Pemrograman Linier (4) Metode dua fase Ahmad Sabri Universitas Gunadarma, Indonesia
Sesuai dengan namanya, metode dua fase menyelesaikan problem PL dalam dua tahap (fase): 1 Ubah model PL ke dalam bentuk baku (sebagaimana pada metode Big M), dengan fungsi objektifnya adalah meminimumkan sumasi dari variabel artifisial, yaitu: Min r = R 1 + R 2 +... + R m, kemudian temukan solusi optimalnya. Jika pada solusi optimal diperoleh r =, maka lanjut ke fase 2. Jika tidak, maka model PL tidak memiliki solusi layak (proses berhenti). 2 Gunakan solusi layak dari fase 1 sebagai solusi dasar awal dari model semula, dan lakukan iterasi simpleks sampai diperoleh solusi optimal. Ahmad Sabri (Universitas Gunadarma, Indonesia) Pemrograman Linier (4) 2 / 12 2
Tinjau kembali contoh sebelumnya. Contoh Min Z = 4x 1 + x 2 Dengan kendala: 3x 1 + x 2 = 3 4x 1 + 3x 2 6 x 1 + 2x 2 4 x 1, x 2 Temukan solusi optimalnya dengan menggunakan metode dua fase. Ahmad Sabri (Universitas Gunadarma, Indonesia) Pemrograman Linier (4) 3 / 12 3
Fase 1: menentukan solusi minimum dari sumasi variabel artifisial Ubah fungsi objektif menjadi meminimumkan sumasi dari variabel artifisial, dan ubah kendala menjadi bentuk baku (sebagaimana pada metode Big M): Min r = R 1 + R 2 Dengan kendala: 3x 1 + x 2 + R 1 = 3 4x 1 + 3x 2 s 1 + R 2 = 6 x 1 + 2x 2 + s 2 = 4 x 1, x 2, s 1, s 2, R 1, R 2 Ahmad Sabri (Universitas Gunadarma, Indonesia) Pemrograman Linier (4) 4 / 12 4
Tabel simpleks awal fase 1 Itr. No. Basis r x 1 x 2 s 1 R 1 R 2 s 2 Solusi Rasio () r 1-1 -1 (1) R 1 3 1 1 3 (2) R 2 4 3-1 1 6 (3) s 2 1 2 1 4 Sebelum menjalankan prosedur simpleks, lakukan modifikasi pada tabel, dengan mengubah koefisien R 1 dan R 2 pada baris () menjadi, dengan cara: () baru = () lama + (1 (1) + 1 (2)) Ahmad Sabri (Universitas Gunadarma, Indonesia) Pemrograman Linier (4) / 12
Tabel simpleks awal fase 1 Itr. No. Basis r x 1 x 2 s 1 R 1 R 2 s 2 Solusi Rasio () r 1-1 -1 (1) R 1 3 1 1 3 (2) R 2 4 3-1 1 6 (3) s 2 1 2 1 4 Sebelum menjalankan prosedur simpleks, lakukan modifikasi pada tabel, dengan mengubah koefisien R 1 dan R 2 pada baris () menjadi, dengan cara: () baru = () lama + (1 (1) + 1 (2)) Ahmad Sabri (Universitas Gunadarma, Indonesia) Pemrograman Linier (4) / 12
Iterasi ke-: tabel simpleks awal fase 1 termodifikasi Itr. No. Basis r x 1 x 2 s 1 R 1 R 2 s 2 Solusi Rasio () r 1 7 4-1 9 (1) R 1 3 1 1 3 (2) R 2 4 3-1 1 6 (3) s 2 1 2 1 4 Solusi dasar awal: x 1 =, x 2 =, R 1 = 3, R 2 = 6, Z = 9. Ahmad Sabri (Universitas Gunadarma, Indonesia) Pemrograman Linier (4) 6 / 12 6
Iterasi ke-: tabel simpleks awal fase 1 termodifikasi Itr. No. Basis r x 1 x 2 s 1 R 1 R 2 s 2 Solusi Rasio () r 1 7 4-1 9 (1) R 1 3 1 1 3 (2) R 2 4 3-1 1 6 (3) s 2 1 2 1 4 Solusi dasar awal: x 1 =, x 2 =, R 1 = 3, R 2 = 6, Z = 9. Ahmad Sabri (Universitas Gunadarma, Indonesia) Pemrograman Linier (4) 6 / 12 6
