SISTEM BILANGAN REAL

DAFTAR ISI 1 SISTEM BILANGAN REAL 1 1.1 Sifat Aljabar Bilangan Real..................... 1 1.2 Sifat Urutan Bilangan Real..................... 6 1.3 Nilai Mutlak dan Jarak Pada Bilangan Real............ 11 1.4 Supremum dan Infimum....................... 14 1.5 Kepadatan bilangan rasional..................... 18 i

BAB 1 SISTEM BILANGAN REAL Bilangan real sudah dikenal dengan baik sejak masih di sekolah menengah. Namun untuk memulai mempelajari materi pada BAB ini anggaplah diri kita belum tahu apa-apa tentang bilangan real. Kita akan mempelajari bagaimana sistem bilangan real itu dibangun. Pertama-tama kita hanya diberikan suatu himpunan bilangan tetapi belum tahu anggotanya seperti apa, belum aturan yang berlaku di dalamnya. Kemudian kepada himpunan ini diberikan dua operasi binair, penjumlahan dan pengurangan. Dengan dua operasi ini dibuat beberapa aksioma. Dua aksioma penting adalah keujudan elemen 0 dan elemen 1. Inilah anggota bilangan real pertama yang kita ketahui. Selanjutnya dengan aksioma-aksioma ini didefinisikan anggota-anggota lainnya, seperti bilangan positif, bilangan negatif, bilangan bulat, bilangan rasional dan bilangan irrasional. Juga didefinisikan sifat-sifat yang mengatur hubungan antar anggota, seperti sifat urutan, sifat jarak, sifat kelengkapan dan sifat kepadatan. 1.1 Sifat Aljabar Bilangan Real Bilangan real dipandang sebagai suatu himpunan, seterusnya dilambangkan dengan R. Selanjutnya, didefisikan dua operasi binair + dan masing-masing disebut operasi penjumlahan dan operasi perkalian. Kedua operasi binair ini diterapkan pada R dan memenuhi sifat-sifat sebagai berikut: (A1) a+b = b+a untuk setiap a, b R, yaitu komutatif terhadap penjumlahan. (A2) (a + b) + c = a + (b + a) untuk setiap a, b, c R, yaitu asosiatif terhadap penjumlahan. (A3) Terdapat elemen 0 R sehingga a + 0 = 0 + a = a untuk setiap a R. Elemen 0 ini disebut elemen nol. (A4) Untuk setiap a R selalu terdapat ( a) R sehingga a+( a) = ( a)+a = 0. Elemen ( a) ini disebut negatif dari a. 1

Pengantar Analisis Real I by Julan HERNADI 2 (M1) a b = b a untuk setiap a, b R, yaitu komutatif terhadap perkalian. (M2) (a b) c = a (b a) untuk setiap a, b, c R, yaitu asosiatif terhadap perkalian. (M3) Terdapat elemen 1 R sehingga a 1 = 1 a = a untuk setiap a R. Elemen 1 ini disebut elemen satuan. (M4) Untuk setiap a R, a 0 selalu terdapat (1/a) R sehingga a (1/a) = (1/a) a = 1. Elemen (1/a) ini disebut kebalikan dari a. (D) a (b + c) = (a b) + (a c) dan (b + c) a = (b a) + (c a) untuk setiap a, b, c R. Sifat ini disebut distributif perkalian terhadap penjumlahan. Diperhatikan bahwa ada 4 sifat yang berkaitan dengan operasi penjumlahan yaitu A1, A2, A3 dan A4 (notasi A untuk Adisi, atau penjumlahan), 4 sifat yang berkaitan dengan perkalian yaitu M1, M2, M3 dan M4 (M untuk Multiplikasi, atau perkalian) dan 1 sifat yang mencakup keduanya yaitu D (D untuk Distributif). Kesembilan sifat ini disebut sifat aljabar atau aksioma bilangan real. Sampai saat ini belum didefinisikan bilangan negatif dan operasi pengurangan. Notasi ( a) dianggap satu elemen didalam R. Begitu juga elemen kebalikan (1/a) dianggap satu elemen dan operasi pembagian belum didefinisikan. Berikut diberikan beberapa teorema sederhana yang diturunkan langsung dari sifat-sifat aljabar ini. Teorema 1.1.1. Jika a bilangan real sebarang maka persamaan a + x = b mempunyai penyelesaian tunggal, yaitu x = ( a) + b. Bukti: a + x = b [diketahui] ( a) + (a + x) = ( a) + b (( a) + a) + x = ( a) + b [menggunakan A2] 0 + x = ( a) + b [menggunakan A4] x = ( a) + b [menggunakan A3] Latihan 1.1.1. Buktikan jika a bilangan real tidak nol maka persamaan a x = b mempunyai penyelesaian tunggal, yaitu x = (1/b). Teorema 1.1.2. Bila a suatu elemen pada R maka (i) a 0 = 0 (ii) ( 1) a = a.

