CHAPTER 6. INNER PRODUCT SPACE Inner Prodcts Angle and Orthogonality in Inner Prodct Spaces Orthonormal Bases; Gram-Schmidt Process; QR-Decomposition Best Approximation; Least Sqares Orthogonal Matrices; Change of Basis
6.3. Basis Orthogonal Proses Gram-Schmidt; Dekomposisi QR
Basis Orthogonal dan Orthonormal Sat himpnan ektor dalam rang hasil kali dalam disebt himpnan ortogonal jika sema pasangan ektor-ektor yang berbeda dalam himpnan tersebt ortogonal. Sat himpnan ortogonal dimana setiap ektor mempnyai norma disebt orthonormal. Da ektor dan dalam sat hasil kali dalam disebt ortogonal jika, = 0. Himpnan W = {,,, n } adalah ortonormal jika: i, j = < i, j > = 0, jika i j, jika i = j
Basis Orthogonal dan Orthonormal Contoh: Jika = (0,, 0), = (, 0, ), 3 = (, 0, -) dan R 3 mempnyai hasil kali dalam Eclidean, maka himpnan ektorektor S = {,, 3 } adalah ortogonal karena :, = 0.+.0+0. = 0, 3 = 0. +.0 + 0.(-) = 0, 3 =. + 0.0 +.(-) = 0, =, 3 =, 3 = 0.
Matriks Orthogonal Himpnan ortogonal dalam R n Matriks diagonal. Kolom-kolom matriks Q mxn membentk himpnan yang ortonormal jika dan hanya jika Q T Q = I n. Matriks A nxn yang kolom-kolomnya membentk himpnan yang ortonormal disebt matriks ortogonal. Matriks A nxn adalah matriks ortogonal jika dan hanya jika Q - =Q T (ata dengan kata lain Q T Q=QQ T =I n ) Q - =Q T Q T Q = QQ T = I n
Matriks Orthogonal Tnjkkan bahwa matriks berikt merpakan matriks ortogonal:
Normalisasi Vektor tak- nol Jika adalah ektor tak nol dalam sat rang hasil kali dalam, maka mempnyai norma, karena; Proses mengalikan sat ektor tak-nol dengan kebalikan panjangnya ntk mendapatkan sat ektor bernorma disebt menormalkan. Sat himpnan ektor-ektor yang orthogonal bisa selal dibah menjadi sat himpnan ortonormal dengan menormalkan masing-masing ektornya.
Contoh Menormalkan Vektor Tak-Nol Jika = (0,, 0), = (, 0, ), 3 = (, 0, -) Norma Eclidean :,, 3 Normalisasi,, and 3 : (0,,0), (,0, ), 3 3 3 (,0, ) Himpnan S = {,, 3 } orthonormal dimana:
Koordinat Relatif Terhadap Basis Ortogonal Rang Hasil Kali Dalam Basis Ortonormal basis yang berisi ektor-ektor ortonormal Contoh: basis standard ntk R3 dengan hasil kali dalam Eclidean : I = (,0,0); j = (0,,0); k = (0,0,) Basis Orthogonal basis yang terdiri dari ektorektor orthogonal. Secara mm, basis standard hasil kali dalam Eclidean R n : e = (,0,0,.., n); e = (0,,0,,n);.. ; e n = (0,0,0,, )
Koordinat Relatif Terhadap Basis Ortonormal Teorema: Jika S= {,,, n } adalah sat basis ortonormal ntk sat rang hasil kali dalam V, dan adalah sebarang ektor dalam V, maka =, +, + +, n n,,,,,, n koordinat-koordinat dari relatif terhadap basis ortonormal S = {,,, n } () S = (,,,,,, n ) ektor koordinat dari relatif terhadap basis ini.
