contoh soal metode simplex dengan minimum Perusahaan Maju Terus merencanakan untuk menginvestasikan uang paling banyak $ 1.200.000. uang ini akan ditanamkan pada 2 buah cabang usaha yaitu P dan Q. setiap unit P memerlukan uang sebesar $50 dan dapat memberikan rate of return per unitnya per tahun sebesar 10% sedangkan untuk setiap unit Q memerlukan uang sebesar $100, namun memberikan rate of return per unit per tahunnya sebesar 4%. Perusahaan tersebut telah mempertimbangkan bahwa target rate of return dari kedua usaha tersebut paling sedikit adalah $60.000 per tahunnya. Kemudian hasil analisis perusahaan memperoleh data bahwa setiap unit P dan Q mempunyai index risiko masing-masing 8 dan 3. Padahal perusahana ini tidak mau menanggung resiko yang terlalu besar. Kebijakan lainnya yang diinginkan oleh pemimpin khususnya untuk cabang usaha P ditargetkan paling sedikit jumlah investasinya adalah $3.0000. Bagaimana penyelesaian persoalan diatas apabila perusahaan bermaksud untuk tetap melakukan investasi tetapi dengan menekan atau meminimasi resiko sekecil mungkin. Berapa unit masingmasing usaha dapat diinvestasikan?(metode grafis dan metode simpleks) JAWABAN 1. Metode Grafis Fungsi Tujuan : z = 8x + 3y Fungsi Pembatas : 50x + 100y 1.200.000 50x 3.000 5x + 4y 60.000 Grafisnya : 50x + 100y 1.200.000 50x + 100y = 1.200.000 Jika x = 0 maka y = 12.000, jadi koordinatnya (0,12.000) Jika y = 0 maka x = 24.000, jadi koordinatnya (24.000,0) 50x 3.000
50x = 3.000 x = 60 5x + 4y 60.000 5x + 4y = 60.000 Jika x = 0 maka y = 15.000, jadi koordinatnya (0,15.000) Jika y = 0 maka x = 12.000, jadi koordinatnya (12.000,0) Jadi Solusi yang ditawarkan : x y Z = 8x + 3y Keterangan 12.00 0 96.000 0 24.00 0 192.000 0 4.000 10.000 62.000 * Minimum 1. Metode Simpleks Fungsi Tujuan : z = 8x + 3y Fungsi Pembatas : 50x + 100y 1.200.000 50x 3.000 5x + 4y 60.000 Bentuk baku diperoleh dengan menambahkan variabel slack pada kendala pertama, mengurangkan variabel surplus pada kendala kedua. Sehingga diperoleh : Minimumkan : Z = 8x + 3y + 0S1 + 0S2 + 0S3 +MA1 + MA2 50x + 100y + S1 = 1.200.000 50x - S2 + A1 = 3.000 5x + 4y S3 + A2 = 60.000
Table Simpleks Awal Basi X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 A 1 A 2 NK Rasio s Z 55M-8 4M-3 0 -M -M 0 0 63.000M S 1 50 100 1 0 0 0 0 1.200.000 1.200.000:50=24.0 00 A 1 50 0 0-1 0 1 0 3.000 3.000:50 = 60 A 2 5 4 0 0-1 0 1 60.000 60.000 : 5 = 12.000 Iterasi Pertama Basis X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 A 1 A 2 NK Rasio Z 0 4M-3 0 0,1M-0,16 0-1,1M+0,16 0 59.700M+480 S 1 0 100 1 1 0-1 0 1.197.000 11.970 X 1 1 0 0-0,02 0 0,02 0 60 A 2 0 4 0 0,1-1 -0,1 1 5700 1.425 Iterasi Kedua Basis X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 A 1 A 2 NK Z 0 0 0-0,085 M-0,75 -M+0,085 -M+0,75 54.000M+4755 S 1 0 0 1-1,5 25 1,5-25 1.054.500 X 1 1 0 0-0.02 0 0.02 0 60 X 2 0 1 0 0,025-0,25-0,025 0,25 1425 Iterasi kedua adalah optimal karena koefisien pada persamaan Z semuanya non positif, dengan X 1 = 60, X 2 = 1425 dan Z = 54.000M+4755
