BAB III PEMBAHASAN. genetik (genom) yang mengandung salah satu asam nukleat yaitu asam

Transkripsi

1 BAB III PEMBAHASAN A. Formulasi Model Matematika Secara umum virus merupakan partikel yang tersusun atas elemen genetik (genom) yang mengandung salah satu asam nukleat yaitu asam deoksiribonukleat (DNA) atau asam ribonukleat (RNA) yang dapat berada dalam dua kondisi yang berbeda, yaitu secara intraseluler dalam tubuh inang dan ekstrseluler diluar tubuh inang. Virus dapat menyerang manusia, hewan maupun tanaman. Salah satu virus pada tanaman yaitu virus Tungro yang menjadi penyebab penyakit Tungro pada tanaman padi. Virus Tungro ditularkan oleh wereng hijau (Nephotetix Vireschens) secara bersamaan tanpa multiplikasi virus dalam tubuh vektornya (Hibino, 1996). Masa terpanjang vektor mampu menularkan virus berkisar antara 5 6 hari (Wathanakul dan Weerapat, 1969 dalam Widiarta, 2005). Lama waktu yang dibutuhkan serangga untuk memperoleh virus berkisar 5 30 menit (Rivera dan Ou,1965; Singh 1969 dalam Widiarta, 2005), sedangkan waktu yang dibutuhkan untuk menularkan virus juga singkat, hanya 7 30 menit (Ling, 1968; Lim, 1969 dalam Widiarta, 2005). Periode inkubasi virus dalam tanaman berkisar 6 15 hari (Rivera dan Ou, 1965;Wathanakul dan Weerapat, 1969 dalam Widiarta, 2005). Model matematika pada penyebaran virus tungro ini, populasi tanaman pada waktu t terbagi dalam 3 populasi, yaitu susceptible (rentan), infectious 36

2 (terinfeksi) dan virus. Populasi Susceptible yang disimbolkan dengan S, adalah populasi tanaman yang rentan terhadap virus. Populasi Infectious yang disimbolkan dengan I, adalah populasi tanaman yang telah terinfeksi virus dan dapat menularkan virusnya ke tanaman lain dengan bantuan vektor. Populasi Virus yang disimbolkan dengan V, adalah populasi virus yang menginfeksi tanaman. Untuk mempermudah proses memodelkan penyebaran virus Tungro, diperlukan asumsi-asumsi. Berikut asumsi-asumsi yang digunakan: 1. Hanya tanaman padi rentan yang menghasilkan 18 anakan padi selama masa tanam. 2. Anakan padi masuk ke dalam kelompok tanaman rentan. 3. Infeksi virus tungro terjadi secara internal pada tanaman padi. 4. Tidak ada mikroorganisme lain yang menyerang tanaman padi. 5. Tanaman padi terinfeksi virus tungro pada umur < 3 mst 6. Pemberian pestisida dilakukan pada tanaman umur < 3 mst 7. Kepadatan tanaman rentan bertambah dengan laju konstan sebesar α. 8. Suatu tanaman rentan (S) akan terinfeksi virus tungro yang melalui vektor dengan laju sebesar β, jika terjadi kontak dengan virus (V). 9. Jika tanaman sudah terinfeksi, maka tanaman berada pada kelas I. 10. Virus bebas berkembang biak dari tanaman yang terinfeksi dengan laju sebesar μn. 11. Pestisida dapat menghambat penyebaran virus tungro oleh vektor wereng hijau. 37

3 Berikut ini didefinisikan variabel dan parameter yang digunakan dalam model penyebaran virus tungro pada tanaman padi. Tabel 3.1. Daftar Variabel Variabel Keterangan Sayarat Satuan S(t) Banyaknya rumpun S(t) 0 rrrrrrrrrrrr tanaman yang rentan pada waktu t I(t) Banyaknya rumpun I(t) 0 rrrrrrrrrrrr tanaman yang terinfeksi virus pada waktu t V(t) Banyaknya virus tungro V(t) 0 vvvvvvvvvv pada rumpun tanaman pada waktu t Tabel 3.2. Daftar Parameter Parameter Keterangan Syarat Satuan α Laju kelahiran alami α > 0 rrrrrrrrrrrr tanaman rentan per hari. haaaaaa β Laju perpindahan satu virus tungro ke tanaman rentan yang melalui vektor per hari. β > 0 haaaaaa 1 vvvvvvvvvv 1 δ Laju kematian alami δ > 0 haaaaaa 1 tanaman rentan per hari. σσ Laju kematian tanaman σσ > 0 haaaaaa 1 terinfeksi per hari. μ Peluang virus tungro pada 0 <μ 1 haaaaaa 1 tanaman terinfeksi terduplikasi per hari. n Banyaknya duplikasi virus n > 0 vvvvvvvvvv tungro. rrrrrrrrrrrr ττ 1 Laju kematian alami virus ττ 1 > 0 haaaaaa 1 tungro per hari. ττ 2 Laju kematian virus tungro ττ 2 > 0 haaaaaa 1 akibat pestisida per hari. 38

4 Berdasarkan karakteristik penyebaran virus dan masalah yang diasumsikan, dapat dibentuk model penyebaran virus tungro pada tanaman padi seperti berikut : α S δs βsv I σσ I βsv μni V μni (ττ 1+ττ 2)V Gambar 3.1. Diagram model penyebaran virus tungro pada tanaman padi Berdasarkan diagram model pada Gambar 3.1 dapat ditentukan hal-hal yang mempengaruhi proses penyebaran virus tungro. Selanjutnya akan dijelaskan proses pembentukan model penyebaran virus tungro pada tanaman padi untuk tiap-tiap kelas. 1. Perubahan banyaknya tanaman susceptible terhadap waktu (t) Pertambahan banyaknya tanaman kelas susceptible dipengaruhi oleh bertambahnya tanaman rentan sebesar αα. Sementara itu, pengurangan banyaknya tanaman dipengaruhi oleh kematian alami dari tanaman susceptible per satuan waktu (δs) dan banyaknya tanaman susceptible 39

