Solusi Olimpiade Sains Nasional Bidang Matematika SMA/MA Seleksi Tingkat Kota/Kabupaten Tahun Waktu : Menit Yudi Setiawan, M.Pd., M.Si SMAN Cikembar Kab. Sukabumi Email : yd_smarsi@yahoo.com. Misalkan kita menuliskan semua bilangan bulat,, 3,..., smapai dengan. Berapa kali kita menuliskan angka?. Banyaknya angka yang dituliskan sama dengan banyaknya angka yang muncul dari barisan bilangan,, 3,,..., Banyaknya angka pada bilangan angka adalah Banyaknya angka pada bilangan angka adalah Banyaknya angka pada bilangan 3 angka adalah 9. 9. 9 9.. 9 9.. 9.. 8 Banyaknya angka pada bilangan angka yang kurang dari adalah............ 3 Banyaknya angka pada bilangan - adalah...... Banyaknya angka yang dituliskan adalah + 9 + 8 + 3 + = 6 6 kali. Sekelompok orang akan berjabat tangan. Setiap orang hanya dapat melakukan jabat tangan sekali. Tidak boleh melakukan jabat tangan dengan diringa sendiri. Jika dalam sekelompok orang tersebut terdapat 9 jabat tangan, maka banyaknya orang dalam kelompok tersebut ada berapa?. n n Jika terdapat n orang, maka banyaknya jabat tangan adalah
Solusi OSK Matematika SMA SMAN CIKEMBAR KAB. SUKABUMI Sehingga n n 9 n n..9 n n.9 n Banyaknya orang adalah orang orang 3. Dalam suati permainan, jika menang mendapat nilai, jika kalah mendapat nilai -.(a, b) menyatakan a putaran permainan dan b menyatakan total nilai seorang pemain. Maka seluruh kemungkinan (a, b) pada putaran ke adalah... Misalkan banyaknya menang =, Banyaknya menang = y, y Sehingga y a. Pada putaran ke maka nilai a = y y b y b b b Karena y dan, y merupakan bilangan bulat positif maka, y Sehingga seluruh kemungkinan (a, b) pada putaran ke adalah a, b,, ada sebanyak pasang a, b,,. Dilemari hanya ada dua macam kaos kai, yakni hitam dan putih. Ali, Budi, dan Candra berangkat di malam hari saat mati lampu, dan mereka mengambil kaus kaki secara acak dari lemari dalam kegelapan. Berapa kaus kaki minimal yang harus mereka ambil untuk memastikan bahwa akan ada 3 pasang kaus kaki yang bisa mere pakai? (sepasang kaus kaki harus memiliki warna yang sama). Misalkan (m, n) menyatakan m buah kaos kaki hitam dan n buah kaos kaki putih. Banyaknya pasangan kaus kaki yang diharapkan adalah 3 pasang, sehingga m n.3 m n 6 namun 6 buah kaus kaki tidak dapat memastikan terdapat 3 pasang kaus kaki, contohnya adalah (5, ) hanya diperoleh pasang kaus kaki. Sehingga m n 7 m n 7 maka m atau n Misalkan m (, 3) maka terdapat dua pasang kaos kaki hitam dan sepasang kaos kaki putih. (5, ) maka terdapat dua pasang kaos kaki hitam dan sepasang kaos kaki putih. m 6, maka terdapat tiga pasng kaos kaki hitam (untuk n serupa). Yudi Setiawan, M.Pd., M.Si Halaman
