SIMULASI PADA MODEL PENYEBARAN PENYAKIT TUBERKULOSIS SRI REJEKI PURI WAHYU PRAMESTHI DOSEN PENDIDIKAN MATEMATIKA IKIP WIDYA DARMA SURABAYA Abstrak TBC penyebab kematian nomor tiga setelah penyakit kardioaskler (mengenai jantng) dan penyakit salran pernafasan, dan merpakan nomor sat penyebab kematian dari golongan penyakit menlar. Di Indonesia risiko penlaran TBC setiap tahnnya ckp tinggi. Sehingga diadakan strategi pemberantasan yakni dengan pemberian aksin pencegah anti TBC serta ditnjang oleh kekebalan tbh yang kat, lingkngan yang sehat jga mengkonsmsi makanan ckp gizi. Selanjtnya, dari asmsi-asmsi didapat model matematika yang bertipe SEI dan diselesaikan secara analisis. Untk simlasi dilakkan rnning program dengan menggnakan bahasa pemrograman MATLAB. Diperoleh hasil bahwa pemberian aksinasi pada indiid ssceptible sangat mempengarhi tinggi rendahnya penyebaran penyakit TBC. Keyword: Tberklosis, aksinasi, bilangan reprodksi dasar(r 0 ). 1. PENDAHULUAN 1.1 LATAR BELAKANG TBC merpakan jenis penyakit menlar langsng (mikroparasitisme) yang disebabkan oleh bakteri mycobacterim tberclosis. Sebagian besar TBC menyerang par-par tetapi dapat jga mengenai organ tbh lain. Dari sekian banyaknya jmlah penddk di dnia, sepertiganya tertlar mycobacterim tberclosis. TBC penyebab kematian nomor tiga setelah penyakit kardioaskler (mengenai jantng) dan penyakit salran pernafasan, dan merpakan nomor sat penyebab kematian dari golongan penyakit menlar. Hasil srei mennjkkan jmlah penderita TBC di Indonesia adalah nomor tiga di dnia setelah RRC dan India[1]. Di Indonesia risiko penlaran TBC setiap tahnnya ckp tinggi. TBC menyebar lebih cepat di negaranegara berkembang. Hal ini disebabkan oleh lingkngan yang tidak sehat, semakin meningkatnya gizi brk di sebagian negara berkembang serta mnclnya epidemik HIV/AIDS di dnia. Lebih cepatnya penyebaran TBC jga mengakibatkan ckp tingginya jmlah indiid latenly-infected (indiid -indiid pengidap penyakit tetapi belm menlarkan penyakit) dan jmlah indiid actiely-infected (indiid -indiid pengidap penyakit dan dapat menlarkan penyakit).hal ini membat negara-negara berkembang mengadakan strategi pemberantasan yakni dengan pemberian aksin pencegah anti TBC ntk indiid ssceptible. Makalah ini akan membahas dan mensimlasi model SEI pada penyebaran penyakit TBC, dimana S ntk indiid ssceptible (indiid yang sehat tetapi rentan tertlar penyakit), E ntk indiid latenly-infected (indiid-indiid pengidap penyakit tetapi belm menlarkan penyakit) dan I ntk indiid actiely-infected (indiid-indiid pengidap penyakit dan dapat menlarkan penyakit)[1]. 1
1.2 RUMUSAN MASALAH Bagaimana mensimlasikan model penyebaran penyakit TBC bertipe SEI. 1.3 BATASAN MASALAH 1. Sema kelahiran bar dianggap ssceptible. 2. Hanya berlak pada TBC dewasa. 1.4 TUJUAN Untk mengetahi pengarh aksinasi terhadap penyebaran penyakit TBC. 1.5 MANFAAT Dengan mempelajari model penyebaran penyakit tberklosis yang bertipe SEI diharapkan dapat mengetahi pola penyebaran dan mengetahi parameter-parameter yang berpengarh terhadap tinggi rendahnya penyebaran penyakit tberklosis. 2. LANDASAN TEORI 2.1 Penyakit Menlar Penyakit menlar dapat diklasifikasikan menjadi da kategori besar yait mikroparasitisme dan makroparasitisme. Mikroparasitisme adalah penyakit menlar yang disebabkan oleh irs dan bakteri, contohnya seperti cacar dan campak. Sedangkan makroparasitisme adalah penyakit menlar yang disebabkan oleh cacing dan serangga, contohnya seperti demam berdarah dan malaria.[4]. Pada makalah ini penyakit TBC adalah jenis penyakit mikroparasitisme. 