5 yang terinfeksi virus tungro per satuan waktu (βsv). Oleh karena itu diperoleh persamaan diferensial berikut dddd = αα ββ. (3.1) dd tt 2. Perubahan banyaknya tanaman infectious terhadap waktu (t) Tanaman susceptible yang mulai terinfeksi virus tungro per satuan waktu (βsv) mempengaruhi pertambahan populasi infectious (terinfeksi). Banyaknya tanaman terinfeksi yang mati per satuan waktu (σσi) mempengaruhi pengurangan populasi infecious. Sehingga diperoleh persamaan diferensial berikut dddd = ββ σσσσ. (3.2) dd tt 3. Perubahan banyaknya partikel virus terhadap satuan waktu (t) Banyaknya virus tungro akan bertambah dari banyaknya tanaman yang terinfeksi, yang dinyatakan dengan μμ dikalikan dengan banyaknya duplikasi virus tungro baru per rumpun dalam t hari yang dinyatakan dengan nn. Sementara itu, kematian alami virus yang dinyatakan dengan ττ 1, kematian virus akibat pestisida yang dinyatakan dengan ττ 2 dan partikel virus yang menginfeksi tanaman rentan yang melalui vektor sebesar ββ akan mengurangi populasi virus pada tanaman terinfeksi. Sehingga diperoleh persamaan diferensial berikut dddd dd tt = μμμμμμ ττ 1 VV ττ 2 VV ββ. (3.3) Berdasarkan deskripsi di atas dan dari Persamaan (3.1) (3.3) maka 40

6 penyebaran virus tungro pada tanaman padi dapat dimodelkan dalam bentuk sistem persamaan diferensial non linear orde satu seperti berikut: a. dddd dd tt = αα ββ b. dddd dd tt = ββ σσσσ c. dddd dd tt = μμμμμμ ττ 1 VV ττ 2 VV ββ. (3.4) B. Titik Ekuilibrium Titik ( S,I,V) merupakan titik-titik ekuilibrium dari Sistem (3.4) jika memenuhi persamaan dddd dd tt disajikan dalam teorema berikut : Teorema = dddd dd tt = dddd dd tt = 0. Titik-titik ekuilibrium dari Sistem (3.4) (i) Jika I= 0 maka Sistem (3.4) memiliki titik ekuilibrium bebas penyakit yaitu EE 0 = (SS, II, VV) = αα, 0,0. (ii) Jika I 0 maka Sistem (3.4) memiliki titik ekuilibrium endemik EE 1 = Bukti (SS, II, VV ) dengan SS = σσ(ττ 1+ττ 2 ) ββ(μμμμ σσ) II = αααα (μμμμ σσ ) (ττ 1+ττ 2 ) ββσσ(μμμμ σσ ) VV = αααα (μμμμ σσ ) (ττ 1+ττ 2 ). (ττ 1 +ττ 2 ) Sistem (3.4) akan mencapai titik ekuilibrium jika dddd dd tt = dddd = dddd = 0, maka Sistem dd tt dd tt (3.4) dapat ditulis: 41

7 αα ββ = 0. (3.4.1) ββ σσ II = 0. (3.4.2) μμμμμμ ττ 1 VV ττ 2 VV ββ = 0. (3.4.3) (i) Jika I= 0, maka dari Persamaan (3.4.2) diperoleh ββ = 0 VV = 0, (3.5) didapat nilai V= 0. Substitusi Persamaan (3.5) ke Persamaan (3.4.1) diperoleh αα = 0 = aa SS = αα, (3.6) diperoleh nilai SS = αα. Sehingga didapat titik ekuilibrium bebas penyakit EE 0 = (SS, II, VV) = αα, 0,0. Jadi terbukti bahwa I = 0 pada Sistem (3.4) memiliki titik ekuilibrium bebas penyakit yaitu EE 0 = (SS, II, VV) = αα, 0,0. (ii) Jika I 0, maka dari Persamaan (3.4.1) diperoleh αα ββ = 0 αα = ββ VV = αα. (3.7) Berdasarkan Persamaan (3.7) diperoleh VV = αα αα. Jika I 0 dan VV = maka Persamaan (3.4.2) diperoleh 42

8 ββ σσσσ = 0 αα σσσσ = 0 αα σσσσ = 0 σσσσ = αα II = αα σσ. (3.8) Substitusikan Persamaan (3.7) dan (3.8) ke Persamaan (3.4.3), maka diperoleh μμμμμμ ττ 1 VV ττ 2 VV ββ = 0 μμμμ αα σσ (ττ 1 + ττ 2 ) αα αα = 0 μμμμ σσ (αα ) ττ 1+ττ 2 (αα ) (αα ) (αα ) μμμμ 1 σσ ττ 1+ττ 2 (αα ) = 0 μμμμ σσ (αα ) σσ ττ 1+ττ 2 (αα ) = 0 μμμμ σσ (αα ) σσ ττ 1+ττ 2 = 0. μμμμ σσ Saat σσ ττ 1+ττ 2 0 maka (αα ) = 0, yaitu SS = αα. Ini berarti I = 0 dan V = 0, sehingga diperoleh EE 0 pada bagian (i). μμμμ σσ Selanjutnya, (αα ) 0 maka σσ ττ 1+ττ 2 = 0 μμμμ σσ σσ ττ 1+ττ 2 = 0 μμμμ σσ σσ = ττ 1+ττ 2 ββss = σσ(ττ 1+ττ 2 ) μμμμ σσ 43

