Metode Statistika STK211/ 3(2-3)

Metode Statistika STK211/ 3(2-3) Pertemuan V Peubah Acak dan Sebaran Peubah Acak Septian Rahardiantoro - STK IPB 1

Pertemuan minggu lalu kita sudah belajar mengenai cara untuk membuat daftar kemungkinan-kemungkinan dari suatu percobaan, serta menghitung peluang seberapa besar kemungkinan tersebut terjadi Sehingga, bagaimana jika setiap kemungkinan yang dapat terjadi pada suatu kejadian ingin diketahui peluangnya terjadinya? Perlu adanya pemetaan dari ruang kejadian tersebut ke ruang bilangan real PEUBAH ACAK RANDOM VARIABLE Septian Rahardiantoro - STK IPB 2

Peubah Acak Peubah acak merupakan suatu fungsi yang memetakan ruang kejadian (daerah fungsi) ke ruang bilangan riil (wilayah fungsi). Fungsi peubah acak merupakan suatu langkah dalam statistika untuk mengkuantifikasikan kejadian-kejadian alam. Pendefinisian fungsi peubah acak harus mampu memetakan SETIAP KEJADIAN DALAM RUANG CONTOH dengan TEPAT ke SATU BILANGAN bilangan riil. Septian Rahardiantoro - STK IPB 3

Ilustrasi 1 Percobaan: Pelemparan 2 koin setimbang yang saling bebas Ruang Contoh: S = { AA, AG, GA, GG} Kejadian A: Munculnya sisi Gambar Ruang Kejadian: A = {AG, GA, GG} Misalkan X = munculnya sisi gambar Kemungkinan dari X = {0, 1} Peubah Acak Misalkan Y = banyak munculnya sisi gambar Kemungkinan dari Y = {0, 1, 2} Pemetaan fungsi X AA AG GA GG 0 1 Pemetaan fungsi Y AA AG GA GG Septian Rahardiantoro - STK IPB 4 0 1 2

Tipe Peubah Acak Peubah Acak Diskret Segugus nilai dari suatu peubah acak yang dapat dicacah (countable) Misalkan X = banyaknya tendangan penalti yang berhasil dilakukan oleh pemain A Peubah Acak Kontinu Nilai-nilai dari peubah acak tersebut tidak dapat dicacah (uncountable) Nilai dalam peubah acak tersebut berupa selang interval Misalkan X = tinggi badan (cm) Septian Rahardiantoro - STK IPB 5

Karakteristik Peubah Acak Nilai Harapan Nilai harapan dari peubah acak pemusatan dari nilai peubah acak jika percobaannya dilakukan secara berulang-ulang sampai tak berhingga kali (dalam jangka waktu yang panjang). E(X) = x x xp x ; x diskret xf x ; x kontinu Sifat E(X): 1. E c = c ; c = konstanta 2. E cx = ce X 3. E X ± Y = E(X) ± E(Y) Ragam Ragam dari peubah acak X, didefinisikan sebagai: Var X = E X E(X) 2 = E X 2 [E(X)] 2 Sifat Var(X): 1. Var c = 0 ; c = konstanta 2. Var cx = c 2 Var X 3. Var X ± Y = Var X + Var Y ± Cov X, Y Dengan Cov X, Y = E X E(X) E Y E(Y) Jika p.a X dan Y saling bebas, maka Cov X, Y = 0 Var X ± Y = Var X + Var Y Septian Rahardiantoro - STK IPB 6

Peubah Acak Diskret Misalkan X adalah suatu peubah acak diskret Fungsi peluang dari peubah acak diskret menampilkan nilai dan peluang dari peubah acak tersebut Jumlah total nilai peluang dari semua kemungkinan nilai peubah acak tersebut sama dengan 1 Peluang dari sembarang kejadian dapat dibentuk dengan menambahkan peluang dari kejadian-kejadian yang membentuk sembarang kejadian tersebut Sebaran Peluang Peubah Acak X tergantung dari sebaran peluang kejadiannya. Septian Rahardiantoro - STK IPB 7

Ilustrasi 2 Berdasarkan ilustrasi 1 Misalkan X = munculnya sisi gambar Kemungkinan dari X = {0, 1} Sebaran peluang dari peubah acak X Kemungkinan AA GA AG GG x Peluang 1/4 1/4 1/4 1/4 X 0 1 1 1 P(x) 0 P(X=0) = P(AA) = 1/4 1 P(X=1) = P(GA)+P(AG)+P(GG) = 3/4 Sehingga, sebaran peluang peubah acak X x P(x) 0 1/4 1 3/4 Misalkan Y = banyak munculnya sisi gambar Kemungkinan dari Y = {0, 1, 2} Sebaran peluang dari peubah acak Y Kemungkinan AA GA AG GG y Peluang 1/4 1/4 1/4 1/4 Y 0 1 1 2 P(y) 0 P(Y=0) = P(AA) = 1/4 1 P(Y=1) = P(GA)+P(AG) = 2/4 2 P(Y=2) = P(GG) = 1/4 Sehingga, sebaran peluang peubah acak Y Septian Rahardiantoro - STK IPB 8 y P(Y) 0 1/4 1 2/4 2 1/4

