MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA Statistika Mengalahkan Matematika

Catatan Kuliah MA3081 STATISTIKA MATEMATIKA Statistika Mengalahkan Matematika disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2011

Daftar Isi 1 Peubah Acak dan Distribusi Kontinu 1 1.1 Fungsi distribusi.......................... 1 1.2 Unsur Peluang........................... 4 1.3 Ekspektasi.............................. 7 1.4 Distribusi Bivariat......................... 9 1.5 Distribusi Bersyarat........................ 11 1.6 Fungsi Pembangkit Momen.................... 13 2 Distribusi Sampel, Likelihood dan Penaksir 1 2.1 Sampel Acak............................ 1 2.2 Likelihood.............................. 1 2.3 Statistic Cukup........................... 5 2.4 Distribusi Sampel.......................... 6 2.5 Statistik Terurut.......................... 6 2.6 Momen dari Mean dan Proporsi Sampel............. 7 2.7 Teorema Limit Pusat........................ 7 3 Penaksiran dan Selang Kepercayaan 1 3.1 Sifat-sifat (Kesalahan) penaksiran................ 1 3.2 Konsistensi............................. 2 3.3 Selang Kepercayaan......................... 3 3.4 Efisiensi............................... 4 4 Uji Hipotesis 1 4.1 Hipotesis, Statistik Uji dan P-value................ 1 4.2 Daerah Penolakan, Kesalahan dan Fungsi Kuasa......... 2 4.3 Uji Paling Kuasa.......................... 3 4.4 Uji Paling Kuasa Seragam..................... 4 4.5 Uji Rasio Likelihood........................ 4 i

BAB 1 Peubah Acak dan Distribusi Kontinu 1.1 Fungsi distribusi Definisi: Misalkan X peubah acak. Fungsi distribusi (kumulatif) dari X adalah F X (x) = P (X x) Contoh: 1. Misalkan X Bin(3, 0.5), maka fungsi distribusi F (x) adalah fungsi tangga berikut 0, x (, 0); 1/8, x [0, 1); F (x) = 1/2, x [1, 2); 7/8, x [2, 3); 1, x [3, ). 2. Misalkan X peubah acak dengan support S = [a, b], b > 0. Misalkan peluang X akan berada di selang S proporsional terhadap panjang selang. Dengan kata lain, P (x 1 X x 2 ) = λ (x 2 x 1 ), 1

untuk a x 1 x 2 b. Untuk menentukan λ, misalkan x 1 = a dan x 2 = b. Maka, P (a X b) = 1 = λ (b a) λ = 1/(b a) Fungsi distribusinya: 0, x < a; x a F (x) = P (X x) = P (a X x) = b a, x [a, b]; 1, x > b. Peubah acak X dikatakan berdistribusi Uniform, X U(a, b). Sifat-sifat fungsi distribusi: F ( ) = 0 dan F ( ) = 1 F merupakan fungsi tidak turun; F (a) F (b) untuk a b F adalah fungsi kontinu kanan; lim ɛ 0 + F (x + ɛ) = F (x) Misalkan X peubah acak dengan fungsi distribusi F (x). Jika b a, maka P (a < X b) = F (b) F (a) Untuk setiap x, P (X = x) = lim ɛ 0 + P (x ɛ < X ) = F (x) F (x ) (Perhatikan notasi F (x ) dan kasus apabila fungsi distribusi kontinu kiri) Definisi: Distribusi dari peubah acak X dikatakan KONTINU jika fungsi distribusi disetiap x kontinu dan fungsi distribusi tersebut dapat diturunkan. Misalkan X peubah acak kontinu dengan fungsi distribusi F X (x). Misalkan g(x) fungsi naik satu-satu kontinu. Untuk y yang berada di daerah hasil dari g, fungsi invers x = g 1 (y) ada. Misalkan Y = g(x). Fungsi distribusi dari Y adalah P (Y y) = P (g(x) y) = P (X g 1 (y)) = F X (g 1 (y)) Misalkan g(x) fungsi turun satu-satu kontinu. Untuk y yang berada di daerah hasil dari g, fungsi invers x = g 1 (y) ada. Misalkan Y = g(x). Fungsi distribusi dari Y adalah P (Y y) = P (g(x) y) = P (X > g 1 (y)) = 1 F X (g 1 (y)) MA3081 Stat.Mat. 2 K. Syuhada, PhD.

Misalkan X U(0, 1) dan Y = g(x) = hx + k, h < 0. Maka X = g 1 (Y ) = F X (x) = F Y (y) = Y Latihan: 1. Misalkan X peubah acak kontinu yang memiliki fungsi distribusi F X (x) yang naik murni. Misalkan Y = F X (X). Tentukan distribusi dari Y 2. Misalkan U peubah acak berdistribusi U(0, 1). Misalkan F X (x) fungsi distribusi yang naik murni dari X. Tentukan fungsi distribusi dari peubah acak F 1 X (U) 3. Misalkan U 1, U 2,..., U n sampel acak dari U(0, 1). Bangkitkan sampel acak dari F X (x) (ambil contoh misalnya untuk F X (x) = 1 e λ x, x > 0) Misalkan X peubah acak kontinu dengan fungsi distribusi F X (x). Misalkan Y = g(x) fungsi kontinu tidak monoton. Kita ketahui bahwa pada fungsi yang monoton, F Y (y) = P (Y y) = P (g(x) y) dimana dalam hal ini setiap solusi inverse x = g 1 (y) digunakan untuk menentukan F Y (y) dengan menggunakan F X (g 1 (y)). Untuk X U( 1, 2) dan g(x) = Y = X 2, kita dapatkan fungsi distribusi dari Y : F Y (y) = MA3081 Stat.Mat. 3 K. Syuhada, PhD.