Pengantar Analisis Real I by Julan HERNADI 3 Bukti: (i): Berdasarkan (M3) kita mempunyai a 1 = a. Selanjutnya kedua ruas ini ditambahkan a a, diperoleh : a + a 0 = a 1 + a 0 = a (1 + 0) [menggunakan D] = a 1 [menggunakan A3] = a [menggunakan M3] Selanjutnya dengan menggunakan Teorema (1.1.1)dengan menganggap x sebagai a 0 diperoleh a 0 = ( a) + a = 0. (ii): Dari (M3) kita mempunyai a = 1 a. Tambahkan pada kedua ruas dengan ( 1) a, diperoleh a + ( 1) a = 1 a + ( 1) a = (1 + ( 1)) a [menggunakan D] = 0 a [menggunakan A4] = 0 [menggunakan bagian i, setelah menerapkan (A1)] Selanjutnya dengan menggunakan Teorema (1.1.1) dan menganggap x sebagai ( 1) a, kemudian menggunakan (A3) diperoleh ( 1) a = ( a) + 0 = a. Latihan 1.1.2. Bila a suatu elemen pada R, buktikan i) ( a) = a ii) ( 1) ( 1) = 1. Teorema 1.1.3. Misalkan a, b, c elemen pada R. (i) Jika a 0 maka 1/a 0 dan 1/(1/a) = a. (ii) Jika a b = a c dan a 0 maka b = c. Bukti. (i): Karena a 0 maka menurut (M4) selalu ada 1/a R. Andaikan 1/a = 0 maka diperoleh 1 = a (1/a) = a 0 = 0.

Pengantar Analisis Real I by Julan HERNADI 4 Hasil ini berlawanan atau kontradiksi dengan (M3). Jadi pengandaian ini salah, dan haruslah 1/a 0. Selanjutnya karena 1/a 0 dan karena (1/a) a = 1 maka dengan Teorema (1.1.1) dengan memandang a sebagai x maka diperoleh a = 1/(1/a). (ii): Kedua ruas pada a b = a c dikalikan dengan (1/a) disertai dengan menggunakan (M2), diperoleh ((1/a) a) b = ((1/a) a) c 1 b = 1 c [menggunakan M4] b = c [menggunakan M3] Latihan 1.1.3. Buktikan bahwa jika a b = 0 maka a = 0 atau b = 0. Operasi lainnya pada R Sejauh ini hanya ada dua operasi pada bilangan real. Melalui dua operasi ini diturunkan bebedapa operasi lainnya yang didefinisikan sebagai berikut : 1. Operasi pengurangan. Bila a, b R maka notasi a b dibaca a dikurang dengan b dan didefinisikan oleh a b := a + ( b). 2. Operasi pembagian. Bila a, b R, b 0 maka notasi a/b atau a b dibaca a dibagi dengan b dan didefinisikan oleh a/b := a (1/b). 3. Operasi pangkat. Bila a R maka notasi a 2 dibaca a dipangkatkan dengan dua atau a kuadarat dan didefinisikan sebagai a 2 := a a. Secara umum untuk n bilangan asli, a n adalah a dipangkatkan dengan n didefinisikan oleh a n := a } a a {{ a}. sebanyak n faktor Untuk a 0, notasi a 1 dimaksudkan untuk 1/a dan notasi a n untuk (1/a) n.

Pengantar Analisis Real I by Julan HERNADI 5 Beberapa himpunan bagian penting pada R 1. Bilangan asli. Himpunan bilangan asli dilambangkan dengan N dipandang sebagai himpunan bagian R dan n N didefinisikan sebagai n := 1 } + 1 + 1 {{ + + 1 }. sebanyak n suku 2. Bilangan bulat. Himpunan bilangan bulat dilambangkan dengan Z dan keanggotannya dapat didefinsikan sebagai berikut : Z := { n : n N} N {0} dengan n := ( 1) + ( 1) + ( 1) + + ( 1). }{{} sebanyak n suku 3. Bilangan rasional dan irrasional. Himpunan bilangan rasional dilambangkan dengan Q adalah elemen bilangan real yang dapat ditulis dalam bentuk pecahan. Jadi, Q := { b a } : a, b Z, a 0. Bilangan real yang tidak dapat disajikan sebagai pecahan disebut bilangan irrasional dan himpunan bilangan irrasional ini biasa dilambangkan dengan R \ Q. Notasi := berarti didefinisikan oleh (defined by). Penggunaan notasi ini lebih tepat daripada menggunakan = karena tanda sama dengan seharusnya digunakan untuk menyatakan kesamaan kedua ruas. Teorema 1.1.4. Tidak ada bilangan rasional r sehingga r 2 = 2. Bukti. Andai ada bilangan rasional yang kuadratnya sama dengan dua. Untuk itu dapat ditulis r = m dengan m dan n tidak mempunyai faktor persekutuan n selain 1. Diperoleh r 2 = m2 n = 2 2 m2 = 2n 2, berarti m 2 bilangan genap. Karena itu m juga genap (lihat latihan berikut!). Karena m genap maka dapat ditulis m = 2p. Substitusi m ini ke kesamaan sebelumnya, diperoleh (2p) 2 = 2n 2 4p 2 = 2n 2 n 2 = 2p 2. Ini berarti n 2 bilangan genap, akibatnya n juga bilangan genap. Berangkat dari pengandaian tadi diperoleh dua pernyataan berikut

