MODUL KULIAH STATISTIKA PROBABILITAS OLEH: DIDIN ASTRIANI PRASETYOWATI, M.Stat PROGRAM STUDI D3 SISTEM INFORMASI UNIVERSITAS INDO GLOBAL MANDIRI PALEMBANG 2015
BAB I TEORI PROBABILITAS 1.1. Sejarah Perkembangan Teori Probabilitas Statistika adalah suatu disiplin ilmu yang mempelajari sekumpulan konsep dan metode pengumpulan, penyajian, analisis dan interpretasi data sampai pengambilan keputusan pada situasi dimana terdapat ketidakpastian. Ketidakpastian dalam matematika dapat diukur dengan teori peluang/probabilitas. Teori probabilitas atau peluang awalnya diinspirasi oleh masalah perjudian. Awalnya dilakukan oleh matematikawan dan fisikawan Itali yang bernama Girolamo Cardano (1501-1576). Cardano lahir pada tanggal 24 September 1501. Cardano merupakan seorang penjudi pada waktu itu. Walaupun judi berpengaruh buruk terhadap keluarganya, namun judi juga memacunya untuk mempelajari peluang. Dalam bukunya yang berjudul Liber de Ludo Aleae (Book on Games of Changes) pada tahun 1565, Cardano banyak membahas konsep dasar dari peluang yang berisi tentang masalah perjudian. Sayangnya tidak pernah dipublikasikan sampai 1663. Girolamo merupakan salah seorang dari bapak probability. Tahun 1654, seorang penjudi lainnya yang bernama Chevalier de Mere menemukan sistem perjudian. Ketika Chevalier kalah dalam berjudi dia meminta temannya Blaise Pascal (1623-1662) untuk menganalisis sistim perjudiannya. Pascal menemukan bahwa sistem yang dipunyai oleh Chevalier akan mengakibatkan peluang dia kalah 51 %. Pascal kemudian menjadi tertarik dengan peluang, dan mulailah dia mempelajari masalah perjudian. Dia mendiskusikannya dengan matematikawan terkenal yang lain yaitu Pierre de Fermat (1601-1665). Mereka berdiskusi pada tahun 1654 antara bulan Juni dan Oktober melalui 7 buah surat yang ditulis oleh Blaise Pascal dan Pierre de Fermat yang membentuk asal kejadian dari konsep peluang. Awal tahun 1656, Christiaan Huygens menulis naskah Van Rekeningh in Spelen van Geluck. Van Rekeningh in Spelen van Geluck adalah risalat Didin Astriani Prasetyowati, M.Stat Page 1
singkat terdiri dari 15 halaman, yang kemungkinan didasarkan atas apa yang dilihat Huygen selama dia menetap di paris pada tahun-tahun sebelumnya tentang surat menyurat antara Pascal dan Fermat. Pada bentuk akhirnya, tulisan ini memuat 14 masalah (Voorstellen) dengan solusi atau buktinya dan 5 masalah yang harus diselesaikan oleh pembaca. Lima masalah terakhir adalah sebagian dari masalah Fermat dan Pascal. Masalah terakhir dari kelima masalah tersebut pada akhirnya dikenal sebagai Gambler s ruin dan bagianbagian dari surat menyurat Pascal dan Fermat yang di terbitkan pada tahun 1656. Tahun 1709 Jaques (Jacob) Bernoulli menulis buku Ars Conjectandi, yang terdiri 5 bagian, yaitu: 1. Menulis lagi Liber de Ludo Aleae (Book on Games of Chance) karya Cardano 2. Permutasi dan Kombinasi 3. Distribusi Binomial dan Multinomial 4. Teori Peluang 5. Law Large Number (Hukum Bilangan Besar) Tahun 1711, Abraham de Moivre yang lahir di French Hugesenot pada tanggal 26 Mei 1667, dan wafat di London 27 November 1754, menerbitkan buku yang berjudul Doctrine of Chances, yang diantaranya memuat Ars Conjectandi. Selain memuat Ars Conjectandi, buku ini juga memuat mengenai teori dari permutasi dan kombinasi yang berpangkal dari probabilitas, contohnya: Diketahui dari huruf-huruf a,b,c,d,e,f diambil dua huruf, maka peluang terambilnya huruf pertama adalah 1/6, peluang terambilnya huruf kedua adalah 1/5. Jadi peluang terambilnya dua huruf tersebut adalah (1/6)(1/5) = 1/30. Selain itu karya de Moivre adalah teorema limit pusat dan distribusi normal. Abraham de Moivre adalah orang yang pertama memperkenalkan distribusi normal pada tahun 1737, kemudian ditulis ulang pada tahun 1738 dengan judul The Doctrine of Chances, yang membahas pendekatan distribusi binomial untuk n yang besar. Hasil ini diperluas oleh Laplace dalam buku Didin Astriani Prasetyowati, M.Stat Page 2