1.2 Unsur Peluang Misalkan X peubah acak kontinu, x bilangan positif kecil. Definisikan h(a, b) = def P (a X a + b) = F X (a + b) F X (a) Untuk h(x, x) = P (x X x + x), maka deret Taylor-nya disekitar x = 0 adalah dimana h(x, x) = F (x + x) F (x) = h(x, 0) + d d x h(x, x) x=0 x + o( x) lim x 0 = = o( x) x = 0 Fungsi df (x) = [ ] d dx F (x) x disebut DIFERENSIAL. Dalam statistika, diferensial dari fungsi distribusi adalah UNSUR PELUANG (yang merupakan pendekatan terhadap h(x, x)). Unsur peluang adalah fungsi linier dari d dx F (x). Contoh: Misalkan F (x) = 1 e 3x untuk x 0. Apakah F (x) suatu fungsi distribusi? Hitung unsur peluang di x = 2. Cari pendekatan untuk P (2 X 2.01). Densitas rata-rata pada selang (x, x + x) didefinisikan: def P (x X x + x) Density rata-rata = x Sedangkan fungsi densitas peluang atau fungsi peluang (f.p) di x adalah limit MA3081 Stat.Mat. 4 K. Syuhada, PhD.

densitas rata-rata saat x 0: f.p = f(x) = def = = lim x 0 = d dx F (x) P (x X x + x) x Catatan: Unsur peluang dituliskan sebagai df (x) = f(x) x. Sifat-sifat fungsi peluang: f(x) 0 untuk semua x f(x) = 1 Hubungan antara fungsi peluang dan fungsi distribusi: f(x) = d dx F (x) F (x) = x f(u)du P (a < X < b) =... =... =... = F (b) F (a) = b a f(x)dx Latihan: 1. Misalkan λ bilangan riil positif. Jika F (x) = 1 e λx, maka f(x) = 2. Jika X U(a, b) maka F (x) = dan f(x) = 3. *Misalkan f(x) = c/(1 + x 2 ) untuk < x < dan c konstanta. Fungsi f(x) tak negatif dan (1 + x2 ) 1 dx = π. Berapa nilai c agar f(x) menjadi fungsi peluag? Tentukan fungsi distribusinya. 4. *Pandang distribusi waktu tunggu. Misalkan T adalah waktu kedatangan kejadian ke-r dalam Proses Poisson dengan laju λ. Tentukan fungsi peluang dari T MA3081 Stat.Mat. 5 K. Syuhada, PhD.

Misalkan X peubah acak kontinu dengan fungsi peluang f(x) dan Y = g(x) fungsi yang terdiferensial bernilai tunggal. Maka fungsi peluang dari Y : f Y (y) = f X (g 1 (y)) d dy g 1 (y) untuk support Y = g(x). Komponen J(y) = d dy g 1 (y) adalah transformasi Jacobian. BUKTI: Misalkan g(x) memiliki lebih dari satu fungsi invers maka unsur peluang yang terpisah harus dihitung untuk setiap fungsi invers. Contoh, misalkan X U( 1, 2) dan Y = g(x) = X 2. Maka untuk y [0, 1], terdapat 2 fungsi invers yaitu?, dan satu fungsi invers untuk y (1, 4] yaitu?. Fungsi peluang dari Y adalah: f(y) = MA3081 Stat.Mat. 6 K. Syuhada, PhD.

1.3 Ekspektasi Misalkan X peubah acak dengan fungsi peluang f(x). Nilai harapan dari X, jika ada, adalah E(X) = µ X = f(x)dx Catatan: nilai ekspektasi dikatakan ada jika nilai integral adalah hingga. Misalkan X rv dengan pdf f(x). adalah E[g(X)] =. g(x)f(x)dx Maka nilai harapan dari g(x), jika ada, Operator integral bersifat linier. Jika g 1 (X) dan g 2 (X) fungsi-fungsi yang memiliki ekspektasi dan a, b, c konstanta, maka E[ag 1 (X) + bg 2 (X) + c] = ae[g 1 (X)] + be[g 2 (X)] + c Contoh/Latihan: 1. Jika distribusi X simetrik di sekitar c dan nilai harapanny ada maka E(X) = c. Bukti: E(X c) = = c = = 0 0 (x c)f(x) dx (x c)f(x)dx + uf(c u)du + c 0 (x c)f(x)dx uf(c + u)du u(f(c + u) f(c u)) du = 0 2. Misalkan X U(a, b). Tunjukkan bahwa distribusi tersebut simetrik disekitar (a + b)/2. MA3081 Stat.Mat. 7 K. Syuhada, PhD.

