BAB II TINJAUAN PUSTAKA

7 BAB II TINJAUAN PUSTAKA Dalam bab ini akan dibahas beberapa poin tentang sistem dinamik, kestabilan sistem dinamik, serta konsep bifurkasi. A. Sistem Dinamik Secara umum Sistem dinamik didefinisikan sebagai sebuah masalah nyata yang dimodelkan secara matematis dengan menggunakan persamaanpersamaan diferensial dimana dalam persamaannya mengandung parameter parameter yang saling berhubungan, serta perubahan parameter pada persamaan tersebut akan menyebabkan perubahan kestabilan dari titik ekuilibrium. Definisi formal dari sistem dinamik adalah Definisi. (Perko, : 8) Sistem dinamik pada E adalah pemetaan φ C φ : dengan E adalah himpunan bagian terbuka dari dan jika φt ( x) = φ( tx, ), maka φ t memenuhi (i) φ ( x) = x, x E dan (ii) φ oφ ( x) = φ + ( x), x Edan t,s t s t s Jika dikaji secara geometri, sistem dinamik menggambarkan pergerakan titik-titik di dalam ruang fase sepanjang kurva-kurva solusi dari sistem

8 persamaan diferensialnya.. Jika menyebut solusi suatu sistem dinamik dalam bentuk grafik maka akan muncul sesuatu yang disebut dengan orbit.. Orbit Definisi. (Wiggins, 99:) Orbit melalui x, dinotasikan sebagai ( ) Or x, adalah himpunan titik-titik x dalam ruang keadaan X yang berada pada t suatu flow sehingga x = ϕ x, yakni t { ϕ } Or( x ) = x X : x = x, t T Dalam kenyataannya tidak semua sistem persamaan diferensial dapat ditentukan solusi dari sistemnya, maka dari itu satu tujuan utama dari sistem dinamik adalah mempelajari perilaku dari solusi sistem di sekitar titik ekuilibrium.. Titik Ekuilibrium Orbit paling sederhana adalah titik ekuilibrium. Definisi titik ekuilibrium secara formal adalah Definisi.3 (Kuznetsov, 99:9) Titik x X dikatakan titik ekuilibrium jika memenuhi ϕ t ( x) = x untuk semua t T. Untuk mempelajari perilaku dari solusi sistem tersebut digunakan suatu pendekatan yang disebut analisis kestabilan. Analisis

9 ini dapat dilakukan dengan beberapa cara seperti melakukan penyelidikan terhadap perilaku titik setimbang dari persamaan diferensial. Titik ekuilibrium dan kestabilannya dapat memberikan informasi mengenai perilaku solusi periodik dari persamaan diferensial. 3. Solusi Periodik Definisi solusi periodik secara formal adalah Definisi.4 (Hale&Kocak, 99:8) Misalkan x bukanlah suatu titik ekuilibrium, suatu solusi ϕ t x t+ T dikatakan solusi periodik dengan periode T >. Jika ϕ x = ϕ x, t untuk setiap t T. Orbit tertutup dalam sistem dinamik disebut cycle. Dalam sistem dinamik yang kontinu cycle disebut juga sebagai limit cycle. 4. Limit Cycle Definisi limit cycle secara formal adalah Definisi.5 (Kuznetsov, 998: ) Sebuah cycle dari sistem dinamik kontinu yang pada daerah sekitarnya tidak ada cycle lain, disebut cycle batas atau limit cycle. Contoh (Kuznetsov, 998:86) Diketahui sistem berikut x& = x + x ( x x ) x& = x + x ( x x ) (.) Sistem (.) pada koordinat polar berubah menjadi