Solusi OSK Matematika SMA SMAN CIKEMBAR KAB. SUKABUMI Dengan demikan diperoleh bahwa banyaknya kaos kaki minimal yang harus mereka ambil untuk memastikan bahwa akan ada 3 pasang kaos kaki adalah 7 7 5. Misalkan batas suatu kebun dinyatakan dalam bentuk persamaan y dengan, y dinyatakan dalam satuan meter. Pemilik kebun setiap pagi biasa berjalan kaki berkeliling kebun dengan kecepatan km/jam searah jarum jam. Jika pemilik kebun pada pukul 6 berada di koordinat (, ), dimanakah posisi pemilik kebun pada pukul.. Menurut penulis, terdapat kekeliruan dalam pengetikan naskah soal, yaitu Soal tersebut tidak dapat dikerjakan karena posisi pemilik kebun tergantung pada waktu, sedangkan waktu tidak diketahui (tidak di tulis). Persamaan y tidak membatasi sebuah daerah tertutup seperti terlihat pada gambar di bawah, sehingga mustahil pemiliki kebun dapat mengelilingi daerah tersebut. Kecuali ditambah pembatas, yaitu Sumbu X positif dan Sumbu Y positif. Sehingga daerahnya berbentuk segitiga, namun demikian tanda harga mutlak jadi tidak berguna. Titik (, ) tidak terletak pada grafik y, seperti terlihat pada gambar di bawah ini 3 Y + y = - -3 - - 3 X - - -3 - Sebaiknya soal seperti berikut Misalkan batas suatu kebun dinyatakan dalam bentuk persamaan y dengan, y dinyatakan dalam satuan meter. Pemilik kebun setiap pagi biasa berjalan kaki berkeliling kebun dengan kecepatan km/jam searah jarum jam. Jika pemilik kebun pada pukul 6 berada di koordinat (, ), dimanakah posisi pemilik kebun pada pukul 6.6 Yudi Setiawan, M.Pd., M.Si Halaman 3
Solusi OSK Matematika SMA SMAN CIKEMBAR KAB. SUKABUMI 3 Y + y = X - -3 - - 3 - - -3 - Waktu tempuh dari pukul 6. sampai dengan pukul 6.6 = 6 menit =, jam Sehingga jarak tempuhnya adalah =, jam km/jam =, km = m Jarak antara titik (, ) dan (, ) adalah m = kali jarak tempuh. Sehingga koordinat pemilik kebun pada pukul 6.6 merupakan titik tengah antara titik (, ) dan (, ), yaitu (, ) (, ) Alternatif lain Misalkan koordinat pemilik kebun pada pukul 6.6 adalah (a, b) Karena pemilik kebun baru berjalan selama 6 menit dan arahnya searah jarum jam, maka jelas bahwa (a, b) akan terletak di kwadran I sehingga a = a dan b = b Maka a b a 8b b 8 a b 8 8. b Dan (a, b) terletak pada y, maka a b a b Sehingga 8 8b ab ab b a b a ab b a b ab b a 6 Dengan demikian diperoleh bahwa a = dan b = Koordinat pemilik kebun pada pukul 6.6 adalah (, ) (, ) b a Yudi Setiawan, M.Pd., M.Si Halaman
Solusi OSK Matematika SMA SMAN CIKEMBAR KAB. SUKABUMI 6. Ani mempunyai sangat banyak dadu dengan ukuran 3 3 3 cm 3, jika ia memasukkan dadu-dadu tersebut ke dalam sebuah kardus dengan ukuran 5 35 cm 3, maka berapa banyak dadu yang bisa masuk ke dalamnya?. Ukuran Dadu 3 3 3 cm 3 Ukuran Kardus 5 35 cm 3 Misalkan panjang, lebar, dan tinggi kardus tersebut masing-masing adalah 5 cm, cm,dan 35 cm. Sehingga Berdasarkan ukuran panjang, kardus tersebut hanya dapat menampung 5 : 3 = 6 buah Berdasarkan ukuran lebar, kardus tersebut hanya dapat menampung : 3 = 3 buah Berdasarkan ukuran tinggi, kardus tersebut hanya dapat menampung 35 : 3 = buah secara Dengan demikian banyaknya dadu yang dapat dimasukkan kedalam kardus adalah 6 3 = 88 buah 88 7. Bilangan asli disusun seperti bagan di bawah ini 3 5 6 7 8 9 3 5 6 Perhatikan barisan bilangan berikut Baris ke Baris ke 3 Baris ke 3 5 6 7 8 9 B aris ke 3 5 6 atau Baris ke Baris ke B aris ke 3 3 3 B aris ke 3 3 3 3 3 3 5 3 6 Sehingga baris ke n bilangan ke m adalah n m, dengan m bilangan asli, m n Bilangan ketiga pada baris ke 5 adalah 5 3 9 3. Yudi Setiawan, M.Pd., M.Si Halaman 5
