BAB II LANDASAN TEORI

7 BAB II LANDASAN EORI 2.. Dasar Dasar Peluang Program stokastik adalah salah satu cabang matematika yang berhubungan dengan keputusan optimal dalam keadaan tidak pasti yang dinyatakan dengan distribusi peluang. Ruang sampel yang dinotasikan dengan Ω adalah himpunan dari hasil pengamatan yang mungkin terjadi. Definisi 2... P. adalah fungsi peluang jika untuk setiap A Ω dihubungkan dengan sebuah bilangan P A sedemikian hingga P A 0 dan P Ω =. Ruang sampel (Ω) dikatakan diskrit jika hanya mengandung terhingga banyaknya titik titik yang dapat disusun menurut barisan sederhana ω, ω 2, ω 3,. Peluang kejadian A i = ω i ditulis sebagai P(ω ). Pada saat pengamatan dilakukan terhadap suatu nilai berarti kita sedang mengamati sebuah variabel acak. Di dalam notasi variabel acak ditulis dengan huruf kapital, misalkan X. Definisi 2..2. Suatu peubah acak X adalah suatu fungsi bernilai riil yang dihubungkan dengan daerah definisi Ω untuk setiap ω Ω; X(ω) ε R = {y: < y + }

8 Definisi 2..3. Jika X adalah peubah acak maka fungsi distribusinya didefinisikan sebagai berikut: F x X = P x X ; untuk setiap x (, +). Definisi 2..4. Suatu peubah acak yang diskrit yang mendapat nilai x, x 2, x 3,, x n mempunyai fungsi peluang p x ), p(x 2, p x 3,, p(x n ) dengan p x i = P X = x i ; i =,2,, n. 2.2.Distribusi Peluang Dalam melakukan sebuah pengamatan akan dicari nilai harapan yang dikenal dengan istilah nilai ekspektasi dari peubah acak. Definisi 2.2.. Nilai ekspektasi dari sebuah peubah acak adalah: E(X) = μ x = xp x (x) Penyebaran nilai dari pengamatan terhadap rata ratanya disebut varians. Definisi 2.2.2. Varians dari sebuah peubah acak didefinisikan adalah: Var(X) = ς 2 = E((X μ x ) 2 ) Akar kuadrat nilai varians disebut sebagai deviasi standar. Definisi 2.2.3. Deviasi standar dari sebuah peubah acak adalah: ς x = Var(X)

9 Pengamatan tidak terbatas hanya pada satu peubah acak. Misalkan dua peubah acak X dan Y memiliki rata rata E(X) = μ x dan E(Y) = μ y maka kovarians dari peubah acak tersebut adalah: Cov X, Y = E((X μ x )(Y μ y )) = E(XY) μ x μ y Kovarians merupakan ukuran tentang bagaiman dua variabel bergerak atau berubah bersama sama. Kovarians dapat bernilai positip (bergerak searah), negatif (bergerak berlawanan arah) dan nol (tidak ada hubungan antara kedua peubah acak). 2.3.Proses Stokastik Proses stokastik berhubungan dengan waktu dari fungsi acak. Proses stokastik menunjukkan barisan waktu suatu kejadian. Definisi 2.3.. Proses stokastik X(t) terdiri dari sebuah pengamatan dengan peluang P(.) yang didefinisikan pada ruang sampel Ω dan dihubungkan dengan fungsi waktu x t, s terhadap setiap ruang sampel hasil pengamatan. Proses stokastik dapat dikategorikan menjadi dua bagian yaitu proses stokastik waktu diskrit dan proses stokastik kontinu. Proses stokastik waktu diskrit X(t) jika himpunan semua nilai yang mungkin dari X(t) sepanjang waktu t adalah himpunan berhingga, sebaliknya X(t) adalah proses stokastik waktu kontinu. Pada tulisan ini proses stokastik untuk alokasi aset multi-period terjadi pada waktu diskrit. Keputusan penting dalam melakukan investasi baik individu maupun institusi adalah untuk memilih kelas aset yang berbeda dan keuntungan investasi. Dasar pertimbangannya adalah tingkat pengembalian (return) dan resiko dari