9 SS = 1 ββ σσ(ττ 1+ττ 2 ) μμμμ σσ SS = σσ(ττ 1+ττ 2 ) ββ(μμμμ σσ). Sehingga diperoleh SS = σσ(ττ 1+ττ 2 ) ββ(μμμμ σσ). (3.9) Selanjutnya, substitusikan Persamaan (3.9) ke Persamaan (3.7), diperoleh VV = αα VV = αα σσ(ττ1+ττ2) ββ (μμμμ σσ) ββ σσ(ττ 1+ττ 2 ) ββ (μμμμ σσ) = = αα(ββ (μμμμ σσ)) (σσ(ττ 1 +ττ 2 )) ββ (μμμμ σσ) σσ(ττ 1 +ττ 2 ) (μμμμ σσ) αααα (μμμμ σσ) σσ(ττ 1 +ττ 2 ) ββ (μμμμ σσ) σσ(ττ 1 +ττ 2 ) (μμμμ σσ) = αααα (μμμμ σσ) σσ(ττ 1+ττ 2 ) ββ(μμμμ σσ) = αααα (μμμμ σσ) σσ(ττ 1+ττ 2 ) ββ μμμμ σσ σσ(ττ 1 +ττ 2 ) 1 σσ(ττ 1 +ττ 2 ) = αααα (μμμμ σσ) σσ(ττ 1+ττ 2 ). (3.10) ββσσ(ττ 1 +ττ 2 ) Substitusikan Persamaan (3.9) ke Persamaan (3.8), sehingga diperoleh II = αα σσ II = αα σσ(ττ1+ττ2) ββ (μμμμ σσ) σσ = αααα (μμμμ σσ) (σσ(ττ 1 +ττ 2 )) ββ (μμμμ σσ) σσ 44

10 = αααα (μμμμ σσ) (σσ(ττ 1+ττ 2 )) ββσσ(μμμμ σσ) = αααα (μμμμ σσ) σσ(ττ 1+ττ 2 ). (3.11) ββσσ(μμμμ σσ) Berdasarkan Persamaan (3.9), (3.10), (3.11) di dapatkan titik ekuilibrium endemik EE 1 = (SS, II, VV ) dengan SS = σσ(ττ 1+ττ 2 ) ββ(μμμμ σσ) II = αααα (μμμμ σσ) σσ(ττ 1+ττ 2 ) ββσσ(μμμμ σσ) VV = αααα (μμμμ σσ) σσ(ττ 1+ττ 2 ) ββσσ(ττ 1 +ττ 2 ). (3.12) Jadi terbukti bahwa I 0 pada Sistem (3.4) memiliki titik ekuilibrium endemik EE 1 = (SS, II, VV ) = σσ(ττ 1+ττ 2 ), αααα (μμμμ σσ) σσ(ττ 1+ττ 2 ) ββ(μμμμ σσ) ββσσ(μμμμ σσ), αααα (μμμμ σσ) σσ(ττ 1+ττ 2 ). ββσσ(ττ 1 +ττ 2 ) C. Bilangan Reproduksi Dasar Bilangan reproduksi dasar merupakan angka harapan dari suatu kasus baru (sekunder) yang disebabkan oleh individu yang terinfeksi (kasus primer) dalam suatu populasi individu rentan. Jika < 1, tidak akan terjadi endemik. Dalam artian, penyakit tidak menyerang populasi, namun jika > 1 akan terjadi endemik. Dalam artian, penyakit sangat mungkin untuk menyebar. Penentuan bilangan reproduksi dasar ( ) digunakan metode next generation matrix dari Sistem (3.4). Pada model ini, kelas terinfeksi adalah Infectious dan Virus, sehingga persamaan diferensial yang digunakan sebagai berikut: 45

11 dddd dd tt = ββ σσii (3.4.2) dddd dd tt = μμμμμμ ττ 1 VV ττ 2 VV ββ, (3.4.3) maka diperoleh Dimana φφ = ββ σσii dan ψψ = ββ μμμμμμ + (ττ 1 + ττ 2 )VV. φφ = Laju infeksi yang menambah populasi kelas terinfeksi.. ψψ = Laju perkembangan virus, dan kematian yang mengakibatkan berkurangnya populasi dari kelas terinfeksi. Kemudian φφ dan ψψ dilinearisasi. Hasil masing-masing linearisasinya dengan titik ekuilibrium disease free EE 0 = ( αα, 0,0) adalah Sehingga didapat VV 1 FF = 0 σσ 0 dan VV = 0 μμμμ VV 1 = 1 ττ 1 + ττ 2 0 σσ(ττ 1 +ττ 2 ) μμμμ σσ ττ 1 + ττ 2. = = ττ 1 +ττ 2 σσ(ττ 1 +ττ 2 ) μμμμ σσ(ττ 1 +ττ 2 ) 1 σσ μμμμ σσ(ττ 1 +ττ 2 ) 0 σσ σσ(ττ 1 +ττ 2 ) 0 1 (ττ 1 +ττ 2 ). Diperoleh next generation matrix berikut: 46

