Jurnal Matematika UNAND Vol. 5 No. 2 Hal. 65 70 ISSN : 2303 2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND KARAKTERISASI SEBARAN BINOMIAL NEGATIF DEBY HANDAYANI Program Studi Magister Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas, Kamus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia, email : deb.handaani@mail.com Abstrak. Sebaran Binomial Negatif adalah salah satu eubah acak disktret ang terbentuk dari ercobaan Bernoulli. Pada aer ini akan ditentukan karakterisasi dari sebaran Binomial Negatif. Karakterisasi tersebut terdiri dari fungsi keadatan eluang, nilai haraan, variansi, skewness, kurtosis, fungsi embangkit momen dan fungsi karakteristik. Kata Kunci: Sebaran binomial negatif, nilai haraan, variansi, skewness, kurtosis, fungsi embangkit momen, fungsi karakteristik 1. Pendahuluan Distribusi Binomial Negatif meruakan distribusi ang memiliki banak cara dalam enurunanna, salah satuna adalah sebagai salah satu ercobaan Bernoulli ang dibutuhkan samai terjadi k buah sukses, dengan setia engulanganna saling bebas dimana robalitasna gagal aitu 1 dan robabilitas sukses. Jika eubah acak X menatakan jumlah ercobaan ang dibutuhkan samai terjadi k sukses, maka distribusi robabilitas eubah acak X disebut berdistribusi Binomial Negatif dengan fungsi robabilitas sebagai berikut P X 1 r 1 r 1 r, 1.1 dimana r, r + 1, r + 2, dan 0 1. Distribusi robabilitas dari eubah acak X daat dinotasikan menjadi bentuk lain, dengan menggunakan tranformasi Y X r, dimana Y menatakan jumlah kegagalan sebelum terjadi k sukses. Distribusi robabilitas dari eubah acak Y adalah r + 1 P Y r 1, 1.2 dimana 0, 1, 2, dan 0 1. Distribusi Binomial Negatif daat juga didefinisikan dengan menggunakan fungsi Gamma sebagai engganti kombinasi r + 1 aitu r r + 1r + 2 r Γr +!!Γr, 1.3 65
66 Deb Handaani dkk. sehingga r + 1 P Y Γr +!Γr r 1. 1.4 Distribusi Binomial Negatif juga dibangkitkan dari sebaran Poisson dengan arameter λ dan λ juga meruakan sebuah eubah acak ang menebar menurut distribusi Gamma r, /1 [7]. Hal ini daat dilihat ada enjabaran berikut fk 0 λ k 0 f P oissonλ kf Gammar, 1 λdλ, 1 r r k!γr 1 k! e λ λ r 1 e 0 λ1 r Γr dλ, λ r+k 1 e λ dλ, 1 r r r+k Γr + k, k!γr Γr + k k!γr 1 r k. 1.5 2. Karakterisasi Sebaran Binomial Negatif Jika X meruakan eubah acak ang berdistribusi Binomial Negatif ang memiliki fungsi keekatan eluang r + 1 P X r 1, 2.1 dimana 0, 1, 2, dan 0 1. Nilai haraan dari eubah acak X adalah EX Momen kedua dari eubah acak X adalah EX 2 sehingga nilai variansi dari eubah acak X dieroleh r1. 2.2 r1 1 + r1 2, 2.3 V arx r1 2. Adaun fungsi embangkit momen dari eubah acak X, dieroleh dengan cara sebagai berikut r M X t 1 1 e t. 2.4
Karakterisasi Sebaran Binomial Negatif 67 Dengan menggunakan fungsi embangkit momen dieroleh nilai Skewness dari sebaran Binomial Negatif sebagai berikut. dimana Skew[X] E[X µ3 ] 2 qr 1 2 σ 3 [ qr1 + qr h 1 3 2 + 2 q2 r 2 ] 2 h 1 r 1r 2 q2 + 2q2 + 3r 1q 2 2 + 1 + 6q + 4q + 6q 2. dan nilai Kurtosis dari eubah acak sebaran Binomial Negatif adalah dimana Kurt[X] 3 qr [h 2 4 qr h 1 + 6 qr3 1 + qr 2 2.5 3 qr3 ]. 2.6 3 h 2 r 1r 2r 3 q3 + 6r 1r 2q2 1 + 2q, 3 +4r 1 q [1 + 6q + 4q + 1 + 15q + 6q2 42q2 ] + + 8q + 12q 2 + 24q 3. 3. Fungsi Karakteristik Sebaran Binomial Negatif Fungsi Karakteristik meruakan fungsi ang selalu ada dimiliki oleh suatu eubah acak baik diskrit atau kontinu. Fungsi karakteristik daat digunakan untuk membuktikan teorema-teorema ang enting dalam statistika, salah satuna adalah untuk membuktikan keterbagian tak hingga suatu sebaran. Pada Lukacs [5] terdaat beberaa sifat-sifat dari fungsi karakteristik sebagai berikut. Proosisi 3.1. Misalkan ϕ X t meruakan fungsi karakteristik eubah acak X, maka ϕ X 0 1. Proosisi 3.2. Fungsi karakteristik ada untuk sebarang sebaran. Proosisi 3.3. Misalkan X suatu eubah acak dengan fungsi karakteristik ϕ X t, maka fungsi karakteristik dari X adalah sekawan dari fungsi karakteristik ϕ X t atau dituliskan dengan ϕ X t. Proosisi 3.4. Fungsi karakteristik ϕ X t adalah kontinu seragam. Proosisi 3.5. Misalkan X suatu eubah acak maka, fungsi karakteristik dari a + bx adalah e ita ϕ X bt. Fungsi karakteristik dari eubah acak X ang berdistribusi Binomial Negatif daat dirumuskan sebagai berikut ϕ X t Ee itx r + 1 e it r + 1 r r 1 1 e it.