Analytical Theory of Probabiliteis pada tahun 1812, yang sekarang dikenal dengan teorema De Moivre-Laplace. Laplace menggunakan distribusi normal untuk menganalisis percobaannya. Karena grafik probalitasnya mirip lonceng maka Jouffret pada tahun 1872 memberi nama kurva lonceng (bell curve).nama distribusi normal diberikan oleh S.Pierce, Francis Galton dan Wilhelm Lexis pada tahun 1875. 1.2. Pengertian Probabilitas Probabilitas atau peluang adalah adalah tingkat keyakinan seseorang untuk menentukan terjadi atau tidak terjadinya suatu kejadian (peristiwa) yang akan terjadi di masa mendatang. Secara kualitatif peluang dapat dinyatakan dalam bentuk kata sifat untuk menunjukkan kemungkinan terjadinya suatu keadaan seperti baik, lemah, kuat, miskin, sedikit dan lain sebagainya. Secara kuantitatif, peluang dinyatakan sebagai nilai-nilai numeris baik dalam bentuk pecahan maupun desimal antara 0 dan 1. Peluang sama dengan 0 berarti sebuah peristiwa tidak bisa terjadi sedangkan peluang sama dengan 1 berarti peristiwa tersebut pasti terjadi. 0 (Tidak Mungkin) 0.5 1 (Pasti) (May be Yes / May be No) Dalam kehidupan sehari-hari kita sering mendengar perkiraan terjadinya hujan dalam bentuk peluang baik secara kualitatif seperti kemungkinannya kecil akan terjadi hujan esok hari, atau dalam bentuk kuantitatif seperti kemungkinan hujan esok hari sekitar 30%. Jelas di sini bahwa berbicara mengenai peluang kita dihadapkan dalam suatu kondisi yang tidak pasti, akan tetapi kita hanya diberikan suatu petunjuk atau gambaran seberapa besar keyakinan kita bahwa suatu peristiwa bisa terjadi. Semakin besar nilai peluang yang dihasilkan dari suatu perhitungan maka semakin besar keyakinan kita bahwa peristiwa itu akan terjadi. Dewasa ini, perkiraan tentang akan terjadinya suatu gejala alam bukanlah sesuatu pekerjaan sederhana akan tetapi telah melalui suatu proses perhitungan yang sangat kompleks. Gejala sebuah Didin Astriani Prasetyowati, M.Stat Page 3
peristiwa tidak hanya dikaji dari satu sisi saja, misalnya pengaruh waktu, akan tetapi juga melibatkan banyak variabel yang terkait dengan peristiwa tersebut. Olehkarena itu peluang yang didasarkan pada latar belakang ilmiah bisa memberikan tingkat keyakinan yang lebih tinggi bagi orang yang memerlukannya. Salah satu cara untuk menyatakan peluang dari suatu peristiwa adalah penggunaan diagram Venn seperti yang dilukiskan dalam gambar 1. Meski konvensional, tetapi cara ini ternyata lebih mudah dipahami oleh masyarakat luas khususnya bagi orang-orang yang bukan berlatar belakang matematika. Diagram Venn berbentuk persegi panjang untuk menyatakan semua peristiwa yang bisa terjadi dan lingkaran untuk menggambarkan peluang terjadinya peristiwa tertentu. Pengambaran diagram umumnya tidak menggunakan skala yang sesungguhnya, artinya jika peluang terjadi peristiwa hujan 30% bukan berarti bahwa lingkaran yang dimaksud luasnya harus 30% dari luas persegi panjang. 1.3. Manfaat Probabilitas Probabilitas atau Peluang diperlukan untuk mengetahui ukuran atau derajad ketidakpastian suatu peristiwa. Di dalam statistik, peluang dipakai antara lain terkait dengan cara pengambilan sampel dari suatu populasi, mengundi dengan sebuah mata uang logam atau sebuah dadu, membaca temperatur dengan termometer tiap hari, menghitung barang rusak yang dihasilkan tiap hari, mencatat banyak kendaraan yang melalui pertigaan jalan Didin Astriani Prasetyowati, M.Stat Page 4
