ESTIMASI PARAMETER REGRESI SPATIAL AUTOREGRESSIVE MODEL Nurul Muthiah, Raupog, Aisa Program Studi Statistika, FMIPA, Uiversitas Hasauddi ABSTRAK Regresi spasial merupaka pegembaga dari regresi liier klasik. Pegembaga ii berdasarka adaya pegaruh tempat atau spasial pada data yag diaalisis. Beberapa model spasial yaitu Spatial Autoregressive Model (SAR), Spatial Error Model (SEM), da Spatial Autoregressive Movig Average (SARMA). Pemodela dilakuka berdasarka pegaruh spasial, sehigga sebelum melakuka pemodela perlu dilakuka idetifikasi keberadaa model spasial dega megguaka uji Lagrage Multiplier (LM). Pada peelitia ii, haya terdapat depedesi lag pada data yag diaalisis, sehigga data dimodelka dega SAR. Peaksir parameter β utuk SAR ditaksir dega melakuka pediferesiala jumlah kuadrat error dari SAR terhadap β. Berdasarka hasil pemodela SAR diketahui bahwa faktor-faktor yag mempegaruhi aak tidak bersekolah adalah jumlah peduduk da jumlah siswa. Kata Kuci : Regresi Spasial, Spatial Autoregressive Model (SAR), Lagrage Multiplier (LM). 1. PENDAHULUAN Spatial Autoregresive Model (SAR) merupaka model spasial yag terjadi akibat adaya pegaruh spasial pada variabel depede. Adapu Spatial Error Model (SEM) merupaka model spasial yag terjadi akibat adaya pegaruh spasial pada error. Apabila data yag diperoleh meghasilka depedesi lag maka data dimodelka dega SAR, tetapi apabila data meghasilka depedesi error maka data dimodelka dega SEM. Jika data meghasilka depedesi lag da depedesi error maka data dimodelka dega Spatial Autoregressive Movig Average (SARMA). Utuk melihat kedekata hubuga atara wilayah satu dega wilayah lai pada data spasial dapat diguaka matriks pembobot spasial. Jeis-jeis matriks pembobot spasial atara lai persigguga tepi (liier cotiguity), persigguga sisi (rook cotiguity), persigguga sudut (bishop cotiguity), da persigguga sisi-sudut (quee cotiguity). Beberapa batasa masalah dalam peelitia ii adalah pegguaa metode spasial dega pedekata area berupa SAR, matriks pembobot spasial berupa matriks rook cotiguity, da data aak tidak bersekolah usia SD di provisi Sulawesi Selata tahu 2013. 2. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Regresi Liier Bergada dega Metode Kuadrat Terkecil Persamaa regresi liier bergada dalam betuk matriks (Myers, 1990) adalah sebagai berikut. Y = Xβ + ε (2.1) 1
dimaa Y adalah vektor variabel depede, X adalah matriks variabel idepede, β adalah vektor koefisie parameter regresi, da ε adalah vektor error regresi. Adapu rumus peaksir parameter kuadrat terkecil, yaitu sebagai berikut. β = (X t X) 1 X t Y (2.2) 2.2 Matriks Pembobot Spasial Matriks pembobot spasial merupaka matriks yag meggambarka kedekata hubuga atara suatu wilayah dega wilayah yag lai. Matriks pembobot berukura, dimaa eleme matriks didefiiska dega ilai 1 utuk wilayah yag bersisia dega daerah yag mejadi perhatia, sedagka daerah laiya didefiisika eleme matriks pembobot sebesar ol. Jeis-jeis matriks pembobot spasial atara lai persigguga tepi (liier cotiguity), persigguga sisi (rook cotiguity), persigguga sudut (bishop cotiguity), da persigguga sisi-sudut (quee cotiguity). 2.3 Model Regresi Spasial Model umum regresi spasial (Aseli, 1988).adalah sebagai berikut y = ρwy + Xβ + u (2.3) u = λwu + ε (2.4) y = ρwy + Xβ + λwu + ε (2.5) dimaa y adalah vektor variabel depede, X adalah matriks variabel idepede, β adalah vektor koefisie parameter regresi, W adalah matriks pembobot spasial, u da ε adalah vektor error, ρ adalah parameter koefisie spasial lag variabel depede, λ adalah parameter koefisie spasial lag error, I adalah matriks idetitas, adalah bayakya amata, serta k adalah bayakya variabel variabel idepede. 2.3.1 Spatial Autoregressive Model Betuk umum persamaa SAR (Lesage, 2009) adalah sebagai berikut. y = ρwy + Xβ + ε (2.6) Adapu betuk peaksir parameter dari model regresi SAR, yaitu sebagai berikut. β = (X t X) 1 X t (I ρw)y (2.7) 2.3.2 Spatial Error Model Betuk umum persamaa SEM (Lesage, 2009) adalah sebagai berikut. y = Xβ + (I λw) 1 ε (2.8) 2
