Bab II Teori Pendukung

Bab II Teori Pendukung II.1 Sistem Autonomous Tinjau sistem persamaan differensial berikut, = dy = f(x, y), g(x, y), (2.1) dengan asumsi f dan g adalah fungsi kontinu yang mempunyai turunan yang kontinu pula dalam domain D. Misalkan (x 0, y 0 ) adalah titik dalam domain D, maka terdapat sebuah solusi tunggal x = φ(t), y = ψ(t) dari sistem (2.1) yang terdefenisi pada interval I yang memuat t 0 dan memenuhi syarat awal x(t 0 ) = x 0, y(t 0 ) = y 0. (2.2) Misalkan masalah nilai awal (2.1), (2.2) ditulis dalam bentuk vektor = f(x), x(t 0) = x 0, (2.3) dimana x = xi + yj, f(x) = f(x, y)i + g(x, y)j dan x 0 = x 0 i + y 0 j. Dalam kasus ini solusinya dapat ditulis dalam bentuk x = Φ(t) = φ(t)i + ψ(t)j. Solusi x = Φ(t) dapat direpresentasikan sebagai sebuah kurva dalam bidang xy. Kurva ini disebut sebagai trajektori (trajectory) dan bidang xy disebut sebagai bidang fase (phase plane). Kumpulan dari semua trajektori tersebut akan membentuk sebuah potret fase (phase portrait). Ruas kanan pada persamaan (2.1) tidak secara eksplisit memuat variabel t. Sistem dengan sifat tersebut disebut sebagai sistem autonomous. Sebaliknya, jika ruas kanan pada persamaan (2.1) secara eksplisit memuat variabel t maka sistem tersebut disebut sebagai sistem yang nonautonomous. Contoh sederhana dari sistem autonomous adalah sistem linier ẋ = Ax dengan A adalah

7 sebuah matriks konstan. Jika terdapat satu atau lebih elemen dari matriks A yang merupakan fungsi dari variabel bebas t maka sistem tersebut menjadi sistem yang nonautonomous [1]. II.2 Pelinieran Sistem Tak linier Tinjau kembali sistem dalam persamaan (2.1). Suatu titik dimana f(x, y) = g(x, y) = 0 disebut sebagai titik kritis atau titik tetap (steady state) atau titik kesetimbangan (equilibrium point) dari sistem (2.1). Titik tersebut bersesuaian dengan solusi konstan sistem atau solusi ekuilibrium (equilibrium solution) sistem. Misalkan (x, y ) merupakan titik tetap dari sistem (2.1). Karena f dan g adalah fungsi kontinu dan mempunyai turunan parsial yang kontinu pula maka sistem tersebut hampir linier (almost linear) di sekitar titik tetap (x, y ). Ini dapat dilihat dari ekspansi fungsi tersebut (dengan menggunakan ekspansi Taylor) di sekitar titik tetap (x, y ), yaitu f(x, y) = g(x, y) = f(x, y ) + f x (x, y )(x x ) + f y (x, y )(y y ) + η 1 (x, y), g(x, y ) + g x (x, y )(x x ) + g y (x, y )(y y ) + η 2 (x, y), dimana dan η 1 (x, y) [(x x ) 2 + (y y ) 2 ] 1 2 η 2 (x, y) [(x x ) 2 + (y y ) 2 ] 1 2 0, 0, untuk (x, y) (x, y ). Karena f(x, y ) = g(x, y ) = 0, = d(x x ) dy = d(y y ) d x x y y maka sistem (2.1) dapat direduksi menjadi = f x(x, y ) f y (x, y ) g x (x, y ) g y (x, y ) x x y y + η 1(x, y) η 2 (x, y) dan, atau dalam bentuk vektor = df (x )x + Θ(x), (2.4)

