II. LANDASAN TEORI Defiisi 2.1 Distribusi Samplig Distribusi samplig adalah distribusi probibilitas dari suatu statistik. Distribusi tergatug dari ukura populasi, ukura sampel da metode memilih sampel. Sampel yag diambil ialah sampel acak da dari sampel tersebut ilai statistikya dihitug. Nilai setiap statistik sampel aka bervariasi atar sampel. Samplig adalah proses pegambila atau memilih buah eleme dari populasi yag berukura N (Lohr, 1999). Dalam bayak hal, survai tidak mugki melibatka keseluruha eleme populasi, karea aka memerluka waktu, teaga da biaya yag cukup besar. Besarya biaya dalam sesus terkadag tidak seimbag dega mafaat dari iformasi yag dikumpulka. Tujua teori samplig adalah membuat samplig mejadi lebih efisie, artiya dega biaya yag lebih redah diperoleh ketelitia yag sama tiggi atau dega biaya yag sama diperoleh ketelitia yag lebih tiggi. Teori samplig mecoba utuk megembagka metode pemiliha sampel da pembuata perkiraa, sehigga diperoleh metode yag memugkika diperolehya hasil peelitia dega tigkat ketelitia tiggi sesuai dega tujua, tetapi dega biaya yag lebih redah.
2 Defiisi 2.2 Tekik Samplig Tekik Samplig merupaka tekik pegambila sampel utuk medapatka sampel yag dapat mewakili karakteristik populasi. Terdapat berbagai tekik samplig utuk meetuka sampel yag aka diguaka dalam peelitia. Tekik samplig pada dasarya dapat dikelompokka mejadi dua yaitu probability samplig da o probability samplig. Yag termasuk dalam tekik probability samplig adalah : a. Samplig Acak Sederhaa Defiisi 2.3 Samplig Acak Sederhaa Tekik acak sederhaa adalah tekik acak yag palig dasar dalam pegambila sampel. Syarat utama agar suatu sampel mempuyai sifat acak, pemiliha harus melalui proses acak, yaitu suatu proses yag hasilya tak dapat diketahui sebelumya. Prisip sampel acak sederhaa, setiap aggota populasi mempuyai kesempata yag sama utuk dipilih sebagai sampel. Jika suatu sampel dega eleme dipilih dari suatu populasi dega N eleme sedemikia rupa sehigga setiap kemugkia sampel dega eleme mempuyai kesempata yag sama utuk terpilih, prosedur samplig yag demikia disebut simple radom samplig (Suprato,J. 1992). Meskipu terlihat sagat sederhaa, tekik sederhaa ii mempuyai syarat yag khusus. Tekik acak sederhaa bisa dipakai jika ada keragka sampel yag baik da legkap yag memuat daftar ama aggota semua populasi. Oleh karea syarat yag ketat itu, tekik acak sederhaa ii umumya bisa dipakai dalam kodisi berikut :
3 1. Sampel acak sederhaa efektif dipakai jika populasi tidak terlalu besar. 2. Sampel acak sederhaa bisa dipakai jika populasi relatif homoge (Eriyato, 2007). Peduga rata-rata pada samplig acak sederhaa adalah: y = y i Peduga varia utuk μ adalah: V(y ) = σ2 (N N 1 ) Dimaa: σ 2 = (y i y ) 2 N b. Samplig Acak Berlapis atau Stratified Radom Samplig Defiisi 2.4 Samplig Acak Berlapis Samplig acak berlapis adalah betuk samplig acak yag eleme populasiya dibagi ke dalam kelompok-kelompok homoge yag disebut strata. Ada beberapa alasa dalam pegguaaaya,atara lai: 1. Jika data diketahui ketelitia yag diigika utuk subkelompok tertetu dari populasi, ada baikya memperlakuka setiap subkelompok sebagai suatu populasi tertetu. 2. Admiistrasi yag baik dapat memakai keguaaa strata. 3. Masalah pearika sampel dapat berbeda dalam bagia populasi yag berbeda. 4. Pelapisa dapat meghasilka suatu mafaat dalam ketelitia perkiraa dari karakteristik populasi. Hal ii memugkika utuk membagi sebuah populasi yag heteroge mejad subpopulasi-subpopulasi, dega setiap subpopulasi mejadi homoge (Cochra,1991).
