Kosep Dasar Statistika utuk Racaga Percobaa Arum aii Primaari, M.Sc.
Operator Pejumlaha Operator pejumlaha: Sifat: i1 i i1 i1 k k kx k x i1 i i1 i1 i i i i i1 i1 i1 i a bx a b x x y x y x x x... x i i 1
Operator pejumlaha gaa: Sifat: m x x x... x ij 1i i 1m i1 j1 i1 x x... x x x... x... x x... x 11 1 1 1 1m m m m m a) x x ij i1 j1 j1 i1 m m b) x y x y i j i j i1 j1 i1 j1 ij m m m c) x y x y ij ij ij ij i1 j1 i1 j1 i1 j1 i i i j i1 i1 i j ) x x x x
Operator perkalia: Operator Perkalia i1 x x x x i 1
Variabel Acak a Nilai arapa Variabel acak (raom variabel): Kejaia (evet) yag iyataka alam betuk bilaga yata. Fugsi yag meetapka setiap hasil ari percobaa ke alam betuk bilaga yata. Variabel acak: a) Variabel iskrit b) Variabel kotiu Cotoh: Pegamata prouksi miuma kaleg suatu mesi alam 1 jam, maka bayakya prouksi: 0, 1,, 3, st. Variabel acak: prouksi miuma kaleg. Kosumsi beras seseorag alam 1 bula berkisar 9 10 kg. Variabel acak: kosumsi beras. Pelambuga koi, ilai 1 utuk huruf a ilai 0 utuk gambar. Variabel acak: 1 a 0.
Nilai arapa Variabel acak Diskrit: xf ( x) E X x Variabel acak kotiu: ( ) E X x x xf x x Sifat: a) E( b) b b) E( ax b) ae( x) b c E ax ) ( ) a E( X ) Jika X a Y aalah variabel acak iepeet: a) E( XY) E( X) E( Y) b) E( X Y) E( X) E( Y)
Variasi Jika X aalah variabel acak a E(X) = μ, maka variasi irumuska: Sifat: a) Var( b) 0 X Var X E X E X b Var ax b a Var X ) ( ) ( ) Jika X a Y variabel bebas maka: Var X Y Var X Var Y
Kovarias Jika X a Y aalah variabel acak yag masig-masig mempuyai ilai harapa μ X a μ Y, maka kovarias:, X Y E XY Cov X Y E X Y Jika X a Y variabel iepee, maka: bcov X Y a) Cov X, Y 0 b) Cov bx, Y, X Y
Koefisie Korelasi Terapat hubuga atara variasi a kovarias ega koefisie korelasi, yag iotasika ρ, yaitu: Cov X, Y Cov X, Y Var X Var Y ρ megukur hubuga liier atara ua variabel, ilaiya: 1 1 X Y
Distribusi Peluag yag Petig 1. Distribusi Normal Suatu variabel acak kotiu X ikataka beristribusi ormal, jika memiliki fugsi kepaata peluag: x 1 f ( x) exp ; x Distribusi ormal baku yaitu istribusi ormal ega μ = 0 a σ = 1. Trasformasi ormal baku: Fugsi kepaata peluag ormal baku: Z X 1 1 f ( z) exp z
. Distribusi Chi-Square Fugsi kepaata peluag ari variabel acak chi-square, X, ega erajat bebas v, aalah: f 1 v 1 exp ;0 v v Nilai harapa = v, variasi = v Teorema 1: Jika 1,,..., k ega erajat bebas v 1, v,,v k, maka: k i memiliki istribusi chi-square ega erajat bebas: i1 k v v i1 i
Teorema : Jika Z aalah ormal baku, imaa Z~N(0,1), maka Z beristribusi chi-square ega erajat bebas v = 1. Teorema 3: Jika X 1, X,, X k aalah variabel acak ormal yag salig bebas a masig-masig memiliki ilai rata-rata μ i a σ i, utuk i = 1,,, k, maka: k xi i1 memiliki istribusi chi-square ega erajat bebas v = k
Distribusi t-stuet Jika Z merupaka variabel acak ormal baku Z~N(0,1) serta χ aalah variabel acak chi-square ega erajat bebas v, maka variabel t iefiisika sebagai rasio keuaya: t Z Fugsi kepaata peluagya: v 1 v1 1 t f t; v 1 ; t v v v iyataka sebagai istribusi t ega erajat bebas v. v
Nilai harapa E(t) = 0, ega var(t) = v/(v-) Teorema 4: jika x 1, x,, x aalah ata pegamata alam sampel acak berukura yag itarik ari populasi ormal, maka rasio: X t s aka beristribusi t-stuet ega erajat bebas (v-1)
Distribusi F (Fisher s F Distributio) Jika terapat ua variabel chi-square yag bebas, imaa χ 1 beristribusi chi-square ega erajat bebas v 1 serta χ beristribusi chi-square ega erajat bebas v, maka rasio keuaya: 1 v 1 F v aka beristribusi F ega erajat bebas v 1 a v
Teorema 5: apabila aa ua sampel acak berukura 1 a, yag masig-masig ipilih ari ua populasi ormal, maka rasio ari: s s 1 1 aka memiliki istribusi F ega erajat bebas v 1 = 1 1 a v = 1.