68 Deb Handaani dkk. Misalkan 1 1 e it, maka r + 1 r 1 r r, r r + 1 r 1 r, r 11 e it r, 1 1 e it r. Akan ditunjukkan fungsi karakteristik ϕ X t memenuhi sifat-sifat fungsi karakteristik berikut. r Sifat 3.6. Misalkan ϕ X t 1 1 e maka it ϕx 0 1. Penjelasan. Perhatikan bahwa r ϕ X t 1 1 e it, r ϕ X 0 1 1 e 0, r, 1. Sifat 3.7. Misalkan X suatu eubah acak dengan fungsi karakteristik ϕ X t, maka fungsi karakteristik dari X adalah sekawan dari fungsi karakteristik ϕ X t atau dituliskan dengan ϕ X t. Penjelasan. Fungsi karakteristik eubah acak X adalah ϕ X t Ee itx r + 1 e it r + 1 r r 1, 1 e it. Misalkan 1 1 e it, maka r + 1 r 1 r r, r r + 1 r 1 r, r 11 e it r, 1 1 e it r.
Karakterisasi Sebaran Binomial Negatif 69 r Sifat 3.8. Fungsi karakteristik ϕ X t 1 1 e adalah kontinu seragam. it r Penjelasan. Misalkan ϕ X t 1 1 e dan h s t dimana s > t, maka it akan ditunjukkan setia ɛ > 0 terdaat δ > 0 sedemikian sehingga ϕ X s ϕ X t < ɛ untuk s t < δ. Perhatikan bahwa r r ϕ X s ϕ X t 1 1 1 1 e is 1 1 e ist, 1 e is mr 1 e it mr, m0 m0 1 e ih+t mr 1 e it mr. m0 Untuk h 0 maka ϕ X s ϕ X t 0 dimana s t 0. Hal ini menunjukkan δ bergantung ada ɛ dimana ϕ X s ϕ X t < ɛ untuk s t < δ. Sifat 3.9. Misalkan X suatu eubah acak, maka fungsi karakteristik dari a + bx adalah e ita ϕ X bt. Penjelasan. Perhatikan bahwa ϕ a+bx t Ee ita+bx r + 1 e ita e itb r + 1 e ita r m0 r 1, 1 e itb. Misalkan 1 1 e itb, maka r + 1 e ita r 1 r r, ita r r + 1 e r 1 r, e ita r 11 e itb r, r e ita 1 1 e itb, e ita ϕ X bt. Daftar Pustaka [1] Bain, L.J. dan M. Engelhardt. 1992. Introduction to Probabilit and Mathematical Statistics Second Edition. Dubur Press, California. [2] Casella, G. dan R. L, Berger. 1990.Statistical Inference. Ed. Ke-1, Pasific Grove, California.
70 Deb Handaani dkk. [3] Chung, K. L. 2001. A Course In Probabilit Theor. 3 rd ed. San Diego: Academ Press. [4] Laha, R.G dan V.K, Rohagi. 1979. Probabilit Theor. New York: John Wile Son. [5] Lukacs, E. 1992. Characteristic Function. 2 nd ed. london: Griffin. [6] Panjer, H. H. dan G. E. Willot. 1981. Finite Sum Evaluation of The Negative Binomial-Eksonensial Model. Astin Bulletin. 133-137. [7] Paul, D. I. 2013. A Critical Review of Some Proerties and Alications of The Negative Binomial Distribution and Its Relation to Other Probabilit Distribution. International Buletin Journal of Engineering and Science 2 : 33 34. [8] Tucker, H. G. 1967. Probabilit and Mathematical Statistics. London: Academ Press. [9] Wang, Z. 2011. One Mi Negative Binomial Distribution with Alication. Statistical Planning 141 : 1153 1160.