4 Dalam acak stratifikasi, sebelum sampel diambil dari populasi, dilakuka stratifikasi populasi terlebih dahulu berdasarka karakteristik tertetu. Sampel yag diambil disesuaika dega proporsi da populasi. Cara melakuka tekik stratifikasi adalah sebagai berikut: Setelah medapatka keragka sampel, disusu terlebih dahulu stratifikasi. Aggota populasi dimasukka ke dalam stratifikasi yag telah dibuat. Setelah itu baru ditarik sampel sesuai dega strata masig-masig. Apabila populasi heteroge, lebih baik megguaka samplig acak berlapis daripada samplig acak sederhaa oleh karea alasa berikut : 1. Setiap stratum homoge atau relatif homoge, sehigga sampel acak yag diambil dari setiap stratum aka memberika perkiraa yag dapat mewakili stratum yag bersagkuta. Perkiraa gabuga yag diperoleh berdasarka perkiraa dari setiap stratum aka memberika perkiraa meyeluruh yag mewakili populasi. 2. Biaya utuk pelaksaa samplig acak berlapis lebih murah daripada samplig acak sederhaa karea alasa admiistrasi. 3. Perkiraa bisa dibuat utuk setiap stratum yag dapat diaggap sebagai populasi yag berdiri sediri da mugki bisa dilakuka oleh seorag peeliti saja (Suprato, J. 1992). Peduga rata-rata pada samplig acak berlapis adalah: L y = 1 N N iy i Peduga varia utuk μ adalah: V(y ) = 1 L N N 2 i 2 ( N i i ( S i 2 S 2 i = (Y ij Y ) 2 1 Dega N i ) i )
5 N = bayakya eleme (samplig uit) dari populasi Ni= bayakya eleme dari stratum ke-i = bayakya eleme sampel sebelum dikelompoka i= bayakya eleme sampel dari stratum ke-i yag dipilih secara acak c. Samplig Kelompok atau Cluster Samplig Samplig kelompok adalah pegambila sampel dari beberapa uit samplig yag merupaka kelompok dari eleme (Scheaffer, Medehall da Ott., 1996). Lagkah palig awal dalam pearika sampel cluster yag harus dilakuka oleh peeliti adalah megidetifikasi cluster atau satua dimaa idividu mejadi aggota dalam cluster. Semua cluster yag ada dalam populasi harus bisa diidetifikasi. Setelah cluster diambil, disusu keragka sampel berupa daftar ama idividu yag mejadi aggota cluster terpilih. Setelah daftar itu bisa disusu, barulah dilakuka pearika sampel seperti pada sampel acak sederhaa, sistematis atau stratifikasi. 2.5 Oe-Stage Cluster Samplig Oe-Stage Cluster Samplig dilakuka dega didasarka pada gugus (cluster). Asumsiya, idividu adalah bagia dari gugus atau cluster tertetu, keragka sampel berupa daftar ama idividu memag tidak tersedia, tetapi daftar kelompok (gugus) itu pastilah tersedia. Tekik ii dapat dilakuka jika tidak tersediaya keragka sampel berupa ama-ama idividu aggota populasi da kalaupu keragka sampel itu tersedia masih diraguka akurasiya. Gambara secara umum dari metode ii tersaji dalam Gambar 2.1.
6 Gambar 2.1. Oe-stage cluster samplig Cotoh kasus oe-stage cluster samplig Suatu populasi memiliki 10 cluster (N=10). Dari 10 cluster tersebut, dipilih secara acak 2 cluster utuk diamati. Secara legkap tahapa sampligya tersaji pada Gambar 2.2. Gambar 2.2. Ilustrasi pegambila sampel pada oe-stage cluster samplig Misal cluster yag terpilih adalah 1 da 8, maka cluster terpilih dijadika sebagai sampel peelitia. Peduga bagi rata-rata populasi adalah : y oe = y i m i (2.1) m Notasi : y i = i y ij mi = bayakya eleme dalam kelompok i, dimaa i = 1,2,3,...,N Karea pemiliha cluster dilakuka dega metode acak maka diperoleh peduga varias bagi oe-stage cluster adalah : N V (y oe ) = ( NM 2 ) S2 dega S 2 = (y i y m i ) 2 1
