DISTRIBUSI NORMAL MULTIVARIAT 4.6 Meaksr Asums-asums Keormala Paa embahasa tekk-tekk statstk multvarat, aka bayak asumska bahwa seta vektor observas X berstrbus ormal multvarat. Dketahu ula aa saat ukura samel besar a tekk yag guaka haya bergatug aa sfat X atau arak yag melbatka X alam betuk ( X µ )' S ( X µ ) maka asums keormala masg-masg observas mea tak terlalu etg. Mesku emka, utuk beberaa tgkata kualtas kesmula berasarka metoe tersebut tergatug aa seberaa mr oulas yag kta telt meyerua oulas ormal. Sehgga erluka metoe utuk megetfkas betuk oulas awal yag haraka berstrbus ormal multvarat. Peyelka kta terhaa keormala haya aka lakuka alam satu a ua mes ar observas, karea kta aka kesulta megkostruksya utuk lebh ar ua mes observas. A. Megevaluas Keormala ar Dstrbus Maral Uvarat Secara gars besar, kta aat megevaluas keormala ar strbus maral uvarat atara la ega cara:. Megguaka Peekata Keormala utuk Dstrbus Samlg Proors Kta aat memlot ata alam betuk agram ttk utuk ukura samel yag kecl a hstogram utuk ukura samel > 5, hal aat membatu memerlhatka stuas strbus uvarat. Jka hstogram utuk varabel X tamak smetrs maka kta aat megecek keormalaya lebh auh ega meghtug umlah observas-observas aa terval tertetu. Paa strbus ormal berlaku ( µ σ µ + σ ) ( µ σ, µ + σ ), memlk eluag 0,683 a memlk eluag 0,954. sehgga ega ukura samle yag besar, kta haraka roors terobservas yag beraa alam terval ( x S x + S ), sektar 0,683 a roors terobservas yag beraa alam terval ( x S, x + S ) sektar 0,954. Dega megguaka eekata keormala utuk strbus samlg roors, eroleh ( 0,683)( 0,37), 396 ˆ 0,683 > 3 ()
( 0,954)( 0,046), 68 ˆ 0,954 > 3 Sehgga samle kta memeuh ersamaa (), maka hal megkaska bahwa karakterstk ke- berasal ar strbus ormal. Jka roors terobservas terlalu kecl, maka uug strbus lebh tebal ar strbus ormal.. Megguaka Q-Q Plot Jka Q-Q lot yag meruaka lot ar kuatl samel yag urutka (x ) lawa kuatl terstaarsas yag berkoresoes egaya (q ) memlk ttk-ttk yag terletak meekat gars lurus, maka kataka bahwa observas tersebut berstrbus ormal. Q-Q lot tak aka memberka formas yag bergua ka ukura samel terlalu kecl, sehgga haraka samel berukura 0. Msalka x, x,..., x meruaka observas aa sembarag karakterstk tuggal X, maka lagkah-lagkah membuat Q-Q lot aalah sebaga berkut: a. megurutka observas asal utuk memeroleh x (), x (),...,x () maa x () x ()... x (), kemua meetuka la eekata eluag yag berkoresoes egaya, yatu ( ) ( ) ( ),,..., b. meghtug quartl ormal staar q (), q (),...,q () ega P ( Z q ) ( ) q ( ) z e z P( ) π c. memlot asaga observas (q (), x () ), (q (), x () ),..., (q (), x () ) a melhat keleara haslya. Keleara hasl Q-Q lot tag haya lhat berasarka egamata kasar, rasa erlu kuatka oleh bukt formal. Utuk meetuka keleara ar Q-Q lot, kta aat meghtug koefse korelas ttk-ttk alam lot tersebut, yatu: r Q ( x x)( q q) ( x x) ( q q) ( ) ( ) ( ) ( ) Secara formal kta aka meolak hotess keormala ega taraf sgfka sebesar α ka r Q memlk la bawah la atoka yag tercatum alam tabel berkut: () (3)
