H i m p u n a n Oleh : Panca Mudji Rahardjo, ST. MT. Himpunan Definisi himpunan Penyajian himpunan Definisi-definisi Operasi himpunan Prinsip inklusi dan eksklusi Himpunan ganda 1
Definisi Himpunan (set) adalah Kumpulan objek-objek yang berbeda Objek yang terdapat di dalam himpunan disebut elemen atau anggota atau unsur himpunan. Penyajian himpunan Enumerasi Simbol baku Notasi pembentuk himpunan Diagram Venn 2
Penyajian himpunan Enumerasi Mengenumerasi artinya menuliskan semua elemen himpunan di antara dua buah tanda kurung kurawal. Contoh: = {a,b,c,d,e} B = {2,4,6,8} C = {1,4,9,16} D = {1,2,3,,100} Penyajian himpunan Simbol baku P = himpunan bilangan bulat positif = {1,2,3, } N = himpunan bilangan alami (natural) = {1,2, } Z = himpunan bilangan bulat = {,-2,-1,0,1,2, } Q = himpunan bilangan rasional. R = himpunan bilangan riil. C = himpunan bilangan kompleks. 3
Penyajian himpunan Notasi pembentuk himpunan Notasi: {x syarat yang harus dipenuhi oleh x} Contoh: = {x x adalah lima huruf kecil pertama} B = {x x adalah empat bilangan genap positif pertama} C = {x x = y 2, 1 y 4} Penyajian himpunan Diagram Venn Diagram Venn menyajikan himpunan secara grafis, yang diperkenalkan oleh matematikawan Inggris John Venn pada tahun 1881. Contoh: Misalkan U = {1,2, 10}, = {1,2,6,8} dan B = {2,4,6,8}. 5 3 7 1 B 2 6 8 4 9 10 U 4
Definisi-definisi Himpunan kosong Himpunan bagian (set) Keanggotaan vs himpunan bagian Kesamaan himpunan Kardinalitas Himpunan ekivalen Himpunan saling lepas Himpunan kuasa Himpunan Kosong Definisi: Himpunan yang tidak mempunyai satupun anggota disebut himpunan kosong (null set). Notasi : { } atau. Contoh: D = {x x < x} F = {s s komputer tanpa prosesor} 5
Himpunan bagian (set) Definisi : Untuk semua himpunan dan B, kita mengatakan bahwa himpunan bagian B, jika dan hanya jika setiap anggota adalah anggota B. Notasi : B atau B (B terdiri dari ) subset B atau B superset. Himpunan bagian (set) Contoh 1.6: {1,2,3,1,1} {4,3,2,1} {1,2} {1,2,3} {1,2,3} {1,2} {1,2,1,3,2,2,1} {1,2,3} {1,2,3} {1,3,1,2,2,1} 6
Himpunan bagian (set) Perhatikan pernyataan berikut: Untuk setiap himpunan, adalah himpunan bagian dari, ( ). Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari sembarang himpunan, namun, himpunan kosong belum tentu menjadi unsur suatu himpunan. Himpunan { } bukan merupakan himpunan bagian dari himpunan {{ }}. Keanggotaan vs himpunan bagian {1,2,3} {1,2,3,4,5} {1,3} {3,2,1,0} {1} {1,3,6} 1 {1,2} 1 {1,2} {1} {1,2} {1} {1,2} 7
Kesamaan himpunan Notasi : = B, jika dan hanya jika B dan B Contoh 1.7: {1,2,3} = {3,1,2} = {2,3,1} = {1,2,1,3,2,1} {{1,2,1},1,2} = {1,2,{1,2}} {1,1,1,1,1} = {1,1} = {1} {1,2,1,3,1,4} = {1,3,4,2} {1,2,3} Sifat-sifat kesamaan himpunan: = jika = B maka B = jika = B dan B = C, maka = C. Kardinalitas Kardinal himpunan, adalah angka/bilangan yang menyatakan jumlah elemen-elemen berbeda dalam himpunan tersebut. Notasi : n() atau Contoh 1.8: = {a,b,c} =3 B = {1,{1,2},2,3,{5}} B=5 C = {1,1,2,1,2} C=2 8
Himpunan ekivalen Definisi: himpunan dikatakan ekivalen dengan himpunan B, jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama. Notasi: ~ B = B Contoh 1.9: Jika = {1,2,3,5,7,11} dan B = {2,4,6,8,10,12}, maka ~ B. Himpunan saling lepas Definisi: himpunan saling lepas dengan himpunan B, jika keduanya tidak mempunyai elemen yang sama. Notasi : // B Diagram Venn: 5 3 1 6 2 8 4 7 B 9 10 U 9
