MATRIKS KOVARIANSI DEKOMPOSISI DALAM MODEL GRAF GAUSS TAK BERARAH TESIS Oleh DEWI SURYANI HANUM NASUTION 117021014/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013
MATRIKS KOVARIANSI DEKOMPOSISI DALAM MODEL GRAF GAUSS TAK BERARAH TESIS Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Oleh DEWI SURYANI HANUM NASUTION 117021014/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013
Judul Tesis : MATRIKS KOVARIANSI DEKOMPOSISI DALAM MODEL GRAF GAUSS TAK BERARAH Nama Mahasiswa : Dewi Suryani Hanum Nasution Nomor Pokok : 117021014 Program Studi : Matematika Menyetujui, Komisi Pembimbing (Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc) Ketua (Prof. Dr. Tulus, M.Si) Anggota Ketua Program Studi, Dekan, (Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc) Tanggal lulus: 5 Juni 2013
Telah diuji pada Tanggal 5 Juni 2013 PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc Anggota : 1. Prof. Dr. Tulus, M.Si 2. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc 3. Prof. Dr. Herman Mawengkang
PERNYATAAN MATRIKS KOVARIANSI DEKOMPOSISI DALAM MODEL GRAF GAUSS TAK BERARAH TESIS Dengan ini saya menyatakan bahwa dalam tesis ini tidak terdapat karya yang pernah diajukan untuk memperoleh gelar magister di suatu perguruan tinggi dan sepanjang pengetahuan juga tidak dapat karya atau pendapat yang pernah ditulis atau diterbitkan oleh orang lain, kecuali secara tertulis diacu dalam naskah ini dan disebutkan dalam daftar pustaka. Medan, Penulis, Dewi Suryani Hanum Nasution i
ABSTRAK Suatu graf kovariansi merupakan suatu graf tak berarah dengan adanya suatu distribusi probabilitas multivariat pada vektor acak dimana tiap verteks menunjukkan komponen yang berbeda dari vektor acak. Model graf merupakan kerangka kerja yang digunakan untuk merepresentasikan suatu struktur saling bebas kondisional dengan distribusi dengan menggunakan graf G. Dalam penelitian ini dikaji estimasi distribusi dalam menentukan dekomposisi matriks kovariansi pada model graf Gauss tak berarah yang berkaitan dengan invers kovariansi (matriks konsentrasi). Sehingga diperoleh estimasi dekomposisi kovariansi dengan kompleksitas komputasi yang lebih baik. Hasil penelitian menunjukkan diperolehnya korelasi antar komponen yang berbeda dalam suatu vektor acak yang diberikan yang diperoleh dari hasil penaksiran dekomposisi kovariansi matriks. Kata kunci: Saling bebas kondisional, Dekomposisi kovariansi, Model graf Gauss, Konsentrasi graf. ii
ABSTRACT A covariance graph is an undirected graph associated with a multivariate probability multivariate of a given random vektor where each vertex represents of the different components of the random vector. Graphical models are framework for representing and conditional independence structures within distributions using graph G. This research discusses distribution estimation in determining decomposable covariance matrix in an undirected Gauss graphical model related to sparsity of invers convarince (concentration matrix). It showed decomposable covariance estimation with lower computational complexity. The result showed the correlation each different components in a given random vector that determined from decomposition covariance matrix estimation. Keyword: Conditional independence, Covariance decomposition, Gauss graphical model, Concentration graph. iii
KATA PENGANTAR Syukur Alhamdulillah kehadirat ALLAH SWT, penulis panjatkan atas limpahan Rahmat dan KaruniaNya yang telah diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul: Matriks Kovariansi Dekomposisi Dalam Model Graf Gauss Tak Berarah. Selawat dan salam kepada junjungan Nabi Muhammad SAW beserta keluarga dan sahabat sekalian. Tesis ini merupakan salah satu persyaratan penyelesaian studi pada Program Studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Pada kesempatan yang baik ini, penulis menyampaikan ucapan terima kasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada: Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, MSc(CTM). Sp.A(K) selaku Rektor. Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Studi Magister Matematika di Universitas Sumatera Utara. Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku ketua Program Studi Magister Matematika di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara sekaligus sebagai anggota komisi pembanding yang telah banyak memberikan bantuan dan dorongan dalam penulisan tesis ini hingga selesai. Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku sekretaris Program Studi Magister Matematika di Fakultas MIPA serta selaku ketua komisi iv
pembimbing dalam penulisan tesis ini, atas saran dan bantuan dari beliau hingga penulisan ini dapat diselesaikan. Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku anggota komisi pembimbing yang telah banyak memotivasi dan membimbing dalam penulisan tesis ini. Prof. Dr. Opim Salim Sitompul, M.Sc sebagai anggota komisi pembanding yang telah banyak memberikan saran dan arahan dalam penulisan tesis ini. Seluruh staf pengajar di Program Studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan. Ibu Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam yang telah memberikan pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan. Ucapan terima kasih yang tak terhingga dan penghargaan setinggi-tingginya penulis ucapkan kepada Ibunda tercinta Syamsuarti yang telah mencurahkan kasih sayang dan dukungan kepada penulis. Selain itu, terima kasih juga kepada suami tercinta Banda Satria dan Ananda tersayang Suci Widana serta seluruh keluarga yang telah membantu, memberikan semangat dan dorongan kepada penulis hingga penulisan tesis ini selesai. Tak lupa juga penulis mengucapkan terimakasih kepada Kepala Sekolah dan seluruh guru SMP N 1 Karang Baru yang telah banyak membantu dan memberikan motivasi hingga penulisan ini selesai. Seluruh sahabat serta rekan-rekan seperjuangan mahasiswa angkatan 2011 ganjil atas kebersamaan dan bantuan dalam mengatasi masalah selama perkuliahan berlangsung. Terima kasih juga kepada sahabat dan rekan-rekan lainnya yang tidak v
dapat disebutkan satu persatu, yang telah membantu dan memberikan semangat untuk penulis hingga tesis ini selesai. Akhir kata penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna. Untuk itu penulis mengharapkan kritik dan saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lainnya yang memerlukannya. Medan, Juni 2013 Penulis, Dewi Suryani Hanum Nasution vi
RIWAYAT HIDUP Penulis di lahirkan di Karang Baru Kabupaten Aceh Tamiang Pada tanggal 12 Oktober 1968 dan merupakan anak ke 3 dari 5 bersaudara, dari ayah Palitan Nasution dan ibu syamsuarni. Penulis menamatkan Sekolah dasar SD Negeri No 2 Karang Baru lulus tahun 1981. Sekolah Menengah Pertama (SMP) Negeri 1 Karang Baru lulus tahun 1984. Sekolah Menengah Atas (SMA) Negeri 1 Kuala Simpang lulus Tahun 1987. Pada tahun 1988 penulis melanjutkan pendidikan diploma III di Universitas Abulyatama Banda Aceh pada Fakultas Keguruan dan Ilmu pendidikan (FKIP) Jurusan Matematika dan lulus tahun 1982. Selanjutnya pada tahun 1994 penulis berkesempatan untuk diangkat menjadi pegawai negeri sipil yang bertugas di SMP N 1 Karang Baru Aceh Tamiang sampai sekarang. Penulis melanjutkan pendidikan sarjana di Universitas syiahkuala di Banda Aceh pendidikan Fakultas Matematika dan Ilmu pengetahuan alam (MIPA) jurusan matematika dan lulus pada tahun 1998. Pada tahun 2011 penulis berkesempatan untuk melanjutkan program Master pada program studi Magister Matematika di Medan. vii
DAFTAR ISI Halaman PERNYATAAN ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR RIWAYAT HIDUP DAFTAR ISI i ii iii iv vii viii BAB 1 PENDAHULUAN 1 1.1 Latar belakang 1 1.2 Perumusan Masalah 3 1.3 Tujuan Penelitian 3 1.4 Manfaat Penelitian 3 BAB 2 KAJIAN PUSTAKA DAN LANDASAN TEORI 4 2.1 Graf Tak Berarah 4 2.2 Distribusi Gauss 7 2.3 Model Graf Gauss Tak Berarah 15 2.4 Kovariansi Dekomposisi dalam Graf 16 BAB 3 HASIL DAN PEMBAHASAN 18 3.1 Model Graf Gauss 18 3.2 Matriks Kovariansi Dekomposisi dalam Model Graf Gauss Tak Berarah 21 BAB 4 HASIL PERHITUNGAN 25 4.1 Matriks Dimensi m m 25 viii
4.2 Matriks Dimensi m n 26 BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 28 5.1 Kesimpulan 28 5.2 Saran 28 DAFTAR PUSTAKA 29 ix