Tabel Ukura samel Taraf sgfka α () 0,0 0,05 0,0 5 0,899 0,8788 0,903 0 0,880 0,998 0,935 5 0,96 0,9389 0,9503 0 0,969 0,9508 0,9604 5 0,940 0,959 0,9665 30 0,9479 0,965 0,975 35 0,9538 0,968 0,9740 40 0,9599 0,976 0,977 45 0,963 0,9749 0,979 50 0,967 0,9768 0,9809 55 0,9695 0,9787 0,98 60 0,970 0,980 0,9836 75 0,977 0,9838 0,9866 00 0,98 0,9873 0,9895 50 0,9879 0,993 0,998 00 0,9905 0,993 0,994 300 0,9935 0,9953 0,9960 Sela ega meghtug r Q, beberaa eragkat software megevaluas statstk asal megguaka Sharo-Wlk, yatu betuk korelas yag berkoresoes ega meggat q () ega la fugs eksektas statstka ormal asar yag terurut a kovarasya. Kta teta lebh memlh megguaka r Q, sebab r Q berkoresoes secara lagsug ega ttk aa lot la ormal. Namu emka, utuk ukura samel yag besar keua statstk tersebut hamr sama sehgga keuaya aat guaka utuk memutuska kekuragcocoka alam keormala. Kombas lear utuk lebh ar satu karakterstk aat selk. Bayak statstkawa meyaraka utuk memlot e ˆ x ' maa Seˆ ˆ λeˆ Da ˆλ ' aalah la ege terbesar ar S. Ds [ x, x,..., x] x aalah observas ke- alam varabel X, X,..., X. Kombas lear e ˆ ' x yag berkoresoes ega la ege terkecl uga serg megutugka alam eyelka. B. Megevaluas Keormala ar Dstrbus Maral Bvarat Secara gars besar, kta aat megevaluas keormala ar strbus maral uvarat atara la ega cara:
. Meghtug Ttk - ttk alam Kotur a Membagkaya ega Teor Peluag. Kta telah megetahu bahwa agram ecar utuk asaga karakterstk aka ormal a kotur keaataya berbetuk els ka observas berasal ar strbus ormal multvarat. Sehgga kta harus meuukka ola yag secara keseluruha meyeruaya. Berasarka teor, hmua hasl bvarat x seemka sehgga ' ( x µ ) ( x µ ) χ (0,5) memlk eluag 0,5. Sehgga secara kasar, haraka resetase yag sama, yatu 50% ar observas terletak aa els. Semua x seemka sehgga ( x x) S ( x x) χ (0,5) µ ega la estmasya x a observas x yag terletak alam els. ' ega la estmasya maa kta meggat S meyataka Jka observas observas berstrbus ormal, kta haraka setegah ar observas observas tersebut terletak aa kotur. Perbeaa roors yag auh megkaska bahwa asums keormala tolak.. Meghtug Ch-kuarat Plot Proseur tak terbatas haya utuk kasus bvarat, ta uga utuk varabel ega. terlebh ahulu aka efska megea arak kuarat yag erumum, yatu: ' ( x x) S ( x x) ega,,..., (4) ega x, x,..., x aalah observas samel. Saat oulas awal (uk) berbetuk ormal multvarat a samel berukura besar sehgga a - lebh ar 5 atau 30, maka seta arak kuarat,,..., meruaka varabel acak berstrbus ch-kuarat. Walauu arak-arak tak salg bebas atau tak berstrbus ch-kuarat secara teat, amu kta erlu memlotya ega ch-kuarat lot.lagkah-lagkah membuat ch-kuarat lot: a. Megurutka arak kuarat yag telah efska aa ersamaa (4) ar yag terkecl sama yag terbesar, yatu....
b. Gambarka asaga ( ), χ, maa χ aalah 00( ) ersetl ar strbus ch-kuarat ega eraat kebebasa. Plot yag haslka haraka meyerua betuk gars lurus. Jka berbetuk kurva yag sstemats, maka hal megkaska keormala. Jka haya satu atau ua ttk yag beraa auh ar gars lurus, maka meruaka observas ecla a erlu telt lebh auh. Kta telah meskuska beberaa tekk seerhaa utuk megu asums keormala. Secara rc, kta memlh megguaka erhtuga arak kuarat,,,..., a membagka haslya ega ersetl-ersetl χ. Ja, sebaga cotoh keormala -varat kaska ka: a. Secara kasar, setegah ar kurag ar atau sama ega ( 0,50) χ. b. Plot ar arak kuarat yag terurut... lawa χ, χ,..., χ secara beruruta meekat gars lurus. Smaga keormala serg tera aa satu atau lebh observas ecla. Observas-observas serg aat etfkaska ega satu atau lebh ar lotlot berkut: a. Hstogram atau agram aha-au yag meamlka observas-observas (x,,,..., ) atau observas-observas yag staarsas z ( x s x),,,..., utuk ta varabel (,,...,). b. Dagram ecar yag kostruks oleh observas-observas bvarat ta asag ar varabel-varabel. ' c. Ch-kuarat lot ar arak kuarat ( x x) S ( x x) ega,,...,. Jka teretfkas ecla, maka subek harus selk lebh auh. Berasarka kealama ar ecla a keobektftasa alam eyelka, ecla aat hlagka atau bobot secara teat aa aalss selautya. Catata bahwa semua egukura yag memuat ketaksesuaa etg utuk tau kembal. Saat samel berukura kecl, hayalah tgkah laku ata yag sagat