r& = r r & θ = ( ) (.) Titik ekuilibrium dari sistem (.) adalah( x, x ) = (,) Ketika < r < maka r & > dan mengakibatkan rt () (orbit bergerak menuju tak hingga). Ketika r > maka r & < dan mengakibatkan rt () (orbit menuju ). Saat r = maka r & = dan mengakibatkan rt () tetap (orbit bergerak membentuk cycle berjari-jari r = ). Sehingga Cycle tersebut juga merupakan limit cycle yang stabil. Dalam sistem dinamik kurva-kurva solusi bisa dihimpun sebagai suatu himpunan kurva solusi atau sering disebut sebagai potret fase. 5. Potret Fase Definisi potret fase secara formal adalah Definisi.6 (Hafiludin dan Mohamad Salam, no year: 65) Potret fase adalah gabungan beberapa orbit dari sistem persamaan diferensial yang ditampilkan dalam satu bidang. B. Nilai Eigen dan Vektor Eigen Dalam mempelajari keadaan dinamik dari suatu sistem khususnya sistem linear dapat menggunakan sifat dari nilai eigen sistem dinamik tersebut. Secara formal definisi nilai eigen dan vektor eigen adalah sebagai berikut Definisi.7 (Anton, 987:77) Misalkan A adalah matriks n n, maka vektor x yang tidak nol di disebut vektor eigen (eigen vector) dari A jika Ax adalah kelipatan

skalar dari x, yaitu Ax = λx untuk λ suatu skalar. Skalar λ dinamakan nilai eigen (eigen value) dari A. Persamaan Ax = λx bisa dituliskan sebagai Ax= λx Ax λx = ( A λi) x= Persamaan ( A λi) x= memiliki pemecahan taknol jika dan hanya jika, det( A λi) =. Contoh Diketahui matriks A = 6 Tentukan vektor-vektor eigen dari matriks A. Penyelesaian: det( A λi) = λ det = 6 λ ( λ)( λ) = λ =, λ = (nilai-nilai eigen dari matriks A) Untuk λ =, det( A λi) x= x = det 6 x 6x x = x = x 3

Misal x = t, maka x = t 3 t x = 3 = 3 t t Jadi, vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = adalah x = 3 Untuk λ = x = det 6 x Maka x =, misal x = t x = 6x = t x = = t t Jadi, vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = adalah x = C. Diagonalisasi Matriks Matriks diagonal merupakan matriks persegi dengan setiap unsur pada diagonal utamanya tidak nol dan unsur-unsur di luar diagonal utama sama dengan nol. Bentuk umum matriks diagonal adalah: a D =... a... a 33.................. dengan satu di antara a ij untuk i = j a nn

3 Definisi.8 (Anton, 987:84) Matriks bujur sangkar A dikatakan dapat didiagonalisasi (diagonazable) jika terdapat sebuah matriks P mempunyai invers sedemikian sehingga P AP adalah sebuah matriks diagonal. Teorema. (Anton, 987:85) Jika A adalah suatu matriks n n, maka kedua pernyataan berikut ini adalah ekuvalen. a. A dapat didiagonalisasi. b. A memiliki n vektor eigen yang bebas linear. Bukti: ( a) ( b). Karena A dianggap dapat didiagonalisasi, maka terdapat matriks yang dapat dibalik Sehingga p K p n P = M O M pn p L nn P AP matriks diagonal, katakanlah Maka, AP= PD; yakni λ K D = M O M λ L n P AP p K p n λ K λ p K λnp n AP = M O M M O M = M O M p L p L λ λ p L λ p n nn n n n nn = D, di mana

4 (a) Jika misalkan p, p, K, pn menyatakan vektor-vektor kolom P, maka bentuk (a) kolom-kolom AP yang berurutan merupakan λp, λp, K, λnpn. Kolom-kolom yang berurutan adalah Ap, Ap, K, Apn. Jadi kita harus memperoleh. (b) Karena P dapat dibalik, maka vektor-vektor kolomnya semuanya tidak bernilai nol, jadi menurut (b). λ, λ, K, λn adalah nilai-nilai eigen A, dan p, p, K, pn adalah vektor-vektor eigen yang bersesuaian. Karena P dapat dibalik maka diperoleh bahwa p, p, K, pn bebas linear. Jadi, A mempunyai n vektor eigen bebas linear. ( b) ( a) anggaplah bahwa A mempunyai n vektor eigen bebas linear, maka p, p, K, pn dengan nilai eigen yang bersesuaian λ, λ, K, λn, dan misalkan p K p n P = M O M pn p L nn Adalah matriks yang vektor-vektor kolomnya adalah p, p, K, pn kolom-kolom dari hasil kali AP adalah Ap, Ap, K, Apn tetapi Ap = λ p Ap = λ p K Ap = λ p n n n Sehingga λp K λnp n p K p n λ K AP = M O M = M O M M O M = PD λ p L λ p p L p L λ n n nn n nn n Matriks D adalah matriks diagonal yang mempunyai nilai-nilai eigen λ, λ, K, λn pada diagonal utama. Karena vektor-vektor kolom dari

