Analisis Model Penyebaran Penyakit Menular Dengan Bakteri dan Hospes

Transkripsi

1 JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) Analisis Model Penyebaran Penyakit Menular Dengan Bakteri Hospes Desy Khoirun Nisa, Drs. Kamiran, M.Si Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya kamiran@matematika.its.ac.id Abstrak- Epidemik adalah kejadian penyebaran suatu penyakit menular pada manusia yang disebabkan oleh banyak faktor dapat menyebabkan banyak kerugian. Secara lebih spesifiknya, terdapat suatu penyebaran penyakit menular yang disebabkan oleh bakteri juga dipengaruhi peran serta hospes sebagai suatu inang pembawa bakteri tersebut yang kemudian akan disebarluaskan pada populasi manusia. Misalnya saja, pada beberapa penyakit seperti disentri, kolera demam tifoid itu penyebaran penyakitnya ditularkan melalui makanan atau air yang ditransmisikan dalam populasi manusia oleh lalat yang membawa bakteri penyakit ini. Dengan demikian, kepadatan hospes yang dapat tumbuh bersama dengan kepadatan populasi manusia terkait dengan sanitasi di lingkungan sangat berperan penting dalam penyebaran beberapa penyakit menular. Oleh kareni itu, akan dianalisis titik kesetimbangan kestabilan dari model penyebaran penyakit menular dengan bakteri hospes, untuk mengetahui arah pertumbuhan penyakit pola penyebaran penyakit sehingga dapat dilakukan suatu tindakan preventif terutama yang berhubungan dengan migrasi bakteri hospes di lingkungan. Kata kunci: Epidemik, Bakteri, Hospes, Model SIS, Kesetimbangan, Kestabilan. P I. PENDAHULUAN enyebaran penyakit menular dengan mempertimbangkan kontak langsung antara individu yang rentan terinfeksi penyakit dengan mempertimbangkan kontak langsung antara individu yang rentan terinfeksi penyakit (susceptible) individu yang terjangkit dapat menularkan penyakit (infected), namun tidak mempertimbangkan peran bakteri yang ada di lingkungan telah dimodelkan dianalisis oleh Anderson, dkk [1]. Padahal, sebenarnya terdapat penyakit menular yang disebabkan bakteri penyebarannya dipengaruhi oleh faktor dari lingkungan, misalnya adalah typus [2]. Kurangnya sanitasi munculnya berbagai macam hospes (sering disebut sebagai carriers), misalnya lalat, kutu, tungau yang berada di lingkungan menjadi faktor penting dalam penyebaran penyakit menular. Hospes mengangkut bakteri penyakit menular seperti demam tifoid, kusta, kolera, konjungtivitis, TBC, disentri, diare, dari lingkungan untuk ditularkan pada susceptible sehingga menyebabkan penyakit tersebut tersebar pada populasi manusia. Beberapa penyakit seperti disentri, kolera, demam tifoid merupakan beberapa contoh penyakit yang ditularkan melalui makanan atau air ditransmisikan dalam populasi manusia oleh lalat yang membawa bakteri penyakit ini. Dengan demikian kepadatan hospes, yang dapat tumbuh bersama dengan faktor kepadatan populasi manusia terkait dengan sanitasi di lingkungan, memainkan peran penting dalam penyebaran beberapa penyakit menular. Seperti disebutkan di atas, meskipun pemodelan analisis penyakit menular telah dilakukan oleh beberapa peneliti [1-2], efek dari aya bakteri hospes di lingkungan pada penyebaran penyakit menular belum diteliti dengan menggunakan model matematika [2]. Hethcote [3] membahas model epidemik di mana populasi hospes diasumsikan konstan. Tapi, secara umum, ukuran populasi hospes tidak konstan tergantung pada kondisi habitat di lingkungan. Ghosh dkk [4] telah mempertimbangkan pertumbuhan populasi hospes yang tergantung pada sampah rumah tangga faktor kepadatan populasi lainnya yang terkait dalam model tersebut. Mereka menunjukkan bahwa penyebaran penyakit menular meningkat karena mobilitas bakteri oleh hospes tetapi mereka mengabaikan interaksi bakteri dengan susceptible serta mereka juga mengabaikan interaksi antara bakteri dengan hospes di lingkungan. Begitu juga dengan, Ghosh dkk. [5,6] yang telah mempelajari penyebaran penyakit menular dengan bakteri di lingkungan tetapi mereka mengabaikan peran keberadaan hospes di lingkungan. Hingga akhirnya pada tahun 2011, J.B Shukla, dkk [7] mempublikasikan jurnalnya membahas model SIS dengan imigrasi untuk penyebaran penyakit menular yang disebabkan oleh debit bakteri dalam lingkungan dengan infected interaksi bakteri dengan susceptible. Selain itu juga diasumsikan bahwa penyakit menyebar dengan kontak langsung antara susceptible infected serta dipengaruhi juga oleh bakteri yang diangkut oleh hospes untuk susceptible. Oleh karena itu, berikut ini akan dibahas tentang analisis dari model penyebaran penyakit menular dengan bakteri hospes, yang ditemukan oleh J.B Shukla dkk [7] untuk mendapatkan titik kesetimbangan kestabilan dari model epidemik tersebut, sehingga dapat diketahui arah pertumbuhan penyakit, pola penyebaran penyakit dapat dilakukan suatu tindakan preventif terutama yang berhubungan dengan migrasi bakteri hospes di lingkungan. II. METODE PENELITIAN A. Tahap Telaah/Studi Literatur Dari permasalahan tujuan yang telah dirumuskan selanjutnya dilakukan studi literatur untuk memberi acuan pemecahan permasalahan. Studi literatur dilakukan terhadap jurnal-jurnal ilmiah, tugas akhir, buku-buku yang berhubungan dengan model penyebaran penyakit menular

2 JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) dengan bakteri hospes. B. Pengkajian Model Penyebaran Penyakit Meular dengan Bakteri Hospes Pada tahap ini, model penyebaran penyakit menular dengan bakteri hospes akan dikaji terlebih dahulu dengan menyusun asumsi-asumsi tertentu sehingga mudah untuk memahaminya. C. Analisis Titik Kesetimbangan Kestabilan Dari model penyebaran penyakit menular dengan bakteri hospes akan didapatkan 4 macam titik kesetimbangan yang meliputi: titik kesetimbangan bebas penyakit bebas hospes/ disease and carrier free equilibrium (DCFE), titik kesetimbangan bebas penyakit/ disease free equilibrium (DFE), titik kesetimbangan bebas hospes/ carrier free equilibrium (CFE), titik kesetimbangan endemik/ endemic equilibrium (EE). Kemudian dari titik-titik kesetimbangan yang didapatkan tersebut akan digunakan acuan untuk menganalisis kestabilannya. D. Simulasi Model Dari model penyebaran penyakit menular dengan bakteri hospes akan dibuat suatu simulasi modelnya dengan menggunakan softwere MATLAB untuk mengetahui bentuk grafik yang terbentuk. E. Kesimpulan Saran Setelah dilakukan analisa pembahasan pada model penyebaran penyakit menular dengan bakteri hospes maka akan diambil suatu kesimpulan saran yang berfungsi sebagai masukan untuk pengembangan penelitian lebih lanjut. III. ANALISIS DAN PEMBAHASAN A. Model Penyebaran Penyakit Menular Dengan Bakteri Hospes Model penyebaran penyakit menular hospes adalah sebagai Dengan: Model (1) mempunyai asumsi-asumsi sebagai berikut : a. adalah jumlah total populasi manusia yang terbagi menjadi 2 kelompok yaitu: merupakan jumlah populasi susceptible yaitu individuindividu yang rentan terhadap penyakit. merupakan jumlah populasi infected yaitu individuindividu yang terjangkit dapat menularkan penyakit. b. adalah jumlah populasi bakteri yang terdapat pada lingkungan yang dapat menyebabkan infeksi. c. adalah jumlah dari populasi bakteri yang diangkut ke susceptible oleh hospes. d. adalah jumlah dari populasi hospes yang ada pada lingkungan. e. Diasumsikan jumlah bakteri yang diangkut oleh hospes sebanding dengan jumlah dari bakteri hospes, yaitu sebagai. f. Diasumsikan konstanta adalah jumlah imigrasi dari populasi susceptible, juga diasumsikan susceptible terinfeksi secara kontak langsung dengan infected dengan tingkat kontak sehingga disebut sebagai. Susceptible juga mengalami kontak dengan hospes yang membawa bakteri secara langsung sebesar, sehingga disebut sebagai. Susceptible juga terinfeksi secara kontak langsung dengan bakteri karena aya interaksi dengan lingkungan yang penuh dengan bakteri sebesar, sehingga disebut sebagai. g. Laju kematian alami pada manusia yaitu itu proporsional dengan tingkat kesembuhan, yang lebih lanjut diasumsikan bahwa adalah tingkat kematian alami pada susceptible adalah tingkat kematian alami pada infected segkan adalah tingkat kematian pada infected yang disebakan oleh penyakit. Dengan asumsi beberapa infected akan sembuh bergabung pada susceptible dengan tingkat pemulihan sebesar pada infected maka disebut sebagai. h. Tingkat penurunan populasi bakteri akibat tindakan pengendalian sebesar disebut sebagai, segkan laju peluruhan bakteri sebesar dalam lingkungan akibat transportasi oleh hospes dianggap proporsional dengan jumlah populasi hospes jumlah populasi bakteri yang kemudian disebut sebagai. Segkan banyaknya populasi bakteri yang dipancarkan oleh individu infected diasumsikan sebagai. i. Dengan aya interaksi susceptible pada lingkungan yang penuh bakteri maka, tingkat peluruhan bakteri sebesar karena terbawa oleh susceptible dianggap proporsional dengan jumlah populasi susceptible bakteri sehingga disebut sebagai. j. Diasumsikan konstanta adalah jumlah populasi bakteri dari lingkungan yang akan dibawa hospes untuk ditularkan pada susceptible sehingga disebut sebagai, konstanta adalah laju deplesi dari di lingkungan karena aya suatu tindakan pengendalian. k. Diasumsikan jumlah hospes mengikuti model logistik dengan tingkat pertumbuhan intrinsik lingkungan sebesar sehingga disebut sebagai laju pertumbuhan populasi hospes sebesar kapasitas meningkat seiring dengan faktor kondusif kepadatan manusia yang terkait sehingga disebut sebagai. Segkan konstanta adalah laju deplesi pada hospes karena aya suatu tindakan pengendalian sehingga disebut sebagai. Yang perlu dijadikan catatan bahwa. Berdasarkan asumsi-asumsi tersebut maka dapat disusun diagram kompartemen sebagai

3 JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) b. Mendapatkan titik kesetimbangan dari substitusi, (4) pada (5) sehingga didapatkan, c. Mendapatkan titik kesetimbangan dari Gambar 1. Diagaram kompartemen model penyebaran penyakit menular dengan bakteri hospes Dengan menggunakan asumsi bahwa atau dengan kata lain maka model (1) dapat direduksi menjadi sebagai Substitusi (6) pada (7) sehingga didapatkan, Jadi, dari hasil (4), (6), (8), didapatkan titik kesetimbangan bebas penyakit hospes/dcfe, yaitu: C. Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit Kesetimbangan Bebas Penyakit/Disease Free Equilibrium (DFE) adalah suatu keadaan dimana tidak terjadi penyebaran penyakit menular dalam populasi. Titik tersebut didapatkan pada saat. Maka untuk mendapatkan titik kesetimbangan bebas penyakit,, dilakukan langkah penghitungan sebagai berikut didapatkan, sehingga Didapatkan daerah penyelesaian dari model (2) sebagai berikut, Dari daerah penyelesaian yang didapatkan pada persamaan (3) maka dapat diketahui bahwa model (2) memiliki jumlah populasi yang terbatas. B. Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit Bebas Hospes Kesetimbangan Bebas Penyakit Bebas Hospes/ Disease and Carrier Free Equilibrium (DCFE) adalah suatu keadaan dimana tidak terjadi penyebaran penyakit menular hospes dalam populasi. Titik tersebut didapatkan pada saat. Maka untuk mendapatkan titik kesetimbangan bebas penyakit hospes, dilakukan penghitungan sebagai a. Mendapatkan titik kesetimbangan dari D. Titik Kesetimbangan Bebas Hospes Kesetimbangan Bebas Hospes/Carriers Free Equilibrium (CFE) adalah suatu keadaan dimana terjadi penyebaran penyakit menular dalam populasi namun tidak ada campur tangan dari hospes. Titik tersebut didapatkan pada saat. Maka untuk mendapatkan titik kesetimbangan bebas hospes, dilakukan penghitungan sebagai Dari persamaan (11) didapatkan; Dengan substitusi pada (15) sehingga didapatkan, Dari persaamaan (12) didapatkan, dilakukan substitusi sehingga, Dari substitusi pada (13) didapatkan,

4 JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) Dari substitusi (17), (18) pada (14) didapatkan, Dari persamaan (25) didapatkan; Karena terdapat syarat direduksi menjadi,, maka persamaan (31) dapat Karena maka persamaan (17) dapat direduksi menjadi sebagai berikut, Dari persamaan (20) didapatkan 3 asumsi sebagai a. akan bernilai positif jika b. c. pada Dengan demikian, maka dari akan memiliki sebuah nilai positif dari, kita sebut sebagai yang terletak pada dengan syarat. Dengan substitusi nilai pada (17) (18) maka didapatkan, Dari substitusi (30) pada (32) didapatkan, Dari substitusi (30) (33) pada (26) jika didefinisikan, didapatkan; Dari substitusi (33) (34) pada (27) didapatkan; Dari substitusi (30), (34), (35) pada (28) didapatkan; Jadi, (16), (21), (22), adalah titik kesetimbangan bebas hospes/cfe, yaitu: Karena maka persamaan (36) dapat direduksi menjadi sebagai berikut, Kesetimbangan bebas hospes ini ada jika memenuhi syarat, didefinisikan nilai sebagai berikut; E. Titik Kesetimbangan Endemik Titik kesetimbangan endemik didapatkan pada saat. Maka untuk mendapatkan titik kesetimbangan endemik yaitu, dilakukan penghitungan sebagai berikut; Dari persamaan (37) didapatkan 3 asumsi sebagai a. akan bernilai positif jika b. c. pada Dengan demikian, maka dari akan memiliki sebuah nilai positif dari, kita sebut sebagai yang terletak pada dengan syarat. Dengan substitusi nilai pada persamaan (30), (33), (34) (35) sehingga didapatkan, Dengan Jadi, (38), (39), (40), (41) kesetimbangan endemik, yaitu: adalah titik Dari persamaan (24) didapatkan; Syarat kesetimbangan endemik ini ada ketika memenuhi syarat

5 JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) Didefinisikan: Pada hasil perhitungan terdapat nilai eigen yang bernilai positif yaitu: Jadi dapat disimpulkan bahwa tidak stabil lokal. F. Kestabilan Lokal pada Titik kesetimbangan dikatakan stabil asimtotis/lokal jika hanya jika nilai eigen dari matriks Jacobiannya bernilai negatif tidak stabil jika sedikitnya satu dari nilai eigennya mempunyai nilai positif. Adapun bentuk matriks Jacobiannya didapatkan dari model (2) yang dimisalkan sebagai berikut, Bentuk matriks Jacobian dari model (43) adalah sebagai berikut; c. Pada Pada hasil perhitungan terdapat nilai eigen yang bernilai positif yaitu: Jadi dapat disimpulkan bahwa tidak stabil lokal. G. Kestabilan Lokal Pada Karena bentuk dari akan menghasilkan persamaan karakteristik yang sangat kompleks rumit maka nilai eigennya tidak dapat ditemukan. Oleh karena itu, untuk menentukan titik kestabilan lokal dari titik kesetimbangan endemik, maka dengan mengikuti fungsi definit positif pada fungsi Lyapunov yang berhubungan dengan linearisasi sistem pada model (2) dengan titik kesetimbangan sehingga didapatkan suatu fungsi Lyapunov yang memenuhi syarat definit positif sebagai Dengan koefisien adalah sutau konstanta positif segkan adalah perturbasi kecil disekeliling titik kesetimbangan endemik, dengan kata lain. Differensiasi persamaan (45) terhadap waktu yang mengikuti linearisasi model (2) dengan pemilihan nilai maka didapatkan, Dan didefinisikan, (44) Dengan mendapatkan nilai eigen dari, dimana titik-titik kesetimbangan yang akan dicari kestabilannya disubstitusikan pada matriks umum pada persamaan (44), maka jika nanti ditemukan paling sedikit satu saja nilai eigen yang bernilai positif maka sudah dapat disimpulkan bahwa titik kesetimbangan tersebut tidak stabil. Pada didapatkan hasil analisis sebagai a. Pada Pada hasil perhitungan terdapat nilai eigen yang bernilai positif yaitu: Jadi dapat disimpulkan bahwa b. Pada tidak stabil lokal. Dengan menggunakan subtitusi teorema dari [7] sebagai Dengan mengikuti pertidaksamaan sebagai Dengan Adapun nilai memenuhi persamaan:

6 JURNAL TEKNIK POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) Maka didapatkan akan bernilai definit negatif. Karena sudah memenuhi definit positif memenuhi definit negatif maka dapat disimpulkan bahwa titik kesetimbangan adalah stabil lokal. H. Simulasi Model Dalam simulasi model berikut ini digunakan parameter sebagai Dengan nilai awal sebagai Sehingga diperoleh grafik di bawah ini, a. Grafik terhadap t Gambar 2. Grafik terhadap t Pada gambar 2 grafik warna hijau menunjukkan bahwa populasi mengalami penurunan mendekati nol pada minggu kedua sehingga menunjukkan suatu kondisi stabil. Pada grafik warrna biru menunjukkan populasi mengalami kenaikan sehingga mencapai suatu titik konstan yang stabil. Pada grafik warna magenta menunjukkan populasi yang semula mengalami kenaikan kemudian mengalami penurunan, berarti populasi bakteri yang ada pada lingkungan mulai berkurang bisa dikarenakan aya tindakan pengendalian sehingga bakteri mengalami penurunan populasi. Pada grafik warna hitam menunjukkan populasi juga mengalami penurunan dikarenakan ketersediaan bakteri yang ada di lingkungan (yaitu populasi ) juga mengalami penurunan sehingga populasi bakteri yang bisa diangkut oleh hospes untuk disebarkan pada populasi susceptible juga mengalami penurunan. Pada grafik putus titik warna merah menunjukkan populasi hospes yaitu C semakin meningkat bisa dikarenakan kurang berpengaruhnya kontrol lingkungan terhadap pengendalian populasi hospes. Oleh karena itu, suatu kontrol lingkungan bisa berupa tindakan sanitasi lingkungan yang dapat menekan laju populasi bakteri juga hospes sangat diperlukan agar dapat mengurangi populasi bakteri yang diangkut ke susceptible oleh hospes sehingga bisa menurunkan populasi infected. IV. KESIMPULAN DAN SARAN Berdasarkan keseluruhan hasil analisis yang telah dilakukan di atas, maka dapat diambil kesimpulan bahwa: 1. Pada model penyebaran penyakit menular dengan bakteri hospes di lingkungan ini memiliki empat macam titik kesetimbangan dengan asumsi kestabilan lokal sebagai a. Titik kesetimbangan bebas penyakit bebas hospes/ disease and carrier free equilibrium(dcfe), selalu ada bersifat tidak stabil. b. Titik kesetimbangan bebas penyakit/disease free equilibrium(dfe), selalu ada bersifat tidak stabil. c. Titik kesetimbangan bebas hospes/carrier free equilibrium(dce), ada jika memenuhi syarat bersifat tidak stabil. d. Titik kesetimbangan endemik/endemic equilibrium ada jika memenuhi syarat bersifat stabil maka akan terjadi penyebaran penyakit. 2. Dengan aya hospes yang bisa mengangkut bakteri dari lingkungan untuk ditularkan pada susceptible sehingga dapat menyebabkan terjadi peningkatan populasi infected. Maka dibutuhkan suatu tindakan sanitasi lingkungan agar dapat menekan laju populasi hospes populasi bakteri di lingkungan. Dengan tujuan agar dapat mengurangi populasi bakteri yang diangkut ke susceptible oleh hospes juga untuk mengurangi populasi bakteri yang dapat menyebar secara langsung dari lingkungan kepada susceptible agar terjadi penurunan populasi infected. Adapun untuk penelitian selanjutnya dapat dilakukan analisis kestabilan dari titik kesetimbangan endemiknya baik lokal maupun global dengan menggunakan metode Lyapunov. V. DAFTAR PUSTAKA [1] R.M.Anderson, R.M.May.(1979). Population Biology of Infectious Diseases Part-I.Nature Vol 280.Hal [2] J.Gonzalez-Guzmem.(1989). An Epidemiological Model for Direct and Indirect Transmission of Typhoid Fever.Math-Biosci Vol 96.Hal [3] H.W.Hetchote.(1976). Qualitative Analysis of Communicable Disease Models.Math-Biosci Vol 28.Hal [4] M.Ghosh, P.Chandra, P.Sinha, J.B.Shukla.(2004). Modelling The Spread of Carrier-Dependent Infectious Diseases With Environmental Effect.Elsevier-Appl.Math.Comput.Vol 152.Hal [5] M.Ghosh, P.Chandra, P.Sinha, J.B.Shukla.(2005). Modelling The Spread of Bacterial Disease: Effect of Service Providers From An Environmentally Degraded Region.Elsevier-Appl.Math.Comput. Volume 160.Hal [6] M.Ghosh, P.Chandra, P.Sinha, J.B.Shukla.(2006). Modelling The Spread of Bacterial Infectious Disease with Environmental Effect in A Logistically Growing Human Population.Nonlinear Analysis. Real Word Application Vol 7.Hal [7] J.B. Shukla, V. Singh, A.K. Misra.(2011). Modelling The Spread of An Infectious Disease With Bacteria and Carriers in The Environment.Nonlinear Analysis. Real Word Application Vol 12.Hal [8] Finizio N, Landas G.(1998). Ordinary Differential Equation With Modern Application. California: Wasdsworth Publishing Company. [9] Dinita,R.(2010). Pemodelan Matematika Analisis Stabilitas Dari Penyebaran Penyakit Flu Burung. Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Tugas Akhir S1 Jurusan Matematika ITS. Surabaya. [10]P.B Khan.(1989). Mathematical Methods for Scientist and Engineers.New York: A Wiley Interscience Publication. [11]google.1 Juni Lyapunov Stability Theory. <URL: [12]google.1 Juni Notes on Lyapunov Theorema. <URL: > [13]M.Vidyasagar.(1978). Nonlinear System Analysis. New Jersey: Prentice Hall Inc.