Pengantar Analisis Real I by Julan HERNADI 6 a. m dan n tidak mempunyai faktor persekutuan selain 1, berarti m dan n tidak mungkin keduanya genap. b. m dan n bilangan genap. Kedua pernyataan ini bertentangan (kontradiksi), sehingga pengandaian harus diingkari. Kesimpulannya Teorema terbukti. Latihan 1.1.4. Buktkan bila m 2 genap maka m juga genap. Contoh 1.1.1. Pada contoh ini dibuktikan bahwa jika z R bilangan irrasioanl dan r 0 bilangan rasional maka r + z dan rz bilangan irrasional. Dibutkikan dengan kontradiksi. Andai r + z rasional, maka dapat ditulis r + z = m n dan r = p, m, n, p, q Z, n, q 0. q Dari sini diperoleh z = m n p q mq np =, nq yaitu z rasional, sebab mq np, nq Z, nq 0. Kontradiksi dengan z irrasioanl. Jadi pengandaian r + z rasional salah, dan haruslah r + z irrasional. Dengan argumen yang sama dapat dibuktikan sisanya. Latihan 1.1.5. Buktikan bahwa jika x, y keduanya rasional maka x + y dan xy rasional. 1.2 Sifat Urutan Bilangan Real Urutan pada bilangan real merujuk pada hubungan ketidaksamaan antara dua bilangan real. Sebelum didefinisikan urutan terlebih dulu didefinisikan bilangan positif. Definisi 1.2.1 (Bilangan Positif). Pada R terdapat himpunan bagian takkosong P dengan sifat-sifat berikut : 1. Jika a, b P maka a + b P. 2. Jika a, b P maka a b P. Himpunan P ini selanjutnya disebut himpunan bilangan positif. Definisi 1.2.2 (Sifat Trikotomi). Bila a R maka tepat satu pernyataan berikut dipenuhi, yaitu a P, a = 0, a P.

Pengantar Analisis Real I by Julan HERNADI 7 Selanjutnya himpunan bilangan negatif didefinisikan sebagai himpunan { a : a P}. Jadi himpunan bilangan real terbagi atas tiga himpunan saling asing yaitu bilangan positif, bilangan negatif dan nol. Definisi 1.2.3 (Urutan). Berikut ini definisi ketidaksamaan antara elemenelemen pada R : 1. Bilangan a P disebut bilangan positif dan ditulis a > 0. Notasi a 0 berarti a P {0}, dan a disebut bilangan taknegatif. 2. Bilangan a P sehingga a P disebut bilangan negatif, ditulis a < 0. Notasi a 0 berarti a P {0}, dan a disebut bilangan takpositif. 3. Bilangan real a dikatakan lebih besar dari b, ditulis a > b jika a b P Notasi a b dan b > c maka a > c. (ii) Tepat satu pernyataan berikut memenuhi : a > b, a = b, a < b. Bukti. (i): Karena a > b dan b > c maka berdasarkan definisi berlaku a b P, dan b c P. Berdasarkan Definisi (1.2.1) diperoleh a c = (a b) + (b c) P, yakni a > c. (ii): Terapkan sifat trikotomi pada a b. Teorema 1.2.2. Misalkan a, b, c, d bilangan-bilangan real. (i) Jika a > b maka a + c > b + c. (ii) Jika a > b, c > d maka a + c > b + d. (iii) Jika a > b dan c > 0 maka ca > cb. Bukti. (i): Karena diketahui a b P maka (a + c) (b + c) = a b P, yaitu a + c > b + c. (ii): Karena diketahui a b P dan c d P maka (a + c) (b + d) = (a b) + (c d) P, yaitu a + c > b + d. (iii): Karena diketahui a b P, c P maka (a b)c = ac bc P, yaitu ac > bc.

Pengantar Analisis Real I by Julan HERNADI 8 Latihan 1.2.1. Jika a > b dan c < 0, buktikan ac < bc. Teorema 1.2.3. Jika a dan b bilangan real dengan a < b maka a < 1 (a + b) < b. 2 Bukti. Karena a < b maka 2a = a + a < a + b. Dengan argumen yang sama diperoleh juga a + b 0 maka 0 < 1 2 a < a. Teorema berikut menjamin bahwa suatu bilangan taknegatif yang kurang dari bilangan positif apapun adalah nol. Teorema 1.2.4. Bila a R dengan 0 a < ɛ untuk setiap ε > 0 maka a = 0. Bukti. Andaikan a > 0. Berdasarkan Latihan sebelumnya, berlaku 0 < 1 2 a < a. Sekarang ambil ε 0 := 1 2 a > 0, sehingga berlaku 0 < ε 0 < a. Hasil ini kontradiksi dengan hipotesis bahwa 0 a < ɛ untuk setiap ε > 0. Jadi pengandai salah, dan haruslah a = 0. Latihan 1.2.3. Bila a, b bilangan real dengan a 0 maka a b. Dari definisi bilangan positif bahwa perkalian dua bilangan positif akan menghasilkan bilangan positif. Tetapi sebaliknya, bila hasil kali dua bilangan real adalah positif belum tentu kedua bilangan real tadi positif. Teorema 1.2.5. Jika ab > 0 maka berlaku salah satu dari dua kemungkinan berikut: a > 0 dan b > 0 atau a < 0 dan b < 0. Bukti. Karena ab > 0 maka a 0 dan b 0, sebab jika salah satu diantara a atau b bernilai nol maka ab = 0. Karena sifat trikotomi sekarang kemungkinnya a > 0 atau a < 0. Untuk a > 0 maka 1/a > 0 dan b = 1 b = ((1/a)a) b = (1/a) (ab) > 0. }{{}}{{} >0 >0 Dengan argumen yang sama, dapat dibuktikan untuk kasus a < 0. Latihan 1.2.4. Buktikan bahwa jika ab < 0 maka berlaku salah satu dari dua kemungkinan berikut: a > 0 dan b < 0 atau a < 0 dan b > 0. Kedua hasil yang baru saja diberikan mengatakan bahwa jika hasil kali dua bilangan positif maka kedua bilangan itu bertanda sama. Sebaliknya, jika hasil kali kedua bilangan negatif maka kedua bilangan itu berlainan tanda.