8 dimana x = (x, y ), x T = (x x, y y ) dan Θ T = (η 1, η 2 ). Bagian linier dari persamaan (2.4) mempunyai koefisien berupa matriks yang entrinya terdiri dari turunan parsial f dan g yang dievaluasi pada titik tetap (x, y ). Matriks ini disebut sebagai matriks Jacobi. Ini merupakan metode yang umumnya digunakan untuk mendapatkan bentuk linier dari sistem yang tak linier di sekitar titik tetap sistem (untuk pembahasan lebih lanjut, lihat [1]). II.3 Kestabilan Sistem Tinjau sistem tak linier = f(x). (2.5) Misalkan x adalah titik tetap dari sistem (2.5) yang memenuhi f(x ) = 0. Jika sistem tersebut diaproksimasi di sekitar titik tetap x maka diperoleh persamaan = Ax + g(x), (2.6) dengan g(x) merupakan bagian tak linier dari sistem (2.5). Perilaku kestabilan secara lokal dari sistem tak linier (2.5) di sekitar titik tetap x secara kualitatif akan ditentukan oleh perilaku kestabilan dari sistem liniernya, yaitu = Ax. (2.7) Hal ini disebabkan karena bentuk tak linier g(x) cukup kecil jika dibandingkan dengan bentuk liniernya yaitu Ax untuk x yang cukup kecil. Ini mengakibatkan trajektori sistem linier (2.7) menjadi hampiran terbaik untuk mendekati trajektori sistem tak linier (2.5) disekitar titik tetap x. Konsep kestabilan, stabil asimtotik dan ketidakstabilan ditentukan melalui koefisien bagian linier sistem yaitu matriks A. Berikut diberikan definisi yang berkaitan dengan konsep kestabilan di sekitar titik tetap dan sifat dari nilai eigen matriks A. Definisi 2.3.1. Misalkan A adalah matriks yang berukuran n n dan memenuhi persamaan Ax = λx, (2.8)

9 dengan λ adalah skalar yang tidak diketahui dan x adalah vektor yang tidak diketahui. Nilai λ yang mengakibatkan (2.8) mempunyai solusi x 0 disebut sebagai nilai karakteristik atau nilai eigen, dan solusi x 0 dari (2.8) disebut sebagai vektor karakteristik atau vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai karakteristik λ. Definisi 2.3.2. Titik tetap x disebut sebagai titik tetap hiperbolik jika tidak ada nilai eigen dari matriks A yang bagian realnya bernilai nol. Titik tetap hiperbolik mempunyai beberapa macam jenis dimana pembagian jenis titik tersebut bergantung pada nilai karakteristik sistem. Titik tetap hiperbolik disebut titik pelana (saddle point) jika terdapat nilai eigen dari matriks Jacobi A yang bagian realnya bernilai negatif dan positif sehingga titik dengan jenis ini tidak stabil. Jika semua nilai eigen tersebut mempunyai bagian real yang negatif maka titik tetap hiperbolik disebut stabil node (sink). Sebaliknya jika semua nilai eigen tersebut mempunyai bagian real yang positif maka titik tetap hiperbolik disebut tidak stabil node (source). Jika nilai eigen tersebut bagian realnya bernilai nol maka titik tetap tersebut merupakan titik tetap tak hiperbolik yang biasa disebut dengan center (untuk pembahasan lebih lanjut lihat [7]). Definisi 2.3.3. (Stabil, stabil asimtotik, tidak stabil) Titik tetap x dikatakan stabil jika untuk setiap ɛ > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga setiap solusi x(t) dari ẋ = f(x) memenuhi kondisi, jika x 0 x < δ, untuk t = 0, maka x(t) x < ɛ, untuk setiap t 0. Titik tetap x dikatakan stabil secara asimtotik jika x stabil dan terdapat δ 0, 0 < δ 0 < δ, sedemikian sehingga jika sebuah solusi x(t) memenuhi x 0 x < δ 0, untuk t = 0, maka lim t x(t) = x. Titik tetap yang tidak memenuhi kedua kondisi di atas dikatakan tidak stabil. Ilustrasi dari definisi di atas dapat dilihat dalam Gambar II.1.

10 (a) (b) Gambar II.1: (a) Stabil (b) Stabil asimtotik. Metode lain yang lebih sederhana dalam menentukan kestabilan titik tetap sistem linear telah diperkenalkan oleh Hurwitz (1859-1919). Metode kestabilan tersebut dinamakan kriteria kestabilan Routh-Hurwitz. Tinjau sistem linier dalam persamaan (2.7) dengan A merupakan matriks Jacobi yang berukuran n n. Persamaan karakteristik dari matriks A adalah A λi = 0, (2.9) dengan I adalah matriks Identitas dan λ adalah skalar yang berupa nilai karakteristik matriks A yang akan menentukan kestabilan sistem. Persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk polinom karakteristik, yaitu P (λ) = λ n + a 1 λ n 1 + a 2 λ n 2 +... + a n = 0, (2.10) dengan a k R, k = 1,..., n. Berdasarkan kriteria kestabilan Routh-Hurwitz, P (λ) akan menghasilkan akar-akar atau nilai karakteristik atau nilai eigen yang real dan negatif atau kompleks dengan bagian real yang negatif jika dan hanya jika setiap koefisien dari P (λ) memenuhi syarat, a 1, a n > 0 dan setiap nilai dari a 1 a 3 a 5 a 7... a 2n 1 1 a a a 1 a 3 1 a 3 a 5 2 a 4 a 6... a 2n 2 1 a 2 > 0, 0 a 1 a 2 a 4 > 0,..., 1 a 3 a 5... a 2n 3 > 0, 0 1 a 0 a 1 a 3 2 a 4... a 2n 4........ 0 0 0 0... a 2n n dimana a k = 0, k > n; k, n N (untuk pembahasan lanjut, lihat [1] dan [8]).

