 0 6 4 B
Sifat 4 Jika matriks B diperoleh dari matriks A dgn mengalikan satu baris(kolom) dari A dgn bil.real sebarang kemudian menambahkannya ke baris (kolom) lain, maka det(b) = det(a) Contoh : Diberikan matriks, det(a) =. Jika, maka det(b) = det(a) = 0 6 4 A 0 6 4 B
Sifat 5 Jika suatu matriks terdiri dari dua baris (kolom) yang elemen elemennya sama, maka determinannya adalah nol. Contoh Matriks determinannya = nol. A 0 Sifat 6 Jika suatu matriks terdiri dari satu baris (kolom) dengan elemen nol, maka determinannya adalah nol.
Sifat 7 Jika matriks A=[a ij ], i n, j n, adalah matriks segitiga atas (bawah) maka det(a) = a.a..a nn Contoh : Diberikan matriks A 0 0 0 det(a) =.(-). = -4 maka
Sifat 8 Jika matriks A dan B dapat dikalikan,maka det(ab) = det(a).det(b) Sifat 9 Jika matriks A invertible, maka det(a - ) = det( A)
Matriks diagonal Determinan matriks sederhana A= a 0 0 0 0 a 0 0 : : : 0 0 a ij 0 : : : 0 0 0... a nn Det(A) = a a a a nn Matriks segitiga Setiap hasil kali elementer pasti memuat entri dari baris terakhir (yaitu 0), kecuali a a a a nn. a a a j a n B= 0 a a j a n : : : : 0 0 a ij.a in : : : 0 0 0... a nn Det(B) = a a a a nn Determinan matriks segitiga sama dengan hasil kali entri diagonal utama.
Determinan matriks dengan baris/kolom nol Matriks dengan baris / kolom nol a a.a j a n a a a j.a n : : : : a i a i a ij.. a in : : : : 0 0 0. 0 A= Det(A) = 0 Setiap hasil kali elementer pasti memuat entri dari baris terakhir (yaitu 0). Jadi semua hasil kali elementer adalah nol. a 0.a j a n B= a 0 a j.a n : : : : a i 0 a ij.. a in : : : : a n 0 a nj. a nn Det(B) =0 Pertanyaan: apakah matriks yang tidak mempunyai inverse determinannya no?
Contoh : Hitunglah dengan cepat nilai determinan matriks berikut ini: 9 0 0 D 0 0 0 0 0 8 7 56 90 B 5 4 0 0 0 0 4 98 0 4 5 0 54 K 70 4 0 8 74 0 66 4 0 4 M 4 0 4 0 9 Det(D) =0 Det(B) =0 Det(K) =0 Det(M) =0
Determinan dan operasi baris elementer
Pengaruh tukar baris pada nilai determinan A 4 Det(A) = - R R A' 4 Det(A ) = 4 B 0 6 Det(B) = 45 R R 6 B' 0 4 Det(B ) = -45 menukar dua baris tanda dari setiap hasil kali elementer bertanda berubah determinannya (-) kali determinan semula. X X dengan tukar baris det(x ) = -det(x)
Pengaruh perkalian baris dengan skalar pada nilai determinan A 4 R 0 R A' 0 40 Det(A) = - Det(A ) = -0 4 B 0 6 Det(B) = 45 R / R 4 B' 0 Det(B ) = 5 = / det(b) satu baris dikalikan dengan konstanta k setiap hasil kali elementer bertandanya dikalikan k determinannya adalah k kali determinan matriks semula. X X dengan mengalikan baris dengan k det(x ) = kdet(x)
Pengaruh jumlahan baris dengan kelipatan baris lain pada nilai determinan A 4 Det(A) = - R R + R A' 4 0 Det(A ) = - 4 B 0 6 Det(B) = 45 R R +/ R 4 B' 6 Det(B ) = 45 = det(b) Penjumlahan baris dengan kelipatan baris yang lain tidak mengubah hasil kali elementer bertanda, jadi nilai determinannya tidak berubah. X X dengan menjumlahkan brs dengan kelipatan baris lain: det(x ) = det(x)
Pengaruh operasi baris elementer pada nilai determinan Kesimpulan: menukar dua baris tanda dari setiap hasil kali elementer bertanda berubah determinannya (-) kali determinan semula. satu baris dikalikan dengan konstanta k setiap hasil kali elementer bertandanya dikalikan k determinannya adlah k kali determinan matriks semula. Penjumlahan baris dengan kelipatan baris yang lain tidak mengubah hasil kali elementer bertanda, jadi nilai determinannya tidak berubah.
Menghitung determinan dengan operasi baris elementer (OBE) A mempunyai inverse Bentuk ebt A A Det(A) r kali tukar baris s kali perkalian baris dengan skalar (k, k, k,, k s ), t kali jumlahkan baris dengan kelipatan baris lain I Det(I) = Det(I) = (-) r k k k k s det(a) = (-) r k k k k s det(a) A mempunyai inverse maka det(a) 0 Det(A) = (-) r / (k k k k s )
Menghitung determinan dengan operasi baris elementer A TIDAK mempunyai inverse Bentuk ebt A Mempunyai baris nol A Det(A) r kali tukar baris s kali perkalian baris dengan skalar (k, k, k,, k s ), t kali jumlahkan baris dengan kelipatan baris lain 0 0 0 Det(A ) = 0 Det(A ) = (-) r k k k k s det(a) 0 = (-) r k k k k s det(a) A TIDAK mempunyai inverse Det(A) = 0
Contoh: menghitung determinan dengan operasi baris elementer B = 0 4 0 0 0 R R 0 4 0 0 0 R R 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 R ¼ * R B direduksi menjadi matriks identitas dengan kali tukar baris, sekali mengalikan dengan konstanta ¼ Det(B ) = (-) /( ¼ ) = (+). /(/4) = /( ¼ ) = 4 0 0 0 0 0 0 I
Aplikasi determinan: Aturan Cramer Aplikasi determinan untuk menyelesaiakan Sistem Persamaan Linier
Penyajian SPL dengan persamaan matriks a x + a x + a x + + a n x n = b SPL a x + a x + a x + + a n x n = b : a n x + a n x + a n x + + a nn x n = b n matriks koefisien a a a a n x b A = a a a a n : a n a n a n a nn x x = b = : b : x n b n Ax = b
Aturan Cramer a a a j a n x b A = a a a j a n : a n a n a nj a nn x x = b = : b : x n b n b a a j a n A = Det(A j ) = b a a j a n : b n a n a nj a nn a a b a n a a b a n : a n a n b n a nn Penyelesaian SPL: x j = det(a j )/ det(a) j =,,, n
Contoh: x y z SPL x y z x y z SPL dalam persamaan matriks A - - - x y z = - Det(A) = 0 A= - - A= - - - - A= - - - Det(A) = -0 Det(A) = -0 Det(A) = 0 X = det(a)/det(a) =-0/(-0) = y = det(a)/det(a) =-0/(-0) = z = det(a)/det(a) = 0/(-0) = -
Kapan Aturan Cramer bisa diterapkan SPL: Ax = b Dengan Aturan Cramer, penyelesaian dapat diperoleh dengan rumus berikut ini x j = det(a j )/ det(a) j =,,, n Kapan Aturan Cramer bisa diterapkan? Karena menggunakan determinan matriks koefisien sebagai pembagi, maka Aturan Cramer dapat diterapkan jika matriks koefisiennya persegi dan determinannya tidak nol (atau matriks koefisien mempunyai inverse.