BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Energi-diri sebuah elektron adalah energi total elektron tersebut di dalam ruang bebas ketika terisolasi dari partikel-partikel lain (Majumdar dan Gupta, 1947). Pada perkembangannya, permasalahan energi-diri elektron telah ditinjau dalam beragam kondisi, seperti: elektrodinamika klasik, era elektrodinamika kuantum, dan di dalam ruang-waktu melengkung. Pada masa elektrodiamika klasik, energi-diri elektron ditinjau dengan menganggap elektron sebagai objek yang memiliki ukuran, bukan muatan titik. Contoh yang paling sederhana adalah model Abraham-Lorentz. Menurut model ini, elektron dipandang sebagai bola pejal dengan muatan tersebar secara merata (Jackson, 1999). Kehadiran elektrodinamika kuantum memberi arti penting bagi perkembangan kajian energi-diri. Dengan teknik regularisasi dan renormalisasi, permasalahan divergensi energi-diri muatan bak-titik, sebagai contoh: elektron, dapat diselesaikan hingga diperoleh nilai yang berhingga (Peskin dan Schroeder, 1995). Beruntungnya, hasil ini dapat dibawa ke tataran klasik melalui asas korespondensi sebagai limit nilai kuantumnya (Vilenkin dan Fomin, 1974). Pada tataran klasik, permasalahan energi-diri semakin rumit ketika partikel uji berada dalam ruang-waktu melengkung. Hal ini disebabkan oleh struktur geometrinya tidak sesederhana sebagaimana ruang-waktu Minkowski. Sebagai contoh, metrik ruang-waktu yang diberikan oleh lubang hitam statik bermuatan (Nordström, 1918). Pada kasus ini, ruang-waktu tidak lagi vakum, tetapi berisikan medan-medan elektromagnetik. Akibatnya, kelengkungan ruang-waktu ikut dipengaruhi oleh kehadiran medan-medan tersebut. Permasalahan energi-diri semakin menarik ketika orang meninjau energi-diri dalam ruang-waktu melengkung statik berdimensi tinggi. Di dalam ruang-waktu ini, medan-medan di sekitar sumber bak-titik akan lebih kuat jika dibandingkan dengan ruang-waktu statik berdimensi empat. Dengan demikian, diharapkan kegayutan bagian divergen energi-diri klasik pada sumber akan semakin kuat. Sayangnya, harapan ini tidak sepenuhnya berlaku. Energi-diri sumber bak-titik lenyap di dalam ruangwaktu berdimensi genap (Frolov dan Zelnikov, 2012c). Dalam penelitian ini, mereka 1
2 meninjau muatan skalar (kuantisasi medan skalar) sebagai sumber dan menggunakan teknik fungsi Green untuk menghitung energi-diri muatan tersebut. Simetri fungsi Green yang mereka gunakan adalah bersimetri bola sebagaimana yang telah mereka peroleh dalam penelitian sebelumnya (Frolov dan Zelnikov, 2012b). Dalam penelitian ini, mereka memperoleh fungsi Green bentuk tertutup yang bernilai tak berhingga. Divergensi ini kemudian diregularisasi dengan metode pisah-titik (Lihat subbab 2.3). Hasil ini kemudian dapat digunakan untuk menghitung energi-diri muatan dan mengoreksi massanya. Di dalam teori relativitas umum, ruang-waktu statik adalah kasus khusus bagi ruang-waktu stasioner. Oleh sebab itu, penyelesaian persamaan medan Einstein untuk ruang-waktu stasioner (sebagai contoh: lubang hitam berotasi (Kerr, 1963), lubang hitam berotasi dan bermuatan (Newman dkk., 1965)) akan lebih rumit dibandingkan kasus statik. Tidak hanya itu, karakter ruang-waktu yang dibentuk pun menunjukkan perilaku yang sangat berbeda, seperti: simetri, letak singularitas, keberadaan permukaan ergo, dan lain-lain (Padmanabhan, 2010). Dalam kajian astrofisika, lubang hitam Kerr lebih memungkinkan untuk ada (hadir) di alam semesta. Hal ini karena:(1)lubang hitam bermuatan