11 II.4 II.4.1 Model Epidemiologi Model Dasar Epidemiologi Model epidemiologi pada umumnya berfokus pada dinamik dari transmisi atau perpindahan ciri atau karakter antara individu dengan individu, populasi dengan populasi, komunitas dengan komunitas, daerah dengan daerah bahkan negara dengan negara. Ciri atau karakter tersebut dapat berbentuk penyakit (malaria, tuberkulosis, HIV), karakteristik genetik (gender, ras, penyakit genetik) dan bentuk lain seperti kultur (bahasa, kepercayaan) [2]. Beberapa istilah yang sering kita dengar dalam model epidemiologi diantaranya adalah epidemik dan endemik. Epidemik merupakan sebuah fenomena dimana sebuah penyakit tiba-tiba muncul dalam suatu populasi dan menjangkit secara cepat sebelum penyakit tersebut menghilang dan kemudian akan muncul kembali dalam interval waktu tertentu (penyakit yang muncul secara temporal). Sedangkan endemik merupakan sebuah fenomena dimana sebuah penyakit yang muncul akan selalu ada dalam suatu populasi [5]. Dalam membentuk model epidemiologi ke bentuk persamaan differensial kita mengasumsikan bahwa setiap fungsi dalam kompartemen merupakan fungsi yang kontinu. Selain itu diasumsikan pula bahwa proses epidemik yang terjadi merupakan bentuk yang deterministik yaitu kelakukan dari populasi dan aturan yang membangun perkembangan model seluruhnya ditentukan dari latar belakang epidemik tersebut. Dalam memodelkan fenomena epidemik tersebut, kita dapat membagi populasi menjadi beberapa kelas populasi. Pembagian tersebut pertamakali diperkenalkan oleh Kermack-Mckendrick, 1927, yang disebut sebagai model kompartemen (compartmental model). Pada model dasar epidemiologi, kelas populasi umumnya dibagi menjadi tiga kompartemen yaitu susceptible population, dilambangkan dengan S(t), yaitu populasi sehat dan dapat terinfeksi penyakit, infective population, dilambangkan dengan I(t), yaitu populasi yang terinfeksi pada saat t dan dapat menularkan penyakit melalui kontak dengan populasi sehat dan removed population, dilambang-

12 kan dengan R(t) yaitu populasi yang pernah terinfeksi dan kemudian sembuh dari kemungkinan terinfeksi kembali atau menularkan penyakit. Metode removal merupakan suatu proses perpindahan populasi yang terinfeksi menjadi populasi yang sehat yang dilakukan melalui isolasi, imunisasi, recovery atau melalui kematian [2]. Gambar II.2 berikut menjelaskan periode terjadinya infeksi penyakit dalam suatu populasi. Gambar II.2: Periode infeksi suatu penyakit. II.4.2 Metode Pendekatan Operator The Next Generation Penentuan kestabilan sistem untuk model epidemiologi, selain dengan cara yang telah dibahas sebelumnya, juga dapat ditentukan melalui nilai atau besaran yang disebut sebagai basic reproductive number yang dilambangkan dengan R 0. Besaran R 0 didefinisikan sebagai jumlah kasus kedua (kasus sekunder) yang dihasilkan oleh satu orang penderita (orang yang terinfeksi dan dapat menularkan penyakit) selama masa menularnya (masa infeksi) pada saat ia masuk dalam sebuah populasi yang sehat. Dengan kata lain besaran tersebut berupa faktor kelipatan (multiplication factor) dari kasus awal (kasus primer) sehingga R 0 mempunyai nilai ambang yaitu 1. Jika diperoleh nilai R 0 > 1, ini berarti bahwa selama masa infeksi telah dihasilkan lebih dari satu kasus sekunder dari satu kasus primer. Tetapi sebaliknya, jika R 0 < 1 maka selama masa infeksi terjadi, interaksi tidak menghasilkan kasus sekunder dari kasus primer tersebut [5]. Basic reproductive number (R 0 ) merupakan besaran yang tidak berdimensi dan umumnya merupakan titik bifurkasi (transcritical bifurcation) dari suatu