Pengantar Analisis Real I by Julan HERNADI 9 Beberapa ketidaksamaan penting Teorema 1.2.6. Misalkan a 0 dan b 0. Maka pernyataan-pernyataan berikut equivalen : (i) a 0 b 2 > 0 b > 0. Fakta ini mudah dibuktikan sendiri. Sekarang diasumsikan a > 0 dan b > 0, yaitu a + b > 0. (i) (ii): Diketahui a < b, atau a b < 0. Jadi diperoleh a 2 b 2 = (a b) (a + b) < 0 }{{}}{{} <0 >0 (ii) (i): Diketahui a 2 b 2 = (a b) (a + b) < 0. Karena diketahui pula a+b > 0 }{{}}{{} <0 >0 maka haruslah a b < 0, atau a < b. (i) (iii): Sebelumnya sudah dibuktikan bahwa jika x, y > 0 maka x < y x 2 < y 2. Pada bagian ini diambil x = a dan y = b sehingga x, y > 0. Karena a = ( a) 2 dan b = b) 2 maka diperoleh a < b ( a) 2 = a < b = ( b) 2. Jadi lengkaplah bukti ini karena telah ditunjukkan berlakunya equivalensi (iii) (i) (ii). Teorema 1.2.7 (Rata-rata Aritmatika-Geometri (RAG). Bila a dan b bilangan positif maka berlaku 1 ab (a + b) (RAG) 2 Bukti. Bila a = b maka relasi pada (RAG) menjadi kesamaan (lihat latihan di bawah). Sekarang diasumsikan a b. Karena a > 0 dan b > 0 maka a > 0 dan b > 0. Diperhatikan bahwa 0 a b = ( a b) ( a + b). }{{} >0 Jadi ( a b) 0, dan selanjutnya dikuadratkan diperoleh 0 < ( a b) 2 = a 2 ab + b ab > 1 (a + b). 2

Pengantar Analisis Real I by Julan HERNADI 10 Latihan 1.2.5. Buktikan bahwa bila a = b maka relasi pada (RAG) menjadi kesamaan. Rata-rata aritmatika (RA) dari dua bilangan real a dan b adalah a+b 2, sedangkan rata-rata geometri (RG) dari a dan b adalah ab. Biasanya dalam kehidupan sehari-hari, rata-rata aritmatika lebih sering digunakan daripada rata-rata geometri. Secara umum dua macam rata-rata ini didefinisikan sebagai berikut : Misalkan diketahui bilangan real (data) a 1, a 2,, a n maka RA = 1 n ( n n ) 1/n a k, RG = a k dengan notasi untuk penjumlahan dan untuk perkalian suku-suku. Masih tetap berlaku bahwa RG RA. Teorema 1.2.8 (Ketidaksamaan Bernoulli). Jika x > 1 maka untuk setiap n N berlaku (1 + x) n 1 + nx. (KB) Bukti. Dibuktikan dengan induksi matematika. Untuk n = 1 kedua ruas pada (KB) menjadi kesamaan. Diasumsikan berlaku untuk n = k, yaitu berlaku (1 + x) k 1 + kx. Untuk n = k + 1, diperoleh (1 + x) k 1 + kx [ diketahui ] (1 + x) k+1 = (1 + x) k (1 + x) (1 + kx)(1 + x) = 1 + (k + 1)x + kx 2 1 + (k + 1)x. Jadi berlaku untuk n = k + 1. Perhatikan pada baris kedua kedua ruas dikalikan dengan (1 + x) suatu bilangan positif karena x > 1. Teorema 1.2.9 (Ketidaksamaan Cauchy). Misalkan a 1, a 2, a n dan b 1, b 2,, b n bilangan real maka berlaku ( n ) 2 ( n a k b k Bukti. Didefinisikan fungsi F : R R dengan a 2 k ) ( n b 2 k ). F (t) := n (a k tb k ) 2.

