VEKTOR 1 A. Definisi vektor Beberapa besaran Fisika dapat dinyatakan dengan sebuah bilangan dan sebuah satuan untuk menyatakan nilai besaran tersebut. Misal, massa, waktu, suhu, dan lain lain. Namun, ada beberapa sebaran yang harus menyertakan arah untuk mendeskripsikan sebaran itu secara lengkap. Misal, kecepatan kereta api. Untuk mendeskripsikan kecepatan kereta api perlu disertakan juga ke arah mana perpindahan kereta api. Tanpa informasi mengenai arah pergerakan / perpindahan kereta api, informasi yang diperoleh menjadi kurang bermakna. Dalam ilmu Fisika, besaran dapat dikelompokkan menjadi: a) Besaran skalar : besaran yang dinyatakan besarnya saja Misal : massa, waktu, suhu, dan lain lain b) Besaran vektor : besaran yang tergantung pada arah Misal : kecepatan, gaya, dan lain lain Perpindahan adalah perubahan posisi dari suatu titik. Perpindahan posisi dari titik A ke B mengandung beberapa makna: a) berapa jauh perpindahannya (jarak) b) ke arah mana perpindahannya Perpindahan dari titik A ke titik B dapat digambarkan dalam bentuk garis dengan pangkal di A dan ujung di B. Panjang ruas garis itu dilambangkan dengan yang menyatakan arah perpindahan, sedangkan mata panah menyatakan arah perpindahan. Gambar 1.1 Gambar 1.2 Gambar 1.3
Sebuah benda bergerak dari titik A menuju B melewati sebuah lintasan melengkung (Gambar 1.1). Garis terpendek (lurus) dari A ke B pada Gambar 1.2 menunjukkan vektor perpindahan gerak yang diberi nama R (Gambar 1.3). Ada beberapa cara untuk menuliskan vektor: a) dengan huruf tebal R atau r 2 b) dengan tanda atau Vektor digambarkan dalam sebuah anak panah. Panjang anak panah menunjukkan besar vektor, sedangkan arah anak panah menunjukkan arah vektor. R -r -R Gambar 1.4 Suatu vektor secara geometri disajikan dengan ruas garis berarah. Panjang ruas garis berarah menyatakan panjang (besar vektor), sedangkan arah panah menunjukkan arah vektor. Vektor diberi nama menurut pangkal dan ujungnya, misal atau. Untuk vektor, titik P disebut titik pangkal (titik asal) sedangkan Q disebut titik ujung (titik terminal). B. Kesamaan Dua Vektor Dua buah vektor dikatakan sama apabila panjang dan arahnya sama. Jika : ruas garis AB sama (panjang) dan sejajar ruas garis PQ, maka. Jadi, sebuah vektor dapat digeser ke tempat lain dan tidak berubah asalkan panjang dan arahnya sama dengan besar dan kedudukan vektor semula. Jika dua buah vektor arahnya sama, tetapi panjangnya berlainan. Maka salah satu vektor dapat dinyatakan dengan vektor yang lain. Misal,
Jika sama panjang dengan tapi arahnya berlawanan. Dua buah vektor itu disebut berlawanan. 3 Jika dua buah vektor yang arahnya berlawanan dan panjangnya tidak sama maka vektor yang satu dapat dinyatakan dengan yang lain. Misal, C. Panjang Vektor Jika vektor ( ) maka besar panjang vektor adalah D. Jarak Antara Dua Vektor Diberikan titik ( ) dan titik ( ), maka jarak antara titik A dan B adalah panjang vektor yaitu ( ) ( ) ( ) Sehingga panjang vector adalah E. Operasi Aljabar pada Vektor Diketahui a dan b vektor vektor di ruang komponen komponennya adalah dan maka Jika di mana titik koordinat dan maka
4 F. Penjumlahan Vektor Ada dua metode dalam penjumlahan vektor: a. Metode jajaran genjang Vektor hasil (resultan) yaitu a + b diperoleh dari diagonaljajaran genjang yang dibentuk oleh a dan b setelah titik awal ditempatkan berimpit. b. Metode segitiga Resultan diperoleh dengan menempatkan titik awal salah satu vektor pada titik ujung vektor yang lainnya, maka resultan vektor bertitik awal di a dan bertitik ujung di titik ujung b. Metode segitiga baik sekali untuk menjumlahkan lebih dari dua vektor.
G. Perkalian Vektor 1. Perkalian vektor dan skalar Jika k adalah suatu skalar bilangan riil, a suatu vektor, maka perkalian skalar ka menghasilkan suatu vektor yang panjangnya k kali panjang a, dan arahnya sama dengan arah a bila k positif dan berlawanan dengan a bila k negative. Jika k=0 maka ka = 0, disebut vektor nol yaitu vektor yang titik awal dan titik ujungnya berhimpit. 5 2. Perkalian vektor dan vektor a. Perkalian titik Hasil kali titik dua vektor jika diketahui komponennya Diketahui a dan b vektor vektor di ruang komponen komponennya adalah dan maka Hasil kali titik dua vektor jika diketahui panjang vektor dan sudut antara dua vektor Diketahui dan adalah dua buah vektor dengan panjang masing masing dan sedangkan sudut yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut adalah. Hasil kali titik antara vektor dan didefinisikan sebagai:, [ ] b. Perkalian silang antara dua vector di R 3 Diketahui dan maka: H. Bebas Linier dan Tak Bebas Linier Definisi 1: Misal { }adalah himpunan m vektor yang memiliki n komponen untuk tiap tiap vektor, sehingga. Himpunan vektor tersebut dikatakan tak
bebas linier jika dan hanya jika terdapat himpunan skalar { setidaknya terdapat sebuah skalar yang tidak nol, sedemikian sehingga } dengan 6 Jika hanya himpunan skalar { } yang memenuhi maka himpunan vektor disebut bebas linier. Contoh: 1. Ambil dua buah vektor [ ], [ ]. Untuk mendefinisikan skalar dan sedemikian sehingga berlaku: [ ] [ ] [ ] Diperoleh 3 Satu satunya solusi adalah dan sehingga kedua vektor di atas bebas linier. 2. Diketahui dua buah vektor [ ], [ ]. [ ] [ ] [ ] Diperoleh 3 Solusi sistem persamaan iniadalah bebas linier. sehingga kedua vektor di atas tak I. Kombinasi Linier Vektor dikatakan merupakan kombinasi linier dari vektor dinyatakan sebagai: jika dapat
Contoh: Diketahui. Apakah merupakan kombinasi linier dari dan? Jawab: 7 * + * + * + Diperoleh sehingga diperoleh dan. Jadi, merupakan kombinasi linier dari dan yaitu