Contoh Jika = (0,, 0), = (-4/5, 0, 3/5), 3 = (3/5, 0, 4/5), bktikan bahwa S = {,, 3 } adalah sat basis ortonormal ntk R 3 dengan hasil kali dalam Eclidean. Nyatakan ektor = (,, ) sebagai kombinasi linier dari ektor-ektor dalam S dan cari ektor koordinat () s. Jawab:, =,, = -/5,, 3 = 7/5 = /5 + 7/5 3 ortonormal Vektor koordinat relatif terhadap S () s =(,,,,, 3 ) = (, -/5, 7/5)
Basis Orthonormal Jika S adalah sat basis ortonormal ntk sat rang hasil kali dalam berdimensi n dan jika () s = (,,, n ) dan () s = (,,, n ) maka: n n n n n d, ) ( ) ( ) ( ), (
Basis Orthonormal Contoh: Diketahi = (0,, 0), = (-4/5, 0, 3/5), 3 = (3/5, 0, 4/5), dan S = {,, 3 } adalah sat basis ortonormal ntk R 3 dengan hasil kali dalam Eclidean. Vektor = (,, ) merpakan kombinasi linier dari ektor-ektor dalam S dan ektor koordinat () s =(,,,,, 3 ) = (, -/5, 7/5) Maka norma ektor = (,,) adalah : Norma jga bisa dihitng berdasarkan ektor koordinat () s = (, -/5, 7/5)
Kombinasi Linier Vektor dalam Basis Ortogonal S Jika S = {,,, n } adalah sat basis ortogonal ntk sat rang ektor V, maka menormalkan masing-masing ektor ini menghasilkan basis ortonormal: Jika sebarang ektor dari V berlak: ata Rms ini menyatakan sebagai kombinasi linier dari ektorektor dalam basis ortogonal S. n n S,,, ' n n n n,,, n n n,,,
Orthonormal Basis Jika S = {,,, n } adalah sat himpnan ektor-ektor tak nol yang ortogonal dalam sat rang hasil kali dalam, maka S bebas linier
Proyeksi Ortogonal Dalam R ata R 3 dengan hasil kali dalam Eclidean, secara geometris, jika W adalah sat garis ata bidang yang melali titik asal, maka setiap ektor dalam rang tersebt dinyatakan sebagai: = w + w dimana w berada dalam W dan w tegak lrs terhadap W (W ). w proyeksi ortogonal pada W proy w w komponen yang ortogonal terhadap W proy w
Proyeksi Ortogonal w proyeksi ortogonal pada W proy w w komponen yang ortogonal terhadap W proy w Karena w = w = proy w + ( proy w )
Basis Orthonormal Anggap W adalah sat sb-rang berdimensi terhingga dari sat rang hasil kali dalam V. a. Jika {,, r } adalah sat basis orthonormal ntk W dan adalah sebarang ektor dalam V, maka proj w =, +, + +, r r b. Jika {,, r } adalah sat basis ortogonal ntk W dan adalah sebarang ektor dalam V, maka proj,,, r W r r
Contoh Jika R 3 memiliki hasil kali dalam Eclidean, dan anggap W adalah sb rang yang terentang oleh ektor-ektor ortonormal = (0,, 0) dan = (-4/5, 0, 3/5) maka : Proyeksi ortogonal = (,, ) pada W adalah Komponen ortogonal terhadap W adalah:
Basis Ortogonal dan Ortonormal Teori Setiap rang hasil kali dalam tak-nol berdimensi terhingga mempnyai sat basis ortonormal. Proses mengbah sat basis sebarang menjadi sat basis ortonormal disebt Proses Gram-Schmidt
Proses Gram-Schmidt Misal V adalah sebarang rang hasil kali dalam tak-nol berdimensi terhingga, {,,, n } adalah sebarang basis ntk V. Untk menghasilkan sat basis ortogonal {,,, n } ntk V dilakkan proses Gram Schmidt berikt: Langkah : Anggap = Langkah : Hitng ortogonal dengan menghitng komponen yang ortogonal terhadap rang W yang terentang :
Proses Gram-Schmidt Langkah 3 : Ssn ektor 3 yang ortogonal terhadap dan, dengan menghitng komponen yang ortogonal terhadap rang W yang terentang oleh dan. Langkah 4: Untk menentkan ektor 4 yang ortogonal terhadap, dan 3, hitng komponen 4 yang ortogonal terhadap rang W 3 yang terentang oleh, dan 3. Vektor-ektor basis ortogonal dinormalkan basis ortonormal V
Contoh Proses Gram-Schmidt Tinja rang ektor R 3 dengan hasil kali dalam Eclidean. Terapkan proses Gram Schmidt ntk mengbah ektor-ektor basis = (,, ), = (0,, ), 3 = (0, 0, ) Menjadi sat basis ortogonal {,, 3 }; kemdian normalkan ektor basis ortogonal tersebt ntk mendapatkan sat basis ortonormal {q, q, q 3 }. Jawab : Step : Anggap = = = (,, ) Step : Anggap = proj W.
= (,, ), = (0,, ), 3 = (0,0, ) Step 3: Anggap 3 = 3 proj W 3., Jadi = (,, ), = (-/3, /3, /3), 3 = (0, -/, /) membentk sat basis ortogonal ntk R 3. Norma ektor-ektor ini adalah: Sehingga basis ortonormal ntk R 3 adalah:
Dekomposisi QR Jika A adalah sat matriks nxn dengan ektor-ektor kolom yang bebas secara linier, maka A bisa difaktorkan sebagai : A = QR Q matriks m n dengan ektor-ektor kolom yang ortonormal, dimana Q T Q = I R matriks segitiga atas nxn yang dapat dibalik. Jika Q T Q = I, maka : Q T A = Q T QR = IR Q T A = R
Dekomposisi QR
Example : QR-Decomposition of a 3 3 Matrix 0 0 Carilah dekomposisi QR dari A 0 Jawab : Vektor-ektor kolom A adalah: Dengan menerapkan proses Gram-Scmidht dengan rangkaian normalisasi seperti contoh sebelmnya didapat: / 3 / 6 0 q / 3, q / 6, q / Q 3 / 3 / 6 /
R matriks Dekomposisi QR dari A :
6.5. Change of Basis Orthogonal Matrices 0/5/ Elementary Linear Algebra 9
Matriks-matriks Orthogonal Definisi: Sat matriks bjrsangkar A dengan sifat A - = A T Disebt sebagai matriks ortogonal, dimana; AA T = A T A = I 30
Matriks-matriks Orthogonal Matriks adalah matriks ortogonal, karena; AA T = A T A = I Matriks adalah ortogonal dimana terbkti A T A =, maka ektor baris dan ektor kolomnya membentk himpnan ortogonal.