7 Notasi N= jumlah cluster = jumlah cluster terpilih m i = M i = jumlah eleme/uit sampel cluster terpilih ke-i Selajutya aka dibuktika varias peduga oe-stage cluster dega peduga rata-rata pada persamaa (2.1): Dega y oe = y i m i maka diperoleh V (y oe ) = V ( V (y oe ) = = y i m i 1 ( m i ) V( ) 2 y i ) (2.2) Dega m = m i, maka diperoleh m i = m. Sehigga persamaa (2.2) mejadi V (y oe ) = 1 V( y 2 m 2 i) (2.3) Dalam kasus oe-stage cluster mi=mi, sehigga diperoleh m i = m = m i = M Serta y = y i V (y oe ) = 1 2 M 2 V(y ) = 1 2 M 2 2 V(y ), maka diperoleh y i = y. Sehigga persamaa (2.3) mejadi : = 1 M 2 V(y ) (2.4) Diketahui bahwa y = y i m i, sehigga y i = y m i atau y = y m i. Megikuti kosep peduga varias pada kasus simple radom samplig, maka diperoleh: V(y ) = ( N N ) S 2 (2.5)
8 Dega mesubtitusika persamaa (2.5) ke (2.4) maka diperoleh diperoleh: V (y oe ) = V (y oe ) = 1 M 2 (N ) S 2 N N NM 2 S2 (2.6) Dega S 2 = (y i y m i ) 2 1 (terbukti) 2.6 Two-stage Cluster samplig Metode Two-Stage Cluster Samplig merupaka pegembaga dari metode cluster samplig dimaa pegambila sampel dilakuka secara dua tahap, yaitu tahap pertama, memilih beberapa cluster dalam populasi secara acak sebagai sampel da tahap kedua memilih eleme dari tiap cluster terpilih secara acak (Scheafer et.al., 1996).Gambara secara umum dari metode ii tersaji dalam Gambar 2.3. Tahap 1 Tahap 2 Gambar 2.3. Two-stage cluster samplig Cotoh kasus two-stage cluster samplig Suatu populasi memiliki 10 cluster (N=10). Masig-masig cluster terdiri dari 6 sub cluster. Dari 10 cluster tersebut, dipilih secara acak 2 cluster. Kemudia dari masig-masig cluster terpilih tersebut, dipilih 2 sub cluster. Secara legkap tahapa sampligya tersaji pada Gambar 2.4.
9 Gambar 2.4 Ilustrasi pegambila sampel pada two-stage cluster samplig Misal pada tahap pertama cluster terpilih adalah 1 da 8. Sub cluster dari masig-masig cluster terpilih disajika dalam Tabel 2.1. Tabel 2.1 Ilustrasi pegambila sub kluster Sub kluster 1 Sub kluster 4 y 11 y 81 y 12 y 82 y 13 y 83 y 14 y 84 y 15 y 85 y 16 y 85 Selajutya dari masig-masig cluster terpilih, dipilih 2 sub cluster dega simple radom samplig. Ilustrasiya dapat dilihat pada Gambar 2.5. y 11 y 12 y 13 Dipilih y 15
10 Gambar 2.5 Ilustrasi pegambila sub cluster terpilih Persoala yag dihadapi di dalam memilih sampel Two-stage Cluster samplig ialah memilih kelompok yag tepat. Dua syarat yag harus dipeuhi adalah : 1) Secara geografis eleme dalam kelompok harus salig berdekata 2) Kelompok sedikit saja agar mudah megadmiistrasikaya (Suprato, J. 1992). Kelompok yag besar cederug memeliki eleme yag heteroge dega demikia diperluka pemiliha bayak eleme dari setiap kelompok sehigga diperoleh hasil peelitia tigkat ketelitia yag tiggi. Keutuga utama dari metode two-stage cluster samplig adalah bahwa metode ii lebih fleksibel daripada metode oe-stage cluster samplig samplig. Bila subuit dalam uit mempuyai karakteristik yag sama yag sagat dekat, metode ii meguragi pearika sampel satu tahap berukura besar sehigga peeliti mempuyai kesempata megambil beberapa ilai yag lebih kecil sehigga samplig mejadi lebih efisie. Peduga bagi rata-rata populasi yaitu y two = 1 M M i y i
11 Notasi: N = Jumlah kluster dalam populasi = Jumlah kluster terpilih Mi = Jumlam eleme/uit samplig dari kluster ke-i mi = Jumlam eleme/uit samplig yag dipilih dari kluster terpilih ke-i N M = M i = jumlah eleme/uit samplig dalam populasi M = M = rata-rata jumlah eleme/uit samplig masig-masig kluster N Bukti : Diketahui bahwa total populasi = Ny da M merupaka total jumlah eleme dalam populasi,sehigga aka dilakuka pedekata dega total pulasi. Maka diperoleh; y two = N y total M (2.7) Dimaa y total = i=i y i, sehigga mejadi y two = N M i=i y i, (2.8) dimaa y i merupaka total pegamata dari cluster terpilih ke-i : m i y i = j=1 y ij = M i y i (2.9) Subtitusi persamaa (2.9) ke persamaa (2.8), sehigga diperoleh : y two = N M i=i y i y two = N NM i=i M i y i y two = 1 i=i M iy i M (terbukti) Peduga varias bagi peduga rata-rata populasi adalah: N V (y two ) = ( N ) ( 1 M 2 ) S b 2 + 1 N (M m M ) S i 2 m