Pengantar Analisis Real I by Julan HERNADI 11 Jelas F fungsi taknegatif, karena itu diperoleh F (t) = = n a 2 k 2ta k b k + t 2 b 2 k ( n b 2 k ) ( n ) ( n t 2 2 a k b k t + a 2 k ) 0. Jadi F merupakan fungsi kuadrat definit tak negatif, sehingga diskriminannya pun tak negatif, yaitu ( n ) 2 ( n 4 a k b k 4 b 2 k ) ( n a 2 k ) 0. Akhirnya dengan memindahkan ruas pada ketidaksamaan ini terbuktilah bahwa ( n ) 2 ( n a k b k a 2 k ) ( n b 2 k ). 1.3 Nilai Mutlak dan Jarak Pada Bilangan Real Pada sifat urutan bilangan real kita baru mengetahui urutan lebih besar antara dua bilangan real tetapi belum menentukan jarak antara dua bilangan real. Jarak atau metrik pada bilangan real ini ditentukan melalui nilai mutlak. Definisi 1.3.1. Nilai mutlak suatu bilangan real a, ditulis dengan a didefinsikan sebagai: a bila a > 0, a := 0 bila a = 0, a bila a < 0. Sebagai contoh, 3 = 3, 0 = 0, dan 1 = 1. Dengan kata lain, nilai multak bilangan real bersifat dikotomi, yaitu nol atau positif. Diperhatikan tiga cabang pada definisi nilai mutlak dapat disederhanakan menjadi { a bila a 0, a := a bila a < 0. Teorema berikut ini menyajikan sifat-sifat dasar nilai mutlak. Teorema 1.3.1. Misalkan a, b, c bilangan-bilangan real. (i) a = 0 bila hanya bila a = 0

Pengantar Analisis Real I by Julan HERNADI 12 (ii) a = a (iii) ab = a b (iv) untuk c 0, a c bila hanya bila c a c. (v) a a a. Bukti. (i)( =): langsung dari definisi. (= ): dibuktikan melalui kontraposisinya, yaitu jika a 0 maka a = 0, juga langsung dari definisi. (ii) Jika a = 0 maka diperoleh a = 0 = 0 = 0 = a. Jika a > 0 maka a < 0 sehingga diperoleh a = a = ( a) = a. Jika a < 0 maka a > 0 sehingga diperoleh a = a = a. (iii) Bila minimal salah satu dari a atau b bernilai nol maka kedua ruas bernilai nol. Bila keduanya tidak ada yang nol, ada 4 kemungkinan nilai a, b yang perlu diselidiki yaitu a > 0, b > 0, a > 0, b < 0, a < 0, b > 0 dan a < 0, b < 0. Untuk a > 0, b < 0 maka ab < 0, a = a, b = b dan ab = (ab) = (a)( b) = a b. (iv): ( =): karena a c maka a c dan a c atau a c, digabungkan diperoleh c a c. (= ): bila c a c maka kita mmepunyai a c dan c a, atau a < c. Karena a bernilai a atau a maka disimpulkan a < c. (v): dengan mengambil c := a 0 pada bagian (iv) maka a a adalah pernyataan yang benar. Implikasinya adalah a c a. Cara lain adalah dengan menggunakan kenyataan bahwa a a berlaku untuk setiap a R. Karena a R maka a = a a, atau a a. Setelah digabungkan diperoleh a c a. Definisi 1.3.2. Jarak (metrik) antara dua bilangan real a dan b didefinisikan sebagai d(a, b) := a b. Bila b = 0 maka d(a, 0) = a dipandang sebagai jarak a terhadap titik asal 0. Interpretasi sederhana bilangan real dapat disajikan dalam garis bilangan. Gambar berikut adalah garis bilangan dan ilustrasi jarak antara 3 dan 2. Gambar 1.1: Garis bilangan dan jarak antara dua bilangan real Teorema berikut berkaitan dengan sifat dasar nilai mutlak dan sangat sering digunakan dalam analisis.

Pengantar Analisis Real I by Julan HERNADI 13 Teorema 1.3.2 (Ketidaksamaan segitiga). Untuk sebarang bilangan real a dan b berlaku a + b a + b. (KS) Bukti. Dari Teorema sebelumnya bagian (v) kita mempunyai a < a < a dan b < b < b. Dengan menjumlahkan dua ketidaksamaan ini diperoleh ( a + b ) < a + b < ( a + b ). Kemudian, dari bagian (iv) dengan menganggap c := ( a + b ) maka terbukti bahwa a + b a + b. Latihan 1.3.1. Untuk sebarang bilangan real a dan b, buktikan (i) a b a b. (ii) a b a + b. Contoh 1.3.1. Tentukan semua bilangan real x yang memenuhi x 1 > x+1. Penyelesaian. Diperhatikan titik x = 1 dan x = 1 merupakan titik transisi, yaitu perbatasan dimana nilai mutlak berlainan nilai. Untuk x < 1, maka x 1 < 0 dan x + 1 > 0 sehingga x 1 = (x 1) dan x + 1 = (x + 1). Subtitusi kedalam ketidaksamaan diperoleh (x 1) > (x + 1) 1 > 1 suatu pernyataan yang benar untuk setiap x < 1. Untuk 1 < x < 1 berlaku x 1 = (x 1) dan x + 1 = (x + 1). Subtitusi kedalam ketidaksamaan diperoleh (x 1) > (x + 1) 2x >< 0 x < 0. Untuk x > 1 berlaku x 1 = x 1 dan x + 1 = x + 1. Subtitusi kedalam ketidaksamaan diperoleh x 1 > x + 1 1 > 1 suatu pernyataan yang salah untuk setiap x > 1. Dengan menggabungkan ketiga hasil ini diperoleh himpunan penyelesaian untuk x sebagai berikut {x : x < 1} {x : x < 0} = {x : x < 0}. Cara lain adalah dengan menggunakan Teorema 1.2.6, yaitu x 1 > x+1 (x 1) 2 > (x+1) 2 x 2 2x+1 > x 2 +2x+1 4x < 0 x < 0.

