PELABELAN GRACEFUL PADA DIGRAF LINTASAN DAN DIGRAF BIPARTIT LENGKAP Lusa Tr Lstyowat Krstaa Waya M Fatekurohma Jurusa Matematka FMIPA Uerstas Jember e-mal: krstaa_waya@yahoocom da m_fatkur@yahoocom Abstract: A graceful labelg of dgraph ( V A) D s a oe to oe fucto------ λ: V( --------------------------- D) 0 L A( D) such that each arc u λ ( a) = λ u = λ( ) λ( u) mod A( D) + the resultg arc labels are dstct A dgraph D s called graceful f t admts ay graceful labelg I ths a = D s labeled wth ( ) ( ) paper we ge a method for costructg a graceful labelg of path dgraph dgraph K m Kata kuc: pelabela graceful dgraf ltasa dgraf bpartt dgraf legkap { } P ad complete bpartte Pelabela graf sudah dka mula tahu 0-a Seak tu sektar 300 tulsa megea pelabela bayak bermucula Pelabela pada graf adalah pembera la pada hmpua ttk hmpua ss atau gabuga hmpua ttk da ss pada graf yag memeuh sfat tertetu Msal G graf tapa loop ss paralel da hgga Pelabela graceful pada graf G merupaka pembera la pada ttkttkya dega blaga bulat tak egatf yatu ol sampa dega seumlah ss yag dmlk oleh graf G sehgga ssya medapat label harga mutlak dar selsh pelabela kedua ttk yag meempel pada ss tersebut yag berbeda semua Sebuah graf G dsebut graf graceful ka setap ttk da ss pada graf G dapat dber label meurut atura pelabela graceful Dalam hal pelabela graceful utuk beberapa kelas graf telah dtuukka Rosa (97) meuukka bahwa graf skel C adalah graceful ka da haya ka 0 atau 3 (mod ) Hoede & Kuper (978) membuktka bahwa graf roda W adalah graceful utuk semua 3 Graf legkap K adalah graceful ka da haya ka da graf bpartt legkap K m adalah graceful utuk setap m da dbuktka oleh Golomb (97) Aldred & McKay (998) meuukka bahwa graf poho T adalah graceful utuk 3 sedagka utuk > 3 mash mead ope problem Sela tu telah dbuktka oleh Huda & Waya (00) bahwa graf tagga L yag dperoleh dar hasl kal kartesus P P da graf gabuga m buah graf tagga ml adalah graceful utuk setap m da Seala dega de pelabela graceful pada graf Bloom & Hsu (985) memperkealka pelabela graceful pada dgraf (graf berarah) Msal D dgraf dega hmpua ttk V(D) da hmpua arc A(D) Pelabela graceful pada dgraf D merupaka pembera la pada ttk-ttkya dega hmpua blaga bulat tdak egatf yatu ol sampa dega bayakya arc yag dmlk oleh dgraf D sedemka hgga arc-ya medapat label selsh pelabela kedua ttk yag meempel pada arc tersebut dalam blaga bulat modulo yag berbeda semua Secara matemats ( A( D ) + ) pelabela graceful pada dgraf D adalah fugs satu-satu: λ : V ( D) { 0 L A( D) } sehgga setap arc a= u d D medapat label λ ( a) = ( u uur λ ) = λ ( ) λ ( u ) mod ( A ( D ) + ) yag berbeda semua Sebuah dgraf D dsebut dgraf graceful ka setap ttk da arc pada dgraf D