Bukti: ( a + b f 2 untuk δ [ b a, ] b a 2 2 ) ( a + b δ = f 2 ) + δ = 1 b a 3. Misalkan X berdistribusi Cauchy dengan fungsi peluang f(x) = 1 [ ], σπ 1 + (x µ)2 σ 2 dengan µ, σ konstanta yang memenuhi µ < dan σ (0, σ). Tunjukkan bahwa fungsi peluang simetrik di sekitar µ namun ekspektasinya bukanlah µ. 4. Misalkan X Exp(λ). Nilai harapan dari X adalah... MA3081 Stat.Mat. 8 K. Syuhada, PhD.

1.4 Distribusi Bivariat Suatu fungsi f X,Y (x, y) dikatakan fungsi peluang bivariat jika f X,Y (x, y) 0, untuk semua x, y f X,Y (x, y) dxdy = 1 Jika f X,Y (x, y) fungsi peluang bivariat maka F X,Y (x, y) = P (X x, Y y) = x y f X,Y (u, v) dvdu Sifat-sifat fungsi distribusi bivariat: 1. F X,Y (x, ) = F X (x) 2. F X,Y (, y) = F Y (y) 3. F X,Y (, ) = 1 4. F X,Y (, y) = F X,Y (x, ) = F X,Y (, ) = 0 5. f X,Y (x, y) = 2 x y F X,Y (x, y) f X,Y (x, y) x y adalah unsur peluang bersama, P (x X x + x, y Y y + y) = f X,Y (x, y) x y + o( x y) Contoh/Latihan: 1. Jika (X, Y ) U(a, b, c, d) maka f X,Y (x, y) = 2. Untuk soal no 1 di atas, misalkan a = c = 0, b = 4, d = 6 maka P (2.5 X 3.5, 1 Y 4) = P (X 2 + Y 2 > 16) = 3. Jika f X,Y (x, y) = 6/5(x + y 2 ) untuk x (0, 1) dan y (0, 1). Tentukan P (X + Y < 1). MA3081 Stat.Mat. 9 K. Syuhada, PhD.

Untuk menentukan fungsi peluang marginal, integralkan peubah yang tidak diinginkan : f X (x) = f X,Y (x, y) dy f Y (y) = f X,Y (x, y) = f X,Y (x, y) dx f W,X,Y,Z (w, x, y, z) dwdz Pada fungsi peluang f X,Y (x, y) = 6/5(x + y 2 ) diperoleh f X (x) = f Y (y) = dan nilai harapan E(g(X, Y )) = E(X) = g(x, y) f X,Y (x, y) dxdy = MA3081 Stat.Mat. 10 K. Syuhada, PhD.

1.5 Distribusi Bersyarat Misalkan f X,Y (x, y) adalah fungsi peluang bersama, maka fungsi peluang Y, diberikan X = x, adalah f Y X (y x) = def f X,Y (x, y), f X (x) asalkan f X (x) > 0. Contoh: Misalkan X dan Y memiliki distribusi bersama maka f X,Y (x, y) = 8xy, 0 < x < y < 1, f X (x) = E(X r ) = f Y (y) = E(Y r ) = f X Y (x y) = f Y X (y x) = E(X r Y = y) = E(Y r X = x) = Misalkan (X, Y ) adalah peubah acak berpasangan dengan fungsi peluang bersama f X,Y (x, y). Pandang persoalan memprediksi Y setelah X = x terobservasi. Prediktor dinotasikan sebagai ŷ(x). Prediktor terbaik didefinisikan sebagai fungsi Ŷ (X) yang meminimumkan ] 2 E [Y Ŷ (X) = Prediktor terbaik adalah ŷ(x) = E(Y X = x). BUKTI: Contoh/Latihan: (y ŷ(x)) 2 f X,Y (x, y) dydx 1. Misalkan X dan Y memiliki distribusi bersama f X,Y (x, y) = 8xy, 0 < x < y < 1, MA3081 Stat.Mat. 11 K. Syuhada, PhD.

maka f Y X (y x) = ŷ(x) = 2. Misalkan (Y, X) berdistribusi normal bivariat dengan E(Y ) = µ Y, E(X) = µ X, V ar(y ) = σ 2 Y, V ar(x) = σ2 X, Cov(X, Y ) = ρ X,Y σ X σ Y. Distribusi bersyarat Y, diberikan X, adalah (Y X = x) 3. Tunjukkan bahwa ] E X [f Y X (y X) = f Y (y) 4. Buktikan E X {E [ ]} [ ] h(y ) X = E h(y ) 5. Buktikan ] V ar(y ) = E X [V ar(y X) [ ] + V ar E(Y X) 6. Misalkan X dan Y memiliki distribusi bersama Maka f X,Y (x, y) = 3y2 x 3, 0 < y < x < 1 f Y (y) = E(Y r ) =, E(Y ) =, V ar(y ) = f X (x) = f Y X (y x) = E(Y r X = x) =, E(Y X = x) =, V ar(y X = x) = V ar(e(y X)) = E(V ar(y X)) = MA3081 Stat.Mat. 12 K. Syuhada, PhD.