Pengantar Analisis Real I by Julan HERNADI 14 Latihan 1.3.2. Tentukan semua bilangan real x yang memenuhi x + x+1 < 2. Latihan 1.3.3. Jika x < z, buktikan bahwa x < y < z bila hanya bila x y + y z = x z. Interprestasikan fakta ini secara geometris. Dapat diperiksa bahwa jarak (metrik) seperti diberikan pada Definisi 1.3.2 mempunyai sifat-sifat sebagai berikut : 1. d(x, y) 0 untuk setiap x, y R. 2. d(x, y) = 0 bila hanya bila x = y. 3. d(x, y) = d(y, x) untuk setiap x, y R. 4. d(x, y) d(x, z) + d(z, y) untuk setiap x, y R. Catatan 1.3.1. Sifat 4 ini merupakan generalisasi dari ketidaksamaan segitiga (KS). Himpunan bilangan real yang dilengkapi dengan metrik d ini disebut ruang metrik. Lebih lanjut, pada analisis dikenal pula ruang bernorma, ruang Banach, dan lain-lain. Latihan 1.3.4. Misalkan S himpunan takkosong, buktikan fungsi d pada S S yang didefinisikan oleh { 0 bila s = t, d(s, t) := 1 bila s 0. merupakan metrik. Metrik ini disebut metrik diskrit. Bentuk lain generalisasi (KS) diungkapkan pada teorema berikut. Teorema 1.3.3. Untuk sebarang bilangan real a 1, a 2,, a n, berlaku a 1 + a 2 + + a n a 1 + a 2 + + a n. Bukti. Dapat dibuktikan dengan induksi. Ingat dengan prinsip induksi, jika berlaku untuk dua bilangan maka akan berlaku untuk sejumlah berhingga bilangan. 1.4 Supremum dan Infimum Ketika kita diberikan himpunan A = [0, 1) maka minimum atau anggota terkecil himpunan ini adalah 0. Pertanyaannya, apakah A mempunyai maksimum? Kalau ada, berapa nilainya. Perhatikan bahwa 1 bukan nilai maksimum karena ia tidak termuat di dalam A.

Pengantar Analisis Real I by Julan HERNADI 15 Latihan 1.4.1. Buktikan bahwa himpunan A = (0, 1] tidak mempunyai maksimum. (Petunjuk: gunakan bukti tak langsung dengan kontradiksi). Walaupun 1 bukan maksimum A namun tidak ada anggota A yang melebihinya. Dengan kata lain, 1 merupakan batas atas paling kecil untuk himpunan A. Definisi 1.4.1. Misalkan S suatu himpunan bagian dari R. (i) Bilangan u R dikatakan batas atas S jika s u untuk setiap s S. (ii) Bilangan w R dikatakan batas bawah S jika w s untuk setiap s S. Diperhatikan dengan seksama bahwa batas bawah atau batas atas suatu himpunan tidak harus berada di dalam himpunan tersebut. Ilustrasi batas atas dan batas bawah diberikan pada gambar berikut. Gambar 1.2: Batas atas dan batas bawah suatu himpunan Contoh 1.4.1. Diberikan S := [0, 1), maka batas atas S adalah himpunan {x : x 0} dan batas bawah S adalah {x : x 1}. Diperhatikan 0 merupakan batas bawah dan termasuk didalam S, sedangkan 1 batas atas S tetapi ia tidak termuat didalam S. Contoh 1.4.2. Himpunan bilangan asli N tidak mempunyai batas bawah maupun batas atas. Contoh 1.4.3. Himpunan S := { 1 : n N} mempunyai himpunan batas bawah n {x : x 0} dan mempunyai himpunan batas atas {x : x 1}. Contoh 1.4.4. Misalkan S := himpunan kosong maka setiap bilangan real adalah batas atas S. Argumennya dapat dijelaskan sebagai berikut. Bilangan u R batas atas S dapat disajikan dalam kalimat logika berikut s S = s < u. Dalam kasus S himpunan kosong maka pernyataan s S bernilai salah, sehingga kalimat implikasi s S = s < u selalu benar. Dengan argumen yang sejalan dapat disimpulkan bahwa semua bilangan real juga merupakan batas bawah himpunan kosong. Kenyataan ini sepertinya dibuat-buat, tetapi inilah konsekuensi logis definisi.

Pengantar Analisis Real I by Julan HERNADI 16 Latihan 1.4.2. Tuliskan definisi v 1 bukan batas atas S, juga definisi w 1 bukan batas bawah S. Definisi 1.4.2. Himpunan yang mempunyai batas atas disebut terbatas diatas (bounded above), sedangkan himpunan dikatakan terbatas dibawah (bounded below) jika ia mempunyai batas bawah. Himpunan dikatakan terbatas jika ia terbatas diatas dan terbatas dibawah. Contoh 1.4.5. Himpunan bilangan real R := (, ) tidak terbatas diatas maupun dibawah. Himpunan S := [1, ) terbatas dibawah. Himpunan E := { 1 : n N} terbatas. n Definisi 1.4.3. Misalkan S himpunan bagian dari R. (i) Bila S terbatas diatas maka batas atas u dikatakan supremum dari S jika tidak ada bilangan lain yang lebih kecil dari u yang menjadi batas atas S. Dengan kata lain u batas atas yang paling kecil. (ii) Bila S terbatas dibawah maka batas bawah w dikatakan infimum dari S jika tidak ada bilangan lain yang lebih besar dari w yang menjadi batas bawah S. Dengan kata lain w batas bawah yang paling besar. Berdasarkan definisi ini, supremum himpunan S dapat dikarakterisasi oleh dua kondisi berikut, yaitu : 1. s u untuk setiap s S 2. bila ada v R dengan v < u maka ada s 0 S sehingga v < s 0. Kondisi pertama menyatakan bahwa v haruslah batas atas S dan kondisi kedua menyatakan bahwa batas atas ini haruslah yang terkecil. Latihan 1.4.3. Buatlah karakterisasi w infimum S. Biasanya supremum dan infimum himpunan S disingkat dengan sup S dan inf S. Ilustrasi supremum dan infimum diberikan pada gambar berikut. Gambar 1.3: Supremum dan infimum suatu himpunan

