Bab 4: Distribusi Eksponensial Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2015
Pendahuluan Distribusi Eksponensial Pendahuluan Distribusi eksponensial dapat dipandang sebagai analog (kontinu) dengan distribusi geometrik. Kita ketahui bahwa distribusi geometrik memodelkan banyaknya percobaan yang dibutuhkan oleh suatu proses diskrit untuk mengubah keadaan. Sedangkan distribusi eksponensial menjelaskan waktu untuk proses kontinu untuk mengubah keadaan. (Khreshna, 2011)
Pendahuluan Distribusi eksponensial sering digunakan untuk menggambarkan waktu tunggu, lama seseorang mengantre, masa hidup suatu produk, dsb. Jika masa hidup suatu produk berdistribusi eksponensial, maka suatu produk yang sudah digunakan selama sekian jam, akan memiliki kondisi yang sama baiknya dengan sebuah produk baru dalam hal lamanya waktu yang tersisa sampai dengan produk tersebut gagal (rusak).
Distribusi Eksponensial Distribusi Eksponensial Sebuah peubah acak kontinu X dikatakan berdistribusi Eksponensial dengan parameter λ, λ > 0, jika fungsi peluangnya diberikan { λ e λx, x 0 f (x) = 0, x < 0 atau, jika fungsi distribusinya diberikan F (x) = x f (y)dy = { 1 e λx, x 0 0, x < 0
Distribusi Eksponensial Beberapa karakteristik distribusi Eksponensial adalah sebagai berikut: Mean, E(X ) = 1 λ Variansi, Var(X ) = 1 λ 2 Fungsi pembangkit momen, M X (t) = λ λ t
Distribusi Eksponensial Sebuah peubah acak X dikatakan memiliki sifat tanpa memori (memoryless property) jika P(X > s + t X > t) = P(X > s), untuk semua s, t 0 (1) Jika X merupakan masa hidup suatu produk, maka persamaan (1) menyatakan bahwa peluang suatu produk hidup selama minimal s + t jam diberikan bahwa produk tersebut sudah bertahan (mampu beroperasi) selama t jam adalah sama dengan peluang bahwa produk tersebut akan hidup minimal selama s jam lagi.
Persamaan (1) di atas memiliki kondisi yang sama dengan P(X > s + t, X > t) P(X > t) = P(X > s) atau P(X > s + t) = P(X > s)p(x > t)
Apakah distribusi eksponensial memiliki sifat tanpa memori? Tunjukkan!
Misalkan X Eksp(λ), maka P(X > s + t) = 1 P(X s + t) = 1 (1 e λ(s+t) ) = e λ(s+t) = e λs e λt = P(X > s)p(x > t) Jadi, distribusi eksponensial memiliki sifat tanpa memori.
Bagaimana dengan distribusi yang lain? misalkan distribusi uniform (0,1)?
Misalkan X U(0, 1) maka f X (x) = 1 dan F X (x) = x sehingga P(X > s + t) = 1 P(X s + t) = 1 (s + t) (1 s)(1 t) = (1 F X (s))(1 F X (t)) = P(X > s)p(x > t) Jadi, distribusi uniform (0,1) tidak memiliki sifat tanpa memori.
Contoh Distribusi Eksponensial 1. Misalkan lamanya waktu tunggu seseorang di bank berdistribusi eksponensial dengan mean 10 menit. Berapa peluang bahwa seorang nasabah akan menghabiskan waktu lebih dari 15 menit di bank? Berapa peluang bahwa seorang nasabah akan menghabiskan waktu lebih dari 15 menit di bank jika dia masih berada di bank setelah lebih dari 10 menit?
Misalkan X Eksp ( 1 10), maka a. Peluang nasabah menunggu lebih dari 15 menit P(X > 15) = e 1 10 (15) = e 3 2 b. Peluang nasabah menunggu lebih dari 15 menit setelah ia menunggu lebih dari 10 menit P(X > 15 X > 10) = P(X > 5) = e 1 10 (5) = e 1 2
2. Di dalam sebuah kantor pos terdapat dua orang petugas yang melayani. Misalkan ketika Pak Santoso masuk ke dalam kantor pos, dia mendapati bahwa Pak Joko sedang dilayani oleh salah seorang petugas dan Pak Bara dilayani oleh petugas yang lain. Misalkan pula bahwa Pak Santoso diberitahu bahwa dia akan dilayani oleh salah seorang petugas segera setelah Pak Joko atau Pak Bara selesai dilayani. Jika lama waktu layanan seorang petugas berdistribusi eksponensial dengan mean 1 λ, berapa peluang bahwa dari ketiga pelanggan, Pak Santoso adalah yang terakhir meninggalkan kantor pos?