1.6 Fungsi Pembangkit Momen Misalkan X peubah acak kontinu, fungsi pembangkit momen dari X adalah M X (t) = E(e tx ) = e tx f(x)dx, asalkan ekspektasi ada untuk t disekitar 0. Jika semua momen dari X tidak ada, maka fungsi pembangkit momen juga tidak ada. Fungsi pembangkit momen berkaitan dengan fungsi pembangkit peluang M X (t) = G X (e t ) asalkan G X (t) ada untuk t disekitar 1. Jika M X (t) adalah fungsi pembangkit peluang maka M X (0) = 1. Contoh/Latihan: 1. Jika f X (x) = λe λx I 0, (x), maka M X (t) = 2. Jika M X (t) ada maka M a+bx (t) = 3. Jika X i, i = 1,..., n saling bebas, M Xi (t) ada untuk setiap i, dan S = Xi, maka M S (t) = 4. Fungsi pembangkit momen bersifat unik. Setiap distribusi memiliki fungsi pembangkit momen yang unik, dan setiap fungsi pembangkit momen berkorespondensi dengan tepat satu distribusi. Akibatnya, jika fungsi pembangkit momen ada maka fungsi pembangkit momen tersebut secara unik menentukan distribusinya. Beri contoh. 5. Pandang turunan dari M X (t) yang kemudian dievaluasi di t = 0. Apa yang dapat anda katakan? Dapatkah kita mendapatkan momen orde tinggi? 6. Dapatkah hasil diatas digunakan untuk distribusi diskrit? Ambil contoh distribusi Geometrik dengan parameter p. MA3081 Stat.Mat. 13 K. Syuhada, PhD.

7. Misalkan Y U(a, b). Gunakan fungsi pembangkit momen untuk mendapatkan momen pusat (( E((Y µ Y ) 2 ) = E Y a + b ) r ) 2 MA3081 Stat.Mat. 14 K. Syuhada, PhD.

BAB 2 Distribusi Sampel, Likelihood dan Penaksir 2.1 Sampel Acak Misalkan X 1, X 2,..., X n sampel acak berukuran n (random sample of size n). Fungsi peluang n-variat nya adalah f X1,X 2,,X n (x 1, x 2,..., x n ) = n f Xi (x i ) i=1 Contoh/Latihan: 1. Misalkan X 1, X 2,..., X n sampel acak dari distribusi Eksponensial dengan parameter θ. Fungsi peluang n-variatnya adalah... 2. Misalkan X 1, X 2,..., X n sampel acak dari distribusi Uniform pada selang (a, b). Fungsi peluang n-variatnya adalah... 2.2 Likelihood Misalkan fungsi peluang n-variat bergantung pada parameter yang tidak diketahui θ. Fungsi peluang tersebut ditulis sebagai atau f X1,X 2,...,X n (x 1,..., x n θ 1,..., θ k ) f X (x θ) 1

Contoh/Latihan: 1. Misalkan X 1, X 2,..., X n sampel acak dari distribusi N(µ, σ 2 ). Fungsi peluang n-variat yang bergantung pada parameternya ditulis sebagai... Definisi Fungsi likelihood adalah ukuran yang menyatakan sebarapa sering nilai θ, diberikan bahwa x telah terobservasi. Fungsi likelihood BUKAN suatu peluang. Fungsi likelihood diperoleh dengan (i) menukar peran θ dan x dalam fungsi peluang n-variat, dan (ii) membuang suku yang tidak bergantung pada θ. Notasi: L(θ) = L(θ x) f X (x θ) Contoh/Latihan: 1. Misalkan X 1, X 2,..., X n sampel acak dari distribusi Eksponensial dengan parameter θ. Fungsi likelihoodnya adalah... function likefunction; % this function calculates the likelihood function of distribution % % created by K Syuhada, 14/3/2011 clear clc n = input( n = ); % size of random sample % data x = exprnd(0.5,n,1); sumx = sum(x); % parameter of exponential distribution lambda = 0.5:0.05:5; for i = 1:length(lambda) L(i) = (lambda(i)^n)*exp(-lambda(i)*sumx); end plot(lambda,l) MA3081 Stat.Mat. 2 K. Syuhada, PhD.

2. Misalkan X 1, X 2,..., X n sampel acak dari distribusi Uniform pada selang (π, b). Fungsi likelihoodnya adalah... Prinsip Likelihood Jika dua percobaan, yang melibatkan model dengan parameter θ, memberikan likelihood yang sama, maka inferensi terhadap θ haruslah sama. Ilustrasi Pandang percobaan 1 dimana sebuah koin dilantunkan sebanyak n kali secara bebas. Misalkan p adalah peluang muncul MUKA dan X peubah acak yang menyatakan banyaknya MUKA yang muncul. Fungsi peluang dari X dan fungsi likelihoodnya adalah... Pandang percobaan 2 dimana sebuah koin dilantunkan hingga diperoleh MUKA sebanyak 6 kali secara bebas. Misalkan Y peubah acak yang menyatakan banyaknya lantunan yang dibutuhkan agar diperoleh enam MUKA. Fungsi peluang dari X dan fungsi likelihoodnya adalah... Dari 2 percobaan diatas, misalkan kita ingin melakukan uji hipotesis: H 0 : p = 0.5 versus H 0 : p < 0.5 Nilai signfikansinya atau p-value adalah... Penaksir Likelihood Maksimum Misalkan L(θ) adalah fungsi likelihood (fungsi dari parameter θ). Kita dapat menentukan nilai θ yang memaksimumkan L(θ). Penaksir untuk θ, yaitu ˆθ disebut Penaksir Likelihood Maksimum (maximum likelihood estimator, MLE). Penaksir suatu parameter adalah fungsi dari peubah acak. Contoh/Latihan: 1. Diketahui sampel acak berukuran n dari distribusi Bernoulli (p). Fungsi likelihoodnya: L(θ) = θ x i (1 θ) n x i, 0 < θ < 1. Untuk menentukan nilai θ yang memaksimumkan L(θ), transformasikan L(θ) menjadi log L(θ): l(θ) = log L(θ) = x i log(θ) + (n x i ) log(1 θ), kemudian hitung turunan pertama l(θ) terhadap θ: dl(θ) dθ = xi θ n x i. 1 θ MA3081 Stat.Mat. 3 K. Syuhada, PhD.

