Aljr Liner Elementer MA SKS Sils : B I Mtriks dn Opersiny B II Determinn Mtriks B III Sistem Persmn Liner B IV Vektor di Bidng dn di Rng B V Rng Vektor B VI Rng Hsil Kli Dlm B VII Trnsformsi Liner B VIII Rng Eigen /0/04 9:58 MA- Aljr Liner
VEKTOR DI BIDANG DAN DI RUANG Pokok Bhsn :. Notsi dn Opersi Vektor. Perklin titik dn Proyeksi Ortogonl. Perklin silng dn Apliksiny Beerp Apliksi : Proses Grfik Kompter Kntissi pd proses kompresi Lest Sqre pd Optimsi Dn lin-lin /0/04 9:58 MA- Aljr Liner
/0/04 9:58 MA- Aljr Liner Notsi dn Opersi Vektor esrn yng mempnyi rh Notsi ektor,, ˆ ˆ ˆ k j i Notsi pnjng ektor dlh Vektor stn Vektor dengn pnjng t norm sm dengn st
Opersi Vektor melipti :. Penjmlhn ntr ektor (pd rng yng sm). Perklin ektor () dengn sklr () dengn ektor lin Hsil kli titik (Dot Prodt) Hsil kli silng (Cross Prodt) /0/04 9:58 MA- Aljr Liner 4
Penjmlhn Vektor Mislkn dn dlh ektor ektor yng erd di rng yng sm, mk ektor mk didefinisikn /0/04 9:58 MA- Aljr Liner 5
Perklin ektor dengn sklr k Perklin ektor dengn sklr k, didefinisikn segi ektor yng pnjngny k kli pnjng ektor dengn rh Jik k > 0 serh dengn Jik k < 0 erlwnn rh dengn /0/04 9:58 MA- Aljr Liner 6
Sling P P /0/04 9:58 MA- Aljr Liner 7
Ser nlitis, ked opersi pd ektor dits dpt dijelskn segi erikt : Mislkn,,.,,.,,. k k k, k,, dlh ektor-ektor di rng yng sm mk dn /0/04 9:58 MA- Aljr Liner 8
Perklin ntr d ektor Hsil kli titik (dot prodt) Hsil kli silng (ross prodt) Hsil kli titik (dot prodt) Hsil kli titik merpkn opersi ntr d h ektor pd rng yng sm yng menghsilkn sklr Hsil kli silng (Cross prodt) Hsil kli silng merpkn opersi ntr d h ektor pd rng R yng menghsilkn ektor /0/04 9:58 MA- Aljr Liner 9
Dot Prodt Mislkn, dlh ektor pd rng yng sm mk hsil kli titik ntr d ektor : os dimn : pnjng : pnjng : sdt kedny /0/04 9:58 MA- Aljr Liner 0
Ilstrsi dot prodt ektor A dn B A B A B os /0/04 9:58 MA- Aljr Liner
Contoh : Tentkn hsil kli titik dri d ektor iˆ dn iˆ ˆj Jw : Kren tn =, rtiny = 45 0 os = 4 8 /0/04 9:58 MA- Aljr Liner
Ingt trn osins = + os Perhtikn os /0/04 9:58 MA- Aljr Liner
/0/04 9:58 MA- Aljr Liner 4 Selnjtny dpt ditlis Ingt hw : os os..... n.... n.... 4 n n n n n n n n......... n n...
Perhtikn setip skny, diperoleh hngn :... n n Tentkn kemli hsil kli titik dri d ektor pd ontoh seelmny = () + 0 () = 4 Beerp sift hsilkli titik :... k k k, dimn k R /0/04 9:58 MA- Aljr Liner 5
Proyeksi Ortogonl w terliht hw proy k k Kren w w =0 w k k /0/04 9:58 MA- Aljr Liner 6
/0/04 9:58 MA- Aljr Liner 7 Jdi, rms proyeksi diperoleh : Contoh 4 : Tentkn proyeksi ortogonl ektor terhdp ektor 4 4 Pr oy
/0/04 9:58 MA- Aljr Liner 8 Jw : 4 4 6 6 4 6 ) ( ) ( 4 4) ( 4 4 Pr w oy w
Cross Prodt (hsilkli silng) Hsil kli silng merpkn hsil kli ntr d ektor di Rng (R ) yng menghsilkn ektor yng tegk lrs terhdp ked ektor yng diklikn terset. C A x B iˆ ˆj kˆ A A A B B B A B A B iˆ A B A B ˆj A B A B kˆ /0/04 9:58 MA- Aljr Liner 9
Ilstrsi Cross Prodt (hsilkli silng) C A x B /0/04 9:58 MA- Aljr Liner 0
Contoh : Tentkn, dimn Jw : w w iˆ ˆj kˆ,, (, 0, ) iˆ ˆj 0 kˆ. 0( ) î ( ). ĵ kˆ iˆ 7 ˆj 6kˆ.0. /0/04 9:58 MA- Aljr Liner
Beerp sift Cross Prodt :.. x 0 x 0. /0/04 9:58 MA- Aljr Liner
/0/04 9:58 MA- Aljr Liner Dri sift ke- diperoleh os os os sin, sin x Jdi
Perhtikn ilstrsi erikt : sin Ls Jjrn Genjng sin x Ls segitig yng dientk oleh ked ektor terset dlh Ls segitig /0/04 9:58 MA- Aljr Liner 4
Contoh : Dikethi titik-titik dirng ( di R³ ) dlh : A = (,, ) B = (4,, 0) C = (,, ) Dengn menggnkn hsilkli silng, tentkn ls segitig ABC! Jw : Tlis AB AC = B A= (4,, 0) (,, ) = (,, ) = C A= (,, ) (,, ) = (, 4, 5) /0/04 9:58 MA- Aljr Liner 5
iˆ ˆj kˆ AB AC 4 5 iˆ ˆj 0kˆ Ls segitig ABC yng erimpit di A dlh Ls 4 69 00 7 /0/04 9:58 MA- Aljr Liner 6
Orientsi pd titik B BA = (,-,-) (4,,0) = (-,-,-) BC = (,,) (4,,0) = (-,,) BA BC iˆ ˆj kˆ iˆ kˆ 0 ˆj Sehingg ls segitig ABC yng erimpit di B dlh : BAxBC 4 69 00 7 /0/04 9:58 MA- Aljr Liner 7 =
/0/04 9:58 MA- Aljr Liner 8 Ltihn B 4. Tentkn os sdt yng terentk oleh psngn ektor erikt :. dn. dn. Tentkn proyeksi ortogonl ektor terhdp ektor dn tentkn pnjng ektor proyeksi terset:. dn. dn 8 6 7 8
/0/04 9:58 MA- Aljr Liner 9. Tentkn d h ektor stn yng tegk lrs terhdp 4. Tentkn ektor yng tegk lrs terhdp ektor dn 5. Tentkn ls segitig yng mempnyi titik sdt P (, 0, ), Q (, 4, 5), dn R (7,, 9) 7 4 0