akan segera ternetralkan oleh interaksi dengan materi (Carol, 2004), (2) mekanisme pembentukan bintang yang melibatkan rotasi. Dengan demikian, ini akan menjadi lebih menarik jika perilaku energi-diri dapat dilihat pada ruang-waktu dimensi lebih besar atau sama dengan empat, khususnya ruang-waktu yang dibentuk oleh lubang hitam Kerr berdimensi empat dan lima. 1.2 Rumusan Masalah Rumusan masalah dalam penelitian ini adalah 1. Bagaimanakah persamaan fungsi Green bagi medan skalar bermuatan di sekitar lubang hitam Kerr berdimensi empat dan lima? 2. Bagaimanakah perilaku energi-diri medan skalar bermuatan di sekitar lubang hitam Kerr bedimensi empat dan lima? 1.3 Batasan Masalah berikut Dalam rangka memfokuskan tema riset, penelitian ini dibatasi pada hal-hal
3 1. Konstanta kosmologis Λ = 0. 2. Sumber adalah medan skalar bermuatan bak-titik, statis, dan terletak di luar ufuk peristiwa. 3. Teknik regularisasi yang digunakan adalah metode pisah-titik. 1.4 Tujuan Penelitian Berdasarkan rumusan masalah di atas maka tujuan penelitian ini adalah sebagai berikut 1. Mencari fungsi Green bagi medan skalar bermuatan bak-titik di sekitar lubang hitam Kerr berdimensi empat dan lima. 2. Mengamati perilaku energi-diri medan skalar bermuatan di sekitar lubang hitam Kerr berdimensi empat. 3. Mengamati kemungkinan penerapan metode pemisahan variabel dalam menghitung fungsi Green dan energi-diri begi medan skalar bermuatan berdimensi lima. 1.5 Manfaat Penelitian Manfaat utama dalam penelitian ini adalah bahwa hasil-hasil yang diperoleh dapat dikembangkan dalam teori dawai (string theory) dan gravitasi kuantum (quantum gravity). Hasil-hasil yang dimaksud adalah 1. Fungsi Green bagi medan skalar bermuatan bak-titik di sekitar lubang hitam Kerr berdimensi empat dan lima. 2. Perilaku energi-diri dan koreksi massa medan skalar bermuatan bak-titik di sekitar lubang hitam Kerr berdimensi empat dan lima. 1.6 Keaslian Tesis Berdasarkan pelacakan literatur di berbagai sumber, seperti proceeding atau jurnal ilmiah, belum pernah ditemukan penelitian sejenis.
4 1.7 Tinjauan Pustaka Salah satu model elektron paling sederhana dalam rangka menyelesaikan permasalahan energi-diri adalah elektron dipandang sebagai bola pejal dengan elemenelemennya berinteraksi elektromagnetik ((Abraham, 1902) dan (Lorentz, 1904)). Dalam model ini, seluruh massa elektron pada mulanya adalah massa elektromagnetik. Namun, model ini memiliki masalah karena tidak stabil oleh kemunculan faktor 4/3. Untuk mengatasi hal tersebut, diperkenalkanlah gaya non-elektromagnetik (Poincaré, 1905). Model ini kemudian dikenal sebagai model Abraham-Lorentz-Poincaré (Rohrlich, 2007). Pada perkembangannya, Laue (1921) merumuskan teorema bahwa elektron yang memiliki ukuran ruang (spatially extended) harus selalu menyertakan gaya non-elektromagnetik. Dirac (1938) menyatakan bahwa model elektron Abraham-Lorentz-Poincaré memiliki kesalahan oleh setidaknya dua alasan berikut: (1) neutron tidak mungkin memiliki massa elektromagnetis. (2)teori positron menyatakan bahwa massa positif dan negatif elektron memainkan peran simetri. Untuk mengatasi kesalahan-kesalahan tersebut, Dirac mengusulkan model elektron bak-titik. Kelemahan model ini adalah kemunculan masalah divergensi yang disebabkan oleh asumsi elektron memiliki bentuk bak-titik. Dalam elektrodinamika kuantum, pendekatan elektron bak-titik tetap dipertahankan. Energi-diri diperoleh dari interaksi elektron dengan foton pancarannya sendiri (medan elektromagnetik-diri). Dalam