0 portfolio. Nilai return yang merupakan motivasi bagi investor untuk berinvestasi. Nilai return diperoleh dari perubahan harga aset di awal investasi terhadap harga aset di akhir periode investasi. Nilai return pada waktu t yaitu R t didefenisikan sebagai berikut: R t = ln X t X t dengan X t adalah harga aset pada waktu t. 2.4. Alokasi Aset Single-Period dan Multi-Period 2.4.. Alokasi Aset Single-Period Keputusan untuk menentukan jumlah alokasi aset dalam sebuat portfolio sangat penting bagi setiap investor. Portfolio adalah gabungan dua atau lebih kelas aset yang dipilih dalam berinvestasi. Besar modal yang diinvestasikan dalam tiap sekuritas tentu akan menentukan besar keuntungan yang akan diperoleh sesuai dengan resiko yang ditanggungnya. Kebijakan untuk menentukan portfolio optimal dengan waktu satu periode (single-period) diselesaikan dengan menggunakan metode mean-varians yang ditemukan oleh Harry Markowitz. Harry Markowitz (952) mengatakan return sebuah portfolio bersifat acak dan untuk mengevaluasinya perlu diperhatikan dua hal penting yakni return harapan dan resikonya. Dalam hal ini resiko direpresentasikan dengan menggunakan varians portfolio. ingkat pengembalian (return) dari sebuah portfolio didefenisikan sebagai berikut: R pt = n i= W i R i,t dengan i = jenis aset dalam portfolio dan R i,t = return pada waktu t sedangkan W i n = komposisi/ porsi aset i di dalam portfolio dan i= W i =.

Andaikan x = x, x 2,, x n adalah n kelas aset yang dipertimbangkan untuk sebuah portfolio dan andaikan R = R, R 2,, R n nilai acak return dari masing masing kelas aset dengan rata rata return r = (r, r 2,, r n ) dan kovarians matriks = [ς i,j ] dengan ς i,j = E(R i r i ) R j r j untuk i,j =, 2,..., n. Model mean varians Markowitz situlis sebagai berikut: Min Var (R x) =x x e x = r x ρ x 0 Varians dari return portfolio diminimalkan pada tingkat return harapan sebesar ρ. 2.4.2. Alokasi Aset Multi-Period Investasi sering dilakukan untuk waktu jangka panjang. Waktu perencanaan investasi yang panjang dibagi dalam beberapa periode (multi-period). Kebijakan dibuat pada setiap periode sampai keseluruhan periode dalam waktu perencanaan. Kebijakan yang diambil dalam satu periode akan dipengaruh oleh kebijakan yang sebelumnya. Pada sebuah masalah alokasi aset multi-period, investasi dikategorikan dalam aset i =, 2,, n. Pengambil keputusan harus menentukan jumlah modal yang akan diinvestasikan pada setiap aset i, yaitu x i,t untuk setiap periode t =, 2,,. Setiap periode t investor dapat membeli atau menjual aset i. Jumlah aset i yang dijual maupun yang dibeli pada saat t masing-masing dinotasikan dengan i y t dan z i i t. Setiap investasi x i,t memberikan return sebesar R t sehingga i i x i,t berubah menjadi x i,t R t dalam periode t, t +. Pada waktu t nilai R t

2 tidak diketahui dengan pasti. Akan tetapi Masalah ini dikenal dengan istilah wait-and-see. distribusi peluang R t i diketahui. Keputusan yang akan diambil dipengaruhi oleh proses diskrit ξ t t=0 yang tidak diketahui dengan pasti pada waktu keputusan tersebut diambil. Pada waktu t pengambil keputusan mengetahui ω 0, ω,, ω t dengan mendistribusikan t peluangnya masing masing P 0, P,, P t dan t=0 P t =. Variabel keputusannya bergantung pada proses stokastik {ω 0, ω,, ω t } dan nilai ekspektasinya. Model stokastik multi-period dapat diselesaikan dengan strategi tradisional yang dikenal dengan strategi fixed mix dan strategi buy and hold (V. V. Kolbin, 977). Pada strategi buy and hold tidak ada rebalancing portfolio sehingga keputusannya dititikberatkan pada keputusan awal yang dibuat. Persamaanya adalah: n i= x 0 i + btc i + x 0 cas = W 0 dengan W 0 adalah modal awal, n adalah banyaknya jenis aset dalam pasar modal dan btc i i adalah biaya transaksi untuk investasi pada aset i. Nilai x t yang diinvestasikan pada waktu t tentunya akan memberikan return sehingga antara waktu t dan t+ diperoleh: i,ω x,,ω t i,ω t R t i,ω t = x,,ω t t untuk i =,, n dan t =,,