5 P bebas linear, maka P dapat dibalik jadi (c) dapat dituliskan kembali sebagai P AP = D, yakni A terdiagonalisasi. Contoh 3 Diketahui matriks A = 6 Tentukan matriks P yang mendiagonalisasikan A. Penyelesaian: Vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = adalah x = 3 vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = adalah x = Dengan demikian kita dapatkan bahwa ( x, x) adalah bebas linear, sehingga P = 3 dan 3 P = 3 9 maka matriks P akan mendiagonalisasi A. Mencari matriks diagonal sekaligus sebagai pemeriksaan bahwa D = P - A P.

6 = D P AP = 3 3 6 3 3 = 3 3 6 = λ = λ D. Deret Taylor Terdapat banyak metode untuk menghampiri fungsi yang diberikan. Salah satunya menggunakan deret Taylor. Definisi.9 (Spiegel, 98:43) Misalkan f adalah suatu fungsi yang analitik dan kontinu pada kurva tertutup C. Diberikan a dan a + h adalah dua titik pada bagian kurva C. maka n h h ( n) f( a+ h) = f( a) + hf '( a) + f ''( a) +... + f ( a) +... (.3)! n! atau dapat ditulis x = a+ h, h= x a ( n) f ''( a) f ( a) n f( x) = f( x) + f '( a)( x a) + ( x a) +... + ( x a) +... (.4)! n! Persamaan (.3) atau (.4) ini disebut deret Taylor. Perhatikan bahwa jika a =, akan diperoleh deret Maclaurin ( n) f ''() f '''() 3 f () n f ( t) = f () + f '() t+ t + t +... + t +...! 3! n!

7 Contoh 4 Tentukan deret Taylor dan deret Maclaurin dari f () t = sint Penyelesaian: f () t sint f '( t) = ( ) f = = cos t f ' ( ) = f ''( t) sin t = ( ) f '''( t) cos t f '' = = f ( ) ( iv f ) () t sint ( v f ) () t cost ''' = ( iv) = ( ) f = ( v) = ( ) f =.. Maka deret Taylor dari f () t = sintadalah Maka deret Maclaurin dari f () t = sint adalah 3 5 t t sin t = t +... 3! 5!

8 Beberapa deret terkenal 3 4 n = x + x x + x K = ( x), x < n= + x e At 3 ( At) ( At) ( At) = + At+ + + K = = dengan A matriks n n, i i! 3!! i 4 cos x= x + x = n= ( ) ( ) n n x ( n) K, x <! 4!! 3 5 n sin x= x x + x = n= n+ ( x) ( n + ) K ( ), x < 3! 5!! E. Sistem Linear Dalam persamaan diferensial untuk menyelesaikan sistem linear salah satunya adalah menggunakan metode pemisahan variabel. Diberikan persamaan diferensial orde pertama sebagai berikut Maka solusi umum dari persamaan di atas adalah x& = ax (.5) x() t = x() e at Berdasar hal itu, maka pada sistem persamaan diferensial linier: dengan x, A adalah matrik n n dan x& = Ax (.6) dx dt dx x& = = M dt dx n dt

