TAKSIRAN PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN MENGGUNAKAN METODE MOMEN DAN METODE MAKSIMUM LIKELIHOOD Eka Mer Krst ), Arsma Ada ), Sgt Sugarto ) ekamer_tross@ymal.com ) Mahasswa Program S Matematka FMIPA-UR ) Dose Jurusa Matematka FMIPA-UR Fakultas Matematka da Ilmu Pegetahua Alam Uverstas Rau Kampus Bawdya Pekabaru (893), Idoesa ABSTRACT I ths paper, the methods of momet ad mamum lkelhood for estmatg parameters of the Webull dstrbuto that proposed by Razal, et al [4] have bee revewed. Sce the estmator of parameters are based the Mea Square Error are used for comparg these two estmators. Smulato has bee coducted usg f sample szes, several scale ad shape parameter. Our study support Razal s result that the methods of momet s more effcet tha methods of mamum lkelhood. Keywords: Webull Dstrbuto, methods of momet, methods of mamum lkelhood.. PENDAHULUAN Satu aspek yag petg dalam statstka feres adalah meaksr parameter dar suatu populas melalu aalss data yag telah dkumpulka dar populas tersebut. Setelah dperoleh taksra dar parameter yag mejad perhata, dlakuka pegambla kesmpula tetag parameter populas yag ddasarka pada formas data sampel dar populas tersebut. Parameter yag mejad perhata dapat berupa rata-rata, varas da parameter laya. Peaksra terhadap parameter bertujua utuk medapatka la taksra dar parameter berdasarka pada data. Peaksr yag dharapka adalah peaksr yag efse dalam art la taksra tu cukup dekat dega la parameter yag sebearya. Peaksr yag bak apabla rata-rata peaksr sama dega parameter sebearya, damaka peaksr tak bas. Peaksr yag memlk varas mmum merupaka peaksr yag bak utuk peaksr tak bas sebalkya apabla rata-rata peaksr tdak sama dega parameter sebearya damaka peaksr bas. Sehgga peaksr bas yag efse adalah peaksr yag memlk Mea Square Error () mmum []. Dstrbus yag dbahas dalam kertas kerja adalah dstrbus kotu, yatu dstrbus Webull. Dstrbus Webull basaya dguaka dalam pembahasa data uj
Eka Mer Krst et.al. Taksra Parameter dstrbus Webull hdup. Data uj hdup merupaka topk dalam bebaga bdag bomedk da dustr [5]. Fugs destas dstrbus Webull [4] dapat dyataka sebaga : f e, 0, 0, 0 () dega adalah varabel radom, adalah parameter skala da adalah parameter betuk. Parameter da adalah parameter yag aka dtaksr. Fugs destas Webull pada persamaa () memlk rata-rata = da varas Var X. Aka dbahas taksra parameter megguaka metode mome da metode maksmum lkelhood dserta ya.. PENAKSIR METODE MOMEN Utuk medapatka peaksr dstrbus Webull dega megguaka metode mome, dperluka rata-rata da varas dstrbus Webull. Selajutya aka dtetuka taksra parameter da parameter. Dega medapatka rata-rata dstrbus Webull yag juga merupaka mome pusat pertama, dlakuka peaksra terhadap parameter sebaga berkut [4]: E X Peaksr utuk parameter megguaka metode mome adalah. () Utuk medapatka taksra parameter dperoleh dar fugs parameter yag dperoleh dega cara membadgka varas dega rata-rata dkuadratka [], sehgga dapat dtuls X Var f (3) f
Eka Mer Krst et.al. Taksra Parameter dstrbus Webull 3 Sehgga fugs parameter dperoleh sebaga berkut: f yag aka dguaka utuk meaksr parameter. Hal dapat dpeuh dega megguaka metode teras umerk. 3. PENAKSIR METODE MAKSIMUM LIKELIHOOD Msalka X, X,..., X adalah sampel radom berukura yag berasal dar dstrbus Webull dega fugs destas pada persamaa (). Berdasarka sampel radom X, X,..., X dtaksr parameter dega megguaka metode maksmum lkelhood. Ambl vektor, asumska,,..., adalah salg bebas dalam dstrbus Webull. Maka fugs lkelhood adalah L( ;, ) f ( ;, ) L( ;, ) e Dasumska parameter parameter da parameter tdak dketahu, maka peaksr maksmum lkelhood dar parameter adalah dega mecar turua pertama l L( ;,,.., ) pada persamaa () terhadap da samaka dega ol, d(l( L(,,..., d Maka ; ))) 0. d l[ L( ;, )] d Sehgga peaksr utuk parameter megguaka metode maksmum lkelhood adalah 0 () (4) (3)