meymag yag etfkaska tak sesua. D ss la, samel yag sagat besar selalu meghaslka ketakcocoka secara statstk. Namu, awal ar strbus yag tetaka mugk sagat arag a secara tekk tak etg utuk kesmula. Berkut aalah cotoh soal utuk masalah megevaluas keormala ar strbus maral uvarat a bvarat:. Masalah megevaluas keormala ar strbus maral uvarat Baga egawasa kualtas suatu abrk ove mcrowave aka memotor besarya ems raas ar ove tersebut saat tuya tutu. Dambl samel ove secara acak berukura 4, a amat ems raasya saat tu tutu. Utuk meetuka eluag ar raas yag melamau level toleras, erluka strbus eluag ar ems raas. Daatkah kta memaag bahwa observas berstrbus ormal? Data hasl observas ems raas aalah sebaga berkut: Jawab: No. No. No. ove Raas ove Raas ove Raas 0,5 5 0,0 9 0,08 0,09 6 0,0 30 0,8 3 0,8 7 0,0 3 0,0 4 0,0 8 0,0 3 0,0 5 0,05 9 0,0 33 0, 6 0, 0 0,40 34 0,30 7 0,08 0,0 35 0,0 8 0,05 0,05 36 0,0 9 0,08 3 0,03 37 0,0 0 0,0 4 0,05 38 0,30 0,07 5 0,5 39 0,30 0,0 6 0,0 40 0,40 3 0,0 7 0,5 4 0,30 4 0,0 8 0,09 4 0,05 Pertama kta aka meguya ega melhat Q-Q lot: Setelah kta megurutka hasl observas (x () ), meetuka la eluag eekata yag berkoresoes egaya ( ) berasarka tabel strbus ormal baku, maka eroleh: Observas terurut (x () ) Peluag eekata ( ) Quartl ormal staar (q () ), a meetuka quartl ormal staarya Observas terurut (x () ) Peluag eekata ( ) Quartl ormal staar (q () ) 0,0 0,09 -.6 0,0 0,59 0.03
0,0 0,0357 -.80 0,0 0,5357 0.09 0,0 0,0595 -.57 0,0 0,5595 0.5 0,0 0,0833 -.38 0,0 0,5833 0. 0,0 0,07 -.4 0,0 0,607 0.7 0,03 0,30 -. 0, 0,630 0.33 0,05 0,548 -.0 0, 0,6548 0.40 0,05 0,786-0.9 0,5 0,6786 0.46 0,05 0,04-0.83 0,5 0,704 0.53 0,05 0,6-0.75 0,5 0,76 0.60 0,05 0,500-0.67 0,8 0,7500 0.67 0,07 0,738-0.60 0,8 0,7738 0.75 0,08 0,976-0.53 0,0 0,7976 0.83 0,08 0,34-0.46 0,0 0,84 0.9 0,08 0,345-0.40 0,0 0,845.0 0,09 0,3690-0.33 0,30 0,8690. 0,09 0,393-0.7 0,30 0,899.4 0,0 0,467-0. 0,30 0,97.38 0,0 0,4405-0.5 0,30 0,9405.57 0,0 0,4643-0.09 0,40 0,9643.80 0,0 0,488-0.03 0,40 0,988.6 Karea aa beberaa observas yag memlk hasl yag sama, maka Q-Q lot yag meggambarka asaga (q (), x () ), (q (), x () ),..., (q (), x () ) aka buat ega memlot utuk ta la x () yag berbea a quartl ormal staar yag berkoresoes egaya eroleh ega merata-rataka la-la q () yag eroleh berasarka observas asal, sehgga asaga (q (), x () ) yag aka lot aalah sebaga berkut: x () q () x () q () 0.0 -.0300 0. 0.3300 0.0 -.3967 0. 0.4000 0.03 -.00 0.5 0.5300 0.05-0.8380 0.8 0.700 0.07-0.6000 0.0 0.933 0.08-0.4633 0.30.375 0.09-0.3000 0.40.0300 0.0 0.700 Da Q-Q lotya aat eroleh ega megguaka batua rogram excel:
q() Berasa rka egam ata secara kasar terhaa Q- Qlot atas, tamak bahwa haslya kurag lear, sehgga observas erkraka buka berstrbus ormal. Utuk lebh meyakkaya, kta aka meghtug koefse korelas utuk Q-Q lot (ata yag guaka aalah ata asl, yatu yag sebayak 4 ata), ar 4 ata aa soal maka eroleh: 4 ( x( ) x)( q( ) q ) 4 ( x( ) x) 0,4 ( q( ) q ) 40, 738.5000.0000.5000.0000 0.5000 0.0000 (x,q) -0.50000.00 0.0 0.0 0.30 0.40 0.50 -.0000 -.5000 -.0000 -.5000 x() 3,807 Dega q 0 Sehgga ega megguaka ersamaa (3) eroleh: r Q 4 4 ( x x)( q q) 4 ( x x) ( q q) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,4 3,807 40,738 3,807 4,0975 0,978 U keormala ega taraf sgfkas 5% a 4 tak tercatum alam tabel, amu ega memafaatka la aa tabel ega taraf sgfkas 5% ega 40 a 45 kta aat memeroleh la yag kta butuhka ega tekk terolas yatu sebesar 0,9735.