12 KK = FFVV 1 = σσ μμμμ σσ(ττ 1 + ττ 2 ) 0 1 (ττ 1 + ττ 2 ) KK = (μμμμ ) σσ(ττ 1 +ττ 2 ) (μμμμ ) σσ(ττ 1 +ττ 2 ) (ττ 1 +ττ 2 ) (ττ 1 +ττ 2 ). (3.13) Pada awal kemunculan virus dalam populasi, hampir semua tanaman rentan terhadap penyakit, sehingga nilai S pada Persamaan (3.6) dapat didekati menggunakan titik ekuilibrium S saat bebas penyakit. Dengan mensubstitusi Persamaan (3.6) ke dalam Persamaan (3.13), diperoleh KK = FFVV 1 = αααα(μμμμ) σσ(ττ 1 +ττ 2 ) αααα(μμμμ) σσ(ττ 1 +ττ 2 ) αααα (ττ 1 +ττ 2 ) αααα (ττ 1 +ττ 2 ). Akan ditentukan nilai eigen dari KK = FFVV 1 λλλλ FFVV 1 = λλ 0 0 λλ αααα (μμμμ ) σσ(ττ 1 +ττ 2 ) αααα (μμμμ ) σσ(ττ 1 +ττ 2 ) αααα (ττ 1 +ττ 2 ) αααα (ττ 1 +ττ 2 ) λλ λλλλ FFVV 1 = αααα (μμμμ ) σσ(ττ 1 +ττ 2 ) αααα (μμμμ ) σσ(ττ 1 +ττ 2 ) λλ αααα (ττ 1 +ττ 2 ) αααα (ττ 1 +ττ 2 ). Maka persamaan karakteristik λλλλ FFVV 1 adalah det(λλλλ FFVV 1 ) = 0 λλ det(λλλλ FFVV 1 ) = αααα (μμμμ ) σσ(ττ 1 +ττ 2 ) αααα (μμμμ ) σσ(ττ 1 +ττ 2 ) λλ αααα (ττ 1 +ττ 2 ) αααα (ττ 1 +ττ 2 ) = 0. Didapat λλ αααα (μμμμ ) σσ(ττ 1 +ττ 2 ) λλ αααα (ττ 1 +ττ 2 ) αααα (μμμμ ) σσ(ττ 1 +ττ 2 ) αααα = 0 (ττ 1 +ττ 2 ) 47

13 Maka λλ = 0 atau λλ 2 λλ λλ λλ = λλλλλλ (μμμμ ) σσ(ττ 1 +ττ 2 ) αααα (μμμμ ) αααα (σσ) σσ(ττ 1 +ττ 2 ) αααα (μμμμ ) αααα (σσ) σσ(ττ 1 +ττ 2 ) λλλλλλ (ττ 1 +ττ 2 ) = 0. = 0. Menurut Definisi (2.8), bilangan reproduksi dasar didefinisikan sebagai nilai eigen terbesar dari next generation matrix, maka diperoleh bilangan reproduksi dasar dari Sistem 3.4 yaitu: = ρρ(kk) = αααα (μμμμ ) αααα (σσ) σσ(ττ 1 +ττ 2 ) Ini artinya, satu tanaman terinfeksi memproduksi periode infeksi 1 σσ. (3.14) ββ (μμμμ σσ) σσ(ττ 1 +ττ 2 ) virus tungro selama. Sedangkan satu partikel virus tungro menginfeksi αααα (μμμμ σσ) (ττ 1 +ττ 2 ) tanaman rentan selama periode infeksi 1 ττ 1 +ττ 2. D. Kestabilan Titik Ekuilbrium Pada bagian ini akan dilakukan analisa kestabilan titik ekuilibrium Sistem (3.4). Kestabilan titik ekuilibrium dari Sistem (3.4) disajikan dalam teorema berikut: Teorema (i) Jika < 1 maka titik ekuilibrium bebas penyakit EE 0 = (SS, II, VV) = αα, 0,0 stabil asimtotik lokal. (ii) Jika > 1 maka titik ekuilibrium bebas penyakit EE 0 = (SS, II, VV) = αα, 0,0 tidak stabil. 48

14 Bukti Sistem (3.4) didefinisikan sebagai : ff(ss, II, VV) = αα ββ gg(ss, II, VV) = ββ σσ II h(ss, II, VV) = μμμμμμ ττ 1 VV ττ 2 VV ββ. Maka matriks jacobian dari sistem di atas adalah : JJ = (SS,II,VV) (SS,II,VV) h(ss,ii,vv) (SS,II,VV) (SS,II,VV) h(ss,ii,vv) (SS,II,VV) (SS,II,VV) h(ss,ii,vv) 0 = σσ. (3.15) μμμμ (ττ 1 + ττ 2 ) Akan ditunjukkan bahwa jika < 1 maka titik ekuilibrium bebas penyakit EE 0 = (SS, II, VV) = αα, 0,0 stabil asimtotik lokal. Substitusi titik ekuilibrium bebas penyakit EE 0 = (SS, II, VV) = αα, 0,0 ke Persamaan (3.15), maka diperoleh matriks Jacobian disekitar titik ekuilibrium EE 0 0 αααα αααα JJ(EE 0 ) = 0 σσ 0 μμμμ (ττ 1 + ττ 2 ) αααα Nilai eigen dari matriks JJ(EE 0 ), dapat dicari dengan menentukan dddddd(jj(ee 0 ) λλλλ) = 0, dengan λλ adalah nilai eigen dan II adalah matriks identitas. Sehingga diperoleh: dddddd(jj(ee 0 ) λλλλ) = 0. 49

15 0 αααα αααα 0 σσ 0 μμμμ (ττ 1 + ττ 2 ) αααα λλ = αααα αααα 0 σσ 0 μμμμ (ττ 1 + ττ 2 ) αααα λλ 0 αααα 0 σσ λλ λλ λλ 0 = λλ αααα 0 μμμμ (ττ 1 + ττ 2 ) αααα λλ = 0 ( + λλ) ( σσ λλ) (ττ 1 + ττ 2 ) αααα λλ μμμμ αααα = 0 ( + λλ) σσττ 1 + σσττ 2 + αααα σσ + σσλλ + λλττ 1 + λλττ 2 + ( + λλ) λλ 2 + σσ + ττ 1 + ττ 2 + αααα λλ + (ττ 1 + ττ 2 )σσ + ( + λλ) λλ 2 + σσ + ττ 1 + ττ 2 + αααα λλ + σσ(ττ 1 + ττ 2 ) Persamaan (3.16) dapat ditulis menjadi dengan αααα λλ + λλ2 μμμμμμμμ αααα σσ μμμμμμμμ αααα (μμμμ σσ) = 0 = 0. = 0 (3.16) ( + λλ)(λλ 2 + pp 1 λλ + pp 2 ) = 0 (3.17) pp 1 = σσ + ττ 1 + ττ 2 + αααα pp 2 = σσ(ττ 1 + ττ 2 ) αααα (μμμμ σσ) Berdasarkan Persamaan (3.16), diperoleh nilai eigen λλ =. Karena bernilai positif, maka bagian real dari kedua nilai eigen tersebut adalah negatif.. 50