MIPA Tahu 37 Nomor Jauar 008 hlm -5 dapat dber label meurut atura pelabela graceful Kosep dasar graf da dgraf dapat dlhat d Chartrad & Lesak (99) Msalka u da ttk d V(D) maka u da dapat mempuya satu atau dua arah yatu dar u ke atau dar ke u Oleh sebab tu ada kelas dgraf satu arah da kelas dgraf dua arah Pada paper aka destgas pelabela graceful pada kedua kelas dgraf yatu dgraf ltasa P utuk kelas dgraf satu arah da dgraf bpartt legkap K utuk kelas dgraf dua m arah Adapu defs dar dgraf ltasa P da dgraf bpartt legkap K adalah sebaga berkut m Dgraf ltasa P adalah dgraf terhubug dega ttk da arc dega ttk berderaat keluar ttk berderaat masuk da ttk berderaat masuk da berderaat keluar Dgraf bpartt legkap K adalah dgraf yag hmpua ttkya m dapat dparts ke dalam dua subhmpua V da V dega V = m da V = m sehgga setap arc d m K meghubugka setap ttk d V dega setap ttk d V HASIL DAN PEMBAHASAN Pada baga delaska megea pelabela graceful pada dgraf ltasa da dgraf bpartt legkap Pada setap pembukta dperluka otas yag mempuya art blaga pembulata keatas da yag mempuya art blaga pembulata ke bawah Sebaga cotoh 5 = da - 5 = 3 Pelabela Graceful pada Dgraf Ltasa 3 Msalka dgraf ltasa P mempuya hmpua ttk V P = { } da hmpua arc P = { a a a3 } = 3 A dega a= + utuk Berkut dberka teorema pelabela graceful pada dgraf ltasa Teorema Dgraf ltasa P merupaka dgraf graceful ka da haya ka geap Bukt Defska pelabela utuk ttk-ttk dar dgraf P sebaga berkut + λ ( ) = ( ) (mod ) utuk = 3 Selautya aka dtuukka bahwa pedefsa dar label ttk d atas merupaka fugs satu-satu dar V P ) k {0 } ( Msal V ( P ) dega λ ) = λ ( ) yatu ( + + ( ) = ( ) (mod ) ( ) = ( ) (mod ) Aka dtuukka = yatu dega meuukka bahwa = Apabla maka terdapat dua kemugka yatu: Jka gal da geap (atau sebalkya) maka = (mod ) Dega demka = (mod ) dpeuh oleh = 3 Karea ( ) > maka kotradks dega = 3 Jka da keduaya geap (atau keduaya gal) maka = Persamaa = dpeuh oleh = + ka bulat da = ka tdak bulat (pecah- a) Karea geap maka dperoleh gal Hal bertetaga dega da keduaya geap (atau keduaya gal) Jad haruslah = Dega demka pedefsa label ttk λ () memeuh fugs satu satu dar V ( P ) ke {0 } Setelah pelabela ttk-ttkya dperoleh maka perumusa pelabela arc a A( P ) utuk = 3 - adalah sebaga berkut λ ( a) = λ( ) = λ ( + + = ( ) ) λ ( ) + + ( ) + + = + + (mod ) Utuk gal = (mod ) Utuk geap = ( ) ( ) (mod ) Dega demka hmpua label dar setap arc d P adalah: (mod ) (mod ) Utuk gal (mod ) Utuk geap
Lstyowat dkk Pelabela Graceful pada Dgraf Ltasa 3 { L } { L } 3 5 3 utuk = 3 5 L utuk = L Jad setap arc d P medapat label yag berbeda semua Karea setap ttk pada dgraf P dega geap dapat dber label yag memeuh fugs satu-satu dar V P ) ke {0 } sehgga setap ( arc dp medapat label yag berbeda semua ma- ka dgraf P utuk geap adalah dgraf graceful Sebaga lustras Gambar meuukka pelabela graceful pada dgraf P utuk geap 0 Gambar Pelabela Graceful pada Dgraf P da P Teorema Jka gal maka dgraf ltasa P buka merupaka dgraf graceful Bukt Adaka dgraf ltasa P utuk gal merupaka dgraf graceful maka ada pelabela graceful λ pada dgraf Pelabela utuk arc ( + ) d P adalah: P λ( + ) = λ( + ) λ( ) utuk = 3 Karea dgraf P merupaka ltasa satu arah maka = λ( 3 3 5 3 0 5 3 ( λ( ) λ( )) + ( λ( ) λ( + ) = )) + K+ ( λ( ) λ( )) = λ( ) λ( ) Sedagka λ merupaka pelabela graceful pada dgraf P maka label dar arc-ya adalah 3 - sehgga ( ) λ( + ) = = (mod ) = = Karea gal maka ( ) merupaka blaga bulat Akbatya ( ) 0(mod ) Dega demka dperoleh λ ( ) - λ ( ) 0 (mod ) Jad λ ( ) = λ ( ) Hal tdak dperbolehka karea pada pelabela graceful pelabela ttk-ttkya