9 Maka akan memiliki solusi x() t = x e At (.7) At dengan x adalah kondisi awal. Jika x() t = xe adalah solusi sistem persamaan diferensial linier (.6) maka perlu dibuktikan x& = Ax adalah turunan dari x() t = xe Bukti: At At xt () = xe At dx() t dxe = dt dt d A t = n n x dt n= n! n n d A t = A + dt n= n! n n Ant = + n= n! n n At = x n= ( n )! 3 At At At = + + + Lx!!! 3 At = A+ A t+ + Lx! At = A I + At+ + Lx! n n At = A x n= n! x x dx() t At = Ae x dt x& () t = Ax() t x& = Ax

Bentuk penjabaran dari persamaan (.7) dapat berbeda tergantung dari nilai eigen dari matriks A.. Jika matriks A memiliki nilai eigen real dan berbeda Jika nilai eigen dari suatu matriks A yang berukuran n n adalah λ, λ, K, λn dengan λ i untuk setiap i dan λ i λ j untuk i j, = L, dengan vi adalah vektor eigen dari maka matriks P [ v v v ] n A yang terkait dengan λ i, adalah matriks invertible dan dengan D diag[ λ λ λ ] =,, K, n. P AP = D Selanjutnya perhatikan bahwa k k K a a K M O M = M O M k a n a L L n Maka diperoleh k k λ K λ K At t e = P I + M O M t+ M O M + L P k! λ n λ L L n λt e K = M O M λnt e L At e P P λ j ( t ) At e = Pdiag e P sehingga persamaan (.7) menjadi ( λ ) j x() t = Pdiag e t P x (.8)

. Jika matriks A memiliki nilai eigen kompleks Misalkan nilai eigen dari matriks A adalah λ j = a j + ib j maka { λj } Im{ λj } k k { λj } Re{ λj } k k k a Re j b j diag = diag. Sehingga diperoleh bj aj Im k a k At j bj t e = P diag P k= bj aj k! k ( λjt) ( λjt) k Re Im k! k! = P diag P k k k = ( λjt) ( λjt) Im Re k! k! Re = Pdiag Im λjt { e } λjt Im{ e } λjt { e } λjt Re{ e } P cos sin At at bt j j bt j e = Pdiag e P sin bt j cosbt j sehingga persamaan (.7) menjadi cosbt sin bt at j j j x() t = P diag e P x sin bt j cosbt j (.9) 3. Jika matriks A memiliki nilai eigen kembar Misalkan matriks A berukuran n n mempunyai sebanyak k nilai eigen real yang berulang, yaitu λ ada sebanyak j, λ ada sebanyak j,k, dan λ k ada sebanyak j n, dengan j + j + L + j n = n. Misalkan pula v, v, L, vn adalah vektor-vektor eigen tergeneralilasi, maka matriks P [ v v v ] = L invertible dan n

A= S+ N dengan = P SP diag λ j Matriks N A S = adalah nilpoten orde max{ } dan N saling komutatif ( SN NS ) j = j n, dengan S i =. Maka diperoleh At ( S + N ) t St Nt e = e = e e. Karena = dan k N = maka P AP diag λ j sehingga persamaan (.7) menjadi Contoh 5 Diketahui sistem linier berikut k k At λ jt N t e = P diag ( e ) I + Nt + L + P ( k! ) k k λ jt N t ( ) ( k ) x() t = P diag e P I + Nt + L + x! (.) x& = 3x x& = x x dapat ditulis x& = Ax dengan matriks A 3 = mempunyai nilai eigen λ =, λ = 3dan vektor eigen yang sesuai 3 v = dan v =

3 Jadi matriks 3 P = dan 4 4 P = 3 4 4 P AP= 3 Solusi masalah nilai awal x& = Ax, x() = x adalah e t xt () = P P x 3t e t 3t t 3t ( 3e + e ) ( e + e ) t 3t t 3t ( e + e ) ( e + e ) = x 4 3 3 3 F. Kestabilan Sistem Linear Ketika menganalisis kestabilan suatu sistem linear dapat dilihat melalui nilai eigen sistem tersebut. Definisi. (Olsder, 4:57) Pada persamaan diferensial orde satu x& = f( x) dengan solusi awal x(, tx ) pada waktu t dan dengan kondisi awal x() = x, pernyataan berikut bernilai benar a. Suatu nilai x dimana memenuhi f( x ) = maka nilai x disebut sebagai titik ekuilibrium. b. Titik ekuilibrium x dikatakan stabil jika untuk setiap ε > danδ >, sedemikian hingga jika x x < δ maka xtx (, ) x < ε untuk setiap t.

