The image cannot be display ed. Your computer may not hav e enough memory to open the image, or the image may hav e been corrupted. Restart y our computer, and then open the file again. If the red x still appears, y ou may hav e to delete the image and
Pokok Bahasan
Konsep dan Definisi Eksperimen Probabilitas, Ruang Sampel dan Peristiwa q Eksperimen probabilitas (probability experiment) adalah segala tindakan dimana suatu hasil/keluaran (outcome), tanggapan (response) ataupun ukuran (measurement) diperoleh q Himpunan yang memuat seluruh kemungkinan hasil, tanggapan, ataupun ukuran dari eksperiment tersebut disebut ruang sampel (sample space) q Peristiwa/kejadian (event) didefinisikan sebagai segala himpunan bagian dari hasil, tanggapan, ataupun ukuran dalam suatu ruang sampel q Diagram venn
Konsep dan Definisi Contoh 3.1: Pada eksperimen probabilitas mengambil sehelai kartu dari satu set kartu bridge, maka ruang sampel dari eksperimen tersebut adalah seluruh jenis kartu yang berjumlah 52 lembar tersebut. Jika peristiwa A adalah terambilnya sebuah kartu hati (H), maka peristiwa A dapat dinyatakan sebagai A = {2H, 3H, 4H, 5H, 6H, 7H, 8H, 9H, 10H, JH, QH, KH, AsH} S A Diagram Venn
Konsep dan Definisi Definisi Probabilitas q Probabilitas: sebuah bilangan antara 0 dan 1 yang berkaitan dengan suatu peristiwa (even) tertentu Peristiwa pasti terjadi à probabilitas =1 Peristiwa mustahil terjadi à probabilitas =0 q Definisi Klasik : Jika sebuah peristiwa A dapat terjadi dengan f A cara dari sejumlah total N cara yang yang memiliki kesempatan sama dan mutually exclusive mungkin terjadi, maka: - probabilitas P(A) dari terjadinya peristiwa A: f A P( A) = N - probabilitas tidak terjadinya peristiwa A N - f A f A P( A) = P( A% ) = P(~ A) = = 1 - = 1 -P ( A) N N
Konsep dan Definisi Contoh 3.2: Definisi klasik cocok digunakan misalnya pada permainan tembakan/undian (games of chance). Misalnya dalam satu set kartu bridge yang terdiri dari 52 kartu terdapat 4 buah kartu As, maka probabilitas pengambilan satu kartu mendapatkan kartu As adalah: P(As) = 4/52 = 1/13 = 0,077
Konsep dan Definisi Definisi Probabilitas q Definisi Frekuesi Relatif : Jika sebuah eksperimen dilakukan sebanyak N kali dan kejadian A terjadi sebanyak f A kali, maka jika percobaan dilakukan sedemikian rupa N mendekati tak terhingga (dilakukan tak terhingga banyaknya), limit dari f A /N (frekuensi relatif) didefinisikan sebagai probabilitas kejadian A atau P(A) f P( A) = lim A N N q Definisi Subyektif (Intuitif) : Dalam hal ini, probabilitas P(A) dari terjadinya peristiwa A adalah sebuah ukuran dari derajat keyakinan yang dimiliki seseorang terhadap terjadinya peristiwa A
Definisi q Peristiwa majemuk (compound event) adalah peristiwa yang merupakan gabungan/kombinasi dua atau lebih peristiwa sederhana (simple event) q Terdapat tiga jenis peristiwa majemuk antara peristiwa A dan peristiwa B : Peristiwa A terjadi dengan syarat peristiwa B telah terjadi à Notasi : P(A B) Keduanya, peristiwa A dan peristiwa B sama-sama terjadi à Notasi : P(A dan B) atau P(A Ç B) Salah satu peristiwa A, atau peristiwa B, atau keduanya terjadi à Notasi : P(A atau B) atau P(A È B)