Normalisasi dari turunan pertama tersebut memberikan nilai xi θ = n, yang mana sebagai penaksir ditulis sebagai berikut: ˆθ = Xi n = X. (Pr: Tunjukkan bahwa θ ini memaksimumkan L(θ) dengan menghitung turunan kedua). 2. Misalkan X 1,..., X n sampel acak berdistribusi U(0, θ). Tentukan θ yang memaksimumkan L(0, θ). Dengan kata lain, tentukan penaksir ˆθ untuk θ. Sifat Penaksir Setelah kita mendapatkan penaksir ˆθ, kita dapat menentukan sifat baik penaksir. Salah satunya adalah sifat TAK BIAS. Penaksir ˆθ dikatakan tak bias apabila E(ˆθ) = θ. Untuk contoh sampel acak Bernoulli, ( ) X1 + + X n E(ˆθ) = E n = 1 n E(X 1 + + X n ) = 1 ( ) E(X 1 ) + + E(X n ) n = 1 (θ + + θ) n = θ Jadi, penaksir ˆθ = X adalah penaksir tak bias untuk θ. Catatan: Jika suatu penaksir ˆθ bersifat bias maka selisih nilai ekspektasi dan nilai θ tidak nol, atau E(ˆθ θ) 0. MA3081 Stat.Mat. 4 K. Syuhada, PhD.

2.3 Statistic Cukup Definisi -1 Suatu statistik T = t(x) adalah CUKUP atau sufficient untuk suatu keluarga distribusi f X (x θ) JIKA dan HANYA JIKA fungsi likelihoodnya bergantung terhadap X hanya melalui T: L(θ) = h(t(x), θ) Definisi -2 Suatu statistik T = t(x) adalah CUKUP untuk suatu keluarga distribusi f X (x θ) JIKA dan HANYA JIKA distribusi bersyarat dari X TIDAK BERGAN- TUNG pada θ: f X T (x t, θ) = h(x) Definisi -3 Suatu statistik T = t(x) adalah CUKUP untuk suatu keluarga distribusi f X (x θ) JIKA dan HANYA JIKA fungsi peluangnya dapat difaktorkan sebagai: f X (x θ) = g(t(x) θ) h(x) Contoh/Latihan: 1. Misalkan X i untuk i = 1,..., n saling bebas dan berdistribusi identik Bernoulli(p). Tunjukkan bahwa Y = n i=1 X i adalah statistik cukup. 2. Misalkan X 1,..., X n sampel acak berdistribusi Poisson dengan parameter λ. Tunjukkan bahwa T = n i=1 X i adalah statistik cukup. 3. Misalkan X i untuk i = 1,..., n saling bebas dan berdistribusi identik N(µ, 1). Tunjukkan bahwa Y = X adalah statistik cukup. 4. Misalkan X 1,..., X n sampel acak berdistribusi Gamma dengan parameter (α, λ). Tunjukkan bahwa T = n i=1 ln(x i) adalah statistik cukup. 5. Pandang sampel acak berukuran n dari U(a, b), dengan a diketahui. Tunjukkan bahwa T = X (n) adalah statistik cukup. 6. Pandang sampel acak berukuran n dari N(µ, σ 2 ), dengan µ, σ 2 tidak diketahui. Tunjukkan bahwa statistik T berikut adalah cukup: ( ) S 2 T = X X MA3081 Stat.Mat. 5 K. Syuhada, PhD.

2.4 Distribusi Sampel Misalkan X 1, X 2,..., X n sampel acak berukuran n dari distribusi Poisson dengan parameter λ. Peubah acak X i, i = 1,..., n saling bebas dan berdistribusi identik dengan fungsi peluang n-variat: P (X = x) = n i=1 e λ λ x i x i! = e nλ λ y n i=1 x i!, dengan y = x i. Dapat ditunjukkan juga Y = X i cukup. Distribusi sampel dari Y adalah f Y (y θ) = e nλ (nλ) y. y! Misalkan X i U(0, θ). Peubah acak-peubah acak X i tersebut saling bebas dan berdistribusi identik, dengan fungsi peluang: f X (x θ) = Statistik T = X (n) cukup dan memiliki fungsi distribusi: P (X (n) x) = dan fungsi peluang: f(x) = 2.5 Statistik Terurut Misalkan X 1,..., X n sampel acak berukuran n dari suatu populasi yang berdistribusi tertentu, dengan fungsi peluang f X dan fungsi distribusi F X. Pandang X (k), statistik terurut ke-k. Untuk menentukan f X(k) (x), pertama partisikan I 1 = (, x]; I 2 = (x, x + dx]; I 3 = (x + dx, ). Fungsi peluang f X(k) (x) adalah peluang mengamati sejumlah k 1 dari X di I 1, tepat sebuah X di I 2, dan sejumlah n k dari X di I 3 : ( ) n (FX f X(k) (x) (x) ) k 1 ( fx (x)dx ) 1 ( 1 FX (x) ) n k k 1, 1, n k MA3081 Stat.Mat. 6 K. Syuhada, PhD.