Himpunan kuasa Definisi: Himpunan kuasa bagi himpunan, ialah himpunan yang unsur-unsurnya adalah semua himpunan bagian dari himpunan. Notasi: P() atau () atau 2 Misal, ({1,2,3})={{},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} Bila mengandung n unsur, maka () mengandung 2 n unsur. Sifat-sifat himpunan kuasa: () (B) = ( B) () (B) ( B) Operasi Himpunan Irisan (intersection) Gabungan (union) Komplemen Beda relatif (selisih) Beda setangkup Pasangan terurut (ordered pairs) Perkalian kartesian (cartesian product) Perampatan operasi himpunan 10
Irisan (intersection) Definisi: Irisan dua himpunan dan B, ialah himpunan yang unsur-unsurnya adalah unsur-unsur didalam dan B. Notasi: B = {x x dan x B} Diagram Venn: B U Gabungan (union) Definisi: Gabungan dua himpunan dan B, ialah himpunan yang unsur-unsurnya adalah unsur-unsur didalam atau B (atau keduanya). Notasi: B ={x x atau x B } Diagram Venn: B U 11
Komplemen Definisi: Komplemen himpunan terhadap himpunan semesta U adalah himpunan yang elemennya merupakan elemen U yang bukan elemen. Notasi: Ā = {x x U dan x } Diagram Venn: U Beda relatif (selisih) Definisi: Selisih dari dua himpunan dan B adalah himpunan dari semua elemen yang bukan elemen B. Notasi : B atau \ B = {x x dan x B } Diagram Venn: B U 12
Beda relatif (selisih) Contoh 1.14: Misal = {1,2,3} Jika B maka -B {1,2} {3} {3,4} {1,2} {1,2,3,4} {}, {3,4,5,6,7,8} {1,2} {7,8} {1,2,3} Beda setangkup Definisi: Beda setangkup antara himunan dan B adalah himpunan yang mengandung tepat semua unsur yang ada di dalam atau dalam B, namun tidak di dalam keduanya. Notasi: B = ( B) ( B) = ( - B) (B - ) Diagram Venn: B U 13
Beda setangkup Contoh 1.15: {1,2,3} {3,4,5} = {1,2,4,5} {1,2,3} { } = {1,2,3} {1,2,3} {1,2,3} = { } Pasangan terurut (ordered pairs) Definisi: Pasangan terurut (a,b) adalah himpunan {{a},{a,b}} Pasangan terurut (a,b) bukan himpunan {a,b}, karena {a,b}={b,a}, namun (a,b) (b,a), kecuali a=b. (a,b) = (x,y) jika dan hanya jika a=x dan b=y. 14
Perkalian Cartesian Definisi: Perkalian kartesian himpunan dan himpunan B sebagai himpunan dari semua pasangan terurut (a,b) dimana a dalam dan b dalam B. Notasi : x B = {(a,b) a dan b B} Contoh 1.16: Bila = {1,2} dan B = {2,3,4}, maka x B = {(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4)} x B B x, kecuali = B, atau = {} atau B = {} Perampatan operasi himpunan Misalkan 1, 2, 3,, n, merupakan himpunan, maka: 1 2 3... n = = i 1 1 2 3... n = = i 1 n n n 1 2 3... = = i 1 n 1 2 3... n = i i n i= 1 i i 15
16 Prinsip inklusi dan eksklusi Sifat-sifat kardinalitas: P Q P + Q P Q min(p,q) P Q = P + Q - 2P Q P - Q P - Q B = + B - B B C = + B + C - B - C- B C + B C Prinsip inklusi dan eksklusi Secara umum untuk himpunan 1, 2,, r, dengan prinsip inklusi dan eksklusi diperoleh: Contoh... 1) (...... 2 1 1 1 1 1 2 1 r r r k j i k j i r j i j i r i i r + + + = < < <
Himpunan ganda Himpunan ganda adalah: suatu kumpulan bendabenda yang tidak harus berbeda. Contoh: {a,a,a,b,b,c}, {a,a,a,a}, {a,b,c} Multiplisitas suatu unsur didalam sebuah himpunan ganda didefinisikan sebagai berapa kali unsur bersangkutan muncul di dalam multihimpunan tersebut. Misal, multiplisitas unsur a di dalam himpunan ganda {a,a,a,c,d,d} adalah 3, multiplisitas unsur b = 0, dan multiplisitas unsur c = 1. Himpunan ganda Misal, = {a,a,a,c,d,d} dan B = {a,a,b,c,c} maka: B = {a,a,a,b,c,c,d,d} B = {a,a,c} B = {a,d,d} + B = {a,a,a,a,a,b,c,c,c,d,d} Contoh: 17
Terima Kasih 18