Perhatikan bahwa pada waktu di mana Pak Santoso dilayani oleh petugas yang sudah selesai melayani pelanggan sebelumnya, maka salah satu dari Pak Joko atau Pak Bara telah meninggalkan kantor pos dan yang lainnya masih dilayani. Namun demikian, berdasarkan sifat tanpa memori dari distribusi eksponensial, maka lamanya waktu yang masih akan dihabiskan oleh pelanggan yang lain (Pak Joko atau Pak Bara) adalah berdistribusi eksponensial dengan mean 1 λ. Dengan demikian, berdasarkan kesimetrisan, maka peluang bahwa Pak Santoso adalah pelanggan terakhir yang meninggalkan kantor pos adalah sebesar 1 2.
Secara matematis, persoalan tersebut akan diselesaikan kemudian.
3. Misalkan X 1 Eksp(λ 1 ) saling bebas dengan X 2 Eksp(λ 2 ), tentukan P(X 1 < X 2 ).
P(X 1 < X 2 ) = = = = x 1 f X1,X 2 (x 1, x 2 )dx 2 dx 1 0 0 0 0 x 1 λ 1 e λ1x1 λ 2 e λ2x2 dx 2 dx 1 λ 1 e λ 1x 1 ( e λ 2x 2 ) x 1 dx 1 λ 1 e λ 1x 1 e λ 2x 1 dx 1 = λ 1 = λ 1 λ 1 + λ 2 ( e λ 2x 1 ) 0 = λ 1 λ 1 + λ 2 0 e x 1(λ 1 +λ 2 ) dx 1
Secara umum, P(X i = min j X j ) = P(X i < min j i X j ) λ i = n j=1 λ j
Kembali ke Contoh 2: Misalkan X A dan X B adalah waktu layanan petugas A dan B. Peluang Pak Santoso adalah pelanggan terakhir yang meninggalkan kantor pos sama artinya dengan peluang waktu layanan Pak Santoso di petugas A (atau B), setelah Pak Joko (atau Pak Bara) selesai dilayani, lebih besar dari waktu layanan Pak Joko (atau Pak Bara) di petugas B (atau A).
Dengan kata lain, P(X S > X J + X B ) = P(X S > X J X J > X B )P(X J > X B ) + P(X S > X B X B > X J )P(X B > X J ) = P(X S > X J )P(X J > X B ) + P(X S > X B )P(X B > X J ) = λ λ + λ. λ λ + λ + λ λ + λ. λ λ + λ = λ 2λ. λ 2λ + λ 2λ. λ 2λ = 1 4 + 1 4 = 1 2
Berapa peluang bahwa Pak Santoso bukan pelanggan terakhir yang meninggalkan kantor pos?
P(X J > X S X J > X B )P(X J > X B ) + P(X B > X S X B > X J )P(X B > X J ) = P(X J > X S )P(X J > X B ) + P(X B > X S )P(X B > X J ) = λ λ + λ. λ λ + λ + λ λ + λ. λ λ + λ = λ 2λ. λ 2λ + λ 2λ. λ 2λ = 1 4 + 1 4 = 1 2
4. Pandang soal sebelumnya, misalkan distribusi waktu layanan petugas A dan petugas B mempunyai parameter yang berbeda (misal λ 1 dan λ 2 ), berapa peluang Pak Santoso bukan pelanggan terakhir yang keluar dari kantor pos?
P(X J > X S X J > X B )P(X J > X B ) + P(X B > X S X B > X J )P(X B > X J ) = P(X J > X S )P(X J > X B ) + P(X B > X S )P(X B > X J ) λ 1 λ 2 = λ 1. + λ 2. λ 1 + λ 2 λ 1 + λ 2 λ 1 + λ 2 λ 1 + λ 2 ( ) 2 ( ) 2 λ1 λ2 = + λ 1 + λ 2 λ 1 + λ 2
5. Umur (masa hidup) sebuah motor bermerk Y dan H adalah peubah acak eksponensial yang saling bebas dengan parameter λ Y dan λ H. Sebuah motor baru saja rusak. Hitung sisa masa hidup yang diharapkan dari motor yang lain!
E(sisa umur motor) = E(sisa umur motor Y H rusak)p(h rusak) + E(sisa umur motor H Y rusak)p(y rusak) = E(T Y T H < T Y )P(T H < T Y ) + E(T H T Y < T H )P(T Y < T H ) = 1 ( ) λh + 1 ( λy λ Y λ H + λ Y λ H λ H + λ Y )
6. Seorang dosen memiliki janji dengan seorang mahasiswa pada pukul 09.00 dan dengan mahasiswa lain pada pukul 10.00. Lamanya waktu yang dihabiskan mahasiswa-mahasiswa tersebut saling bebas dengan mean 60 (menit). Asumsikan bahwa mahasiswa-mahasiswa tersebut datang tepat waktu. Hitung lama waktu yang diharapkan yang dihabiskan mahasiswa kedua (yang datang pukul 10.00) di ruangan dosen tersebut.