Karea r Q 0,978 < 0,9735 maka kta meolak hotess bahwa observas berstrbus ormal, atau ega kata la bahwa observas tak berstrbus ormal.. Masalah megevaluas keormala ar strbus maral bvarat Berkut aalah asaga ata observas yag eroleh ar 0 erusahaa besar Amerka: Perusahaa X euala (lm utaa ollar) X laba (lm utaa ollar) Geeral Motor 6.974 4.4 For 96.933 3.835 Exxo 86.656 3.50 IBM 63.438 3.758 Geeral Electrc 55.64 3.939 Mobl 50.976.809 Phl Morrs 39.069.946 Chrysler 36.56 359.000 u Pot 35.09.480 Texaco 3.46.43 Aakah asaga ata atara x a x berstrbus maral bvarat? Jawab: Pertama kta aka megu ega meghtug ttk-ttk alam kotur a membagkaya ega teor eluag. Kta kataka bahwa suatu ttk x terletak alam kotur bla memeuh ' ( ) ( ) x x S x x χ (0,5), ega ( 0,50) Berasarka soal kta aat eroleh: χ,39 x 6309, s s 0005093,66 5575599,63 x a S x 97,3 s s 5575599,63 43000,0 S 0,843839 0 0,39348 0 0,39348 0 8 7 7 5 0,885877 0 Sehgga kta harus megecek seluruh observas (0 asag ata) ega rumus: ' 5 ( x x) S ( x x) [ x 6309, x 97,3] 0 0,00084 0,00393 0,00393 0,886 x 6309, x 97,3 Kta haya aka meamlka erhtuga utuk asaga ata yag ertama, seagka utuk 9 asag ata yag la keraka ega cara yag serua a haslya aka tamlka alam tabel. Pasaga ata ertama, x 6,974 a x 4,4 sehgga
' ( x x) S ( x x) [ 6974 6309, 44 97,3] [ 64664,90 96,70] 4,337746 0,00084 0,00393 0,00084 0,00393 0 0,00393 0,886 0,00393 5 64664,90 0 0,886 96,70 5 6974 6309, 44 97,3 Karea 4,337746,39 maka smulka bahwa observas ertama beraa luar kotur (els). Berkut meruaka tabel hasl erhtuga utuk 0 observas: ' Observas ( x x) S ( x x) Poss/letak 4.337746 luar.97385 alam 3 0.593763 alam 4 0.89563 alam 5.87936 luar 6.073 alam 7.086 alam 8 5.33356 luar 9 0.8079 alam 0 0.97437 alam Berasarka hasl erhtuga atas, maka ketahu asaga ata yag terletak alam kotur memlk roors 0,7 atau 70%. Karea roors cuku berbea ega la haraa roors saat berstrbus ormal yatu 0,5 atau 50%, maka observas tak berstrbus ormal. Selautya kta aka meguya ega melhat ata observas berasaga alam ch-kuarat lot: Dega megurutka arak kuarat ar 0 ata observas berasaga a meetuka χ 0 yag berkoresoes egaya, maka eroleh: Observas () Jarak kuarat tertetu ( ) χ 0 0.593763 0.03 0.8079 0.330 3 0.89563 0.575 4 0.97437 0.860 5.073.00 6.086.600 7.97385.00 8.87936.770 9 4.337746 3.790
0 5.33356 5.990 Da eroleh lot utuk observas berasaga atas aalah: 7.000 6.000 ch-kuarat 5.000 4.000 3.000.000.000 0.000 0.00000 0.00000.00000 0 0 3.00000 4.00000 0 0 arak kuarat 5.00000 6.00000 0 0 Seres Berasarka lot ch-kuarat tersebut, terlhat bahwa lot yag haslka tak meekat gars lurus sehgga megkaska ketakormala observas. Dar keua u yag telah lakuka aat smulka bahwa observas tak berstrbus maral ormal bvarat.