Pengantar Analisis Real I by Julan HERNADI 17 Catatan 1.4.1. Supremum suatu himpunan selalu tunggal. Bukti. Andaikan u = sup S dan u 1 = sup S dengan u u 1. Karena itu ada dua kemungkinan yang dapat terjadi, yaitu u u 1. Untuk u u 1 berarti u 1 bukan batas atas S, ini bertentangan dengan u 1 = sup S. Jadi pengandaian u u 1 salah, seharusnya u = u 1 Latihan 1.4.4. Buktikan bahwa infimum suatu himpunan selalu tunggal. Berikut adalah kriteria yang mudah dan sering digunakan untuk mengetahui suatu batas atas merupakan supremum atau bukan. Teorema 1.4.1. Misalkan u suatu batas atas S. u = sup S ε > 0, s S sehingga u ε < s. Bukti. (= ): Ambil ε > 0 sebarang. Karena diketahui u = sup S maka u ε bukan batas atas S, jadi ada s S sehingga u ε < s. ( =): Akan ditunjukkan bahwa u yang memenuhi sebelah kanan merupakan supremum S. Misalkan untuk sebarang bilangan real v, v < u. Ambil ε := u v > 0, maka ada s S sehingga u ε = u (u v) = v < s. Ini berarti v bukan batas atas S, dan berdasarkan karakteristik supremum disimpulkan bahwa u = sup S. Teorema ini dapat diilustrasikan secara grafik sebagai berikut. Gambar 1.4: Kriteria supremum Latihan 1.4.5. Misalkan w suatu batas bawah S. Buktikan bahwa w = inf S ε > 0, s S sehingga w + ε > s. Contoh 1.4.6. Diperhatikan himpunan S := {x : 0 x < 1}. Maka maks S tidak ada, sup S = 1, min S = inf S = 0. Contoh 1.4.7. Diperhatikan himpunan S := { 1 : n R}. Maka maks S = n sup S = 1, min S tidak ada tetapi inf S = 0. Hasil ini dapat dibuktikan sebagai berikut. Jika diberikan ε > 0 sebarang maka selalu dapat dipilih bilangan asli n 0 dengan n 0 > 1/ε. Nah, s = 1 n 0 S dan 0 + s > ε. Berdasarkan kriteria infimum (latihan sebelumnya) maka disimpulkan 0 adaah infimum S.

Pengantar Analisis Real I by Julan HERNADI 18 Catatan 1.4.2. Pada pembuktian infimum sebelumnya kita dapat memilih bilangan asli yang lebih besar dari suatu bilangan real yang diberikan. Ada referensi yang menyebut sifat ini sebagai sifat Archimedes. Secara formal sifat ini diungkapkan sebagai berikut. Jika x R maka ada n x N sehingga n x > x. Catatan 1.4.3. Bila suatu himpunan S mempunyai maksimum dan minimum maka sup S = maks S, inf S = min S. Latihan 1.4.6. Buktikan bahwa bilangan real R tidak mempunyai supremum dan infimum. Latihan 1.4.7. Misalkan S := {1 ( 1)n n : n N}. Tentukan inf S dan sup S. Buktikan hasil yang anda peroleh. 1.5 Kepadatan bilangan rasional Sebelumnya kita pahami dulu sifat supremum dan infimum sebagai berikut: Sifat supremum dan infimum pada R Sifat ini dapat disajikan secara sederhana sebagai berikut. Setiap himpunan tak kosong yang terbatas diatas selalu mempunyai supremum, dan setiap himpunan tak kosong yang terbatas dibawah selalu mempunyai infimum. Sifat supremum ini dikenal juga dengan sifat kelengkapan bilangan real. Dengan sifat ini terjamin bahwa garis bilangan adalah padat, artinya tidak ada satupun titik yang hilang. Sebagai ilustrasi, diperhatikan himpunan terbatas berikut A := {x > 0 : x 2 < 2}. Himpunan A ini tidak mempunyai maksimum tetapi A mempunyai supremum, yaitu sup A = 2. Fakta ini menjamin eksistensi 2 yang merupakan bilangan irrasional. Sekarang kita tahu terdapat paling tidak satu bilangan irrasional, yaitu 2. Pertanyaannya, seberapa banyak bilangan irrasional yang ada. Lebih banyak mana, bilangan rasional atau bilangan irrasional. Nah, berikut ini diberikan sifat kepadatan bilangan rasional dalam R. Teorema 1.5.1. Bila a dan b bilangan real dengan a < b maka terdapat bilangan rasional r dengan a < r < b.