Probabilitas Bersyarat q Peristiwa A terjadi dengan syarat peristiwa B telah terjadi q Dengan telah terlebih dahulu peristiwa B terjadi, maka terjadi perubahan (pengurangan) pada ruang sampel yang perlu dipertimbangkan untuk menentukan probabilitas peristiwa A. A B AÇ B B P( AÇ B) P( A B) = P( B) ¹ 0 P( B)
Peristiwa Saling Bebas (independent events) dan Saling Terikat (dependent) q Dua peristiwa A dan B saling bebas (independent) apabila terjadinya/tidak terjadinya peristiwa A tidak mempengaruhi probabilitas terjadinya peristiwa B q Sebaliknya, jika terjadinya peristiwa A mempengaruhi probabilitas terjadinya peristiwa B disebut peristiwa saling terikat (dependent) q Jika peristiwa A dan B saling bebas, maka berlaku: P( A B) = P( A) dan juga P( B A) = P( B)
Peristiwa Mutually Exclusive (Saling Meniadakan) q Peristiwa A dan B adalah mutually exclusive jika terjadinya salah satu peristiwa tersebut dalam sebuah eksperimen probabilitas mencegah terjadinya peristiwa yang lainnya selama berlangsungnya eksperimen probabilitas yang sama q Sebaliknya, jika peristiwa A dan B dapat terjadi secara bersamaan dalam sebuah eksperimen probabilitas, maka A dan B tidak mutually exclusive q Jika peristiwa A dan B mutually exclusive, maka berlaku: P( A dan B) = P( A Ç B) = 0 artinya juga P( A B) = 0
Peristiwa Mutually Exclusive (Saling Meniadakan) q Diagram venn dari peristiwa mutually exclusive dan tidak mutually exclusive A B A B
Hukum-hukum Hukum Perkalian-Peristiwa Saling Bebas Jika A,B,C,... adalah peristiwa-peristiwa yang saling bebas (independent events), maka probabilitas bahwa seluruh peristiwa itu terjadi, atau disebut pula probabilitas gabungan (joint probability) P(ABC...), adalah produk (perkalian) dari probabilitas masing-masing peristiwa P( A dan B dan C dan...) = P( A Ç BÇ CÇ L ) = P( A) P( B) P ( C) L Notasi matematis secara umum: n I n = Ç Ç Ç -Ç = Õ i i 1 2 n 1 n i i= 1 P( A ) P( A A... A A ) P( A )
Contoh 3.3: Ketika menghubungkan sebuah sumber tenaga listrik di bagian depan sebuah pesawat militer ke peralatan-peralatan yang menggunakan tenaga listrik di bagian belakang, maka ketimbang menggunakan sepasang kabel, kita dapat menggunakan 3 pasang kabel parallel, yang masing-masing dengan jalur berbeda melalui fuselage (rangka pesawat). Jadi jika tembakan musuh memutuskan sepasang kabel, kedua pasang kabel lainnya masih tetap bekerja. Prinsip dasar perancangan (design philosophy) seperti itu akan meningkatkan realibitas perancangan. Dalam contoh pengkabelan pesawat militer di atas, anggaplah probabilitas sepasang kabel terputus oleh tembakan musuh adalah 0,01 setiap satu jam tempur. Dengan cara merancang lebih pengkabelan menjadi tiga pasang, maka probabilitas putusnya hubungan tenaga listrik dalam satu jam tempur di pesawat itu sangat jauh berkurang menjadi: P(ketiga kabel putus) = (0,01)(0,01)(0,01) = 10-6