Eka Mer Krst et.al. Taksra Parameter dstrbus Webull 4 (4) MLE Fugs parameter dperoleh dega mecar turua pertama l L( ;,,.., ) pada persamaa () terhadap da samaka dega ol, d(l( L(,,..., d Maka ; ))) d l[ L( ;, )] d 0. l l 0 (5) Dega meyederhaaka persamaa (3) da (5) dega cara megelmas maka fugs parameter dperoleh sebaga berkut g l l yag selajutya dguaka utuk meaksr parameter. Hal dapat dpeuh dega megguaka metode teras umerk sepert metode Secat. 4. Mea Square Error () Peaksr yag telah dperoleh dar metode mome da metode maksmum lkelhood aka meghaslka peaksr yag berbeda. Peaksr terbak memeuh sfat tertetu, sfat tak bas da sfat bas. Dalam megkotruks dperluka teorema berkut. Teorema [3: hal. 65] Jka merupaka peaksr dar, maka ( ) Var( ) [ b( )]. Utuk keperlua efses pada smulas dguaka perumusa berkut [:Hal.7]. dega : F e F F, merupaka fugs kumulatf dstrbus Webull. (6)
Eka Mer Krst et.al. Taksra Parameter dstrbus Webull 5 F merupaka pedekata pergkat waktu gagal dar dstrbus Webull. A. Mea Square Error () pada Peaksr Metode Mome Karea peaksr pada persamaa () bersfat tak bas, maka sama dega Varas []. Sehgga utuk peaksr pada persamaa () adalah = Var Var Var utuk taksra parameter tdak dcar dkareaka taksra parameter berada ddalam fugs parameter f. B. Mea Square Error () pada Peaksr Metode Maksmum Lkelhood Karea peaksr pada persamaa (4) bersfat tak bas, maka sama dega Varas []. Sehgga utuk peaksr pada persamaa (4) adalah = Var
Eka Mer Krst et.al. Taksra Parameter dstrbus Webull 6 Var Var = utuk taksra parameter tdak dcar dkareaka taksra parameter berada ddalam fugs parameter g. 5. Stud Smulas da Pembahasa Dalam smulas aka dtujuka la atara metode mome da metode maksmum lkelhood. Dega megambl ukura sampel 0, la parameter skala ) ( da la parameter betuk ) ( yag berbeda-beda yatu la parameter,,5,0,30,40,50 da la parameter 00 3,5,9,0,50,80, berturut-turut. Htug la dar kedua metode yag telah dtaksr da badgka kedua metode tersebut, dmaa F F Dega megguaka smulas program Matlab 7.6.0, hasl smulas dragkum da dtabulaska pada Tabel.
Eka Mer Krst et.al. Taksra Parameter dstrbus Webull 7 Tabel Nla Mea Square Error dar taksra -parameter dstrbus Webull Metode Mome Metode Maksmum Lkelhood () () 3 0.9684 4.630.334 0.990.6670.7087 5.77 6.30 4.448.8848 4.886 5.3 5 9 4.98 3.858 3.5 5.7775 9.74 3.440 0 0 9.9080 8.548 3.49.4937 8.798 5.340 30 50 30.05 7.0755 3.5500 37.3650 46.9987 6.507 40 80 39.980 7.897 4.070 44.675 77.8434 6.506 50 00 49.980 4.734.5454 73.496 9.044 6.5079 Dapat dlhat bahwa utuk berbaga la da meghaslka la yag lebh kecl utuk metode mome dbadgka pada metode maksmum lkelhood. Hal terlhat jelas pada data yag ada pada Tabel. Metode mome mempuya la yag lebh kecl dbadgka dega metode maksmum lkelhood. Sehgga peaksr metode mome merupaka peaksr yag lebh bak dbadgka peaksr metode maksmum lkelhood. Dapat dsmpulka bahwa metode mome lebh bak dbadgka metode maksmum lkelhood utuk megestmas parameter dar dstrbus Webull. Hasl medukug hasl stud yag dajuka oleh Razal, et al [4]. DAFTAR PUSTAKA [] Al-Fawza, M.A., 000. Methods for Estmatg the Parameters of the Webull Dstrbuto, Report ; Kg Abdulazz Cty for Scece ad Techology, Ryadh, Saud Araba. [] Ba, L.J. ad Egelhard. M., 99. Itroducto to Probablty Mathematcal Statstcs, Secod Edto. Dubury Press. Belmot, Calfora. [3] Hes, W.W. ad Motgomery, D.C., 97. Probablty ad Statstcs Egeerg ad Maagemet Scece, Secod Edto. Joh Wlley & So, Ic. New York. [4] Razal, A.M., Salh, A.A ad Mahd A.A., 009. Estmato Accuracy of Webull Dstrbuto Parameters, Joural of Appled Sceces Research, 5(7):790 795 [5] Wallpole, R.E. & Myers, R.H., 007. Probablty ad Statstcs for Egeers ad Scetst, Eght Edto. Pearso Educato Iteratoal.