2. Persamaan matematis suatu program linier adalah sebagai berikut : Minimasi : Z = 6X 1 + 7,5X 2 Dengan pembatas : 7X 1 + 3X 2 210 6X 1 + 12X 2 180 4X 2 120 X 1, X 2 0 Carilah harga X 1 dan X 2? JAWABAN Pada kasus ini kita akan menggunakan metode simplex M (BIG M), hal ini dikarenakan pada kasus ini pertidk samaan pembatasnya menggunakan (lebih dari sama dengan). Persamaan Tujuan : Z - 6x 1-7,5X 2-0S 1-0S 2-0S 3 = 0 Baris 0 Persamaan Kendala : 7x 1 + 3x 2 - S 1 +A 1 = 210 Baris 1 6x 1 + 12x 2 - S 2 +A 2 = 180 Baris 2 4x 2 - S 3 + A 3 = 120 Baris 3
Bagi kendala pertidaksamaan jenis, maka variabel slack ditambahkan untuk menghabiskan sumber daya yang digunakan dalam kendala. Cara ini tidak dapat diterapkan pada kendala pertidaksamaan jenis dan kendala persamaan (=) persamaan diatas diperoleh karena tanda harus mengurangi variable surplus. Untuk mengarahkan artifisial variabel menjadi nol, suatu biaya yang besar ditempatkan pada A 1, A 2, dan A 3 sehingga fungsi tujuannya menjadi : Z = 6x 1 + 7,5X 2 + 0S 1 + 0S 2 + 0S 3 + MA 1 + MA 2 + MA 3 Table simplex awal dibentuk dengan A 1, A 2, dan A 3 sebagai variable basis, seperti table berikut : Bas X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 A 1 A 2 A 3 NK RASIO is Z 13M-6 19M-7,5 -M -M -M 0 0 0 510M A 1 7 3-1 0 0 1 0 0 210 210 : 3 = 70 A 2 6 12 0-1 0 0 1 0 180 180 : 12 = 15 A 3 0 4 0 0-1 0 0 1 120 120 : 4 = 30 Dari table diatas kita ketahui bahwa semua BFS belum optimal. Hal ini dikarenakan seluruh NBV masih mempunyai koefisien yang berharga positif. Oleh karena itu Untuk x 2 terpilih sebagai entry variable karena x 2 memiliki nilai
koefisien positif yang paling besar, dan A3 menjadi Leaving Variable. Dan yang akan menjadi pivot adalah baris 2 karena memiliki rasio paling kecil. Langkah-langkah ERO Iterasi Pertama : ERO 1 : Menjadikan nilai koefisien x 2 berharga 1 pada baris 2 ½ x 1 + x 2-1 / 12 S 2 + 1 / 12 A 2 = 15 ERO 2 : Menjadikan nilai koefisien x 2 berharga 0 pada baris 0 Z = 9 / 4 x 1 + 0S 1 + 15 / 24 S 2 + 0S 3 + MA 1 + [ M - 15 / 24 ]A 2 + MA 3 + 112,5 ERO 3 : Menjadikan nilai koefisien x 2 berharga 0 pada baris 1 11 / 2 x 1 + ¼ S 2 + A 1-1 / 4 A 2 = 165 ERO 4 : Menjadikan nilai koefisien x 2 berharga 0 pada baris 3-2x 1 + 1 / 3 S 2 - S 3-1 / 3 A 2 + A 3 = 60 Konversi bentuk standard iterasi Pertama : Z = 9 / 4 x 1 + 0S 1 + 15 / 24 S 2 + 0S 3 + MA 1 + [ M - 15 / 24 ]A 2 + MA 3 + 112,5 11 / 2 x 1 + ¼ S 2 + A 1-1 / 4 A 2 = 165-2x 1 + 1 / 3 S 2 - S 3-1 / 3 A 2 + A 3 = 60 ½ x 1 + x 2-1 / 12 S 2 + 1 / 12 A 2 = 15 Tabel Iterasi Pertama Bas X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 A 1 A 2 A 3 NK RASIO is