harus memeuh fugs satu-satu Jad dgraf ltasa P utuk gal buka merupaka dgraf graceful Pelabela Graceful pada Dgraf Bpartt Legkap Dgraf bpartt legkap K m mempuya m + ttk da m arc Dega demka pelabela graceful pada dgraf bpartt K m legkap megguaka modulo m + Msalka dgraph bpartt legkap K m mempuya hmpua ttk V ( Km ) = { u u um } da hmpua arc uuuur A( K ) = a a K a b b K b dega { } m m a = u da b = u utuk = 3 m = 3 Sebaga lustras peotasa ttk da arc pada dgraf bpartt legkap K m dapat dlhat pada Gambar Berkut dberka teorema pelabela graceful pada dgraf bpartt legkap Teorema 3 Utuk setap m da dgraf bpartt legkap K m merupaka dgraf graceful Bukt Defska pelabela utuk ttk-ttk dar dgraf K m sebaga berkut λ (u) = - utuk = 3 m λ () = m utuk = 3 Dapat dlhat bahwa label dar ttk u berbeda semua utuk = 3 m dega hmpua label {0 m-} Demka uga label ttk berbeda semua utuk = 3 dega hmpua label {m m 3m m} Dapat dlhat uga bahwa label ttk u berbeda dega label ttk Jad pelabela ttk pada dgraf K m memeuh fugs satu-satu V K m ke {0 m} Setelah pelabela ttk-ttkya dperoleh maka arc-ya medapat label meurut atura sebaga berkut λ ( a ) = λ ( u ) = m + da λ ( b ) = λ ( u ) = m ( ) + Utuk = 3 m
MIPA Tahu 37 Nomor Jauar 008 hlm -5 = 3 Dega demka utuk = 3 m hmpua label utuk arc a adalah {m m m m m + } da hmpua label utuk arc b adalah { m m + m-m + m + m} Jad utuk = 3 hmpua label utuk arc a adalah {m m m } {m m m m m + } {m m m m m + } da hmpua label utuk arc b adalah {m m + m m + m} {m m + m m + m m} {m + m + m + m} Jad label setap arc dar dgraf K berbeda m semua Karea pelabela ttk-ttkya memeuh fugs satu-satu dar V K m ke {0 m} da pelabela arc-ya berbeda semua maka pelabela λ d atas adalah pelabela graceful Jad dgraf K adalah graceful utuk setap m da m Sebaga lustras Gambar 3 meuukka pelabela graceful pada dgraf KESIMPULAN K m Dar uraa d atas dapat dsmpulka sebaga berkut Dgraf ltasa P merupaka dgraf graceful utuk geap Sedagka utuk gal dgraf ltasa P buka merupaka dgraf graceful Dgraf bpartt legkap merupaka dgraf graceful K m utuk setap m da Permasalaha pelabela graceful pada kelas dgraf mash terbuka bag peelt yag la msalya pelabela graceful pada dgraf skel dgraf legkap dgraf kpas dgraf matahar da dgraf fredshp u u u m b m b b a a a b a a m a m a a a m b V b a V b m b V Gambar Peotasa Dgraf Bpartt Legkap K m 0 7 5 8 3 0 7 5 8 3 9 0 Gambar 3 Pelabela Graceful pada Dgraf K da K 3 DAFTAR RUJUKAN Aldred REL & McKay BD 998 Graceful ad Harmoous Labellgs of Trees Bull Ist Comb Applcato 3:9-7 Bloom GS & Hsu DF 985 Graceful Drected Graphs SIAM Joural o Matrx Aalyss ad Applcatos 59 53 Chartrad G & Lesak L 99 Graphs & Dgraphs 3 rd edto New York: Chapma ad Hall Golomb SW 97 How to Number A Graph Graph Theory ad Computg New York: Academc Press
Lstyowat dkk Pelabela Graceful pada Dgraf Ltasa 5 Hoede C & Kuper H 978 All Wheels are Graceful Utltas Mathematca :3 Huda MT & Waya K 00 Pelabela Graceful pada Graf Tagga L da Graf Gabuga m Buah Graf Tagga ml Jember: Maalah Ilmah Matematka da Statstka 3 3 Rosa A 97 O Certa Valuato of A Graph Theory of Graphs Proceedg of Iteratoal Symposum o Mathematcs Pars July 97