KAJIAN MODEL EPIDEMIK SIR DETERMINISTIK DAN STOKASTIK PADA WAKTU DISKRIT Oleh: Arisma Yuni Hardiningsih 126 1 5 Dosen Pembimbing: Dra. Laksmi Prita Wardhani, M.Si Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaa 21 ABSTRAK Selama ini telah banak penelitian tentang model epidemik ang bersifat deterministik, diantarana model epidemik SI, SIS, SIR, dan SEIR. Penelitian ang dilakukan sebagian besar adalah analisis kestabilan titik setimbang pada model deterministik. Sehingga pada penelitian ini dianalisis model epidemik, baik sifat deterministik maupun stokastikna. Adapun model epidemik ang diteliti adalah model epidemik SIR. SIR merupakan model epidemik dengan karakteristik bahwa setiap individu rentan terinfeksi suatu penakit, kondisi ini dinotasikan dengan S (susceptibles, individu ang rentan terinfeksi tersebut berinteraksi dengan individu ang terinfeksi, dan akhirna terinfeksi. Individu ang terinfeksi tersebut dinotasikan dengan I (infected. Dengan pengobatan medis atau proses alam, individu ang terinfeksi mungkin akan sembuhang dinotasikan dengan R (removed. Pada Tugas Akhir ini dianalisis kestabilan titik setimbang pada model deterministik dan mean distribusi probabilitas pada model stokastik. Kestabilan titik setimbang ditentukan dengan cara linearisasi model deterministikna. Sedangkan pada model stokastik dianalisis kesetimbangan (stead state mean distribusi probabilitas. Hasil ang didapat dari penelitian Tugas Akhir ini adalah didapat nilai bilangan reproduksi dasar (R = ang mempengaruhi kestabilan titik setimbang pada model deterministik. Pada model stokastik diperoleh hasil solusi untuk keadaan setimbang mean distribusi probabilitas individu terinfeksi akni atau. Sehingga dapat diambil kesimpulan bahwa terdapat hubungan antara model epidemik SIR deterministik dan stokastik akni adana hubungan antara bilangan reproduksi dasar (R pada model epidemik SIR deterministik dengan solusi keadaan setimbang (stead state mean distribusi probabilitas individu terinfeksi pada model epidemik SIR stokastik. Kpata kunci : model epidemik SIR deterministik, model epidemik SIR stokastik, kestabilan, mean distribusi probabilitas. I. Pendahuluan Model matematika merupakan salah satu alat ang dapat membantu mempermudah penelesaian masalah dalam kehidupan nata. Masalah-masalah tersebut dapat dibawa ke dalam model matematis dengan menggunakan asumsi-asumsi tertentu. Selanjutna, dari model ang didapat dicari solusina, baik dengan cara analitis maupun secara numerik[1]. Salah satu penerapanna aitu di bidang biologiang kemudian berkembang menjadi disiplin ilmu matematika biologi. 1
Adapun contohna aitu aplikasi untuk mengetahui model penebaran penakit menular pada suatu daerah/wilaah tertentu, misalna penebaran penakit ang diakibatkan oleh virus. Untuk mengetahui proses penebaran penakit menular, dikenal beberapa model penebaran penakit, baik model ang bersifat deterministik, maupun model ang bersifat stokastik. Model-model tersebut antara lain SI, SIS, SIR, dan SEIR. Model-model tersebut memiliki karakteristik tersendiri, berdasarkan jenis dan bentuk penebaran penakit menular ang diamati. SIR merupakan model epidemik dengan karakteristik bahwa setiap individu rentan terinfeksi suatu penakit, kondisi ini dinotasikan dengan S (susceptibles, individu ang rentan terinfeksi tersebut berinteraksi dengan individu ang terinfeksi, dan akhirna terinfeksi. Individu ang terinfeksi tersebut dinotasikan dengan I (infected. Dengan pengobatan medis atau proses alam, individu ang terinfeksi mungkin akan sembuhang dinotasikan dengan R (removed. Adapun contoh penakit ang model penebaranna merupakan model epidemik SIR adalah campak, cacar, dan gondong. Sari (29 dalam penelitian Tugas Akhir-na menjelaskan tentang penebaran penakit akni Model Epidemik SIS. Dalam penelitian tersebut dianalisis tentang hubungan kesetimbangan Model Epidemik SIS baik secara deterministik dan stokastik. Penelitian pada Tugas Akhir ini dianalisis kestabilan dan mean distribusi probabilitas ang merupakan metode matematis ang dapat digunakan untuk menganalisis kesetimbangan dari model epidemik SIR baik model deterministik maupun stokastikna. II. Tinjauan Pustaka 2.1 Studi dari Penelitian Sebelumna. Penelitian mengenai perbandingan penebaran penakit dengan model epidemik ang bersifat deterministik dan stokastik telah diteliti sebelumna oleh Sari (29 pada Tugas Akhir ang berjudul Analisis Stabilitas Model SIS Epidemik Deterministik dan Mean Distribusi Probabilitas SIS Epidemik Stokastik. 2.2 Model Epidemik SIR Deterministik Adapun asumsi pada Model Epidemik SIR Deterministik ini adalah : a. Jumlah populasi N berukuran tetap (konstan b. Laju kelahiran dan kematian sama c. Semua populasi ang baru lahir adalah individu ang rentan Berdasarkan asumsi-asumsi di atas disusun diagram kompartemen model epidemik SIR deterministik sebagai berikut : Berdasarkan diagram kompartemen pada Gambar 2.1, model epidemik SIR deterministik analog dengan model sebagai berikut [2]. dimana : := Gambar 2.1 S( >, I( >, R(,,,. (2.1 (2.2 (2.3 2.3 Bilangan Reproduksi Dasar[3] Bilangan reproduksi dasar (R merupakan parameter penting dalam matematika epidemilogi ang merupakan ambang batas (threshold terjadina penebaran penakit. Bilangan ini diperoleh dengan menentukan nilai eigen matriks Jacobian pada titik setimbang bebas penakit dan titik setimbang endemik. Jika R < 1maka jumlah individu ang terinfeksi berkurang, sedangkan jika R > 1 maka jumlah individu ang terinfeksi bertambah. 2
2.4 Linearisasi [4] Linearisasi adalah proses hampiran persamaan diferensial tak linear dengan persamaan diferensial linear. Untuk menelesaikan suatu sistem otonomous ang berbentuk : d d f (, g (, (2.4 Dimana f dan g adalah tak linear. Jika ( adalah titik kritis dari sistem (2.4 maka f ( g ( (2.6 Selanjutna akan dicari pendekatan sistem linear jika ( disekitar ( dengan melakukan ekspansi menurut deret talor di sekitar titik, dengan menghilangkan suku ( taklinearna sebagai berikut: d d f ( g ( f ( g ( ( ( f ( ( g ( ( (2.7 Bila dilakukan substitusi u dan d du d dv v, maka dan,pada keadaan setimbang f ( g ( sehingga diperoleh persamaan linier sebagai berikut: du dv f ( u g ( u f ( v g ( v (2.8 Sistem tersebut dapat ditulis dalam bentuk matriks d u v u A dimana v f f A (2.9 g g Dengan A A pada. Matriks (2.9 disebut matriks Jacobian, dimana ukuran matriks tergantung pada banakna persamaan ang menusun sistem persamaan diferensial akar-akar karakteristik matriks Jacobian itu akan menentukan sifat kestabilan sistem persamaan diferensial linear. 2.5 Kestabilan dan Akar Karakteristik [5] Sistem persamaan diferensial linear dengan koefisien konstan d d a c Dimana b d (2.1 a, b, c, d adalah konstanta dan jika ad bc, maka persamaan (2.1 mempunai titik (, sebagai satu-satuna titik kritis. Penelesaian dari persamaan (2.1 merupakan rt kombinasi linear dari e dimana r adalah akar-akar karakteristik dari 2 r ( a d r ( ad bc (2.11 Yaitu r ( a d ( a d 2 2 4( ad bc Bagian real dari akar-akar karakteristik persamaan (2.11 menentukan sifat kestabilan titik kesetimbangan dari sistem (2.1. Teorema (Finizio/Ladas,1988,hal 293 1. Titik kesetimbangan (, dari sistem persamaan (2.1 stabil jika dan hana jika kedua akar dari persamaan karakteristikna adalah real dan negatif atau mempunai bagian real tak positif 2. Titik kesetimbangan (, dari sistem persamaan (2.1 stabil asimtotis jika dan hana jika kedua akar dari persamaan karakteristikna adalah real dan negatif atau mempunai bagian real ang negatif 3. Titik kesetimbangan (, dari sistem persamaan (2.1 tidak stabil jika salah satu (atau kedua akar dari persamaan karakteristikna real dan positif atau jika paling sedikit satu akar mempunai bagian real ang positif. 3
2.6 Proses Stokastik [4] Definisi 2.1 : Suatu proses stokastik adalah himpunan/koleksi dari peubah acak (variabel random. dengan T adalah beberapa himpunan indeks disebut parameter space dan S adalah ruang sampel dari peubah acak disebut state space. 1. Untuk tiap t tertentu, dinatakan suatu peubah acak ang didefinisikan pada S 2. Untuk tiap s tertentu, berhubungan dengan fungsi ang didefinisikan pada T ang disebut lintasan sampel. 2.7 Rantai Markov Waktu Diskrit [4] Proses Stokastik Markov adalah suatu proses stokastik dimana perilaku ang akan datang ( besok dari sistem hana bergantung pada keadaan sekarang dan tidak bergantung pada keadaan ang lalu, atau dapat dikatakan hana bergantung pada keadaan satu langkah kebelakang. Definisi 2.2 : Suatu proses stokastik dengan waktu diskrit pada state space S dikatakan mempunai sifat Markov atau Rantai Markov Waktu Dikrit ( DTMC jika : atau Definisi 2.3 : Probabilitas transisi satu langkah (One step transisition probabilit dinatakan sebagai ang didefinisikan sebagai berikut : Untuk DTMC waktu homogen. Maka berarti terdapat transisi dari i ke j. Definisi 2.4 : Probabilitas transisi n langkah dinatakan dengan adalah probabilitas bergerakna atau transferring dari state i ke state j dalam n langkah waktu, didefinisikan : Matriks transisi n langkah dinatakan dengan. Untuk kasus n = dan n = 1 maka dan Dengan : smbol Kronecker delta Elemen-elemen dari adalah probabilitas transisi n langkah pada. 2.8 Proses Kelahiran dan Kematian Murni Probabilitas kelahiran dan kematian pada model Rantai Markov tersebut tidaklah konstan, akan tetapi bergantung pada jumlah populasi. Diasumsikan bahwa probabilitas transisi kelahiran dan kematian murni pada waktu diskrit memenuhi persamaan berikut: (2.12 dengan i = 1,2,3, Dimana : := adalah probabilitas kelahiran := adalah probabilitas kematian := adalah jumlah dari populasi pada saat n := adalah jumlah maksimal dari populasi Dan diasumsikan bahwa interval waktu sangat kecil, sehingga selama satu interval waktu hana terjadi 1 kejadianaitu kelahiran atau kematian. III. Metodologi Penelitian 1. Studi Literatur 2. Penelesaian model epidemik SIR deterministik 3. Penelesaian model epidemik SIR stokastik 4. Mengkaji hasil analisis 5. Penarikan kesimpulan IV. Analisis dan pembahasan 4.1 Model Epidemik SIR Deterministik dengan Jumlah Populasi Konstan Jika adalah turunan terhadap waktu maka akan diperlihatkan nilai,, dan ang masingmasing merupakan turunan terhadap waktu dari S, I, dan R. Diperoleh model turunan terhadap waktu dari persamaan (2.1, (2.2, dan (2.3 sebagai berikut : 4
(4.1 Kurangi kedua ruas pada persamaan (4.6 dengan sehingga diperoleh (4.2 (4.3 4.1.2 Titik Setimbang Model Epidemik SIR Deterministik Titik setimbang adalah titik ang invarian terhadap waktu. Mengingat redundan karena R tidak muncul pada kedua persamaan lainna [6], maka titik setimbang diperoleh jika. a. Untuk Dari persamaan (4.2 bernilai nol diperoleh (4.7 Bagi kedua ruas dengan pada persamaan (4.7 dengan sehingga diperoleh b. Untuk dan atau. Dari persamaan (4.1 bernilai nol diperoleh (4.4 Subtitusi ke persamaan (4.4 sehingga diperoleh c. Untuk dan Subtitusi (4.4 sehingga diperoleh ke persamaan (4.5 Kurangi kedua ruas pada persamaan (4.5 dengan sehingga diperoleh atau (4.6 Dari uraian a, b, dan c diperoleh dua titik setimbang akni dan. Titik merupakan titik setimbang bebas penakit (disease-free equilibrium. Titik setimbang bebas penakit ini menunjukkan bahwa ketika maka. Hal ini berarti semua individu masuk populasi rentan atau dengan kata lain tidak terjadi penebaran penakit. Sedangkan titik merupakan titik setimbang endemik (endemic equilibrium karena pada keadaan ini terdapat penebaran penakit pada populasi (. 4.1.3 Kestabilan Lokal Titik Setimbang Setelah menentukan titik setimbang model, selanjutna ditentukan kestabilan lokal untuk setiap titik setimbang tersebut. Untuk itu dicari nilai eigen matriks Jacobian dari model ang telah dilinearisasi. Maka tahap selanjutna adalah linearisasi model. a. Linearisasi Model Karena tidak muncul pada kedua persamaan lainna maka dapat 5
diabaikan, dan pada linearisasi ang dipakai adalah persamaan (4.1 dan (4.2 sebagai berikut : Misalkan (4.1 (4.2 (4.8 (4.9 Untuk menelidiki kestabilan titik setimbang dilakukan linearisasi terhadap persaman nonlinear (4.8 dan (4.9 sebagai berikut : Dengan persamaan karakteristik Diperoleh akar-akar karakteristikna atau Sehingga titik asimtotis jika stabil ang menunjukkan bahwa tidak terjadi penebaran penakit pada populasi. c. Kestabilan Titik Setimbang Endemik (endemic equilibrium Untuk titik maka diperoleh matriks Jacobian : Maka hampiran linearna, matriks Jacobian dengan merupakan Dengan persamaan karakteristik Substitusi nilai,,, dan ke dalam matriks Jacobian sehingga diperoleh Selanjutna nilai eigen didapatkan dengan menelesaikan persamaan karakteristik dimana I matriks identitas. b. Kestabilan Titik Setimbang Bebas Penakit (disease-free equilibrium Untuk titik maka diperoleh matriks Jacobian : Diperoleh akar-akar karakteristikna 6
Titik 1 stabil asimtotis jika bagian real, maka untuk mendapatkan kestabilan tersebut nilai harus lebih besar dari nol. Mengingat bahwa titik 1 merupakan titik setimbang endemik ang terjadi jika, maka nilai harus lebih dari 1. Dari analisis kestabilan titik setimbang bebas penakit (disease-free equilibrium dan titik setimbang endemik didapat sebuah bilangan reproduksi dasar aitu:. Titik setimbang bebas penakit akan stabil asimtotis jika. Sedangkan titik setimbang endemik akan stabil asimtotis jika, dimana i,r=,1,2,...,n dan i+r N.[2] Misalkan : a menatakan probabilitas sebuah infeksi baru pada waktu : b menatakan probabilitas kesembuhan satu individu pada waktu c menatakan probabilitas kematian dari satu individu terinfeksi pada waktu d menatakan probabilitas kematian dari satu individu ang sembuh pada waktu Sehingga didapatkan persamaan beda ang memenuhi fungsi probabilitas bersama adalah : 4.2 Model Epidemik SIR Stokastik dengan Jumlah Populasi Konstan Model epidemik SIR stokastik pada waktu diskrit merupakan Rantai Markov dengan state space berhingga. Model epidemik SIR stokastik merupakan proses bivariat ang tergantung pada dua variabel random I dan Rang masingmasing menatakan jumlah individu ang terinfeksi dan individu ang sembuh. Ukuran populasi diasumsikan konstan dan dinotasikan dengan N. Variabel random I dan R mengambil nilai dari i,r {,1,2,...,N}, dengan t {, }. Jika cukup kecil, maka model waktu diskrit analog dengan model waktu kontinu. Diasumsikan bahwa pada waktu cukup kecil hana terjadi satu kejadian. Adapun fungsi probabilitas bersama untuk Model Epidemik SIR stokastik adalah Pada model epidemik SIR deterministik, titik setimbang berhubungan dengan ada tidakna individu terinfeksi di dalam populasi, sehingga selanjutna pada model epidemik SIR stokastik dicari distribusi probabilitas individu terinfeksi. Karena diasumsikan bahwa pada waktu hana terjadi satu kejadian maka : Untuk individu terinfeksi aitu jika diperoleh ang hana berubah ke. Jadi, probabilitas transisi dari Model Epidemik SIR stokastik untuk individu ang terinfeksi adalah : 7
pada populasi. Keadaan setimbang (stead state mean distribusi probabilitas individu terinfeksi diperoleh jika. dan probabilitas beda sebagai berikut: memenuhi persamaan ] (4.16, dengan i = 1,2,...,N dan untuk i {,1,2,...,N}. 4.2.1 Mean Distribusi Probabilitas Individu Terinfeksi Pada uraian sebelumna telah didapatkan distribusi probabilitas individu terinfeksi. Selanjutna dicari mean distribusi probabilitas individu terinfeksi ang berhubungan dengan kesetimbangan pada Model Epidemik SIR stokastik. Mean distribusi probabilitas untuk individu ang terinfeksi dinotasikan dengan dimana. Keadaan setimbang pada model epidemik stokastik diperoleh dari. Keadaan setimbang ini disebut pula keadaan stead state. Diperoleh nilai sebagai berikut : dengan. Setelah didapatkan pada persamaan selanjutna dianalisis kesetimbangan model epidemik SIR stokastik ang diperoleh dari kesetimbangan mean distribusi probabilitas individu terinfeksi akni jika =. 4.2.2 Analisis Kesetimbangan Model Epidemik SIR Stokastik Pada pembahasan sebelumna telah dijelaskan bahwa kesetimbangan model epidemik SIR stokastik diperoleh dari kesetimbangan mean distribusi probabilitas individu terinfeksi ang menunjukkan ada tidakna individu terinfeksi diperoleh atau. a Ketika nilai dapat disimpulkan bahwa di dalam populasi tidak terdapat individu terinfeksi atau dengan kata lain terjadi kesetimbangan bebas penakit ang diperoleh ketika. b Ketika nilai dapat disimpulkan bahwa nilai ang berarti bahwa terdapat individu ang terinfeksi di dalam populasi atau dengan kata lain terjadi kesetimbangan endemik ang terjadi jika 4.3 Kajian Hasil Analisis Kesetimbangan Model Epidemik SIR Deterministik dan Stokastik 4.3.1 Kesetimbangan Pada Model Epidemik SIR Deterministik Dari hasil analisis kesetimbangan model epidemik SIR deterministik pada subbab sebelumna, diperoleh dua titik setimbangan akni titik setimbang bebas penakit (disease-free equilibrium dan titik setimbang endemik (endemic equilibrium. Adapun kedua titik setimbang tersebut adalah sebagai berikut : a Titik setimbang bebas penakit (disease-free equilibrium Titik setimbang ini menunjukkan bahwa dalam populasi tidak terdapat individu ang terinfeksi, sehingga semua individu dalam populasi masuk dalam subpopulasi rentan. Dari hasil analisis sebelumna diperoleh titik setimbang bebas penakit adalah. b Titik setimbang endemik (endemic equilibrium Titik setimbang ini menunjukkan bahwa dalam populasi terdapat individu terinfeksi, sehingga dalam populasi tersebut terdapat penebaran penakit. Dari hasil analisis sebelumna diperoleh titik setimbang endemik adalah. 8
4.3.2 Contoh Kasus Model Epidemik SIR Deterministik a Kasus ketika terjadi kesetimbangan bebas penakit Grafik Model Epidemik SIR Deterministik ketika R =.375,, dan Pada Gambar 4.1 ditunjukkan bahwa ketika S(=88, I(=12, R(=, R =.375,, dan terjadi kesetimbangan bebas penakit dengan titik setimbangna berada pada titik. Pada Gambar 4.3 ditunjukkan bahwa ketika S(=88, I(=12, R(=, R = 2,, dan terjadi kesetimbangan endemik dengan titik setimbangna berada pada titik. 4.3.3 Kesetimbangan Pada Model Epidemik SIR Stokastik Model stokastik ang digunakan dalam penelitian ini merupakan Rantai Markov waktu diskrit, dimana Rantai Markov ang digunakan mempunai state space ang berhingga. Dari analisis pada subbab sebelumna telah dicari distribusi probabilitas individu terinfeksi, mean distribusi probabilitas individu terinfeksi, dan keadaan setimbang (stead state mean distribusi probabilitas individu terinfeksi. Ada pun analisis ang diperoleh adalah ada dua solusi untuk keadaan setimbang mean distribusi individu terinfeksi akni atau. Kesetimbangan bebas penakit terjadi jika nilai jika. dan kesetimbangan endemik terjadi 4.3.4 Contoh Kasus Model Epidemik SIR Stokastik a Kasus ketika terjadi kesetimbangan bebas penakit b Kasus ketika terjadi kesetimbangan endemik Gambar 4.5 Distribusi Probabilitas R =.5,, dan,, ketika Grafik Model Epidemik SIR Deterministik ketika R = 2,, dan Pada Gambar 4.3 ditunjukkan bahwa probabilitas tidak terjadi endemik,, mendekati 1 dengan cepat ketika R =.5. 9
b Kasus ketika terjadi kesetimbangan endemik Gambar 4.3 Distribusi Probabilitas, ketika R = 3,, dan, Pada Gambar 4.4 ditunjukkan bahwa probabilitas tidak terjadi endemik,, mendekati dengan cepat ketika R = 3. 4.3.5 Hubungan Kesetimbangan Pada Model Epidemik SIR Deterministik dan Sitokastik Dari hasil analisis pada subbab sebelumna dapat diketahui adana hubungan antara kesetimbangan model epidemik SIR deterministik dan stokastik akni hubungan antara nilai bilangan reproduksi (R ang menentukan kestabilan titik setimbang pada model epidemik SIR deterministik dengan solusi keadaan setimbang (stead state mean distribusi probabilitas individu terinfeksi ang menetukan keadaan setimbang pada model epidemik SIR stokastik. V. Kesimpulan dan Saran 5.1 Kesimpulan Berdasarkan uraian pada bab sebelumna, dari Tugas Akhir ini dapat diambil kesimpulan sebagai berikut : a Pada model epidemik SIR deterministik diperoleh nilai titik setimbang bebas penakit dan titik setimbang endemik. Adapun nilai bilangan reproduksi dasar, R ang mempengaruhi kestabilan kedua titik setimbang tersebut adalah. b Pada model epidemik SIR stokastik diperoleh solusi untuk keadaan setimbang mean distribusi probabilitas individu terinfeksi akni atau. c Dari analisis bab sebelumna diperoleh kesimpulan bahwa hubungan antara model epidemik SIR deterministik dan stokastik terletak pada hubungan antara bilangan reproduksi dasar (R pada model epidemik SIR deterministik dengan solusi keadaan setimbang (stead state mean distribusi probabilitas individu terinfeksi pada model epidemik SIR stokastik. 5.2 Saran Pada Tugas Akhir ini diteliti Model Epidemik SIR dengan jumlah populasi konstan, baik model deterministik maupun model stokastik. Diharapkan pada penelitian berikutna diteliti model epidemik SIR atau ang lain dengan jumlah populasi ang tidak konstan serta dapat pula menambahkan adana vaksinasi pada populasi. DAFTAR PUSTAKA [1] Tamrin, H dkk. 27. Model SIR Penakit Tidak Fatal. Yogakarta : Jurusan Matematika UGM. [2] Allen, L.J.S., Burgin Am M. 2. Comparison of Deterministic and stochastic SIS and SIR models in discrete time. Mathematical Bioscience 163(2 1-33. [3] Asfihani, T. 29. Analisis stabilitas Pada Model Kompetisi Spesies ang Dipengaruhi Penakit Menular. Surabaa : Jurusan Matematika ITS. [4] Sari, D.M. 29. Analisis Stabilitas Model SIS Epidemik Deterministik dan Mean Distribusi Probabilitas SIS Epidemik Stokastik. Surabaa : Jurusan Matematika ITS. [5] Mufidah, L. 29. Pengaruh Pemberitaan Media terhadap Penebaran Penakit Menular dalam Model Epidemik Tipe SIRS. Surabaa : Jurusan Matematika ITS. [6]Supriatna, A.K. 24. Tingkat Vaksinasi minimum untuk Pencegahan Epidemik Berdasarkan Model Matematika SIR. Matematika Integratif. Vol 2: 41-49. 1
11