Sifat Dasar Matriks-matriks Orthogonal Teorema: Untk sat matriks A nxn : A ortogonal Vektor-ektor baris dari A membentk sat himpnan ortonormal pada R n dengan hasil kali dalam Eclidean. Vektor-ektor kolom dari A membentk sat himpnan ortonormal pada R n dengan hasil kali dalam Eclidean. Teorema:. Iners dari sat matriks ortogonal adalah ortogonal.. Hasil kali matriks-matriks ortogonal adalah ortogonal. 3. Jika A ortogonal, maka det(a) = ata det(a) = -
Matriks Orthogonal Sebagai Operator Linear Teorema: Jika A adalah matriks nxn, maka pernyataan berikt ekialen: A ortogonal. ntk sema x pada R n. Ax. Ay = x. y ntk sema x dan y pada R n.
Perbahan Basis
Matriks Koordinat Jika S= {,,, n } adalah sat basis ntk sat rang ektor V, maka setiap ektor dalam V dapat dinyatakan sebagai sat kombinasi linear dari ektor-ektor basis: = k + k + + k n n k,k,, k n koordinat relatif terhadap S, dan ektor : s = (k, k, k n ) ektor koordinat relatif terhadap S. Matriks koordinat relatif terhadap S dinyatakan oleh [] s adalah matriks berkran nx yang didefinisikan sebagai: Matriks koordinat relatif terhadap S.
Matriks Koordinat Ortonormal Teorema: Jika S= {,,, n } adalah sat basis ortonormal ntk sat rang hasil kali dalam V, dan adalah sebarang ektor dalam V, maka =, +, + +, n n,,,,,, n koordinat-koordinat dari relatif terhadap basis ortonormal S = {,,, n } () S = (,,,,,, n ) ektor koordinat dari relatif terhadap basis ini. Matriks koordinat relatif terhadap S.
Contoh Matriks Koordinat
Masalah Perbahan Basis Jika kita merbah basis ntk sat rang ektor V dari old basis B to some new basis B, bagaimana matriks koordinat lama [] B dari ektor dikaitkan dengan matriks koordinat bar [] B?
Masalah Perbahan Basis matriks koordinat lama [] B matriks koordinat bar [] B Persamaan ini menyatakan bahwa matriks koordinat lama [] B dihasilkan jika kita mengalikan dari kiri matriks koordinat bar [] B dengan matriks:
Soltion of the Change-of-Basis Problem Jika kita mengbah basis ntk sat rang ektor V dari sat basis lama B = ( b, b,, b n ) menjadi sat basis B = ( b, b,, b n ), maka matriks koordinat lama [] B dari sat ektor dihbngkan dengan matriks koordinat bar [] B dari sat ektor yang sama dengan persamaan: Dimana kolom-kolom dari P adalah matriks matriks koordinat dari ektor-ektor basis bar relatif terhadap basis lama, yait ektorektor kolom dari P adalah ; Matriks P disebt matriks transisi dari B ke B, dinyatakan dalam bentk ektor-ektor kolomnya sebagai ;
Example Consider the bases and for R, where (a) Find the transition matrix from B to B (b) Use to find [] B if Soltion (a) First we mst find the coordinate ectors for the new basis ectors and relatie to the old basis B. Soltion (b)
Matriks Transisi Jika P adalah matriks transisi dari sat basis ortonormal ke basis ortonormal lainnya ntk sat rang hasil kali dalam, maka P adalah sat matriks ortogonal, yait : P - = P T Jika P adalah matriks transisi dari sat basis B ke sat basis B, maka ntk setiap ektor berlak:
Penerapan Pada Rotasi Smb Koordinat B = (, ) B = (, ) Smb koordinat x dan y didapat dengan merotasi smb xy berlawanan jarm jam terhadap titik asal dengan sdt θ. (x,y) Q (x,y ) P = transisi dari B ke B.
Rotasi Smb Koordinat Didapat P matriks ortogonal Komponen pada basis lama:. cos θ. sin θ Komponen pada basis lama:. cos (θ+ π/) = -sin θ. sin (θ+ π/) = cosθ
P - = P T Misal smb smb tersebt dirotasikan dengan θ = π/4, maka; Jika (x, y) = (, -), maka koordinat bar dari Q: