DISTRIBUSI PROBABILITAS MARGINAL & BERSYARAT TI2131 TEORI PROBABILITAS MINGGU KE-6 1 Joint Distribution Function Distribusi peluang gabungan dari dua variabel random X dan Y merupakan distribusi peluang kejadian simultan keduanya, atau f(x,y) = P(X=x,Y=y) 2 1
Definisi Joint Distribution Function Diskrit Fungsi f(x,y) adalah sebuah joint probability distribution dari variabel random diskrit X dan Y jika: 1. f(x,y) > 0 untuk semua (x,y) 2. ( x, y ) = x y f 1 3. P(X=x, Y=y) = f(x, y) untuk setiap daerah pada bidang xy, P[(X,Y) A] = A f ( x, y ) 3 Contoh Joint Distribution Function Diskrit Sebuah kelompok terdiri atas 3 pria dan 2 wanita. Dari kelompok ini akan diundi dua orang yang akan mewakili kelompok tersebut untuk tampil ke panggung. Jika X merupakan variabel random yang menunjukkan jumlah pria yang tampil dan Y merupakan variabel random yang menunjukkan jumlah wanita yang tampil, tentukan fungsi probabilitas gabungan f(x,y)! 4 2
Definisi Joint Distribution Function Kontinyu Fungsi f(x,y) adalah sebuah joint density function dari variabel random kontinu X dan Y jika: 1. f(x,y) > 0 untuk semua (x,y) 2. f ( x, y ) dx dy = 1 3. P[(X,Y) A] = A f ( x, y ) dx dy untuk setiap daerah A yang diberikan pada bidang xy 5 Contoh Joint Distribution Function Kontinyu Sebuah restoran memiliki fasilitas walk-in dan drive-in. Pada suatu hari pengamatan yang dipilih secara random, tetapkan X dan Y masing-masing sebagai proporsi waktu penggunaan dari fasilitas walk-in dan drive-in. Diperkirakan joint density function dari kedua variabel random ini adalah: 2 (2x + 3y), 0 x 1,0 y 1 f ( x, y) = 5 0, lainnya a. periksalah apakah f(x,y) merupakan sebuah joint density function! b.berapa probabilitas walk-in sibuk lebih dari setengah hari sedangkan drive in hanya sibuk kurang dari setengah hari? 6 3
Distribusi Marginal Distribusi marjinal dari X sajadan dari Y sajaadalah: g(x) = f ( x, y ) dan h(y) = f ( x, y ) untuk kasus diskrit, dan y g(x) = f ( x, y ) dy dan h(y) = f ( x, y ) dx x untuk kasus kontinu. 7 Contoh Distribusi Marginal Tentukan distribusi marjinal dari X dan Y pada contoh pada slide no 12 di atas! 8 4
Distribusi Kondisional Diberikan X dan Y sebagai dua variabel random, baik diskrit maupun kontinu. Distribusi kondisional dari variabel random Y, diberikan X = x, adalah: f ( x, y ) f(y x) =, g(x) > 0. g ( x ) Analog, distribusi kondisional dari variabel random X, diberikan Y = y adalah: f ( x, y ) f(x y) =, h(y) > 0. h( y ) 9 Contoh Distribusi Kondisional Joint density function untuk variabel random (X,Y), di mana X merupakan proporsi tiket bisnis yang terjual (dari tiket bisnis yang tersedia) dan Y proporsi tiket ekonomi yang terjual (dari tiket ekonomi yang tersedia), adalah f(x,y) = 2 10xy, 0 < x < y < 1 0, untuk lainnya Berapa probabilitas proporsi tiket ekonomi yang terjual lebih dari setengah tiket ekonomi yang tersedia, manakala tiket bisnis yang terjual kurang 25%? 10 5
Statistical Independence Diberikan dua variabel random X dan Y, diskrit ataupun kontinu, dengan joint distribution function, f(x,y) dan distribusi marginal g(x) dan h(y), berturut-turut. Variabel random X dan Y dikatakan independen secara statistika, jika dan hanya jika: f(x,y) = g(x)h(y) untuk semua (x,y) dalam rentang yang ada. 11 Statistical Independence (generalized) Diberikan X 1,X 2,, X n adalah n variabel random, diskrit atau kontinu, dengan joint probability distribution f(x 1,x 2,,x n ) dan distribusi marginal-nya berturut-turut 1 f (x 1 ), 2 f (x 2 ),, f(x n ). Variabel-variabel random X 1,X 2,, X n dikatakan saling bebas secara statistika jika dan hanya jika: f(x 1,x 2,,x n ) = 1 f (x 1 ) 2 f (x 2 ) f(x n ) 12 6
Contoh Statistical Independence Diberikan waktu kedatangan antar order pada sebuah usaha job shop adalah sebagai berikut: e x, x > 0 f(x) = 0, untuk lainnya Jika X 2, X 3, dan X 4 berturut-turut menunjukkan jarak waktu order (dalam hari) dari tiga pelanggan yang berbeda dan tidak berhubungan dengan pelanggan sebelumnya (X 2 berarti selisih waktu order masuk dari pelanggan kedua terhadap pelanggan pertama, dan seterusnya), tentukan probabilitas bahwa jarak waktu dari masing-masing order kurang dari 2 hari! 13 7