Solusi OSK Matematika SMA SMAN CIKEMBAR KAB. SUKABUMI 8. Jumlah sdari seluruh solusi persamaan 7 Adalah... Perhatikan persamaan 7 Misalkan a, maka a 7 a 7 a a a 7 a a a a 3 atau 3 3 8 Jumlah dari seluruh solusi adalah 8 + 56 = 337 337 a 56 9. Enam dadu berbeda dilempar satu kali. Probabilitas banyak mata dadu yang muncul 9 adalah... S : Ruang sampel pelemparan 6 dadu berbeda N(S) = 6 6 A: Kejadian munculnya jumlah mata dadu 9 Misal i menyatakan mata dadu yang muncul pada dadu ke-i, maka dengan 9 3 5 6 Kemungkinan dari A adalah Terdapat mata dadu yaitu,,,,, 5! 5! Terdapat mata dadu 3 yaitu,,,,,3 5! 3! Terdapat mata dadu yaitu,,,,, N(A) = 5 + + 3 = 56 N( A) 56 P(A) 6 N( S) 6 6 56 6 i 5! 3!! Yudi Setiawan, M.Pd., M.Si Halaman 6
Solusi OSK Matematika SMA SMAN CIKEMBAR KAB. SUKABUMI. Luas daerah yang didalam lingkaran 7 y dan y 7 adalah... y tetapi diluar lingkaran Y 7 X - - -7 7-7 Misalkan Luas daerah lingkaran besar = L B Luas daerah lingkaran kecil = L K Luas daerah yang diarsir L L B K ( )( ) 5 - Namun penulis berkeyakinan bahwa ada kesalahan pengetikan dalam naskah soal, seharusnya Luas daera yang didalam lingkaran y tetapi diluar lingkaran 7 y dan y 7 adalah... 7 - -7 7-7 - Y Gambar X Misalkan Luas daerah lingkaran besar = L B Luas daerah lingkaran kecil = L K Luas daerah Tembereng = L T Perhatikan salah satu lingkaran kecil (gambar ) Segitiga AOB siku-siku di O, dengan AB = dan AO = 7 AO 7 cos BAO BAO 6 AB BAC. BAO BAO L. Juring BAC 36 L K dan L. ABC AB. AC.sin Y 7 - -7 7-7 - A B C O Gambar X T 3 L =L. Juring BAC L. ABC 3 3 3 3 Luas daerah yang diarsir L L + L B K T 3 3 3 3 Yudi Setiawan, M.Pd., M.Si Halaman 7
Solusi OSK Matematika SMA SMAN CIKEMBAR KAB. SUKABUMI. Tentukan semua bilangan bulat positif p sedemikian sehingga p, p +8, dan p + 6 adalah prima. p bilangan bulat positif sedemikian sehingga p, p +8, dan p + 6 merupakan bilangan prima. Jelas bahwa p harus merupakan bilangan prima Jika p > 3, maka p 6k atau p 6k 5 Jika p 6k, maka p 8 6k 8 6k 9 3 k 3 bukan bilangan prima. Jika p 6k 5, maka p 6 6k 5 6 6k 3 k 7 bukan bilangan prima. Jika p 3, maka p = 3 p =, maka p 8 dan p 6 bukan bilangan prima. p = 3, maka p 8 3 8 dan p 6 3 6 9 merupakan bilangan prima. Nilai p sehingga p, p +8, dan p + 6 merupakan bilangan prima adalah 3 3. Jika A 5 5 dan B 5 5, maka A B adalah... A 5 5 dan B 5 5 A B A B A B 5 5 5 5 5 5 5 5.5.5.5.. 5 3. Diketahui ABC AD BD ABC dan, titik D dan E berturut-turut pada sisi AB dan AC, dengan panjang AE C E adalah 9 cm. Luas segiempat ADFE adalah... Misalkan Panjang AE = Panjang AD = y tinggi ABC melalui titik B = t tinggi AFC melalui titik F = s. Garis BE dan CD berpotongan di titik F. Diketahui luas Yudi Setiawan, M.Pd., M.Si Halaman 8
Solusi OSK Matematika SMA SMAN CIKEMBAR KAB. SUKABUMI B D F A E C L ABC. AC. t.3 t. 3. t. 3. AE. t 3. L AEB dan L AC F. AC. s.3 s. 3. s. 3. AE. s 3. L AEF Dengan cara yang serupa dapat ditunjukkan bahwa L ABC 3. L AD C dan L ABF 3. L AD F Sehingga L AEB L AD C L ABC 3 = 3 cm Misal L AD F M L AEF N maka L ABF 3M L ACF 3N Perhatikan segitiga dan L AEB L AEF L ABF 3 N 3 M () dan L ADC L ADF L ACF 3 M 3 N () Dari () dan () diperoleh N 3M 3 3 N M 3 N M 6 N M 5 L AD FE L AD F L AEF N M 5 cm 5 Yudi Setiawan, M.Pd., M.Si Halaman 9