tertentu setiap jam, dan masih banyak contoh yang lain, merupakan eksperimen yang dapat diulangi. Semua hasil yang mungkin terjadi bisa dicatat. Segala bagian yang mungkin didapat dari hasil ini dinamakan peristiwa. Secara singkat, manfaat probabilitas adalah untuk membantu dalam pengambilan keputusan yang tepat, karena kehidupan di dunia tidak ada kepastian dan informasi yang tidak sempurna. Contoh : - Pembelian harga saham berdasarkan analisis harga saham. - Peluang produk yang dihasilkan perusahaan (sukses atau tidak ) 1.4. Istilah-istilah dalam Probabilitas Dalam Probabilitas ada 5 hal istilah yang penting yaitu percobaan (experiment), hasil (out come), ruang sampel, peristiwa (event) dan himpunan. 1. Percobaan adalah aktivitas yang menghasilkan suatu peristiwa. Misalnya: kegiatan melempar uang, akan menghasilkan peristiwa muncul gambar atau angka. 2. Hasil adalah suatu hasil dari suatu percobaan tersebut, yaitu muncul gambar atau angka. 3. Ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin pada percobaan. 4. Kejadian atau peristiwa adalah hasil yang terjadi dari suatu kejadian. 5. Himpunan adalah kumpulan objek yang didefinisikan dengan jelas dan dapat dibeda-bedakan. Perhatikan contoh berikut: 1. Eksperimen : Pelemparan sebuah dadu 2. Hasil : Muncul angka dadu 1,2,3,4,5,6 3. Ruang sampel : S = {1,2,3,4,5,6} 4. Peristiwa : A = Muncul angka dadu genap = {2,4,6} B = Muncul angka dadu prima = {2,3,4} C = Muncul angka factor dari 6 = {1,2,3,6} Didin Astriani Prasetyowati, M.Stat Page 5
1.5. Pendekatan Probabilitas Dalam teori probabilitas terdapat 3 pendekatan yaitu : pendekatan klasik, pendekatan relatif dan pendekatan subjektif. A. Pendekatan Klasik Pendekatan klasik mengasumsikan bahwa sebuah peristiwa mempunyai kesempatan untuk terjadi yang sama (equally likely). Probabilitas suatu peristiwa dinyatakan sebagai ratio antara jumlah kemungkinan hasil (peristiwa) dengan total kemungkinan hasil. Berdasarkan asumsi tiap-tiap elemen ruang sampel (S) mempunyai peluang yang sama untuk terjadi, maka peluang terjadinya peristiwa A dapat ditulis sebagai berikut: P A = n(a) n(s) Dengan p(a) = peluang terjadinya peristiwa A Contoh 1: n(a) = Banyaknya anggota dalam peristiwa A n(s) = Banyaknya anggota ruang sampel Eksperimen : Pelemparan sebuah dadu Hasil : Muncul angka dadu 1,2,3,4,5,6 Ruang sampel : S = {1,2,3,4,5,6} Peristiwa : n(s) = 6 A = Muncul angka dadu genap = {2,4,6} dan n(a) = 3 C = Muncul angka dadu faktor dari 6 = {1,2,3,6} dan n(c) = 4 Sehingga, Peluang muncul angka dadu genap adalah: P A = n(a) n(s) = 3 6 = 0,5 Peluang muncul angka dadu faktor dari 6 adalah: P A = n(a) n(s) = 4 6 = 0,667 Didin Astriani Prasetyowati, M.Stat Page 6
Contoh 2: Pelamar pekerjaan terdiri dari 10 orang pria (A) dan 15 orang wanita (B). Jika yang diterima hanya 1, berapa peluang bahwa ia merupakan wanita? Jawab: P (A) = 15/10+15 = 3/5 B. Pendekatan Relatif Besar probabilitas suatu peristiwa tidak dianggap sama, tetapi tergantung pada berapa banyak (frekuensi) suatu peristiwa terjadi dari keseluruhan percobaan atau kegiatan yang dilakukan. Dengan p(a) = Peluang peristiwa A n(a) = frekuensi peristiwa A P A = n(a) n(s) n(s) = banyaknya peristiwa terjadi Contoh : penelitian yang dilakukan terhadap 40 mahasiswa terhadap nilai mata kuliah Statistika Probabilitas. Berapakah besarnya peluang mahasiswa mendapatkan nilai 50 dan 70? Jawab : Nilai (x) F 40 8 50 4 60 11 70 15 80 7 90 5 Pr x = 50 = f 2 n = 4 50 = 0,08 Pr x = 70 = f 4 n = 15 50 = 0,3 Didin Astriani Prasetyowati, M.Stat Page 7
Jadi pendekatan relatif mendasarkan besarnya probabilitas pada banyaknya suatu peristiwa terjadi dari keseluruhan percobaan, kegiatan atau pengamatan yang dilakukan. C. Pendekatan Subyektif Pendekatan Subyektif merupakan peluang suatu peristiwa didasarkan pada penilaian pribadi dan dinyatakan dalam suatu derajat kepercayaan tertentu. Biasanya dalam bentuk opini atau pendapat. Contoh: Kemungkinan Barcelona mengalahkan Real Madrid sangat bergantung penilaian seseorang. Aagar hasil yang diperoleh mendekati kenyataan, maka seseorang tersebut merupakan seseorang pengamat sepak bola yang objektif. Didin Astriani Prasetyowati, M.Stat Page 8