BAB IV PERSAMAAN INTEGRAL FREDHOLM BENTUK KEDUA Pada bab III, kita telah memandang permasalahan aliran fluida pada celah pintu air dan memodelkan persamaan integralnya. Dari situ kita memperoleh sebuah persamaan integral dengan satu buah variabel yang tidak diketahui. Persamaan integral yang kita peroleh merupakan representasi dari aliran fluida pada batas bebas atau dengan kata lain pada aliran fluida setelah melewati celah pintu air. Pada bab ini, kita akan mengenali bentuk dari persamaan integral tersebut dengan melihat pada pengklasifikasian integral berdasarkan variabel limit integrasinya. Setelah diketahui bentuk integralnya, kita akan melihat beberapa kasus khusus pada bentuk persamaan integral tersebut terutama menyangkut kepada kernel integralnya. 4.1 Klasifikasi Persamaan Integral Persamaan integral pada umumnya dapat dituliskan sebagai atau dalam notasi operasional, sama dengan kita menuliskannya sebagai dimana mendefinisikan operasi integrasi di atas pada fungsi dalam (4.1). Persamaan integral (4.1) dinamakan persamaan integral Volterra saat. Sehingga persamaan integral (4.1) menjadi Saat, persamaan integral Volterra tersebut dinamakan persamaan integral Volterra bentuk pertama. 29
Sedangkan dinamakan persamaan integral Volterra bentuk kedua yaitu pada saat nilai dari. Selain mengenal persamaan integral Volterra, berdasarkan limit variabel integrasinya, kita juga mengenal persamaan integral Fredholm. Pada persamaan integral Fredholm, nilai. Atau dengan kata lain nilainya adalah sebuah konstanta dan tidak bergantung pada sebuah variabel. Hal itu lah yang membedakan antara persamaan integral Volterra dengan persamaan integral Fredholm. Sehingga untuk persamaan integral Fredholm, persamaan (4.1) kita tuliskan menjadi Sama halnya seperti persamaan integral Volterra, persamaan integral Fredholm dinamakan bentuk pertama saat, serta dinamakan persamaan integral Fredholm bentuk kedua saat. Pada kasus tertentu, persamaan integral Volterra (4.3) dan persamaan integral Fredholm (4.6) mempunyai bentuk persamaan homogen yaitu pada saat seperti yang terlihat pada persamaan (4.9) dan (4.10) 30
Pada bab sebelumnya kita telah memodelkan dan memperoleh sebuah persamaan integral yaitu dengan dan Bila kita masukkan (3.51) dan (3.52) pada (3.50) maka kita dapat tuliskan (3.50) menjadi dengan ditentukan dan diambil dari selang. Nilai dipilih mendekati ke tapi nilainya tidak. Persamaan integral di atas merupakan persamaan integral Fredholm bentuk kedua karena selang integrasinya merupakan konstanta yaitu yang tidak dipengaruhi oleh variabel. 4.2 Kernel Persamaan Integral Pada integral di kalkulus, kita mengenal istilah kernel yaitu sebuah fungsi dengan dua buah variabel yang mendefinisikan sebuah transformasi integral. 31
Fungsi merupakan kernel dari persamaan integral (4.11) yang mentransformasikan fungsi ke dalam fungsi. Beberapa kernel memiliki invers yang disebut sebagai invers kernel yang mana menghasilkan sebuah transformasi invers Suatu persamaan integral dikatakan singular jika rentang dari integrasinya tak terhingga atau kernelnya menjadi tak terhingga di dalam selang integrasinya. Untuk persamaan integral dengan kernel,, dan terbatas, maka persamaan integral tersebut dikatakan sebagai weakly singular equation dan kernel mempunyai singularitas lemah. Sementara untuk persamaan integral dengan kernel, dan terbatas, maka kernel mempunyai singularitas kuat dan persamaan integral tersebut dikatakan sebagai strong singular equation. Kernel memegang peranan penting dalam sebuah persamaan integral dan kernel ada yang dikenal sebagai symmetric kernel, maupun nonsymmetric kernel. Kernel yang simetris berarti. Degenerate Kernel Dalam beberapa kasus, ada kernel yang mempunyai bentuk khusus. Kernel tersebut adalah penjumlahan berhingga dari perkalian, sebuah fungsi dalam x, dengan, sebuah fungsi dalam t. Kernel tersebut dapat dituliskan sebagai Kernel dalam bentuk tersebut dinamakan dengan degenerate kernel. Sekarang kita akan melihat persamaan integral Fredholm bentuk kedua dengan degenerate kernel sehingga persamaan (4.8) dapat kita tuliskan menjadi 32