16 Sementara untuk nilai eigen yang lainnya, akan digunakan kriteria Routh- Hurwitz untuk melihat tipe kestabilan dari persamaan karakteristik aa 0 λλ 2 + aa 1 λλ + aa 2, (3.18) dengan aa 0 = 1 aa 1 = pp 1 aa 2 = pp 2. Akan ditunjukkan Persamaan (3.18) memenuhi syarat kriteria Routh-Hurwitz dimana aa 0 > 0, aa 1 > 0, aa 2 > 0. Terdapat aa 0 = 1, jelas aa 0 > 0. aa 1 = pp 1 aa 1 = σσ + ττ 1 + ττ 2 + αααα aa 1 > 0, karena parameter σσ, ττ 1, ττ 2, αα,, ββ bernilai positif. aa 2 = pp 2 aa 2 = σσ(ττ 1 + ττ 2 ) αααα (μμμμ σσ) = σσ(ττ 1 + ττ 2 ) (σσ(ττ 1 + ττ 2 ) ) = σσ(ττ 1 + ττ 2 )(1 ). Menurut yang diketahui < 1, diperoleh aa 0 > 0, aa 1 > 0 dan aa 2 > 0. Karena aa 0, aa 1 dan aa 2 bernilai positif, maka semua nilai eigen dari Persamaan (3.18) bagian realnya bernilai negatif, sehingga titik ekuilibrium bebas penyakit EE 0 = (SS, II, VV) = αα, 0,0 stabil asimtotik lokal. 51

17 Sementara itu, jika diketahui, > 1, maka diperoleh aa 2 < 0. Akar-akar persamaan (3.18) akan berbeda tanda yaitu λλ 1 < 0 dan λλ 2 > 0 atau sebaliknya. Sehingga, dapat dikatakan bahwa jika > 1, maka Persamaan (3.18) terdapat nilai eigen yang bagian realnya bernilai positif. Oleh karena itu, titik ekuilibrium bebas penyakit EE 0 = (SS, II, VV) = αα, 0,0 tidak stabil. Teorema Jika > 1 maka titik ekuilibrium endemik EE 1 = (SS, II, VV ) stabil asimtotik lokal dengan Bukti SS = σσ(ττ 1+ττ 2 ) ββ(μμμμ σσ) II = αααα (μμμμ σσ) σσ(ττ 1+ττ 2 ) ββσσ(μμμμ σσ) VV = αααα (μμμμ σσ) σσ(ττ 1+ττ 2 ) ββσσ(ττ 1 +ττ 2 ) Substitusi titik ekuilibrium dalam kondisi endemik EE 1 = (SS, II, VV ) = σσ(ττ 1+ττ 2 ) ke Persamaan (3.15), diperoleh :, αααα (μμμμ σσ) σσ(ττ 1+ττ 2 ) ββ(μμμμ σσ) ββσσ(μμμμ σσ)., αααα (μμμμ σσ) σσ(ττ 1+ττ 2 ), ββσσ(ττ 1 +ττ 2 ) αααα (μμμμ σσ) 0 σσ(ττ 1+ττ 2 ) σσ(ττ 1 +ττ 2 ) (μμμμ σσ) αααα (μμμμ σσ) JJ(EE 1 ) = σσ σσ(ττ 1 +ττ 2 ) σσ(ττ 1 +ττ 2 ) (μμμμ σσ). (3.19) αααα (μμμμ σσ) μμμμ (ττ σσ(ττ 1 +ττ 2 ) 1 + ττ 2 ) σσ(ττ 1+ττ 2 ) (μμμμ σσ) Diperhatikan Persamaan (3.12) yaitu persamaan untuk, dimana = αααα(μμμμ) αααα(σσ) σσ(ττ 1 + ττ 2 ) ββ(μμμμ σσ) = αα σσ(ττ 1 + ττ 2 ). Maka Persamaan (3.19) dapat dinyatakan sebagai berikut : 52

18 0 ααββ ααββ JJ(EE 1 ) = ( 1) σσ. ( 1) μμμμ (ττ 1 + ττ 2 ) ααββ Nilai eigen dari matriks JJ(EE 1 ), dapat dicari dengan menentukan dddddd λλλλ JJ(EE 1 ) = 0, dengan λλ adalah nilai eigen dan II adalah matriks identitas. Sehingga diperoleh: dddddd λλλλ JJ(EE 1 ) = 0 0 ααββ RR ααββ λλ ( 1) σσ = ( 1) μμμμ (ττ 1 + ττ 2 ) ααββ 0 ααββ RR λλ ααββ 0 λλ 0 ( 1) σσ = λλ ( 1) μμμμ (ττ 1 + ττ 2 ) ααββ λλ + 0 ααββ ( 1) λλ + σσ ααββ = 0 ( 1) μμμμ λλ + (ττ 1 + ττ 2 ) + ααββ (λλ + )(λλ + σσ) λλ + (ττ 1 + ττ 2 ) + ααββ + ααββ ( 1) ( μμnn) ααββ (λλ + σσ) (RR 0 1) + (λλ + ) ααββ ( μμnn) = 0 (λλ + ) λλ 2 + (ττ 1 + ττ 2 )λλ + ααββλλ + σσλλ + (ττ 1 + ττ 2 )σσ + αα + αα nn ( 1) ααββ(λλ+σσ) αα nn (RR 1) + 0 (λλ + ) = 0 53