yang dengan metode diferensial maka kita peroleh ( ) n (FX f X(k) (x) = (x) ) k 1 ( 1 FX (x) ) n k fx (x) k 1, 1, n k Contoh/Latihan: 1. Fungsi peluang dari statistik terurut terkecil/terbesar adalah... 2. Statistik terurut ke-k pada distribusi U(0, 1) memiliki fungsi peluang... 2.6 Momen dari Mean dan Proporsi Sampel 2.7 Teorema Limit Pusat Teorema Misalkan X 1,..., X n sampel acak berukuran n dari populasi dengan mean µ X dan variansi σx 2. Distribusi dari Z n = X µ X σ X / n konvergen ke N(0, 1) untuk n. Catatan: Hal penting dari Teorema Limit Pusat (Central Limit Theorem) adalah bahwa kekonvergenan dari Z n ke distribusi normal akan terjadi apapun bentuk distribusi dari X. Kita dapat memanipulasi sedemikian hingga X N(µ X, σ 2 X/n), asalkan n besar. Ekspresi lain dari TLP adalah ( ) n ( lim P X µx ) c = Φ(c) n σ X MA3081 Stat.Mat. 7 K. Syuhada, PhD.

Pandang: X 1 + + X n, ( n ) E X i = n µ X, i=1 ( n ) V ar X i = n σx, 2 lim P n i=1 ( n i=1 X i n µ X n σx ) c = Φ(c) Seberapa besar n harus kita pilih agar X berdistribusi normal? n = 1? Bergantung pada distribusi dari data (parent distribution)! Misalkan X Exp(θ). Distribusi ini memiliki kemencengan (skewness) dan kelancipan (kurtosis): κ 3 = E(X µ X) 3 σ 3 X = 2, dan κ 4 = E(X µ X) 4 σ 4 X 3 = 6, dengan µ X = 1/θ dan σ 2 X = 1/θ2. Mean sampel X berdistribusi Ga(n, nθ). Kemencengan (skewness) dan kelancipan (kurtosis) dari X adalah κ 3 = E( X µ X) 3 σ 3 X = 2 n, dan κ 4 = E( X µ X) 4 σ 4 X 3 = 6/n, Perhatikan plot berikut: MA3081 Stat.Mat. 8 K. Syuhada, PhD.

Misalkan X B(n, p) (ingat bahwa distribusi X tersebut sama dengan distribudi dari sejumlah n peubah acak Bernoulli(p)). Untuk n besar, ( ) p(1 p) ˆp N p, n ( n(c ) p) P (ˆp c) Φ p(1 p) X N(np, np(1 p)) P (X = x) = P Φ ( x 1 2 X x + 1 2 ( ) ( ) x + 0.5 np x 0.5 np Φ, np(1 p) np(1 p) ), x = 0, 1,..., n dimana menambah dan mengurangi dengan 0.5 disebut continuity correction. Koreksi kekontinuan untuk pendekatan normal terhadap fungsi distribusi dari X dan ˆp adalah ( P (X c) = P X x + 1 ), x = 0, 1,..., n 2 Φ ( ) x + 0.5 np np(1 p) dan ( P (ˆp c) = P ˆp c + 1 ), c = 0/n, 1/n,..., n/n 2n ( n(c ) + 0.5/n p) Φ p(1 p) MA3081 Stat.Mat. 9 K. Syuhada, PhD.

BAB 3 Penaksiran dan Selang Kepercayaan 3.1 Sifat-sifat (Kesalahan) penaksiran Pada penaksiran parameter θ, misalnya, penaksir ˆθ adalah fungsi peubah acak. Nilai taksirannya TIDAK akan pernah sama dengan nilai parameternya. Misalkan T = T (X) adalah penaksir untuk θ. Didefinisikan: dan b T = E(T θ) = E(T ) θ, V ar(t ) = σ 2 T = E(T µ T ) 2 = E(T ) θ; µ T = E(T ), adalah bias dan variansi dari penaksir T. Selain itu, didefinisikan pula, MSE atau Mean Square Error, MSE T (θ) = E(T θ) 2 = V ar(t ) + b 2 T, Misalkan X 1,..., X n sampel acak dari N(µ, σ 2 ). Penaksir untuk σ 2 adalah S 2 = 1 n 1 n (X i X) 2, i=1 dan/atau V = 1 n n (X i X) 2, i=1 1

Bias and MSE dari kedua penaksir adalah b S 2 = b V = dan MSE S 2 = MSE V = Catatan: Penaksir dari deviasi standar dari suatu penaksir disebut standard error atau SE. Apakah SE dari jenis pengambilan sampel (sampling): Apapun asalkan tanpa pengembalian? Bernoulli tanpa pengembalian? 3.2 Konsistensi Salah satu sifat dari penaksir yang baik adalah sifat tak bias. Kita akan mempelajari sifat baik yang lain yaitu konsisten. Namun sebelumnya, perhatikan Ketaksamaan Chebyshev. Misalkan X peubah acak dengan fungsi peluang f X (x). Misalkan h(x) fungsi non-negatif dari X dan ekpektasinya ada serta k adalah konstanta positif. Maka Bukti: P (h(x) k) E(h(X)). k Aplikasi 1 Ketaksamaan Chebyshev. Misalkan E(X) = µ X dan V ar(x) = <. Maka σ 2 X [ X µx 2 P σ 2 X k 2 ] 1 k 2. Bukti: Aplikasi 2 Ketaksamaan Chebyshev. Misalkan T peubah acak (penaksir dari parameter θ) dengan E(T ) = µ T dan V ar(t ) = σt 2 <. Maka Bukti: P [ X θ < ɛ] 1 MSE X(θ) ɛ 2. MA3081 Stat.Mat. 2 K. Syuhada, PhD.