3 Variabel acak R t i,ω t adalah vektor acak return dari aset jenis i antara periode waktu t dan t+ dengan skenario ω t. Maka di akhir periode akan diperoleh: n i= i,ω x,,ω i,ω R stc i + x cas,ω,,ω ω = W,,ω dengan stc i ω adalah biaya transaksi untuk menjual aset i dan W,,ω adalah hasil akhir yang diperoleh dalam skenario sepanjang waktu. Fungsi utilitas ω dinyatakan dengan slack variables u,,ω untuk tujuan yang diinginkan G dan ω υ,,ω untuk pengurangan tujuan sehingga: u ω,,ω υ ω,,ω = W ω,,ω G Maka fungsi objektif akhir Z adalah: Z = ω ω,,ω,,ω εω Ω [u ω,,ω ψυ ] ; ψ adalah slope fungsi utilitas. [ Ω Ω ] Pada strategi fixed mix ada tambahan kendala pada saat pengalokasian kembali modal pada waktu t. Jadi harus ada tambahan variabel untuk menyatakan jumlah aset yang dibeli yakni y i dan jumlah aset yang dijual yakni z i. Maka modal awal dapat ditulis sebagai berikut: n i= x 0 i + btc i + x 0 cas = W 0 i dan bagian fix mix yakni x FM : i x FM = x 0 i x 0 i n i= ; i =,, n

4 Dalam satu tenggang waktu diperoleh: i,ω x,,ω t i,ω t R t i,ω t + y,,ω t i,ω t z,,ω t i,ω t = x,,ω t t ; i =,, n Maka di akhir periode akan diperoleh: n n i,ω x,,ω t i,ω cas R t i,ω t y,,ω t t + btc i i,ω + z,,ω t t i= i= stc i = x t cas,ω,,ω t dengan y t i,ω,,ω t adalah jumlah aset i yang dibeli dengan skenario (ω,, ω t ) dan z t i,ω,,ω t adalah jumlah aset i yang dijual dengan skenario (ω,, ω t ). Selain itu, kendala fixed mix: x t i,ω,,ω t n i= x i,ω,,ω t = x FM ; i =,, n t i Persamaan akhirnya adalah: n i,ω x,,ω i,ω R i= stc i cas,ω + x,,ω cas,ω R ω = W,,ω ; u ω,,ω υ ω,,ω = W ω,,ω G; dan Z = ω,,ω εω Ω [u ω,,ω ψυ ω,,ω ] [ Ω Ω ] 2.5. Model Dasar Program Stokastik Program stokastik merupakan kerangka yang umum dalam model optimasi dengan ketidakpastian. Dalam model optimasi deterministik parameter diasumsikan dengan pasti namun kenyataan yang sebenarnya di waktu yang akan datang tidak dapat ditentukan dengan pasti sehingga parameter bersifat acak.

5 Ketidakpastian tersebut dinyatakan dalam sebuah distribusi peluang. Model program stokastik yang umum digunakan dalam bidang keuangan adalah model program stokastik rekursif. Model program stokastik rekursif merupakan kombinasi dari model antisipatif dan adaptif (Yu, Ji dan Wang, 2003). 2.5.. Model Antisipatif Model antisipatif merupakan model statis yang keputusannya tidak bergantung pada pengamatan keadaan masa yang akan datang. Perencanaanya memperhitungkan semua kemungkinan yang akan terjadi di masa yang akan datang oleh karena tidak ada kesempatan untuk memperbaikinya nanti. Kelayakan model antisipatif dinyatakan dalam kendala probabilistik. Misalkan tingkat keandalan α dinyatakan dengan 0 < α, dan kendala ditulis dalam bentuk: P ω f j x, ω = 0, j =,2,, n α, Dalam hal ini x merupakan vektor variabel keputusan berdimensi m dan f j : R m Ω R, j =, 2,, n. Fungsi objektifnya dapat berupa keandalan dengan tipe seperti P ω f 0 x, ω γ, dengan f 0 : R m Ω R + dan γ adalah konstanta. Model antisipatif memilih kebijakan yang memenuhi karakteristik dari kendala dan fungsi tujuan. 2.5.2. Model Adaptif Pada model adaptif, informasi yang berhubungan dengan ketidakpastian muncul secara parsial sebelum keputusan dibuat sehingga proses optimasi memerlukan pembelajaran. Misalkan A adalah kumpulan semua informasi relevan yang tersedia dalam pengamatan yang merupakan sub bagian dari kejadian yang mungkin. Variabel keputusan x bergantung pada kejadian yang dapat diamati dan x disebut dengan istilah A adapted (teradaptasi A) atau A measurable (terukur A). Program stokastik adaptif diformulasikan sebagai berikut:

6 Minimum E[f 0 (x ω, ω) A] Kendala E[f j (x ω, ω) A] = 0 j =, 2,, n x ω ε X hampir pasti Pemetaan x: Ω X sedemikian hingga x ω menjadi A measurable. Masalah ini dapat dinyatakan dengan menyelesaikan persamaan deterministik berikut untuk semua ω: Minimum E[f 0 (x,. ) A] ω Kendala E[f j (x,. ) A] ω = 0 j =, 2,, n x ε X Ada 2 kasus ekstrim yang terjadi yakni informasi lengkap dan tidak ada informasi. Kasus pertama menghasilkan model antisipatif sedangkan kasus kedua dikenal sebagai model distribusi. Akan tetapi yang menarik adalah jika hanya sebagian informasi yang tersedia. 2.6. Model Program Stokastik Rekursif Model rekursif yang merupakan model yang sering digunakan dalam membentuk kerangka matematika. Model ini tidak hanya mengantisipasi pengamatan di masa yang akan datang tetapi juga mempertimbangkan informasi yang ada untuk membentuk keputusan yang rekursi. Misalnya, seorang manajer portfolio mempertimbangkan pergerakan harga saham (antisipatif) sekaligus meyeimbangkan posisi portfolio dalam perubahan harga (adaptif) (Yu, Ji dan Wang, 2003). 2.6.. Model Program Stokastik Rekursif Dua ahap Masalah perencanaan dan manajemen dalam ketidakpastian resiko biasanya diselesaikan dengan program stokastik dua tahap. Solusi dari program stokastik

7 dua tahap terdiri dari vektor deterministik dan vektor acak. Pada tahap pertama dibuat solusi tahap awal x 0 kemudian vektor acak ω 0 ditentukan pada tahap kedua. Fungsi program stokastik rekursif dua tahap (wo-stage Stochastic Programming with Recourse) dapat ditulis sebagai berikut: Minimum f x + Ε[Q(x, ω) ] Kendala Ax = b untuk x R + m 0 dengan x adalah keputusan antisipatif pada tahap pertama yang dibuat dan Q x, ω adalah nilai optimal untuk semua Ω dari program non linier: Minimum Kendala q x, ω W ω y = ω ω x y R + m dengan y adalah keputusan adaptive pada tahap kedua yang bergantung pada kenyataan dari vector acak tahap pertama. q x, ω dinotasikan sebagai fungsi biaya tahap kedua dan { ω, W ω, ω ω Ω} adalah parameter model. Parameternya adalah vector acak ω yang merupakan parameter acak. adalah matriks teknologi yang terdiri dari koefisien teknologi yang mengubah keputusan pada tahap pertama x menjadi rekursif pada masalah tahap kedua. W adalah matriks rekursif dan h adalah vektor rekursif pada tahap kedua. Secara umum model rekursif dua tahap diformulasikan sebagai berikut: Minimum f x + Ε min{q x, ω ω x + W ω y = ω } Kendala Ax = b untuk x R + m 0 dan y R+ m

8 Model program stokastik akan lebih mudah diselesaikan bila diubah ke dalam persamaan deterministik ekuivalen. 2.6.2. Formulasi Deterministik Ekuivalen Andaikan model program stokastik linier sebagai berikut: Minimum g 0 x, ω Kendala g i x, ω 0, i =,2,, m x X R n Vektor ω adalah vektor acak yang bervariasi pada himpunan Ξ R k. Lebih tepatnya lagi, andaikan F adalah sebuah family dari kejadian yang merupakan himpunan bagian dari Ξ dan distribusi peluangnya P pada F diketahui. Akibatnya untuk setiap himpunan bagian A Ξ merupakan kejadian dengan A F dan peluang P A diketahui. Selain itu, diasumsikan bahwa fungsi g i x,. : Ξ R x, i adalah variabel acak dan distribusi peluang P bebas terhadap x. Akan tetapi persamaan tersebut tidak didefinisikan dengan baik dalam pengertian minimum dan kendala juga tidak jelas jika dipertimbangkan untuk mengambil keputusan x sebelum mengetahui realisasi ω. Oleh karena itu, diperlukan proses revisi model yang dikenal dengan istilah deterministic equivalents. Proses pembentukan model analog dengan program stokastik linier rekursif. Prosesnya sebagai berikut: + g i x, ω = 0 jika g i x, ω 0 g i x, ω yang lainnya Kendala i dilanggar jika dan hanya jika g i x, ω > 0 untuk keputusan x yang diberikan dan realisasi ω dari W. Akan tetapi untuk setiap kendala disediakan sebuah rekursif atau aktivitas tahap kedua yakni y i ω sehingga setelah mengamati realisasi ω, dipilih semacam pengganti kerugian akibat pelanggaran