19 λλ 3 + (ττ 1 + ττ 2 )λλ 2 + ααββλλ2 + σσλλ2 αα λλ + (ττ 1 + ττ 2 )σσλλ + + RR 0λλ 2 + (ττ 1 + ττ 2 )λλ + σσλλ + σσ(ττ 1 + ττ 2 ) + αα + ααnn αα nn ααββ(λλ + σσ) ααββ(λλ+σσ) αα nnλλ + + ααnn = 0 λλ 3 + (ττ 1 + ττ 2 ) + ααββ + σσ + λλ 2 + (ττ 1 + ττ 2 )σσ + αα + (γγ 1 + γγ 2 ) + ααββ + σσ λλ + (ττ 1 + ττ 2 )σσ + αα + ααββ ααββ ααββλλ αα + ααββ(λλ+σσ) ααββ λλ ααββ = 0 λλ 3 + (ττ 1 + ττ 2 ) + ααββ + σσ + λλ 2 + (ττ 1 + ττ 2 )σσ + αα + (ττ 1 + ττ 2 ) + ααββ + σσ ααββ ααββ + ααββ λλ + (ττ RR 1 + ττ 2 )σσ + αα + ααββ ααββ 0 αα + αα ααββ = 0 λλ 3 + (ττ 1 + ττ 2 ) + ααββ + σσ + λλ 2 + (ττ 1 + ττ 2 )σσ + αα + (ττ 1 + ττ 2 ) + σσ ααββ + ααββ λλ + (ττ RR 1 + ττ 2 )σσ ααββ + αα = 0 0 (3.20) Persamaan karakteristik dari Sistem (3.20) adalah λλ 3 + pp 1 λλ 2 + pp 2 λλ + pp 3, (3.21) dengan aa 0 = 1 aa 1 = pp 1 54

20 pp 1 = (ττ 1 + ττ 2 ) + ααββ + σσ + aa 2 = pp 2 pp 2 = (ττ 1 + ττ 2 )σσ + αα + (ττ 1 + ττ 2 ) + σσ ααββ + ααββ aa 3 = pp 3 pp 3 = (ττ 1 + ττ 2 )σσ ααββ + αα. Diperhatikan Persamaan (3.12) yaitu persamaan untuk, dimana = ααββ(μμμμ ) ααββ(σσ) σσ(ττ 1 +ττ 2 ) Maka aa 2 dapat dinyatakan sebagai ααββ(μμμμ σσ) = σσ(ττ 1 + ττ 2 ) ααββ(σσ μμμμ) = σσ(ττ 1 + ττ 2 ). aa 2 = (ττ 1 + ττ 2 )σσ + αα + (ττ 1 + ττ 2 ) + σσ ααββ + ααββ aa 2 = (ττ 1 + ττ 2 )σσ + ααββ(σσ μμμμ ) aa 2 = (ττ 1 + ττ 2 )σσ + ααββ(σσ μμμμ ) aa 2 = (ττ 1 + ττ 2 )σσ σσ(γγ 1 +γγ 2 ) aa 2 = ((ττ 1 + ττ 2 )σσ) + ααββ. Kemudian aa 3 dapat dinyatakan sebagai + (ττ 1 + ττ 2 ) + σσ + ααββ + ((ττ 1 + ττ 2 )σσ) + ααββ + ((ττ 1 + ττ 2 ) + σσ) + ααββ aa 3 = (ττ 1 + ττ 2 )σσ ααββ + αα aa 3 = (ττ 1 + ττ 2 )σσ + ααββ(σσ μμμμ ) aa 3 = (ττ 1 + ττ 2 )σσ σσ(ττ 1 +ττ 2 ) aa 3 = (ττ 1 + ττ 2 )σσ (ττ 1 + ττ 2 )σσ 55

21 aa 3 = (ττ 1 + ττ 2 )σσ( 1). Untuk mengetahui nilai eigen dari Persamaan (3.21) dapat dicari menggunakan tabel Routh-Hurwitz yang ditunjukan pada Tabel 2.1. Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz, pembuat nol dari Persamaan (3.21) akan bernilai negatif jika tidak ada perubahan tanda pada kolom pertama Tabel 2.1. Diketahui bahwa aa 0 dan aa 1 bernilai positif. Agar kolom pertama pada Tabel 2.1 bertanda sama maka bb 1 dan cc 1 haruslah positif. bb 1 = aa 1aa 2 aa 0 aa 3 aa 1 = aa 1aa 2 aa 3 aa 1 cc 1 = bb 1aa 3 bb 1 = aa 3 Agar bb 1 bernilai positif maka aa 1 aa 2 > aa 3 aa 1 aa 2 aa 3 > 0, karena aa 1 > 0. Perhatikan bahwa jika > 1, maka diperoleh (ττ 1 + ττ 2 ) + ααββ + σσ + ((ττ 1 + ττ 2 ) + σσ) + ααββ (ττ 1 + ττ 2 )σσ( 1) > 0 (ττ 1 + ττ 2 ) + ααββ + σσ + ((ττ 1 + ττ 2 ) + σσ) + ααββ (ττ 1 + ττ 2 )σσ + (ττ 1 + ττ 2 )σσ > 0 (ττ 1 + ττ 2 ) + ααββ + σσ + (ττ 1 + ττ 2 ) + σσ + ααββ (ττ 1 + ττ 2 )σσ + (ττ 1 + ττ 2 )σσ > 0 (ττ 1 + ττ 2 ) 2 + (ττ 1 + ττ 2 ) σσ + (ττ 1 + ττ 2 ) ααββ + ααββ(ττ 1 + ττ 2 ) + αα + αα2 ββ (ττ 1 + ττ 2 ) σσ + σσ 2 + αασσ (ττ 1 + ττ 2 ) σσ + ααββ (ττ 1 + ττ 2 ) σσ + (ττ 1 + ττ 2 )σσ > 0 56