Solusi OSK Matematika SMA SMAN CIKEMBAR KAB. SUKABUMI. Ada berap banyak bilangan bulat positif berlambang abcde dengan a b c d e? Banyaknya bilangan bulat positif berlambang abcde dengan a b c d e Jelas bahwa a >, sehingga banyaknya angka yang dapat dipilih sebanyak 9. Jika a b c d e Artinya kelima angka tersebut berbeda, sehingga banyaknya bilangan bulat positif berlambang abcde sama dengan banyaknya cara memilih 5 angka berbeda dari 9 angka yang tersedia, yaitu 9 9! C 6 cara 5 5!.! Jika a b c d e Artinya terdapat empat angka berbeda, sehingga banyaknya bilangan bulat positif berlambang abcde sama dengan banyaknya cara memilih angka berbeda dari 9 angka yang tersedia, yaitu 9 9! C 6 cara!.5! Banyaknya bilangan bulat positif berlambang abcde dengan a b c d e adalah = 9 9 9 9 C C C C = 5 5 5 9 9 9 9 5 5 C C C C 5 5. Bilangan asli terkecil lebih dari yang bersisa jika dibagi, 3,, 5, 6, 7, 8, 9, dan adalah... Bilangan asli terkecil lebih dari yang bersisa jika dibagi, 3,, 5, 6, 7, 8, 9, dan. Misal bilangan tersebut adalah A, maka A dapat dinyatakan dalam bentuk A q. k dengan q merupakan KPK dari, 3,, 5, 6, 7, 8, 9, dan. Dan k merupakan bilangan asli. Perhatikan bahwa,faktor prima dari masing-masing pembagi adalah 3 3 5 5 3 6.3 K PK.3.5.7 5 7 7 3 8 9 3.5 Sehingga A 5. k. Karena A adalah bilangan asli terkecil yang lebih dari, maka haruslah k = sehingga diperoleh A 5. k 5. 5 5 Yudi Setiawan, M.Pd., M.Si Halaman
Solusi OSK Matematika SMA SMAN CIKEMBAR KAB. SUKABUMI 6. Bilangan bulat positif terkecil a sehingga a a 6a a merupakan kuadrat sempurna adalah... Misalkan a a 6a a k untuk suatu bilangan bulat positif k. Perhatikan barisan berikut a a 6a a a 6 k k a.. a.. k a.. k a. karena k merupakan bilangan bulat positif, maka haruslah a n dan karena a bilangan bulat positif terkecil, maka n =, sehingga a = 7. Misalkan A dan B adalah sudut-sudut lancip yang memenuhi tan( A B) Besar sudut A adalah... dan tan A tan A B A B tan A A B tan A B A B A B tan tan. tan 3. 3 A sudut lancip maka,5 8. Jika a y 3 sama dengan... A 5 A, 5 dan 5 by 7 tan( A B) 3 menyatakan persamaan garis yang sama, maka a b a y 3 a y 3 3 5 by 7 5 b y 7 7 Sehingga a 5 5 a 3 7 7 5 3 a b b 7 3 b 7 3 3 3 Yudi Setiawan, M.Pd., M.Si Halaman
Solusi OSK Matematika SMA SMAN CIKEMBAR KAB. SUKABUMI 9. Terdapat 5 orang pria dan 5 orang wanita duduk dalam sederetan kursi secara random. Berapa banyaknya cara untuk menduduki kursi tersebut, dengan syarat tidak boleh ada yang duduk berdampingan dengan jenis kelamin yang sama? Cara duduk yang mungkin adalah LPLPLPLPLP atau PLPLPLPLPL Maka banyaknya cara adalah 5!.5!. = 8.8 cara 8.8 cara. Ada berapa faktor positif dari 7 5 3 3 5 7 yang merupakan kelipatan? 7 5 3 Misal 3 5 7 A. untuk suatu bilangan bulat A 7 5 3 6 5 6 5 Karena 3 5 7 3 5 7. maka A 3 5 7 7 5 3 Sehingga banyaknya faktor positif dari 3 5 7 yang merupakan kelipatan sama dengan banyaknya faktor positif dari Ayaitu sebanyak 6 5 7.6.3.3 378 378 faktor Yudi Setiawan, M.Pd., M.Si Halaman