9 kendala jika ada yang memenuhi g i x, ω y i ω 0. Usaha tersebut mengakibatkan biaya tambahan atau penalty q i untuk setiap unit. Biaya tambahan ini disebut fungsi rekursif dihitung sebagai berikut: Q x, ω = min y m + i= q i y i ω g i x, ω, i =, 2,, m, yang menghasilkan total biaya pada tahap pertama dan biaya rekursif: f 0 x, ω = g 0 x, ω + Q x, ω Dalam kasus terapan, pengambil keputusan yang akan meminimumkan total biaya harapan (tahap pertama dan biaya rekursif) cukup mempertimbangkan persamaan ekuivalen deterministik program stokastik dua tahap berikut: Minimum E[f 0 x, ω ] = Minimum E[{g 0 x, ω + Q x, ω }] Masalah dua tahap di atas dapat diperluas menjadi model program stokastik multi tahap. 2.6.3. Model Program Stokastik Rekursif Multi ahap Model program stokastik tidak terbatas hanya pada formulasi dua tahap. Dalam kenyataan pengamatan sering dilakukan dalam banyak tahapan. Hal ini memungkinkan pengamatan dilakukan untuk tahap yang berbeda. Istilah tahap menginterpretasikan periode waktu. Program stokastik menggunakan pohon skenario untuk menyatakan kejadian yang mungkin di masa akan datang. Program stokastik efektif digunakan untuk menyelesaikan model umum dengan mempertimbangkan biaya transaksi.

20 Pengamatan dilakukan terhadap masalah stokastik dengan tahap yang berbeda terdapat di dalam sekumpulan informasi {A t } t= dan A t A t A t. Andaikan vektor random Ω = Ω xω 2 x xω. Pengembangan model program stokastik rekursif multi tahap diformulasikan sebagai berikut: Minimum f y 0 + E min q y, ω + E[min q y, ω ] Kendala ω y 0 + W ω y = ω, ω y + W ω y = ω y 0 R + m 0 Keputusan optimal yang diambil pada tahap t yaitu x t bergantung pada keputusan pada tahap sebelumnya dan realisasi pengamatan dilakukan sampai tahap t. Fungsi biaya pada stage t adalah: Q t x 0, x,, x, ω,, ω = min {q x g (x 0, x,, x, ω,, ω ) 0} Jadi, total biaya untuk multi-tahap f 0 x 0, ω,, ω = g 0 x 0 + t= Q t x 0, x,, x t, ω,, ω menghasilkan persamaan deterministik ekuivalen yang menggambarkan keputusan dinamik untuk masalah program stokastik rekursif multi-tahap adalah: Minimum g 0 x 0 + t= E[Q t x 0, x,, x t, ω,, ω ].