Konsistensi Definisi: Barisan dari penaksir-penaksir, {T n }, disebut KONSISTEN untuk θ jika lim P ( T n θ < ɛ) = 1, n untuk setiap ɛ > 0. Konvergen dalam Peluang Definisi: Barisan dari penaksir-penaksir, {T n }, KONVERGEN dalam PELU- ANG untuk θ jika barisan tersebut konsisten untuk θ. Notasi: T n prob θ. Contoh/Latihan: 1. (Hukum Bilangan Besar) Jika X adalah mean sampel dari suatu s.a berukuran n dengan mean µ X, maka Bukti: X prob µ X. 2. Sebuah penaksir untuk θ dikatakan Mean Square Consistent jika lim MSE T n (θ) = 0. n Buktikan bahwa jika sebuah penaksir memiliki sifat MSC maka penaksir tersebut konsiten. 3.3 Selang Kepercayaan Misalkan T n adalah penaksir untuk θ dan ( ) lim P Tn θ c = Φ(c). n Dengan kata lain, σ Tn T n N(θ, σ 2 T n ), MA3081 Stat.Mat. 3 K. Syuhada, PhD.

asalkan ukuran sampel cukup besar. Misalkan σt 2 n = ω 2 /n dan Wn 2 adalah penaksir yang konsisten untuk ω 2. Maka ( ) lim P Tn θ c = Φ(c). n S Tn Dengan menggunakan distribusi (sampel besar) dari T n, didapat ( P z α/2 T ) n θ z α/2 1 α, S Tn yang dapat dimanipulasi shg P ( T n z α/2 S Tn θ T n + z α/2 S Tn ) 1 α. Selang acak diatas disebut selang kepercayaan 100(1 α)% sampel besar untuk θ. Selang disebut acak karena T n dan S Tn adalah peubah acak. Contoh/Latihan: 1. Misalkan X 1,..., X n s.a dari populasi dengan mean µ X dan variansi σ 2 X. Jika sampel cukup besar, maka X S 2 X = V ar(s 2 X) = Selang kepercayaan untuk µ X adalah µ X 2. Tentukan selang kepercayaan untuk proporso populasi, p, untuk s.a dari Bern(p). 3.4 Efisiensi Ketaksamaan Cramer-Rao Misalkan peluang bersama X 1,..., X n adalah f X (x θ), dimana θ bersifat skalar dan support dari X tidak bergantung pada θ. Misalkan statistik T (X) adalah penaksir tak bias untuk fungsi (yang terdiferensial) dari θ; E(T ) = g(θ). Maka, dibawah kondisi regularitas sedang, V ar(t ) ( g(θ)/ θ)2 I θ, MA3081 Stat.Mat. 4 K. Syuhada, PhD.

dengan ( ) 2 ln fx (X θ) I θ = E. θ Kuantitas I θ disebut informasi Fisher dan merupakan indeks yang menyatakan banyaknya informasi yang dimiliki oleh X tentang θ. Suku ( g(θ)/ θ) 2 I θ disebut Batas Bawah Cramer-Rao atau Cramer-Rao Lower Bound. Contoh/Latihan: 1. Misalkan sampel acak berukuran n dari P oi(λ). Apakah penaksir MLE untuk λ memuat/memenuhi/mencapai CRLB? 2. Pandang s.a dari eksponensial dengan mean 1/θ. Apakah penaksirnya mencapai CRLB? Efisiensi Efisiensi dari penaksir tak bias dari g(θ) adalah rasio dari CRLB terhadap variansi dari penaksir. Misalkan T penaksir tak bias untuk g(θ), maka efisiensi dari T adalah Efisiensi = CRLB V ar(t ), Jika rasio sama dengan satu, maka penaksir dikatakan efisien. Contoh/Latihan: 1. Misalkan sampel acak berukuran n dari Geo(p). Tentukan efisiensi dari penaksir untuk p. 2. Dapatkah kita mencari efisiensi dari penaksir parameter untuk sampel acak yang BUKAN keluarga eksponensial? MA3081 Stat.Mat. 5 K. Syuhada, PhD.