Z - 13 / 2M-6 0 0 7 / 12-15 / 24 -M 0 1 / 24 - M 0 225M 112,5 * A 1 11 / 2 0 0 1 / 4 0 1-1 / 4 0 165 165 : 5,5 = 30 A 3-2 0 0 1 / 3-1 0-1 / 3 1 60 * X 2 ½ 1 0-1 / 12 0 0 1 / 12 0 15 15 : 0,5 = 30 Pada fungsi tujuan masih terdapat variable dengan nilai koefisien positif, oleh karena itu lakukan iterasi kedua. Langkah-langkah ERO Iterasi Kedua: ERO 1 : Menjadikan nilai koefisien x 1 berharga 1 pada baris 1 x 1 + 1 / 22 S 2 + 2 / 11 A 1-1 / 22 A 2 = 30 ERO 2 : Menjadikan nilai koefisien x 1 berharga 0 pada baris 0 Z = 0S 1 + 0,725 S 2 + 0S 3 + MA 1-0,4A 1 + [ M 0,725]A 2 + MA 3 + 180 ERO 3 : Menjadikan nilai koefisien x 1 berharga 0 pada baris 2 0.5 A 2 = 0 ERO 4 : Menjadikan nilai koefisien x 1 berharga 0 pada baris 3 0,39 S 2 - S 3 +0,36A 1 + 0,21 A 2 + A 3 = 120 Konversi bentuk standard iterasi kedua : Z = 0S 1 + 0,725 S 2 + 0S 3 + [M -0,4]A 1 + [ M 0,725]A 2 + MA 3 + 180 x 1 + 1 / 22 S 2 + 2 / 11 A 1-1 / 22 A 2 = 30
0.5 A 2 = 0 0,39 S 2 - S 3 + 0,36A 1 + 0,21 A 2 + A 3 = 120 Tabel Iterasi Kedua Bas X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 A 1 A 2 A 3 NK is Z 0 0 0-0,725 0 -M+0,4-1 / 2M+0,725 M -180 x 1 1 0 0 1 / 22 0 2 / 11-1 / 22 0 30 A 3 0 0 0 0 0 0 ½ 0 0 X 2 0 0 0 0,39-1 0,36 0,21 1 120 Iterasi kedua adalah optimum karena koefisien pada persamaan Z semuanya non positif, dengan x 1 = 30, x 2 = 120 dan z=-180. 3. PT Unilever bermaksud membuat 2 jenis sabun, yakni sabun bubuk dan sabun batang. Untuk itu dibutuhkan 2 macam zat kimia, yakni A dan B. jumlah zat kimia yang tersedia adalah A=200Kg dan B=360Kg. Untuk membuat 1Kg sabun bubuk diperlukan 2 Kg A dan 6 Kg B. untuk membuat 1 Kg sabun batang diperlukan 5 Kg A dan 3 Kg B. bila keuntungan yang akan diperoleh setiap membuat 1Kg sabun bubuk = $3 sedangkan setiap 1 Kg sabun batang = $2, berapa Kg jumah sabun bubuk dan sabun batang yang sebaiknya dibuat?
JAWABAN Pemodelan matematika : Maksimumkan : Z = 3x 1 + 2x 2 Pembatas : 2x 1 + 5x 2 = 200 6x 1 + 3x 2 = 360 Persamaan Tujuan : Z - 3x 1-2x 2 = 0 Baris 0 Persamaan Kendala : 2x 1 + 5x 2 + A 1 = 200 Baris 1 6x 1 + 3x 2 + A 2 = 360 Baris 2 Untuk mengarahkan artifisial variabel menjadi nol, suatu biaya yang besar ditempatkan pada A 1, A 2, dan A 3 sehingga fungsi tujuannya menjadi : Z = 3x 1-2X 2 + MA 1 + MA 2 Basis x 1 x 2 A 1 A 2 NK Rasio Z 8M-3 8M+2 0 0 560M A 1 2 5 1 0 200 200:5=40 A 2 6 3 0 1 360 360:3=120 Dari table diatas kita ketahui bahwa semua BFS belum optimal. Hal ini dikarenakan belum seluruhnya NBV mempunyai koefisien yang berharga positif. Oleh karena itu Untuk x 2 terpilih sebagai entry variable karena x 2 memiliki nilai
koefisien negatif, dan A 1 menjadi Leaving Variable. Dan yang akan menjadi pivot adalah baris 1 karena memiliki rasio paling kecil. Langkah-langkah ERO Iterasi Pertama : ERO 1 : Menjadikan nilai koefisien x 2 berharga 1 pada baris 1 0,4x 1 + x 2 + 0,2A 1 = 40 ERO 2 : Menjadikan nilai koefisien x 2 berharga 0 pada baris 0 Z = 3,8x 1 + [M-0,4]A 1 + MA 2-80 ERO 3 : Menjadikan nilai koefisien x 2 berharga 0 pada baris 2 4,8x 1 0,6A 1 + A 2 = 240 Konversi bentuk standard iterasi pertama : Z = 3,8x 1 + [M-0,4]A 1 + MA 2-80 0,4x 1 + x 2 + 0,2A 1 = 40 4,8x 1 0,6A 1 + A 2 = 240 Basis x 1 x 2 A 1 A 2 NK Rasio Z 4,8M-3,8 0 0,4-0,4M 0 240M+80 X 2 0,4 1 0,2 0 40 A 2 4,8 0 0,6 1 240 Iterasi pertama adalah optimum karena koefisien pada persamaan Z semuanya positif, dengan x 1 = 40, x 2 = 240 dan z=240m+80.