4 c. Titik ekuilibrium x dikatakan stabil asimtotis jika titik ekuilibrium tersebut stabil dan selain itu untukδ >, sedemikian hingga lim xt (, x) x = dengan ketentuan bahwa x x < δ. t d. Titik ekuilibrium tidak stabil jika untuk setiap ε > ada δ > sedemikian sehingga, jika x x < δ, maka xtx (, ) x > ε untuk semua t. Berikut simulasi titik ekuilibrium stabil dan titik ekuilibrium stabil asimtotik. ε δ x x x() t Gambar.. Titik ekuilibrium stabil Gambar. Titik ekuilibrium stabil asimtotik Jika terdapat sistem persamaan diferensial linier x& = Ax dengan titik ekuilibrium x =. Maka sistem tersebut dikatakan stabil, jika titik ekuilibrium dari sistem tersebut stabil. Sebaliknya sistem tersebut dikatakan tidak stabil jika titik ekuilibriumnya tidak stabil.

5 Teorema. (Olsder, 4:58) Diberikan persamaan diferensial x& = Ax dengan A adalah matriks berukuran n n memiliki k nilai eigen yang berbeda λ, λ, K, λn dengan k n. a. Titik ekuilibrium x = dikatakan stabil asimtotis jika dan hanya jika R e λ i < untuk setiap i =,, K, k. b. Titik ekuilibrium x = dikatakan stabil jika dan hanya jika Re λ i untuk setiap i=,, K, k. c. Titik ekuilibrium x = dikatakan tidak stabil jika dan hanya jika R e λ i > untuk beberapa i =,, K, k. Bukti: Persamaan (.8), (.9), dan (.) merupakan solusi persamaan dari (.7) untuk semua kemungkinan nilai eigen dari matriks A. Setiap x i mempunyai faktor at e j, dengan aj e{ λ j}, j {,,3,, n} =R K, sedangkan faktor yang lain bersifat terbatas sehingga: (a) Jika e{ λ }, j {,,3,, n} R < K, maka ketika t akan j mengakibatkan nilai e Re { λ j} t, sehingga solusi dari sistem ( x, x,, x ) (,,,) K K, dengan kata lain solusinya menuju ke n titik ekuilibriumnya, sehingga sistem dikatakan stabil.

6 (b) Jika terdapat j sehingga R e{ λ j } >, maka ketika t akan mengakibatkan nilai e Re { λ j } t yang berakibat terdapat i sehingga xi, dengan kata lain solusinya menjauh dari titik ekuilibriumnya, sehingga sistem dikatakan tidak stabil. G. Sistem Non Linear Diberikan sistem nonlinier berikut x& = f( x) (.) Jika sistem (.) mempunyai titik ekuilibrium x maka sistem (.) dapat ditulis sebagai: x& = Df ( x) x +ϕ( x) (.) Bentuk ϕ ( x) disebut sebagai bagian non linier dari sistem (.) dan Df ( x ) disebut sebagai bagian linier dari sistem (.), dengan Df ( x ) disebut sebagai matriks Jacobian dari sistem (.) pada titik ekuilibrium x. Secara formal definisi matriks jacobian adalah Definisi. (Clark, 999:4) n n Matriks yang berhubungan dengan sebuah fungsi f : R R yang memiliki koordinat fungsi f, f,, fm f x i K dengan entri ( i, j ) dari ( x ) turunan parsial pertama dari atas daerah asal fungsi f. j,