Pengantar Analisis Real I by Julan HERNADI 19 Bukti. Diperhatikan bahwa 1 suatu bilangan real positif. Menurut sifat Archimedes b a terdapat bilangan asli n sehingga n > 1. Untuk n ini berlaku b a nb na > 1. (*) Sekarang ambil m sebagai bilangan bulat pertama yang lebih besar dari na, dan berlaku m 1 na < m. (**) Dari (*) dan (**) diperoleh na < m na + 1 < nb. Bentuk terakhir ini dapat ditulis na < m < nb, dan dengan membagi semua ruas dengan n, didapat a < m n < b dan dengan mengambil r := m n maka bukti Teorema selesai. Contoh 1.5.1. Tentukan 3 buah bilangan rasional diantara 2 dan 3 2. Penyelesaian. 1. Diketahui a = 2 1, 4142, b = 3/2 = 1, 5 2. d = 1 1,5 1,4142 11.6569 3. Jadi bilangan asli yang yang dapat diambil adalah n = 12, 13, 14, 15, 16. 4. Untuk n = 12 diperoleh na (12)( 2) 16, 9706 maka diambil m = 17. Untuk n = 13, na (13)( 2) 18, 3848 dan dimabil m = 19. Untuk n = 14 maka na (14)( 2) 19, 7990 dan dimabil m = 20. 5. Jadi bilangan rasional r = 17, 19 12 13, dan 20 14 terletak diantara 2 dan 3/2. Akibat 1.5.1. Bila a dan b bilangan real dengan a < b maka terdapat bilangan irrasional z dengan a < z < b. Bukti. Dengan menerapkan Teorema sebelumnya pada dua bilangan real a 2 dan b 2 maka ada bilangan rasional r sehingga a 2 < r < b 2. Selanjutnya diambil z := r 2, inilah bilangan irrasioanl yang dimaksud. Latihan 1.5.1. Temukan 5 bilangan irrasional yang terletak diantara 1 dan 1.01.

Pengantar Analisis Real I by Julan HERNADI 20 SOAL-SOAL LATIHAN BAB I 1. Buktikan jika a, b R maka a. (a + b) = ( a) + ( b) b. ( a) ( b) = a b c. 1/( 1/a) = (1/a) asalkan a 0 d. (a/b) = ( a)/b asalkan b 0. 2. Jika a 0 dan a a = a, buktikan a = 0 atau a = 1. 3. Buktikan tidak ada bilangan rasional r sehingga r 2 = 3. 4. Tunjukkan dengan contoh bahwa ada dua bilangan irrasional yang jumlah keduanya rasional. 5. Tunjukkan dengan contoh bahwa ada dua bilangan irrasional yang hasil kali keduanya rasional. 6. Tunjukkan ada bilangan irrasional x dan y dengan x y rasional. 7. Buktikan bahwa jika 0 < a < b dan 0 < c < d maka 0 < ac < bd. 8. Jika a, b R tunjukkan bahwa a 2 + b 2 = 0 bila dan hanya bila a = 0 dan b = 0. 9. Bila 0 a < b, buktikan a 2 ab < b 2. 10. Buktikan bahwa jika 0 < a 1 maka 1 < c < c 2. 14. Buktikan bahwa a + b = a + b bila hanya bila ab 0. 15. Jika a < x < b dan a < y < b, tunjukkan bahwa x y < b a. Interprestasikan fakta ini secara geometris. 16. Tentukan dan sketsalah pasangan titik (x, y) pada R R yang memenuhi (a) x = y. (b) xy = 1. 17. Tentukan dan sketsalah pasangan titik (x, y) pada R R yang memenuhi

Pengantar Analisis Real I by Julan HERNADI 21 (a) x + y 1. (b) xy 2. 18. Misalkan S himpunan takkosong yang terbatas dibawah. Buktikan inf S = sup{ s : s S}. 19. Misalkan S himpunan terbatas dan S 0 himpunan bagian dari S. Buktikan inf S inf S 0 sup S 0 sup S. 20. Misalkan S himpunan takkosong yang terbatas diatas. Untuk a R didefinisikan a + S := {a + x : x S}. Buktikan sup(a + S) = a + sup S. 21. Misalkan S := { 1 1 : m, n N}. Tentukan sup S dan inf S, buktikan n m hasil yang anda peroleh. 22. Misalkan S himpunan takkosong. Untuk a bilangan real tidak nol didefinsikan as := {as : s S}. Buktikan (i) Bila a > 0 maka (ii) Bila a < 0 maka inf(as) = a inf S, dan sup(as) = a sup S. inf(as) = a sup S, dan sup(as) = a inf S. 23. Misalkan A dan B himpunan takkosong dan A+B := {a+b : a A, b B}. Buktikan bahwa sup(a + B) = sup A + sup B dan inf(a + B) = inf A + inf B. 24. Misalkan f dan g dua fungsi yang didefinisikan pada domain X. Jika rangenya terbatas, buktikan (i) sup{f(x) + g(x) : x X} sup{f(x) : x X} + sup{g(x) : x X}. (ii) inf{f(x) + g(x) : x X} inf{f(x) : x X} + inf{g(x) : x X}.