2 2.7. Fungsi Utilitis Fungsi utilitis merupakan ukuran integrasi nilai terhadap kemungkinan. Menurut teori utilitis Bernouli (738) dan Von Neumann dan Morgenstern (944), ketidakpastian dihubungkan dengan nilai rata-rata. Konsep ini umumnya diterima dalam bidang keuangan. Investor menilai kuantitas ketidakpastian berdasarkan fungsi utilitis dan maksimum utilitis harapan. Fungsi utilitis Von Neumann dan Morgenstern dari seorang investor penghindar resiko adalah fungsi konkaf. Maksimum utilitis harapan didefenisikan sebagai berikut: Max Eu[R x] untuk x 0 dengan u(w) adalah fungsi utilitis konkaf. Fungsi utilitis dimaksimumkan pada akhir periode dan kekayaan di akhir periode adalah W = R x. Misalkan u W = e ( λw) (fungsi utilitis dengan resiko λ) dan diasumsikan aset berdistribusi normal multivariat (R = N r, dengani r sebagai vektor mean return dan matriks kovarians). Dengan menggunakan transformasi eksponensial maka diperoleh E e ( λw) (λew λ2 = e 2 var W ). Fungsi utilitis Von Neumann dan Morgenstern u(w) merupakan representasi perilaku investor terhadap resiko. Menurut Arrow (97) dan Pratt (964) koefisien resiko absolut dan relatif adalah: ARA W = u W u W dan RRA W = W u W u W Lemma 2.7. Untuk suatu waktu perencanaan t dari sebuah investasi I berdistribusi normal dengan mean μ dan standard deviasi ς. Andaikan U adalah fungsi utilitas eksponensial negatif dengan koefisien resiko λ > 0: U W = e ( λw). Andaikan w 0 adalah kekayaan investor di awal periode. Maka kekayaan harapan w t di akhir periode adalah E U W t = e λw 0(+μ 2 λw 0σ 2).

22 Bukti: Untuk investasi I berdistribusi normal dengan mean μ dan standar deviasi ς selama waktu t dan kekayaan awal W 0, nilai akhir W t adalah variabel acak berdistribusi normal: E U W t = U( W t = W 0 ςx + + μ dengan X~N[0,] = e λw 0 Substitusi y = x + λw 0 ς W 0 ςx + + μ ) 2π e x 2 2 dx ςx ++μ = e λw 0 +μ 2π e x 2 = e λw 0 +μ 2π e 2 dx 2π e = e λw 0 +μ + 2 λ2 W 0 2 ς 2 x 2 2 λw 0ςx dx 2 x+λw 0ς 2 + 2 λ2 W 0 2 ς 2 dx 2π e 2 x+λw 0ς 2 = e λw 0 +μ + 2 λ2 2 W 0 ς 2 e 2 y 2 dy 2π dx = e λw 0(+μ 2 λw 0ς 2 ) Dalam melakukan investasi perlu diperhatikan efisiensi aset pada portfolio. eorema 2.7. Andaikan I dan I 2 adalah dua investasi dengan return berdistribusi normal sepanjang waktu t dengan mean return μ dan μ 2 dan standard deviasi dari return adalah ς dan ς 2 dengan kekayaan awal W 0 untuk kedua kelas investasi. Maka I lebi efisien daripada I 2 jika dan hanya jika: μ μ 2 dan ς ς 2

23 Bukti: Untuk investasi I berdistribusi normal dengan mean μ dan standar deviasi ς selama waktu t dan kekayaan awal W 0, nilai akhir W t adalah variabel acak berdistribusi normal: W t = W 0 ςx + + μ dengan X~N[0,] Untuk fungsi utilitis yang didefenisikan sebagai berikut: u μ, ς = E U W t = U(W 0 (ςx + + μ)) Pembuktiannya dilakukan dengan menunjukkan bahwa u ς > 0. μ 2π e 2 x 2 dx > 0 dan u ς < 0 untuk u μ = U W 0 ςx + + μ W 0 2π e 2 x 2 dx > 0 karena U > 0 u ς = U W 0 ςx + + μ W 0 x 2π e 2 x 2 dx 0 = U W 0 ςx + + μ W 0 x + U W 0 ςx + + μ W 0 x 0 2π e 2 x 2 dx 2π e 2 x 2 dx = U W 0 ς x + + μ W 0 x 0 + U W 0 ςx + + μ W 0 x 0 2π e 2 x 2 dx 2π e 2 x 2 dx = [U W 0 ςx + + μ U W 0 ςx + + μ W 0 x] 0 2π e 2 x 2 dx

24 U < 0, sehingga U adalah fungsi menurun maka jika a > b diperoleh U a U b < 0. Akibatnya untuk setiap μ > 0 dan ς > 0 maka nilai dalam kurung menjadi negatif dan jika integralnya bernilai negatif maka kita telah memperoleh hasilnya. abel 2.7.: Fungsi Utilitis yang umumnya digunakan (HARA) Jenis Fungsi ARA RRA Eksponensial u W = e ( λw) λ λw Kuadrat u W = W γ, γ > γ γ W Logaritma u W = log (α + W) (α + W) γ α (α + W)