Adapu betuk peaskir parameter dari model regresi SEM, yaitu sebagai berikut. β = [(X λwx) t (X λwx)] 1 (X λwx) t (I λw)y (2.9) 2.3.3 Spatial Autoregressive Movig Average Betuk umum persamaa SARMA (Lesage, 2009) adalah sebagai berikut. y = ρwy + Xβ + (I λw) 1 ε (2.10) Adapu betuk peaskir parameter dari model regresi SARMA, yaitu sebagai berikut. β = [(X λwx) t (X λwx)] 1 (X λwx) t (I λw ρw)y (2.11) 2.5 Uji Lagrage Multiplier dega : Statistik uji utuk LM lag da LM error, yaitu sebagai berikut. LM lag = 2 LM error = (εtwε s 2 ) (ε t Wy) 2 s 2 ((WXβ) t M(WXβ)+Ts 2 ) T M = I X(X t X) 1 X t T = tr[(w t + W)W] s 2 = εt ε (2.12) (2.13) dimaa ε adalah ilai error dari hasil OLS, W adalah matriks pembobot, β adalah vektor koefisie parameter regresi, da X adalah matriks variabel idepede. 2 Pegambila keputusa adalah tolak H 0 jika LM > X (α,1). Apabila H 0 ditolak artiya terdapat depedesi spasial (Aseli, 1999). Jika LM error sigifika maka model yag sesuai adalah SEM, da jika LM lag sigifika maka model yag sesuai adalah SAR. Jika keduaya sigifika maka model yag sesuai adalah SARMA. 2.5 Mora s I berikut. Rumus Mora s I dega matriks pembobot dalam betuk ormalitas, yaitu sebagai I = i=1 (x i x ) j=1 w ij (x j x ) i=1(x i x ) 2 (2.14) dimaa I adalah ideks dari Mora s I, adalah bayak amata, x i adalah data variabel ke i, x j adalah data variabel ke j, x adalah rata-rata variabel x, da w ij adalah eleme dari matriks pembobot. 3
Adapu rumus utuk mecari ilai ekspektasi dari I, yaitu sebagai berikut. E(I) = I 0 = 1 1 Nilai dari ideks I ii berkisar atara 1 da 1. Jika I > I 0 maka memiliki pola megelompok, jika I = I 0 maka memiliki pola meyebar tidak merata, da I < I 0 memiliki pola meyebar. Selai itu, jika ilai I = I 0 berarti tidak terjadi autokorelasi spasial, sedagka jika ilai I I 0 berarti terjadi autokorelasi positif saat I berilai positif, sebalikya terdapat autokorelasi egatif saat I berilai egatif. 3. METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Sumber Data Data yag diguaka dalam peelitia ii adalah data sekuder berupa data pedidika beserta data kepeduduka pada tiap kota/kabupate di Sulawesi Selata tahu 2013. 3.2 Idetifikasi Variabel Variabel yag diguaka dalam peelitia ii adalah sebagai berikut 1) Variabel Depede Variabel depede yaitu jumlah aak tidak bersekolah usia SD pada tiap kota/kabupate di Sulawesi Selata. 2) Variabel Idepede Variabel idepede terdiri dari empat kategori, yaitu sebagai berikut. a. Jumlah peduduk pada tiap kota/kabupate di Sulawesi Selata (X 1). b. Jumlah SD pada tiap kota/kabupate di Sulawesi Selata (X 2). c. Jumlah aak bersekolah (siswa) usia SD pada tiap kota/kabupate di Sulawesi Selata (X 3). d. Jumlah guru SD pada tiap kota/kabupate di Sulawesi Selata (X 4). 3.3 Metode Aalisis Adapu lagkah-lagkah yag dilakuka dalam peelitia ii adalah sebagai berikut. 1) Melakuka pegambila data sekuder. 2) Melakuka pemodela regresi dega metode kuadrat terkecil (Ordiary Least Square =OLS) yag meliputi estimasi parameter. 3) Melakuka peggambara kedekata hubuga atara wilayah satu dega wilayah yag lai dega megguaka matriks pembobot spasial. 4) Melakuka uji Mora s I utuk megukur autokorelasi variabel yag satu dega variabel laiya. 4