Hukum-hukum Hukum Perkalian-Peristiwa Saling Terikat Untuk dua peristiwa A dan B yang saling terikat (tidak saling bebas): P( A dan B ) = P( A Ç B) = P( A) P( B A) = P( B) P( A B) Contoh 3.4: Dalam contoh pesawat militer, andaikan untuk jarak pemisahan kabel yang mungkin dilakukan dalam pesawat sesungguhnya, kajian-kajian menunjukkan bahwa sistem disain lebih dengan dua pasang kabel menunjukkan probabilitas pasangan kabel kedua akan terputus akibat tembakan yang sama, yang telah memutuskan hubungan pasangan kabel pertama adalah 0,03. Maka: P(kedua kabel putus) = P(A) x P(B A) = (0,01)(0.03) = 3 x 10-4
Hukum-hukum Hukum Penjumlahan Probabilitas peristiwa A atau peristiwa B atau kedua-duanya sama-sama terjadi ditunjukkan oleh hukum penjumlahan menyatakan: P( A atau B ) = P( A È B) = P( A) + P( B) - P( A Ç B) Perluasan (Continued Reapplication) : P( A atau B atau C) = P( A È BÈ C) = P( A) + P( B) + P( C) - P( A Ç B) - P( AÇ C) - P( BÇ C) + P( A Ç BÇ C)
Contoh 3.5: Sebagai contoh pemakaian hukum ini, perhatikan struktur yang dilas seperti pada gambar. Jelas dari gambar tersebut bahwa kegagalan dari struktur ini terjadi jika salah satu atau lebih dari ketiga sambungan las tersebut putus. Jika probabilitas dari kegagalan/putusnya masing-masing sambungan las adalah 0.001 dan diasumsikan masing-masing sambungan saling bebas, maka: P(kegagalan struktur) = 0,001 + 0,001 + 0,001 10-6 10-6 10-6 + 10-9 = 0,003 0,000003 + 0.000000001» 0,003
Hukum-hukum Formulasi Bayes q Perluasan dari probabilitas bersyarat (conditional probability) dan aturan umum hukum perkalian (multiplication) jika terdapat sekelompok peristiwa B 1, B 2,..., B n, yang: mutually exclusive à masing-masing peristiwa tidak memiliki hasil/keluaran (outcomes) yang sama exhaustive (menyeluruh), à secara bersama-sama memuat keseluruhan hasil/keluaran (outcomes) di dalam ruang sampel Kemudian sebuah peristiwa lain, A didefinisikan pada ruang sampel yang sama q Maka probabilitas peristiwa A didapat dengan menjumlahkan probabilitas P(A Ç B i ) untuk seluruh harga I n å P( A) = P( A Ç B ) = P( B ) P( A B ) n å i i i i= 1 i = 1
Hukum-hukum Formulasi Bayes q Sebaliknya jika peristiwa A telah terjadi q Probablitias masing-masing peristiwa B i juga terjadi dapat ditentukan dengan Formulasi Bayes: P( Bi Ç A) P( Bi ) P( A Bi ) P( Bi ) P( A Bi ) P( Bi A) = = = n n P( A) P( B ) P( A B ) P( B Ç A) å å i i i i= 1 i = 1
Contoh 3.6: Vendor I, II, III, dan IV menyediakan seluruh keperluan bantalan bush yang dibeli oleh perusahaan Sumber Teknik sebanyak masing-masing 25 %, 35 %, 10 % dan 30 %. Dari pengalaman selama ini diketahui bahwa vendor I, II, III, dan IV masing-masing mengirimkan 80 %, 95 %, 70 % dan 90 % bantalan bush yang baik (tanpa cacat). Maka probabilitas bahwa sebuah bantalan yang dipilih secara acak merupakan bantalan yang cacat dapat dihitung sebagai berikut. Misalkan A adalah peristiwa pemilihan sebuah bantalan yang cacat, dan B 1, B 2, B 3, dan B 4, adalah peristiwa pemilihan bantalan dari vendor I, II, III, dan IV. Maka 4 4 å å P( A) = P( A Ç B ) = P( B ) P( A B ) i i i i= 1 i = 1 = 0, 25(0, 2) + 0,35(0, 05) + 0,1(0,3) + 0,3(0,1) = 0,1275
Contoh 3.6 (lanjutan): Kemudian jika terpilih sebuah bantalan cacat, maka probabilitas bantalan cacat itu berasal dari vendor III adalah : P B P( B Ç A) 0,03 P( A) 0,1275 3 ( 3 A) = = = 0, 2353
Teknik Enumerasi Pohon Probabilitas