2.2 Vaksin Untk Penyakit Tberklosis Vaksin adalah sspensi kman ata irs yang telah dilemahkan dan dipergnakan ntk mengobati ata mencegah sat penyakit menlar. Vaksin yang dignakan ntk penyakit TBC yait aksin BCG(Basills Calmette et Gerin)[2]. 2.3 Penyebaran Mycobacterim Tberclosis Pada Orang Dewasa Smber penyebaran adalah indiid actiely-infected (penderita TBC aktif). Pada wakt batk ata bersin, penderita ini menyebarkan kman ke dara dalam bentk droplet (percikan dahak). Droplet yang mengandng kman dapat bertahan di dara pada sh kamar selama beberapa jam. Seseorang dapat terinfeksi jika droplet tersebt terhirp ke dalam salran pernafasan[1]. 2.4 Model Epidemik Tipe SEI Sebagian besar penyakit mempnyai masa latent dan masa penlaran. Masa latent adalah lamanya wakt pertama kali indiid tertlar penyakit hingga menlarkan ke seseorang. Masa penlaran adalah lamanya wakt indiid menlarkan penyakit sebelm indiid tersebt 2
sembh ata mati. Penyakit mempnyai masa latent yang panjang ata pendek waktnya, dimana masa ini terjadi setelah ssceptible tertlar tetapi belm menlar ke lainnya. Sistem persamaan diferensialnya sebagai berikt : ds de di IS N E IS N E Jika faktor demografi seperti laj kelahiran dan laj kematian diperhitngkan, maka sistem persamaan diferensialnya sebagai berikt : IS N N S ds ds di IS N E I E E 2.5 Bilangan Reprodksi Dasar Bilangan reprodksi dasar (R 0 ) adalah bilangan yang menyatakan banyaknya rata-rata secondary infectios indiid akibat tertlar primary infection indiid yang ada di dalam poplasi ssceptible. Besar kecilnya kantitas bilangan reprodksi dasar tergantng dari beberapa faktor. Faktor-faktor it adalah banyaknya rata-rata kontak antara indiid-indiid ssceptible dengan indiid-indiid infectios dan lama terjadinya kontak. 2.6 Bilangan Random Sat proses stokastik adalah sistem ata fenomena alam yang bereolsi terhadap wakt dan terjadi perbahan. Dalam simlasi dan modeling yang melibatkan model-model probabilistik yang dapat menirkan sedekat mngkin dengan fenomena-fenomena alam yang sedang diobserasi, maka diperlkan sat distribsi random ariabel yang sesai ntk simlasi tersebt. Sehingga diperlkan sat metode pemilihan random nmber generator yang tepat. Barisan random ariable yang digenerate oleh generator fisik dianggap non-predictible. Hasil dari simlasi dapat dibandingkan dengan fitr yang diinginkandisebt psedorandom nmber. Oleh karena it, random nmber generator hars memiliki sifat: 1. Barisan yang dihasilkan hars terbatas dan sema nilai yang mngkin mncl dengan kesempatan yang sama. 2. Bilangan random yang berrtan letaknya tidak boleh ada korelasi. 3. Barisan hars mempnyai long cycle. Dalam mengenerate bilangan random, ada beberapa simlasi generator bilangan random diantaranya: 3
a. Dengan Distribsi Uniform (a,b) b. Mid Sqare Generator (ntk p = 2) c. Mixed Concrential Generator d. Mltiplicatie Concrential Generator 3. FLOW CHART Flow Chart Model Penyebaran Penyakit Tberklosis: Mlai Landasan Teori Penentan Variabel dan Parameter Asmsi-asmsi ntk mermskan model penyebaran penyakit Tberklosis Formlasi Model Analisis Model Validasi Model Implementasi Selesai 4. PEMBAHASAN 4.1 Nilai Parameter Untk Kass Penyebaran Penyakit Tberklosis Simbol Keterangan Nilai Parameter C Tingkat aksinasi 0,058 Q Besar kecilnya perlindngan terhadap 0,85 penyakit Laj kelahiran perkapita 1000 4