13 sistem. Perubahan kestabilan ini terjadi pada nilai ambang (threshold value) R 0 = 1 dimana kestabilan lokal berubah dari kondisi tak endemik (bebas infeksi) menjadi kondisi yang endemik. Nilai R 0 sendiri dapat diperoleh melalui pencarian titik tetap endemik atau analisis kestabilan titik tetap tak endemik (bebas penyakit). Metode lain yang dapat digunakan untuk menentukan nilai R 0 yaitu dengan menggunakan pendekatan operator the next generation [3]. Metode pendekatan operator the next generation merupakan sebuah teknik pencarian nilai R 0 yang pertamakali diperkenalkan oleh Diekmann et al. pada tahun 1990 dimana mereka mendefenisikan R 0 sebagai jari-jari spektral (spectral radius) dari operator the next generation [5]. Misalkan diberikan suatu sistem persamaan differensial: dx dy dz = f(x, Y, Z), (2.11) = g(x, Y, Z), (2.12) = h(x, Y, Z), (2.13) dengan X R r, Y R s, Z R n, r, s, n 0 dan h(x, 0, 0) = 0. Komponen X memuat subpopulasi individu yang sehat (susceptible) atau sembuh (recover), komponen Y memuat subpopulasi individu yang terinfeksi (dalam masa inkubasi) dan komponen Z memuat subpopulasi individu yang terinfeksi dan dapat mentransmisikan penyakit (dalam masa menular). Penentuan nilai R 0 dilakukan dengan cara mencari matriks the next generation dari sistem (2.11)-(2.13) melalui langkah berikut. 1. Misalkan E 0 = (X, 0, 0) R r+s+n adalah titik tetap tak endemik dari sistem (2.11)-(2.13) yang memenuhi f(x, 0, 0) = g(x, 0, 0) = h(x, 0, 0) = 0. (2.14) 2. Asumsikan g(x, Y, Z) = 0 yang secara implisit menentukan fungsi Y = g(x, Z). (2.15)

14 3. Subtitusi persamaan (2.15) dan titik tetap tak endemik ke persamaan (2.13), diperoleh dz = h(x, g(x, Z), Z). (2.16) 4. Turunkan persamaan (2.16) terhadap variabel Z dan kemudian dievaluasi di Z = 0, diperoleh D Z h(x, g(x, Z), Z) Z=0. (2.17) 5. Misalkan A := D Z h(x, g(x, Z), Z) Z=0. Asumsikan matriks A dapat ditulis dalam bentuk A = M D, dengan M adalah matriks tak negatif, M 0 (m i,j 0), dan D > 0 suatu matriks diagonal. Dari matriks M dan D diperoleh matriks the next generation dari sistem (2.11)-(2.13) yaitu matriks MD 1 dimana matriks M dapat diartikan sebagai ratarata infeksi per satuan waktu dan D 1 merupakan periode infeksi. 6. Misalkan m(a) = sup{r(λ) : λ σ(a)} didefinisikan sebagai batas spektral dari matriks A dengan R(λ) merupakan bagian real dari nilai eigen λ. Misalkan pula ρ(a) = lim n A n 1 n yang didefinisikan sebagai radius spektral (dominant eigenvalue) dari matriks A, maka m(a) < 0 ρ(md 1 ) < 1, atau m(a) > 0 ρ(md 1 ) > 1, (pembuktiannya dapat dilihat di [6]). 7. Karena basic reproductive number (R 0 ) dinyatakan sebagai radius spektral dari matriks MD 1, maka diperoleh R 0 = ρ(md 1 ), dengan MD 1 disebut matriks (operator) the next generation [3].

15 Sebagai ilustrasi, berikut akan diberikan contoh penerapan metode tersebut. Tinjau model (generik) oleh Kermack dan Mckendrick, dengan faktor kelahiran dan kematian sebagai berikut: ds di dr = Λ βs I µs, N (2.18) = βs I (µ + γ)i, N (2.19) = γi µr, (2.20) dengan N = S + I + R. Misalkan X = (S, R), Z = (I) dan h(x, Z) = βs I N (µ+γ)i. Dari persamaan (2.18)-(2.20) diperoleh titik tetap tak endemik sistem yaitu E 0 = ( Λ, 0, 0). Subtitusi titik tersebut ke persamaan (2.19) kemudian µ turunkan terhadap Z = (I) sehingga diperoleh dengan Λ µ A = D Z h(x, g(x, Z), Z) Z=0 = h(x, Z) Z Z=0 = [β Λ I (µ + γ)i] µ N I I=0 = β (µ + γ), = N dimana subpopulasi sehat (belum terinfeksi) sama dengan total populasi N. Misalkan M = β dan D = (µ + γ) maka diperoleh R 0 = β (µ+γ).