Pegujia ipotesis Dalam pegujia hipotesis aka ijumpai: Keaaa sesugguhya alam populasi 0 bear 0 salah Terima 0 Tepat Kesalaha Jeis II (β) Tolak 0 Kesalaha jeis I (α) Tepat Lagkah-lagkah pegujia hipotesis: 1) Merumuska hipotesis ) Memilih taraf yata α 3) Meetuka statistik uji 4) Perhituga 5) Keputusa a kesimpula
Uji ipotesis 1. Uji hipotesis ilai tegah utuk satu populasi Terapat 3 betuk: 1 3 : 0 0 0 0 0 0 1 : 0 1 : 0 1 : 0 : : Jika variasi populasi iketeahui (σ ) iketahui atau ukura sampel () besar, maka statistik ujiya aalah ormal baku: z hitug x 0 0 Jika variasi tiak iketahui maka megguaka statistik ujiya aalah t- stuet t hitug x x x x 0 x 0 s s
. Uji bea ilai tegah ua populasi Dibeaka mejai ua kasus: salig bebas a berpasaga. Keua kasus tersebut ibeaka oleh metoe pegambila sampelya. Dua sampel ikataka salig bebas jika pemiliha uit-uit sampel pertama tiak tergatug paa bagaimaa uit-uit sampel keua ipilih a sebalikya. Dua sampel ikataka berpasaga jika pegambila uit-uit sampel pertamamemperhatika bagaimaa uit-uit sampel keua ipilih. Keterkaita keua sampel tersebut itetuka oleh variabel kotrol, misal: lokasi, kemiriga laha, tigkat peiika, koisi sosial ekoomi, ll. POPULASI Populasi Sampel 1 Sampel Pasaga 1 O 11 O 1 Pasaga O 1 O Pasaga O 1 O Pegambila sampel bebas Pegambila sampel berpasaga
a) Dua sampel bebas Betuk hipotesis 1 3 : 0 1 0 : : 0 1 0 : : 0 1 0 : 1 1 0 1 1 0 1 1 0 Statistik uji: 1) Variasi sama: t hitug x x 1 0 S x x 1 s s g 1 1 x x 1 1 s g 1 1 s s 1 1 1 ega erajat bebas sebesar 1 + -
) Variasi bea t x x 1 0 hitug s s 1 g s1 1 s x x S x x 1 ega erajat bebas efektif: s1 s 1 b s 1 s 1 1 1 1
b) Dua sampel berpasaga Ukura sampel berpasaga harus sama yaitu sebesar. Pasaga 1 Sampel 1 (X) x 1 x x Sampel (Y) y 1 y y D = X Y 1 Jika imisalka bea ilai tegah populasi iotasika ega maka peuga tak bias aalah ilai tegah ari bea ua sampel: 1 i s i 1 i1 Dega galat baku: s
ipotesis 1 3 0 0 0 1 : : 0 0 0 1 : : 0 0 0 1 : : Statistik Uji: 0 hitug t s
Latiha 1 Dari suatu populasi ormal iambil sampel acak berukura 15, iperoleh ilai tegah a variasi sampel aalah 10.366 a 1.946. Apabila kita megetahui bahwa ata tersebut ibagkitka ari populasi ormal ega variasi. Apakah populasi tersebut masih memiliki ilai tegah 10?
Latiha Seorag mahasiswa Agromet meemuka suatu alat baru utuk megukur tigkat curah huja. Utuk megetahui efektifitas alat tersebut, kemuia mahasiswa tersebut melakuka uji coba paa 10 lokasi ega megguaka alat baru a sebagai pembaig, tigkat curah huja juga icatat megguaka alat biasa. Tigkat curah huja (mm) paa ke 10 lokasi tersebut iperoleh sebagai berikut: Lokasi 1 3 4 5 6 7 8 9 10 Lama 110 10 135 101 80 95 70 130 115 10 Baru 105 115 140 110 90 80 75 15 110 15
Latiha 3 Berasarka suatu survei paa rumah tagga, iperoleh hasil bahwa rata-rata peapata perkapita (per orag) sebesar Rp 550.000,00/ bula ega simpaga baku sebesar Rp 00.000,00. Jika iasumsika peapata perkapita beristribusi ormal a iperkiraka jumlah peuuk Ioesia 180 juta orag, maka: a) Kira-kira berapa bayak peuuk yag berpeapata i atara Rp 500.000,00 higga Rp 600.000,00? b) Jika itetapka batas kemiskia aalah yag berpeapata Rp 375.000,00 ke bawah, maka aa berapa bayak peuuk Ioesia yag tergolog miski?
Referesi Gaspersz, Vicet, 1991, Tekik Aalisis Dalam Peelitia Percobaa, Tarsito, Baug. Mattjik, Ahma Ashori., a Sumertajaya, Mae I, Peracaga Percobaa ega Aplikasi SAS a Miitab, IPB Press, Baug. Motgomery, Douglas C., 001, Desig a Aalysis of Experimets 5 th E, Joh Wiley & Sos, Ic., USA.