β Anggota dari poplasi S yang menyatakan 0,000025 laj penyebaran perkapita β Anggota dari poplasi S yang menyatakan 0,000025 laj penyebaran perkapita Angka kemngkinan menystnya daya tahan 0,005 perlindngan dengan aksin setiap wakt Μ Laj kematian alami perkapita 0,02 μ T Laj kematian perkapita yang disebabkan oleh penyakit TBC 0,2 p Proporsi berkembangnya indiid S yang 0,05 tertlar menjadi indiid TBC aktif p Proporsi berkembangnya indiid S yang 0,05 tertlar menjadi indiid TBC aktif υ Angka berkembangnya poplasi E menjadi 0,06 indiid TBC aktif υ Angka berkembangnya poplasi E menjadi 0,06 indiid TBC aktif Angka keberhasilan pengobatan 0,88 4.2 Model matematika pada penyebaran penyakit TBC Model SEI : ds = (1 cq)п β S T + ωs μs, ds = cqπ β S I ωs μs, de = (1 p )β S I υ E μe, de = (1 p )β S I υ E μe, di = p β S I + p β S I + υ E + υ E (μ + μ T + δ)i N = N(t) = S (t) + S (t) + E (t) + E (t) + I(t) 4.3 Bilangan Reprodksi Dasar (R 0 ) Didefinisikan bilangan reprodksi dasar (R 0 ) ntk model penyebaran penyakit TBC dengan tipe SEI: ( )( p )[ (1 cq ) ] ( )( R 0 = ( )( )( )( ) T p ) cq 5
4.4 Grafik Penyebaran Penyakit TBC Grafik di atas mennjkkan bahwa Indiid Sceptible yang telah diberikan aksinasi (sesai dengan dosis) hampir tidak ada penyebaran penyakit TBC (digambarkan dengan garis warna merah) dan Indiid Sceptible yang tidak diberikan aksinasi terlihat sangat tinggi penyebaran penyakit TBCnya (digambarkan dengan garis warna bir). 4.5 Algoritma 1. Tentkan seed 2. Hitng 100 nilai (i) 3. Tentkan nilai dy(1), dy(2), dy(3), dy(4), dy(5) 4. Generate N=1,..,100 5. Plot t s y 1 4.6 Hasil Simlasi dari algoritma tersebt: 6
4.7 Tabel Bilangan Random Mixed Concrential Generator ============= ============ ============ ============= i (i) i (i) i (i) i (i) ============= ============ ============ ============= 1 0.0049 26 0.8999 51 0.0603 76 0.3431 2 0.3460 27 0.6288 52 0.8912 77 0.9903 3 0.1769 28 0.2760 53 0.0690 78 0.4130 4 0.3547 29 0.6987 54 0.4509 79 0.4684 5 0.7366 30 0.7541 55 0.8941 80 0.0136 6 0.1798 31 0.2993 56 0.2556 81 0.9057 7 0.5413 32 0.1914 57 0.3926 82 0.0019 8 0.6783 33 0.2877 58 0.1623 83 0.1594 9 0.4480 34 0.4451 59 0.4218 84 0.2352 10 0.7075 35 0.5209 60 0.0282 85 0.0865 11 0.3139 36 0.3722 61 0.8387 86 0.5705 12 0.1244 37 0.8562 62 0.7104 87 0.5442 13 0.9961 38 0.8299 63 0.5005 88 0.8649 14 0.7862 39 0.1506 64 0.0661 89 0.3897 15 0.3518 40 0.6754 65 0.2643 90 0.9757 16 0.5500 41 0.2614 66 0.9524 91 0.4801 17 0.2381 42 0.7658 67 0.9874 92 0.7600 18 0.2731 43 0.0457 68 0.2264 93 0.6725 19 0.5121 44 0.9582 69 0.5267 94 0.0748 20 0.8124 45 0.3605 70 0.7454 95 0.8241 21 0.0311 46 0.1098 71 0.7396 96 0.7775 22 0.0253 47 0.0632 72 0.3664 97 0.7920 23 0.6521 48 0.0777 73 0.4830 98 0.7250 24 0.7687 49 0.0107 74 0.9466 99 0.4334 25 0.2323 50 0.7191 75 0.6142 100 0.7745 5. KESIMPULAN Hasil grafik dan simlasi mennjkkan bahwa Indiid Sceptible yang telah diberikan aksinasi (sesai dengan dosis) hampir tidak ada penyebaran penyakit TBC dan Indiid Sceptible yang tidak diberikan aksinasi maka terlihat sangat tinggi penyebaran penyakit TBCnya. Sehingga pemberian aksinasi pada Indiid Sseptible sangat berpengarh pada tinggi rendahnya penyebaran penyakit tberklosis. 6. DAFTAR PUSTAKA [1] Departemen Kesehatan RI. 2002. Pedoman Nasional Penangglangan Tberclosis, cetakan ke 8. Jakarta. [2] Departemen Kesehatan dan Kesejahteraan Sosial. 2002. Pedoman Pelaksanaan Program Imnisasi Di Indonesia. Jakarta. [3] Moghadas, S. M dan Gmel, A. B. 2002. Analysis of A Model For Transmission Dynamics of TB, olme 10, nmber 3. Canadian Applied Mathematics Qarterly. [4] Reyne, S. K. 2004. Pengarh Vaksinasi Terhadap Dinamika Penyebaran Penyakit Demam Berdarah. Skripsi. Institt Teknologi Seplh Nopember. Srabaya. 7
[5] Pri W. P, S. R. 2007. Analisis Pada Model Penyebaran Penyakit Tberklosis. Skripsi. Institt Teknologi Seplh Nopember. Srabaya. 8