Kita definisikan, maka persamaan (4.15) dapat kita tuliskan menjadi Jika kita mengalikan kedua sisi pada (4.16) dengan a ke b, maka kita menghasilkan pada sisi kiri dan mengintegralkan dari Jika kita definisikan dan Maka persamaan (4.17) menjadi Jika kita gunakan notasi matriks, maka persamaan tersebut dapat kita tuliskan sebagai berikut. atau dapat juga ditulis sebagai 33
Bila kita pandang persamaan (4.22), kita dapat melihat bahwa persamaan (4.22) akan memiliki sebuah solusi yang unik jika determinan dari. Dan persamaan (4.22) akan memiliki solusi tak berhingga atau tak mempunyai solusi jika determinan. Contoh kasus persamaan integral Fredholm bentuk kedua dengan degenerate kernel adalah. Persamaan integral Fredholm tersebut memiliki degenerate kernel, dimana,,,, dan. Sehingga kita peroleh matriks kolom F yaitu f f 1 2 = 1 3 1 3 Untuk memperoleh matriks A, kita hitung elemen dengan dan sesuai dengan yang sudah didapatkan sebelumnya. Kita dapatkan bentuk 34
1 1 1 c1 3 3 4 c1 c 2 1 1 1 c 2 3 3 4 Atau dalam bentuk, dapat kita tuliskan menjadi 1 1 1 1 - - 3 4 c1 3 1 1 c 2 1-1- 3 4 3 Jadi kita dapatkan. Kernel Simetris Pada persamaan integral Fredholm bentuk kedua dengan kernel yang simetris, persamaan (4.8) kita tuliskan sebagai Kita tuliskan dengan dimana adalah koefisien fourier dari fungsi yang tak diketahui u(x), dan adalah koefisien fourier dari fungsi yang diberikan f(x). Kita substitusikan (4.23) pada (4.26) 35
Kita tahu bahwa. Maka (4.28) menjadi Kita substitusikan (4.29) pada (4.25), sehingga kita peroleh Setelah itu kita substitusikan (4.30) pada (4.24). Kita dapatkan dengan maka persamaan (4.8) menjadi Contoh kasus persamaan integral fredholm bentuk kedua dengan kernel simetris adalah 36
dengan x(1 -t),0 x t K( x, t) t(1 - x), t x 1 nilai eigen dari persamaan (4.36) adalah dari kernel K(x,t) adalah (4.36) menjadi serta fungsi eigen ortonormal. Maka berdasarkan (4.33), persamaan dan resolvent kernel dari persamaan (4.36) berdasarkan (4.34) adalah Pengkonstruksian solusi persamaan (4.35) di atas berdasar kepada fakta bahwa nilai pada (4.36) tidak sama dengan nilai pada persamaan homogen yang merupakan nilai eigen dari kernel simetris K(x,t). Seperti yang dapat kita lihat pada kasus persamaan (4.36) dengan yaitu Persamaan tersebut tidak dapat dipecahkan karena nilai yang merupakan nilai eigen dari kernel simetris K(x,t) dan sama dengan nilai tidak orthogonal pada fungsi eigen. 4.3 Metode Resolvent Kernel Salah satu metode untuk menyelesaikan persamaan integral Fredholm bentuk kedua adalah dengan metode evaluasi resolvent kernel. Persamaan integral fredholm bentuk kedua seperti pada (4.8) dapat kita tuliskan menjadi 37
dengan dimana dan adalah fredholm resolvent kernel, fredholm minor, dan fredholm determinant. dimana dan dengan dan Contohnya dapat kita lihat pada persamaan integral fredholm bentuk kedua Sesuai dengan (4.41), solusi dari persamaan (4.47) tersebut adalah Untuk mengevaluasi resolvent kernel, kita harus mencari dan. 38
. Sehingga kita dapat hitung Sesuai dengan, maka dan Untuk itu kita peroleh Kita peroleh resolvent kernel Sehingga solusi dari (4.47) dapat kita tuliskan sebagai 39