7 J f f ( x) K ( x) x x n = M O M fm fm ( x) ( x) L x x n (.3) Df x tidak mempunyai nilai eigen dengan R { } = Jika ( ) e λ j maka sifat kestabilan dari sistem (.) dapat dilihat dari sistem x& = Df ( x) x (.4) Sistem (.) kemudian disebut sebagai sistem hasil linierisasi dari sistem (.). Contoh 6 Diberikan sistem berikut x& = x x& = x + x (.5) Titik ekuilibriumnya adalah ( x, x ) = (,) Matriks Jacobiannya adalah Df ( x) = Nilai eigen dari Df ( x) adalah λ = dan λ = Oleh karena nilai eigen dari ( ) Df x tidak ada yang memuat R { } = maka sifat kestabilan dari sistem (.4) dapat dilihat dari sistem x& = Df ( x) x Selanjutnya karena nilai eigen dari ( ) ekuilibrium (, ) (,) Df x ada yang { } x x = dari sistem (.3) tidak stabil. e λ j R e λ j > maka titik

8 H. Bifurkasi Pada suatu sistem dinamik ketika sistem tersebut memiliki nilai eigen, maka sistem tersebut rentan terhadap gangguan, sedikit saja sistem mengalami gangguan maka nilai eigen dari sistem dapat berpindah ke daerah negatif (stabil) atau sebaliknya ke daerah positif (stabil). Keadaan inilah yang sering disebut dengan bifurkasi yaitu perubahan keadaan dinamik dari suatu sistem seiring perubahan parameter. Definisi. (Kuznetsov, 998:58) Bifurkasi adalah munculnya keadaan dinamik sistem yang berbeda dengan potret fase karena adanya perubahan parameter.bifurkasi mengacu pada perubahan keadaan dinamik suatu sistem berparameter. Sebagai contoh sistem berikut dengan parameter μ. x& = f(, x μ), x, μ, (.6) Bifurkasi yang paling sederhana untuk dipelajari adalah bifurkasi dengan parameter berdimensi-. Beberapa jenis bifurkasi tersebut adalah sebagai berikut:. Bifurkasi Saddle-node Bentuk normal bifurkasi ini adalah x& = f( x, μ) = μ x, x μ (.7). Bifurkasi Transcritical Bentuk normal bifurkasi ini adalah x& = f( x, μ) = μx x,x μ (.8)

9 3. Bifurkasi Pitchfork Bentuk normal bifurkasi ini adalah 3 x& = f( x, μ) = μx x,x μ (.9) 4. Bifurkasi Hopf Definisi.3 (Kuznetsov, 998:8) Bifurkasi yang sesuai dengan keberadaan λ, = ± ωi, ω >, dengan ω adalah bagian imaginer dari nilai eigen terkait. Maka bifurkasi yang terjadi disebut bifurkasi Hopf (atau Andronov-Hopf). Selanjutnya dalam konsep bifurkasi dikenal suatu titik yang disebut titik bifurkasi. Definisi.4 (Putra, 4: ) Titik bifurkasi yang bersesuaian dengan parameter μ pada sistem * * (.6) adalah (, ) x μ dimana jumlah titik ekuilibrium dan atau solusi periodik berubah ketika melewati μ *. Sebagai contoh sistem berikut adalah dua persamaan diferensial yang tergantung pada satu parameter x& = μ x y xx + y ( ) y& = x + μ y y x + y ( ) (.7) Sistem ini memiliki ekuilibrium x = y = untuk semua μ dengan matriks Jacobian J μ = μ

3 memiliki nilai eigen λ, = μ ± i. Pada variabel kompleks, z= x+ iy, z = x iy, z = zz = x + y. Variabel ini memenuhi persamaan diferensial z& = x& + iy& = μ x+ iy + i x+ iy x+ iy x + y ( ) ( ) ( )( ) maka dengan demikian dapat ditulis ulang sistem (.9) dalam bentuk kompleks sebagai berikut: z& = ( μ + i) z z z (.8) Akhirnya, dengan menggunakan representasi z i = ρe ϕ, diperoleh & = + & (.9) iϕ iϕ z ρ e ρϕ i e atau ρ e + ρϕ i& e = ρe μ+ i ρ iϕ iϕ iϕ ( ) dalam bentuk polar adalah: ρ = ρ( μ ρ ) & (.) ϕ = Persamaan pertama pada sistem (.7) memiliki titik ekuilibrium ρ = untuk semua nilai μ. Persamaan kedua menjelaskan rotasi dengan kecepatan konstan. Selanjutnya, diperoleh diagram bifurkasi untuk sistem dua dimensi (.) berikut (Lihat Gambar.3).