Latihan 1 Pada suatu perusahaan produksi pulpen, diketahui dari 10 pulpen yang diproduksi terdapat 2 pulpen yang tidak memenuhi standar. Jika diambil secara acak sebanyak 2 pulpen dari proses produksi, dan peubah acak X menyatakan banyaknya pulpen baik yang terambil, tentukan sebaran peubah acak X X = banyaknya pulpen baik yang terambil X = {0, 1, 2} x P(x) 0 P(X=0) = P(TT) = 1 P(X=1) = P(TB) = 2 P(X=2) = P(BB) = 2 8 2 0 10 2 2 8 1 1 10 2 2 8 0 2 10 2 = 1 45 = 16 45 = 28 45 Septian Rahardiantoro - STK IPB 9

Latihan 2 Diketahui dalam suatu kotak terdapat 2 bola kuning dan 4 bola hijau. Jika diambil 3 bola secara acak, dan peubah acak X didefinisikan sebagai banyaknya bola kuning yang terambil, tentukan sebaran peluang peubah acak X Untuk latihan mandiri Septian Rahardiantoro - STK IPB 10

Karakteristik Peubah Acak Diskret Nilai Harapan Misalkan X p.a diskret, maka E(X) E X = xp(x) x Ragam Misalkan X p.a diskret, maka Var(X) Var X = E X 2 [E(X)] 2 Dengan E X 2 = x 2 p(x) x Contoh Misalkan diketahui p.a diskret X dengan sebaran peluang x P(X) 0 1/8 2 4/8 4 3/8 E X = xp(x) x = 0 + 1 + 12/8 = 5/2 E X 2 = x 2 p(x) x = 0 + 2 + 6 = 8 Var X = E X 2 [E(X)] 2 = 8 25/4 = 7/4 E 2X 1 = 2E X 1 = 4 Var 2X 1 = 4Var X = 7 Septian Rahardiantoro - STK IPB 11

Latihan 3 Pada Latihan 1 dan Latihan 2, tentukanlah: a. E(X) dan Var(X) b. Jika Y = 2X + 6, tentukan E(Y) dan Var(Y) Untuk latihan mandiri Septian Rahardiantoro - STK IPB 12

Beberapa Sebaran Peluang Diskret Sebaran Peluang Bernoulli Kejadian yang diamati merupakan kejadian biner yaitu sukses atau gagal Peubah acaknya (X) bernilai 1 jika kejadian sukses dan 0 jika kejadian gagal Misal, p = P(sukses), maka fungsi peluang p.a X ~ Bernoulli(p) P X = x = p x 1 p 1 x ; x = 0,1 E X = p Var X = p(1 p) Akan melakukan lemparan bebas. Jika peluang bola tersebut masuk ring sebesar 80% maka peluang bola tidak masuk ring adalah 20% Akan melakukan tendangan pinalti. Jika peluang bola masuk sebesar 95% maka peluang bola tidak masuk sebesar 5%. Septian Rahardiantoro - STK IPB 13

Sebaran Peluang Binomial Terdiri dari n kejadian Bernoulli yang saling bebas Peubah acak Binomial merupakan jumlah dari kejadian sukses, X=0,1,2,.,n Misal, p=p(sukses), maka fungsi peluang p.a X ~ Binomial(n, p) n P X = x = x px 1 p n x ; x = 0,1,2, E X = np Var X = np(1 p) X = banyaknya lemparan bebas yang sukses dari 3 lemparan S S S x = 3 P(X = 3) = 3 3 p3 1 p 3 3 G S S S G S S S G G G S G S G S G G x = 2 P(X = 2) = 3 2 p2 1 p 3 2 x = 1 P(X = 1) = 3 1 p1 1 p 3 1 G G G x = 0 P(X = 0) = 3 0 p0 1 p 3 0 Rata-rata sukses melakukan lemparan E(X) = np = 3p Septian Rahardiantoro - STK IPB 14

Sebaran Peluang Poisson Peubah acak yang menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada suatu interval waktu tertentu atau di suatu daerah tertentu Peubah acak X disebut menyebar poisson dengan parameter μ jika X ~ Poisson( μ ) dengan P X = x = e μ μ x ; x = 0,1,2, x! E X = μ Var X = μ Contoh: Banyaknya kecelakaan lalulintas yang terjadi di persimpangan jalan dalam waktu satu minggu Banyaknya gempa bumi di Jawa Barat yang terjadi dalam waktu satu tahun Banyaknya orang yang terserang flu burung di suatu tempat pada jangka waktu satu tahun Septian Rahardiantoro - STK IPB 15