22 (ττ 1 + ττ 2 ) 2 + (ττ 1 + ττ 2 ) ααββ + ααββ(ττ 1 + ττ 2 ) + αα + αα2 ββ (ττ 1 + ττ 2 )σσ + ττ 2 + αα (ττ 1 + ττ 2 ) σσ + ααββ + (ττ 1 + ττ 2 )σσ > 0 ((ττ 1 + ττ 2 ) + σσ) ((ττ 1 + ττ 2 ) 2 + σσ 2 + σσ(ττ 1 + ττ 2 )) + ((ττ 1 +ττ 2 )+σσ)ααββ + ((ττ 1 + ττ 2 ) + σσ)ααββ + αα 2 ββ ααββ + (ττ 1 + ττ 2 )σσ > 0. Karena parameter αα, ββ,, σσ, ττ 1, ττ 2, bernilai positif maka jelas bb 1 > 0. Selanjutnya untuk cc 1 = aa 3 = (ττ 1 + ττ 2 )σσ( 1). Jelas aa 3 > 0, karena > 1. Menurut yang diketahui aa 0, aa 1, aa 2 dan aa 3 bernilai positif, dan kolom pertama dari Tabel 2.1 bertanda sama, maka berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz nilai eigen dari Persamaan (3.21) bagian realnya adalah negatif, sehingga terbukti bahwa jika > 1, maka titik ekuilibrium EE 1 = (SS, II, VV ) = σσ(ττ 1+ττ 2 ), αααα (μμμμ σσ) (ττ 1+ττ 2 ) ββ(μμμμ σσ) (μμμμ σσ) E. Simulasi Model, αααα (μμμμ σσ) (ττ 1+ττ 2 ), stabil asimtotik lokal. (ττ 1 +ττ 2 ) Pada subbab ini akan dibahas mengenai simulasi numerik dalam keadaan bebas virus, dan keadaan terdapat virus untuk memberikan gambaran yang lebih jelas mengenai model matematika SIV untuk penyebaran virus tungro pada tanaman padi dengan menggunakan parameter-parameter dan nilai awal tertentu. Di Indonesia rata-rata luasan serangan tungro antara tahun mencapai 3650 ha per tahun (Kusprayogie dkk, 2011 dalam Praptana dkk, 2014). 57

23 Pada musim tanam 2010/2011 serangan tungro seluas 5828 ha dan meningkat menjadi 7177 ha pada musim tanam 2011 yang tersebar di 33 provinsi (Kusprayogie dkk, 2011 dalam Praptana dkk, 2014). Serangan virus tungro yang paling tinggi terjadi pada daerah endemik tungro. Salah satu daerah endemik tungro adalah kelurahan Taratara Kecamatan Tomohon Barat Kabupaten Tomohon. Luas lahan sawah di kelurahan Taratara tahun 2015 adalah 89 ha dengan karakteristik tanaman padi yang sama. (BPS Kota Tomohon, 2016). Untuk keperluan simulasi diambil data 1 4 ha sawah yang dapat mewakili keseluruhan populasi adalah rentan virus tungro. Berdasarkan Suhendi,Anda (2015) dalam 1 ha sawah terdapat rumpun tanaman padi dan 4 setiap 1 rumpun menghasilkan 18 anakan padi, maka diperoleh rumpun tanaman padi rentan selama masa tanam. Rata-rata umur tanaman padi adalah 110 hari. Sehingga berdasarkan data, didapatkan laju kelahiran tanaman rentan per hari sebesar αα = Nilai ββ merepresentasikan laju perpindahan virus tungro ke tanaman rentan, dengan ββ adalah 1 mmmmmmmm iiiiiiiiiiiiiiii. Berdasarkan data yang diketahui diambil masa inkubasi virus tungro pada tanaman rentan yaitu 10 hari, 13 hari dan 15 hari, maka diperoleh ββ = 1, 1 dan 1. Nilai merepresentasikan laju kematian alami tanaman rentan per hari, dengan adalah 1 uuuuuuuu tttttttttttttt pppppppp, maka diperoleh = 1. Nilai σσ merepresentasikan laju kematian tanaman terinfeksi per hari, 110 dengan σσ adalah uuuuuuuu tttttttttttttt tttttttttttttttttttt uuuuuuuu tttttttttttttt pppppppp, asumsikan jika rata-rata umur tanaman 58

24 padi terinfeksi adalah 86,2 hari maka diperoleh σσ = 86,2. Parameter μμ merepresentasikan banyaknya tanaman terinfeksi yang menghasilkan virus, nilai μμ berdasarkan pada rata-rata insidensi penyakit atau rata-rata infeksi virus tungro perhari. Menurut Livita dkk. (2015), rata-rata insidensi penyakit tungro per bulan di kelurahan Taratara adalah 23,51%, sehingga diperoleh insidensi penyakit perhari sebesar μμ = 0, Banyaknya duplikasi virus tungro pada tanaman padi per hari direpresentasikan dengan parameter nn, jika diasumsikan duplikasi virus tungro per hari virus baru, maka diperoleh nilai parameter nn sebesar Parameter ττ 1 merepresentasikan laju kematian alami virus tungro per hari, berdasarkan umur virus tungro pada tubuh vektor. Umur vektor adalah hari sedangkan rata-rata umur virus tungro pada tubuh vektor berkisar antara 5-6 hari (Wathanakul dan Weerapat,1969 dalam Widiarta, 2005). Jika umur virus tungro pada tubuh vektor adalah 6 hari dan umur vektor 28 hari, maka diperoleh ττ 1 = 1 uuuuuuuu vvvvvvvvvv xx uuuuuuuu vvvvvvvvvvvv = 1 6 xx 28. Parameter ττ 2 merepresentasikan laju kematian virus tungro akibat pestisida, dengan ττ 2 = uuuuuuuu vvvvvvvvvv aaaaaaaaaaaa pppppppppppppppppp xx uuuuuuuu vvvvvvvvvvvv. Nilai parameter ini dapat bervariasi, tergantung jenis pestisida yang diberikan. Berdasarkan Praptana dkk. (2014) pemberian pestisida tidak langsung mematikan wereng hijau atau vektor virus tungro, sehingga hal ini berpengaruh pada kelangsungan hidup virus dalam vektor dan jika diasumsikan umur virus dalam vektor berkisar antara 2-3 hari, maka didapatkan nilai parameter ττ 2 = 1 2 dan