5) Melakuka uji LM utuk memilih model regresi spasial yag sesuai. 6) Melakuka estimasi parameter regresi model SAR. 7) Melakuka pemodela regresi SAR 4. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Model Regresi Bergada Pemodela regresi bergada dega metode OLS utuk kasus aak tidak bersekolah usia SD di Sulawesi Selata tahu 2013, adalah sebagai berikut. Y = 0,049X 1 + 13,919X 2 0,020X 3 0,670X 4 4.2 Peaksira Parameter Spatial Autoregressive Model Peaksira parameter β utuk SAR ditaksir dega melakuka pediferesiala jumlah kuadrat error, ε t ε = ((I ρw)y) t ((I ρw)y) 2β t X t ((I ρw)y) + β t X t X terhadap β, sehigga diperoleh β = (X t X) 1 X t (I ρw)y. 4.3 Matriks Pembobot Spasial Matriks pembobot spasial yag diguaka yaitu matriks rook cotiguity. Adapu susua kota/kabupate megikuti susua dari Bada Pusat Statistik Provisi Sulawesi Selata. 4.4 Uji Mora s I Nilai ekspektasi dari I adalah sebagai berikut. E(I) = I 0 = 0,0434 Nilai Mora s I utuk masig-masig variabel, yaitu sebagai beerikut 1) Nilai Mora s I utuk variabel y, I = 0,1915319 2) Nilai Mora s I utuk variabel x 1, I = 0,077089 3) Nilai Mora s I utuk variabel x 2, I = 0,091001 4) Nilai Mora s I utuk variabel x 3, I = 0,053137 5) Nilai Mora s I utuk variabel x 4, I = 0,055110 Berdasarka hasil yag telah diperoleh, dapat disimpulka bahwa I > I 0 yag berarti terjadi autokorelasi spasial positif da data memiliki pola megelompok. 4.5 Uji Lagrage Multiplier Hasil uji LM lag da LM error yaitu sebagai berikut. 1) LM lag = 4,8527 10 13 Karea ilai LM lag > χ 2 (α,1) berarti terdapat depedesi lag pada data, sehigga data dimodelka dega SAR. 5
2) LM error = 1,9443 Karea ilai LM error < χ 2 (α,1) berarti tidak terdapat depedesi error pada data, sehigga data tidak perlu dimodelka dega SEM. 3) Dega demikia, model spasial yag dapat diguaka adalah SAR. 4.6 Spatial Autoregressive Model Pemodela SAR dega ilai ρ = 0,018 utuk kasus aak tidak bersekolah usia SD di Sulawesi Selata Tahu 2013, adalah sebagai berikut. ŷ j = 0,018 w ij y j + 0,003X 1 + 12,737X 2 0,01X 3 0,403X 4 j=1,i j Berdasarka model yag telah didapat, dapat dimisalka apabila X 2, X 3, da X 4 diaggap kosta da ketika jumlah peduduk (X 1) meigkat, maka jumlah aak tidak bersekolah aka bertambah. Kemudia, apabila X 1, X 3, da X 4 diaggap kosta da ketika jumlah SD (X 2) meigkat, maka jumlah aak tidak bersekolah aka bertambah. Apabila X 1, X 2, da X 4 diaggap kosta da ketika jumlah aak bersekolah (X 3) berkurag, maka jumlah aak tidak bersekolah aka bertambah. Begitu juga, apabila X 1, X 2, da X 3 diaggap kosta da ketika jumlah guru SD (X 4) berkurag, maka jumlah aak tidak bersekolah aka bertambah. 5. KESIMPULAN DAN SARAN 5.1 Kesimpula 1) Parameter β utuk SAR yaitu β = (X t X) 1 X t (I ρw)y. 2) Model regresi SAR utuk kasus aak tidak bersekolah usia SD di Sulawesi Selata Tahu 2013, adalah : ŷ j = 0,018 w ij y j + 0,003X 1 + 12,737X 2 0,01X 3 0,403X 4 j=1,i j Dalam pegaplikasia model SAR dapat terlihat bahwa jumlah peduduk (X 1) da jumlah aak bersekolah (X 3) sagat berpegaruh terhadap jumlah aak tidak bersekolah. Sedagka jumlah SD (X 2) da jumlah guru SD (X 4) tidak berpegaruh terhadap jumlah aak tidak bersekolah. 5.2 Sara Peelitia selajutya dapat dilakuka dega meambahka variabel lai dalam data, sehigga memugkika pegguaa model regresi spasial yag lai, seperti Spatial Error Model (SEM) atau Spatial Autoregressive Movig Average (SARMA). 6
DAFTAR PUSTAKA Aseli, L. 1999. Spatial Ecoometrics. Bruto Ceter, School of Social Scieces, Uiversity of Texas at Dallas. Cliff, A., da J.K. Ord. 1973. Spatial Autocorrelatio. Lodo: Pio. LeSage, J. 2009. Itoductio to Spatial Ecoometrics. CRC Press, Taylor ad Fracis Group. Myers, Raymod H. 1990. Classical Ad Moder Regressio With Aplicatios. PWS-KENT Publishig Compay. Ramadha, R. 2013. Pemodela Spatial Autoregressive With Autoregressive Disturbaces dega Prosedur Geeralized Spatial Two Stage Least Squares (GS2SLS). Jural Jurusa Matematika, Uiversitas Brawijaya, Malag. Septiaa, L., da Wuladari Sri P. 2012. Pemodela Remaja Putus Sekolah Usia SMA di Provisi Jawa Timur dega Megguaka Metode Regresi Spasial. Jural Jurusa Statistika, Istitut Tekologi Sepuluh November, Surabaya. Ward Michael D., da Gleditsch Kristia S. 2007. A Itoductio to Spatial Regressio Model i The Social Scieces. Barceloa, Seattle, Sa Diego, Oslo, da Colchester. 7