Iterasi ke-: solusi optimal fase 1 Itr. No. Basis r x 1 x 2 s 1 R 1 R 2 s 2 Solusi Rasio () r 1-1 -1 1 3 (1) x 1 1 1 3 (2) x 2 1 3 4 3 6 (3) s 2 1 1-1 1 1 Solusi optimal fase 1: x 1 = 3, x 2 = 36, s 2 = 1, r =. Dalam hal ini diperoleh solusi optimal r =, sehingga proses berlanjut ke tahap 2. Ahmad Sabri (Universitas Gunadarma, Indonesia) Pemrograman Linier (4) 7 / 12 7
Iterasi ke-: solusi optimal fase 1 Itr. No. Basis r x 1 x 2 s 1 R 1 R 2 s 2 Solusi Rasio () r 1-1 -1 1 3 (1) x 1 1 1 3 (2) x 2 1 3 4 3 6 (3) s 2 1 1-1 1 1 Solusi optimal fase 1: x 1 = 3, x 2 = 36, s 2 = 1, r =. Dalam hal ini diperoleh solusi optimal r =, sehingga proses berlanjut ke tahap 2. Ahmad Sabri (Universitas Gunadarma, Indonesia) Pemrograman Linier (4) 7 / 12 7
Fase 2: mencari solusi optimal dari model semula Kembali ke model PL semula, yaitu dengan menggunakan fungsi objektif semula, dan kendala berdasarkan tabel optimal fase 1 (tanpa mengikutsertakan variabel artifisial). Min Z = 4x 1 + x 2 Dengan kendala: x 1 + 1 s 1 = 3 x 2 3 s 1 = 6 s 1 + s 2 = 1 x 1, x 2, s 1, s 2 Ahmad Sabri (Universitas Gunadarma, Indonesia) Pemrograman Linier (4) 8 / 12 8
Tabel simpleks awal fase 2 Itr. No. Basis r x 1 x 2 s 1 s 2 Solusi Rasio () Z 1-4 -1 1 3 (1) x 1 1 (2) x 2 1 3 6 (3) s 2 1 1 1 Jadikan koefisien x 1 dan x 2 pada baris () menjadi, dengan cara: () baru = () lama + (4 (1) + 1 (2)) Ahmad Sabri (Universitas Gunadarma, Indonesia) Pemrograman Linier (4) 9 / 12 9
Tabel simpleks awal fase 2 Itr. No. Basis r x 1 x 2 s 1 s 2 Solusi Rasio () Z 1-4 -1 1 3 (1) x 1 1 (2) x 2 1 3 6 (3) s 2 1 1 1 Jadikan koefisien x 1 dan x 2 pada baris () menjadi, dengan cara: () baru = () lama + (4 (1) + 1 (2)) Ahmad Sabri (Universitas Gunadarma, Indonesia) Pemrograman Linier (4) 9 / 12 9
Iterasi ke-: Tabel simpleks awal fase 2 termodifikasi Itr. No. Basis r x 1 x 2 s 1 s 2 Solusi Rasio 1 18 () Z 1 1 3 (1) x 1 1 (2) x 2 1 3 6 (3) s 2 1 1 1 Solusi optimum dicapai pada iterasi ke-1 (harap diperiksa!!) Ahmad Sabri (Universitas Gunadarma, Indonesia) Pemrograman Linier (4) 1 / 12 1
Iterasi ke-: Tabel simpleks awal fase 2 termodifikasi Itr. No. Basis r x 1 x 2 s 1 s 2 Solusi Rasio 1 18 () Z 1 1 3 (1) x 1 1 (2) x 2 1 3 6 (3) s 2 1 1 1 Solusi optimum dicapai pada iterasi ke-1 (harap diperiksa!!) Ahmad Sabri (Universitas Gunadarma, Indonesia) Pemrograman Linier (4) 1 / 12 1
Jalankan fase 1 dari problem di bawah ini, dan tunjukkan bahwa ia tidak memiliki solusi layak. Max Z = 2x 1 + 2 Dengan kendala: 3x 1 + 2x 2 6 2x 1 + x 2 2 x 1, x 2 Ahmad Sabri (Universitas Gunadarma, Indonesia) Pemrograman Linier (4) 11 / 12 11
Tugas untuk 6 Nov Terdapat 4 kasus khusus yang dapat terjadi dalam penggunaan metode simpleks: 1 Degeneracy 2 Alternate optima 3 Solusi tak berbatas (unbounded solutions) 4 Solusi tak layak (infeasible solutions) Jelaskan masing-masing kasus tersebut; dan untuk setiap kasus, berikan contoh model PL-nya! (Referensi: buku Hamdi A. Taha, Operations Research) Ahmad Sabri (Universitas Gunadarma, Indonesia) Pemrograman Linier (4) 12 / 12 12