25 Berikut diberikan simulasi untuk Sistem (3.4) dengan mensubstitusikan nilai-nilai parameter diatas, saat < 1 dan > 1. Simulasi digambarkan menggunakan program Maple Simulasi < 1 Untuk < 1, diambil nilai nn = 100, nilai ββ = 1 15, nilai ττ 2 = 28 2 dan diberikan nilai awal untuk masing-masing banyaknya tanaman rentan (susceptible), banyaknya tanaman terinfeksi (infectious) dan banyaknya virus (virus) masing-masing adalah ss(0) = , ii(0) = 20 dan vv(0) = Gambar 3.2 Simulasi sistem (3.4) untuk 0 < 1 Gambar 3.3 Simulasi sistem (3.4) untuk 0 < 1 (populasi susceptible). 60

26 Gambar 3.4 Simulasi sistem (3.4) untuk 0 < 1 (populasi infectious). Gambar 3.5 Simulasi sistem (3.4) untuk 0 < 1 (populasi virus). Jika nilai-nilai parameter di atas disubstitusikan ke Sistem (3.14) diperoleh nilai = < 1. Pada Gambar 3.1 terlihat bahwa banyaknya tanaman rentan (susceptious) semakin meningkat seiring berjalannya waktu. Peningkatan banyaknya tanaman rentan dikarenakan virus tungro yang ada di dalam tanaman mulai menghilang sehingga tanaman yang terinfeksi akan berkurang. Laju pertumbuhan tanaman rentan akan terus meningkat hingga 61

27 keadaan setimbang pada titik tertentu. Berdasarkan hasil simulasi numerik diperoleh keadaan setimbang untuk populasi tanaman rentan yaitu pada saat t tertentu. Sementara untuk banyaknya tanaman terinfeksi (infectious) dan virus mengalami naik turun. Kenaikan banyaknya tanaman terinfeksi (infectious) dikarenakan populasi tanaman rentan terinfeksi oleh virus tungro dan menjadi kelompok tanaman terinfeksi. Laju pertumbuhan tanaman infectious mengalami penurunan sampai titik dimana pergerakan tanaman terinfeksi dalam keadaan setimbang. Penurunan ini disebabkan oleh tidak adanya penambahan dari tanaman rentan yang menjadi tanaman terinfeksi. Berdasarkan hasil simulasi numerik, keadaan setimbang populasi tanaman terinfeksi adalah 0 pada waktu t tertentu. Sedangkan kenaikan banyaknya virus dikarenakan tanaman yang terinfeksi menghasilkan virus tungro baru dan virus tungro tersebut berduplikasi. Selanjutnya laju pertumbuhan virus akan mengalami penurunan yang berakibat pada berkurangnya tanaman terinfeksi. Populasi virus ini akan terus berkurang hingga laju pertumbuhan virus dalam keadaan setimbang. Berdasarkan hasil simulasi numerik, populasi virus dalam keadaan setimbang adalah 0 pada waktu t tertentu. Hal ini berarti tidak ada virus tungro pada tanaman padi. Sehingga dapat dikatakan bahwa saat < 1, virus tungro akan menghilang dari populasi. 2. Simulasi > 1 Untuk > 1 diberikan nilai awal untuk banyaknya tanaman rentan (susceptible), tanaman terinfeksi (infectious) dan virus (virus) masing-masing adalah ss(0) = , ii(0) = 300 dan vv(0) =

28 Gambar 3.6. Simulasi Sistem (3.4) untuk 0 = dengan nn = 200, ββ = 1 13 dan ττ 22 = 28 3 Gambar 3.7. Simulasi Sistem (3.4) untuk 0 = dengan nn = 300 ββ = 1 10 dan ττ 22 = 28 3 Berdasarkan simulasi Gambar 3.6 dan Gambar 3.7, terlihat bahwa ketika banyaknya tanaman rentan (susceptible) turun, banyaknya tanaman yang terinfeksi virus tungro (infectious) dan virus tungro meningkat dan menuju suatu titik di EE 1. Hal ini akibat dari adanya kontak antara tanaman rentan dengan virus tungro. Saat banyaknya tanaman yang terinfeksi meningkat, maka virus tungro juga meningkat dan menuju titik ekuilibrium EE 1. 63

29 Nilai numerik untuk EE 1 ketika nn = 200, ββ = 1 13 dan ττ 2 = 28 3 diperoleh titik kesetimbangan S,I,V dengan ss = , ii = , vv = Untuk nn = 300, ββ = 1 10 dan ττ 2 = 28 3 diperoleh ss = , ii = , vv = Berdasarkan nilai numerik dan simulasi pada Gambar 3.3, dan Gambar 3.4, terlihat bahwa ketika laju perpindahan virus (ββ) dan duplikasi virus (nn) rendah, maka banyaknya tanaman terinfeksi semakin menurun. Sementara itu banyaknya tanaman rentan dan virus semakin meningkat sebanding dengan nilai parameter ββ dan nn. Peningkatan nilai parameter ββ dan nn juga menunjukkan bahwa solusi Sistem (3.4) semakin lama akan menuju titik ekuilibrium EE 1 dan nilai pun semakin besar. Hal ini berarti bahwa jika banyaknya virus tungro semakin besar, maka banyaknya tanaman terinfeksi semakin besar pula, yang selanjutnya berakibat pada semakin besarnya penyebaran virus tungro. 64

30 65