3 Gambar. 3. Bifurkasi Hopf sistem (.) Titik ekuilibriumnya sistem (.) adalah spiral stabil untuk μ < dan spiral tidak stabil untuk μ >. Pada nilai parameter kritis μ = ekuilibriumnya adalah stabil dan spiral. Kadang-kadang disebut penarik spiral yang lemah, dikarenakan pada konsisi ini titik ekuilibrium masih dikatakan stabil tetapi juga hampir terbentuk cycle. Cycle adalah lingkaran radius. Semua orbit yang dimulai dari luar atau dari dalam cycle kecuali pada titik asal cenderung menjadi cycle selama t. Inilah yang disebut bifurkasi Andronov-Hopf. Bifurkasii ini juga dapat disajikan dalam ruang (xx, y, μ ) (lihat Gambar.4). Gambar.4. Bifurkasi Hopf..

3 I. Normalisasi Pada dasarnya proses normalisasi digunakan untuk mengubah suatu sistem menjadi sistem yang lebih sederhana, tetapi keadaan dinamik dari sistem yang baru ini tidak berbeda dengan sistem sebelumnya. Metode ini bisa digunakan untuk mengetahui jenis bifurkasi yang terjadi pada sistem tersebut. Langkah-langkah dalam melakukan normalisasi adalah sebagai berikut: Suatu sistem berikut x& = f( x), (.) Misalkan persamaan (.) mempunyai titik ekuilibrium di x = x.. Transformasi titik ekuilibrium ke titik asal (origin) yaitu dengan translasi u= x x, u x = u x x& = u& mengakibatkan persamaan (.) menjadi u& = f( u+ x) H( u) (.). Memisahkan bagian linier dan bagian nonlinier dari persamaan (.) dengan Hu ( ) Hu ( ) DH() u. u& = DH() u+ H( u), (.3) 3. Misalkan T adalah matrik yang mentransformasi DH () ke bentuk kanonik Jordan dengan transformasi u = Tv, (.4)

33 menyebabkan persamaan (.4) menjadi & () ( ) (.5) v T = DH Tv + T H Tv Notasikan bentuk real kanonik Jordan dari DH () dengan J maka didapat J T DH() T (.6) lalu definisikan Fv T HTv () ( ) Maka dari itu persamaan (.6) dapat ditulis v& = Jv+ F() v 4. Menyederhanakan Bentuk Orde Ke- Penyederhanaan ini dilakukan dengan transformasi koordinat yaitu dengan mendefinisikan dengan h ( ) y adalah orde ke- variabel y. 5. Menyederhanakan Bentuk Orde ke-3 v= y+ h ( y) (.7) Penyederhanaan ini dilakukan dengan transformasi koordinat yaitu dengan mendefinisikan dengan h ( ) 3 w adalah orde ke-3 variabel w. Contoh 7 v= w+ h ( w) (.8) 3 Pada persamaan (.8) jika ditulis secara umum berbentuk: z& = λz+ cz z + L (.9)

34 z& = λz+ cz. zz + L z& = λz+ cz z + L dengan λ = β + iωdan c= d+ ie z = x+ iy z = r(cos θ + isin θ ) i z = re θ & = & + & (.3) θi θi z re θie r Substitusi (.3) ke (.3) menghasilkan θi θi θi θi re & + r & θie = λre + cre r + L θi θi θi re & + r & θie = re ( λ+ cr + L) r& + r & θi= r( λ+ cr + L) r& = r( λ + cr + L) r & θi & = + + + + L & (.3) r r( β iω ( d ie) r ) rθi Jika dipilih & θ = ω+ er + L maka persamaan (.3) menjadi r& r dr 3 = β + + L