BAB 4 Uji Hipotesis 4.1 Hipotesis, Statistik Uji dan P-value Beberapa definisi: 1. Hipotesis, H 0 dan H 1, adalah pernyataan tentang model peluang. Dapat juga dikatakan sebagai karakteristik populasi. H 0 umumnya menyatakan tidak ada efek, tidak ada perbedaan dsb. H 1 adalah lawan dari H 0. 2. Statistik uji adalah fungsi dari data θ 0. Statistik uji dipilih untuk membedakan H 0 dengan H 1. Umumnya, statistik uji memuat penaksir dari θ. Statistik uji yang dikenal antara lain Z, t, χ 2. 3. Salah satu cara untuk mendapatkan statistik uji untuk menguji H 0 : θ = θ 0 versus H 1 1-sisi atau 2-sisi adalah dengan menguji rasio likelihood LR = L(θ 0 X) max θ L(θ X) dimana memaksimumkan penyebut atas semua θ yang memenuhi H 1. LR adalah rasio dari peluang dari data dibawah H 0 terhadap peluang terbesar yang mungkin dari data dibawah H 1. Nilai LR berada diantara nol dan satu. Nilai yang kecil diinterpretasikan sebagai bukti yang melawan H 0. 4. P-value adalah ukuran kekonsistenan antara data dan H 0. Didefinisikan: p value = P (T > t obs H 0 ) dimana T adalah statistik uji dan t obs adalah realisasinya. Menghitung p-value untuk T > t obs dengan mengikuti arah H 1. 1

5. Kesalahan tentang p-value: 1. P-value yang besar adalah bukti untuk H 0 2. P-value yang sangat kecil menunjukkan adanya efekyang besar/penting 4.2 Daerah Penolakan, Kesalahan dan Fungsi Kuasa Beberapa definisi: 1. Misalkan data X 1,..., X n. Daerah penolakan adalah himpunan nilainilai dari statistik uji yang menolak H 0. Daerah penerimaan adalah komplemen dari daerah penolakan. 2. Kesalahan: Tipe I: kesalahan menolak H 0 yang benar Tipe II: kesalahan menerima H 0 yang salah 3. Ukuran uji (test size): α = P (menolak H 0 H 0 benar) 4. Kesalahan tipe II dan kuasa adalah, berturut turut, dan β = P (menerima H 0 H 0 salah) 1 β = P (menolak H 0 H 0 salah) Contoh/Latihan: 1. Pandang uji H 0 : p = 0.4 versus H 1 : p 0.4 berdasarkan sampel acak berukuran 10 dari Bernoulli(p). Misalkan Y = Xi. Jika daerah kritisnya adalah menolak H 0 jika Y 0 atau Y 8, maka ukuran uji-nya adalah α = 1 P (1 Y 7 p = 0.4) = Sedangkan kesalahan tipe II dan kuasanya adalah β = MA3081 Stat.Mat. 2 K. Syuhada, PhD.

Plot sbb: kuasa = 2. Pandang Uji Z. Lakukan seperti hal diatas. Fungsi Kuasa Misalkan X 1,..., X n sampel acak dari f X (x θ). Misalkan ruang parameter θ adalah Θ. Misalkan Θ 0 dan Θ 1 adalah subruang dari Θ yang saling asing. Pandang uji H 0 : θ Θ 0 versus H 1 : θ Θ 1. Fungsi kuasa adalah fungsi dari θ, didefinisikan sbg π(θ) = P (menolak H 0 θ), untuk semua θ Θ (meskipun biasanya digunakan saat θ Θ 1 ). Contoh/Latihan: 1. Pandang uji H 0 : µ = µ 0 versus H 1 : µ > µ0 berdasarkan sampel acak berukuran n dari N(µ, σ 2 ), dengan σ 2 diketahui. Uji satu sampel Z = X µ 0 σ/ n akan menolak H 0 jika Z > z 1 α. Fungsi kuasanya adalah π(µ 0 ) = (ilustrasikan untuk µ 0 = 100, σ = 10, n = 25, α = 0.05. 2. Pandang uji proporsi dan lakukan seperti hal diatas. 4.3 Uji Paling Kuasa Definisi: Hipotesis sederhana adalah hipotesis yang secara lengkap memberikan spesifikasi distribusi bersama dari data. Tidak ada parameter yang tidak diketahui MA3081 Stat.Mat. 3 K. Syuhada, PhD.

dalam hipotesis sederhana. Contoh: H 0 : Y B(25, 1/3). Definisi: Uji Paling Kuasa (Most Powerful Test) adalah suatu uji untuk H 0 sederhana versus H 1 sederhana dengan ukuran α yang mana tidak ada lagi uji lain dengan ukuran kurang dari sama dengan α yang memiliki kuasa lebih besar. Lema (Neyman-Pearson): Pandang uji H 0 : X f 0 (x), versus H 1 : X f 1 (x), dengan f 0 dan f 1 adalah fungsi peluang bersama dibawah H 0 dan H 1. Uji paling kuasa adalah menolak H 0 jika Λ(x) = f 0(x) f 1 (x) < K adalah rasio likelihood. Ukuran uji-nya adalah α = f 0 (x) dx, R dengan R = {x : Λ(x) < K}. Contoh/Latihan: 1. Misalkan s.a X 1,..., X n dari distribusi NB(k, θ), dengan k diketahui. Cari uji paling kuasa dari tes H 0 : θ = θ 0 versus H 1 : θ = θ 1, dengan θ 1 > θ 0. 2. Carilah uji paling kuasa untuk s.a dari distribusi eksponensial dengan mean 1/θ. 4.4 Uji Paling Kuasa Seragam 4.5 Uji Rasio Likelihood MA3081 Stat.Mat. 4 K. Syuhada, PhD.