Latihan 4 Peluang turun hujan per hari diketahui p = 0,6. Jika pengamatan dilakukan dalam satu minggu, hitunglah: a. Berapa peluang tidak turun hujan dalam satu minggu? b. Berapa peluang paling sedikit turun hujan satu hari dalam satu minggu? Misalkan p.a X = banyaknya hari turun hujan dalam seminggu X ~ binomial(n = 7, p = 0.6) 7 a. P(X = 0) = 0 0.60 1 0.6 7 0 = 0.4 7 b. P(X 1) = 1 P(X < 1) = 1 P(X = 0) = 1 0.4 7 Septian Rahardiantoro - STK IPB 16

Peubah Acak Kontinu Misalkan X adalah suatu peubah acak kontinu Fungsi peluang dari peubah acak kontinu merupakan fungsi kepekatan peluang Integral fungsi kepekatan peluang dari semua kemungkinan nilai sama dengan 1 Peluang dari suatu selang nilai dapat dibentuk dengan mengintegralkan fungsi kepekatan peluang dalam selang nilai tersebut Beberapa Sebaran Peluang Kontinu Seragam Normal Weibull Gamma Beta Septian Rahardiantoro - STK IPB 17

Sebaran Seragam Peubah acak yang mempunyai peluang yang sama di titik-titik tertentu pada suatu selang [a, b] Peubah acak X disebut menyebar seragam pada interval [a, b]; b > a jika X ~ Seragam(a, b) dengan E X f x = 1 ; a x b b a a + b = Var X = 2 (b a)2 Contoh: Kejadian kedatangan seseorang secara acak di stasiun untuk naik kereta pada waktu tertentu Kejadian kedatangan seseorang pada satu jam sebelum kuliah dimulai 12 Septian Rahardiantoro - STK IPB 18

Sebaran Normal Bentuk sebaran simetri, sehingga mean = median = modus Merupakan sebaran dasar dalam pengembangan alat analisis statistika (dengan mengasumsikan data menyebar normal) Peubah acak X disebut menyebar normal dengan nilai harapan μ dan ragam σ 2 jika X ~ N(μ, σ 2 ) dengan Contoh: Tinggi badan Berat badan f x = 1 1 x μ 2 2πσ e 2 σ ; x E X = μ Var X = σ 2 Septian Rahardiantoro - STK IPB 19

Karakteristik Peubah Acak Kontinu Nilai Harapan Misalkan X p.a kontinu, maka E(X) E X = xf(x) x Ragam Misalkan X p.a kontinu, maka Var(X) Var X = E X 2 [E(X)] 2 Dengan E X 2 = x 2 f(x) x Septian Rahardiantoro - STK IPB 20

Spesial: Sebaran Normal Setiap peubah acak normal memiliki karakteristik yang berbedabeda(tergantung dari nilai μ dan σ 2 perhitungan peluang akan sulit Lakukan transformasi dari X ~ N(, 2 ) menjadi peubah acak normal baku Z~N(0,1) dengan menggunakan fungsi transformasi Z = X μ σ Distribusi peluang dari peubah acak normal baku Z N(0,1) sudah tersedia dalam bentuk tabel peluang normal baku -1 +1 z 0 Septian Rahardiantoro - STK IPB 21

Cara Penggunaan Tabel Normal Baku Nilai z, disajikan pada kolom pertama (nilai z sampai desimal pertama) dan baris pertama (nilai z desimal kedua) Nilai peluang didalam tabel normal baku adalah peluang peubah acak Z kurang dari nilai z P(Z < z). P(Z < -0.52) = 0.3015 P(Z < -3.11) = 0.0009 Septian Rahardiantoro - STK IPB 22

Latihan 5 Untuk membantu korban bencana sebuah lembaga sosial berinisiatif mengumpulkan dana dari para donatur. Jumlah sumbangan setiap donatur diketahui menyebar normal dengan rata-rata 120 ribu dan simpangan baku 80 ribu. 1. Berapa persen sumbangan 150 ribu sampai 200 ribu rupiah 2. Jika pemerintah berencana memberikan penghargaan kepada para donatur dengan sumbangan 5% tertinggi, berapa minimum sumbangan yang mendapatkan penghargaan Misalkan p.a X = besarnya sumbangan setiap donatur (dalam ribuan) X ~ N(μ = 120, σ = 80) 1. P(150 X 200) = P(3/8< Z < 1) = P(Z < 1) P(Z < 3/8) = 0.8413 0.6480 = 0.1933 2. P(Z > z) = 0.05 P(Z < z) = 0.95 z = 1.645 Sehingga X = μ + σz = 120 + 80(1.645) = 251.6 Septian Rahardiantoro - STK IPB 23

Latihan 6 Curah hujan dikota Bogor diketahui menyebar normal dengan rata-rata tingkat curah hujan 25 mm dan ragam 25 mm 2. Hitunglah, 1. Curah hujan di kota Bogor kurang dari 15 mm? 2. Curah hujan di kota Bogor antara 10 mm sampai 20 mm? 3. Curah hujan di kota Bogor di atas 40 mm? 4. Jika dikatakan Bogor mempunyai peluang 10% curah hujan tertinggi, berapa batas curah hujan tersebut! Untuk latihan mandiri Septian Rahardiantoro - STK IPB 24

Thank you, see you next week Septian Rahardiantoro - STK IPB 25