diagram Feynman, fenomena ini digambarkan oleh adanya looping pada kaki-kaki diagram (Peskin dan Schroeder, 1995). Hasilnya adalah energi-diri bernilai tak hingga. Untuk mengatasi masalah divergensi ini digunakanlah teknik regularisasi, seperti: regularisasi Pauli-Villars, dimensional, dan lain-lain. Teknik-teknik regularisasi tersebut kemudian dikembangkan dalam rangka mengatasi masalah divergensi dalam kajian-kajian teori medan kuantum di dalam ruangwaktu melengkung, misalnya teknik fungsi-ζ (Hawking, 1977) dan metode pisahtitik (point-splitting) (DeWitt, 1975). Moretti (1999) menunjukkan bahwa kedua metode tersebut memberikan hasil yang sama. Teknik regularisasi pisah-titik kemudian diadopsi oleh Frolov dan Zelnikov (2012) untuk menghitung energi-diri muatan skalar bak-titik di sekitar lubang hitam statik berdimensi tinggi secara klasik. Mereka menunjukkan bahwa energi-diri muatan skalar di dalam ruang-waktu tersebut mengalami anomali, yakni lenyap untuk
5 dimensi genap. Pendekatan mereka didasarkan pada perolehan Linet (2005) mengenai penyelesaian dalam bentuk tertutup (closed form) bagi medan partikel bak-titik di sekitar lubang hitam Reissner-Nordström ekstrim berdimensi tinggi. Melalui penyelesaian Linet, mereka meninjau kasus untuk lubang hitam Reissner-Nordström bermetrik isotropik. Penyelesaian Linet ini kemudian diterapkan juga pada kasus ruang-waktu Majumdar-Papapetrou berdimensi tinggi, yang diperoleh Myers (1987). Dalam rangka menenemukan penyelesaian bentuk tertutup bagi medan-medan partikel bak-titik tersebut, Linet (2005) mengacu pada metrik yang dikembangkan oleh Myers dan Perry (1986). Myers dan Perry memberikan perumuman bagi lubang hitam statik (Schwarzchild dan Reissner-Nordström) dan lubang hitam rotasional tak bermuatan (Kerr) pada ruang-waktu dimensi tinggi. Hasilnya adalah bahwa elemen-elemen metrik bagian waktu dan "jarak radial" sangat bergantung pada dimensi ruang-waktu. Selain itu, mereka juga memperoleh bahwa dimensi-dimensi tambahan hanya bergantung pada "jarak radial" dan sudut-sudut. Teukolsky (1973) memberikan perumusan umum bagi persamaan-persamaan medan gravitasional, elektromagnetik, dan neutrino di sekitar lubang hitam Kerr berdimensi empat. Ia menunjukkan bahwa jika tidak ada sumber, persamaan tersebut dapat dipisah variabel. Hasil-hasil yang telah diperoleh di atas akan digunakan oleh penulis untuk menghitung energi-diri medan skalar bermuatan di sekitar lubang hitam Kerr berdimensi empat dan lima. Prosedur yang akan digunakan mengikuti model yang dikembangkan oleh Frolov dan Zelnikov (2012c). 1.8 Metode Penelitian Penelitian ini menggunakan kajian literatur dan telah fisika teoretik. 1.9 Sistematika Penelitian Penelitian ini dilakukan dengan sistematika berikut. Pada bagian pertama, peneliti akan merumuskan fungsi Green G sebagai penyelesaian bagi persamaan medan skalar bermuatan di sekitar lubang hitam Kerr sebarang dimensi. Hasil yang diharapkan adalah divergen karena medan sumber (medan skalar bermuatan) adalah bak-titik. Pada bagian kedua, peneliti akan menghitung fungsi Green divergen G div berdasarkan ekspansi Schwinger-DeWitt standar, baik untuk dimensi empat maupun li-
6 ma. Fungsi Green teregularisasi G reg didefiniskan sebagai selisih G dari G div. Pada bagian ketiga, energi-diri masing-masing dimensi dihitung dengan memanfaatkan fungsi Green teregularisasi. Dari hasil-hasil ini akan diamati perilaku energi-diri dan koreksi massa pada masing-masing dimensi tersebut.