Misalkan T i adalah lama waktu janjian mahasiswa ke-i, i = 1, 2. Diketahui T i Eksp ( 1 60), E(T ) = E(T 2 T 1 < 60)P(T 1 < 60) + E(T 2 T 1 > 60)P(T 1 > 60) = E(T 2 )(1 e 1 60 (60) ) + E(T 1 + T 2 )e 1 60 (60) = 60(1 e 1 ) + (60 + 60)e 1 = 60(1 + e 1 )
7. Mesin 1 (M 1 ) sedang bekerja. Mesin 2 (M 2 ) akan dipasang untuk dipakai pada waktu t dari sekarang. Jika masa hidup Mesin i berdistribusi eksponensial dengan parameter λ i, i = 1, 2, berapa peluang M 1 adalah mesin pertama yang akan rusak (tidak dipakai lagi)?
P(M 1 rusak pertama) = P(M 1 rusak pertama M 1 masih bekerja sampai waktu t) P(M 1 masih bekerja sampai waktu t) + P(M 1 rusak pertama M 1 rusak pada waktu t) P(M 1 rusak pada waktu t) = P(M 1 < M 2 M 1 > t)p(m 1 > t) + P(M 1 < M 2 M 1 < t)p(m 1 < t) = P(M 1 < M 2 )P(M 1 > t) + P(M 1 < M 2 )P(M 1 < t) = λ 1 λ 1 + λ 2 e λ 1t + (1)(1 e λ 1t ) = λ 1 λ 1 + λ 2 e λ 1t + (1 e λ 1t )
8. X i berdistribusi eksponensial dengan parameter θ i, di mana i = 1, 2, 3. Hitung P(X 1 < X 2 < X 3 )
P(X 1 < X 2 < X 3 ) = P(X 2 < X 3 X 1 = min(x 1, X 2, X 3 )) P(X 1 = min(x 1, X 2, X 3 )) = θ ( ) 2 θ 1 θ 2 + θ 3 θ 1 + θ 2 + θ 3
Latihan Distribusi Eksponensial Latihan 1. Misalkan di sebuah Bank terdapat 2 orang teller yang sibuk melayani nasabah. Tidak ada orang lain yang antri. Seseorang K yang datang akan dilayani salah satu teller yang telah selesai dengan nasabah sebelumnya. Jika waktu melayani dari teller ke-i adalah peubah acak eksponensial dengan parameter θ i, hitung E(T ) di mana T adalah waktu yang dihabiskan K di Bank.
Latihan 2. Misalkan Lita memasuki Bank dan hanya terdapat seorang teller yang melayani. Di dalam Bank terdapat 7 orang nasabah (tidak termasuk Lita), 1 orang sedang dilayani dan 6 orang yang lain antri, Lita pun juga antri. Jika waktu layanan berdistribusi eksponensial dengan parameter θ, berapa lama waktu (expected amount of time) yang dihabiskan Lita di Bank?
Latihan 3. Seorang nasabah yang datang ke suatu kantor akan dilayani oleh petugas P 1, lalu P 2, lalu pulang. Waktu layanan petugas P i adalah peubah acak eksponensial dengan parameter β i, i = 1, 2. Ketika Rose datang, terlihat P 1 sedang kosong. Sedangkan 2 nasabah ada di P 2 (A dilayani, B antri). Hitung peluang nasabah A masih dilayani ketika Rose ke P 2.
Latihan 4. Pandang soal yang sama dengan soal nomor 3, hanya saja di P 2 (petugas 2) terdapat dua orang antri dan satu orang sedang dilayani. Ketika Rose selesai dilayani di P 1, orang yang tadi dilayani di P 2 masih dilayani. Berapa waktu yang dihabiskan (expected amount of time) Rose di kantor tersebut?
Pustaka Pustaka Pustaka Ross, Sheldon M. 2007. Introduction to Probability Models; 9th Edition. New York: Academic Press. Syuhada, Khreshna I.A. Materi Kuliah: MA4181 Pengantar Proses Stokastik. Departemen Matematika ITB, Bandung. Taylor, Howard M. dan Samuel Karlin. 1975. A First Course in Stochastic Processes; Second Edition. New York: Academic Press. Virtamo, J. 38.143 Queueing Theory/ Probability Theory.