12 Dega S 2 b = 1 1 (y im i M μ) 2 S i 2 = (y ij y i) m 1 2 Bukti: Meurut scheaffer, et.al (1996) peduga ragam bagi peduga rata-rata populasi utuk kasus two-stage cluster samplig dapat diuraika sebagai berikut: V(y two ) = V 1 [E 2 (y two ) ] + E 1 [V 2 (y two )] Pertama meguraika: V 1 [E 2 (y two ) ] = V 1 [ 1 y i ] = V 1 [y ] ; varias simple radom samplig = N N S 1 2 dega S 2 1 = 1 N N 1 (y i y ) 2 meurut scheaffer, et.al (1996) dega meguraika, 1 S M 2 b 2 = 1 1 (y i μ) 2 maka diperoleh ( N N ) ( 1 M 2 ) S b 2. Kemudia yag kedua meguraika: E 1 [V 2 (y two )] = E 1 (V 2 ( 1 y i ))
13 = E 1 [ 1 ( 2 y i )] = E 1 ( 1 2 (V 2(y 1) + V 2 (y 2) + + V 2 (y ))) = E 1 ( 1 V(y i)) 2 = E 1 ( 1 V(y i)) = 1 E 1[V(y i)] = 1 1 N V(y i) = 1 1 N M m M dega S i 2 = S i 2 m (y 2 ij y i) m 1 Dega demikia diperoleh peduga varias bagi peduga rata-rata populasiya adalah: V (y two ) = ( N N ) ( 1 M 2 ) S b 2 + 1 (M m N M ) S i 2 m (terbukti) 2.7 Samplig Error Sampel berbeda dega populasi. Dalam sampel kita haya meyertaka sebagia aggota dari populasi utuk diamati. Karea haya sebagia aggota populasi yag diamati, sehigga secara teoritis ada kesalaha hasil yag diperoleh dari suatu sampel. Kesalaha ii terjadi karea peeliti haya megamati sebagia aggota da buka keseluruha aggota populasi. Peeliti umumya tidak megetahui ilai populasi (parameter). Yag dihadapi oleh peeliti adalah hasil dari sampel. Peeliti tidak bisa membuat jawaba yag pasti. Yag bisa dilakuka adalah membuat iterval kemugkia ilai sebearya jika semua aggota
14 populasi diamati. Sehigga dapat diguaka kosep samplig error. Samplig error meujuka perbedaa atara statistik da parameter. Dega megguaka samplig dari suatu peelitia, peeliti bisa memprediksi ilai sesugguhya dalam populasi. Bila y diguaka utuk meduga μ, kita percaya (1-α)100% bahwa galatya tidak aka melebihi Zα V (y ) 2. 2.8 Selag Kepercayaa Salah satu peduga titik bagi ilai tegah populasi μ adalah statistik y. Sebara pearika sampel y berpusat di μ, da dalam sebagia besar peerapaya ragamya lebih kecil daripada ragam peduga-peduga laiya. Jadi ilai tegah sampel y aka diguaka sebagai ilai dugaa titik bagi ilai tegah populasi μ. Selag kepercaya (1-α)100% memberika ukura sejauh maa ketelitia atau akurasi ilai dugaa titikya. Bila μ memag pusat selag tersebut, maka y meduga μ tapa galat. Tetapi, kecil sekali kemugkiaya, y tepat sama dega μ, sehigga ilai dugaa tersebut mempuyai galat. Bila y adalah ilai tegah sampel acak berukua yag diambil dari suatu populasi dega varias σ 2 diketahui, maka selag kepercayaa (1-α)100% bagi μ adalah y ± Zα V (y ) 2 2.9 Relatif Bias Salah satu alasa dasar utuk samplig adalah bahwa iformasi yag terkadug dalam sampel bergua utuk megestimasi parameter populasi. Peduga yag baik adalah peduga yag bersifat tak bias da bervariasi miimum. θ dikataka peduga tak bias bagi parameter θ, jika E(θ ) = θ. Sebalikya θ dikataka peduga bias bagi parameter θ, jika E(θ ) θ. Aka tetapi tidak diharapka suatu peduga aka meduga parameter tapa kesalaha. Tidak
15 beralasa megharapka θ aka meaksir θ dega tepat, tetapi tetuya diharapka bahwa peduga yag dihasilka tidak terlalu jauh meyimpag. Kualitas suatu peduga dapat di evaluasi salah satuya dega kriteria relatif bias. Jika θ suatu parameter da θ suatu peduga maka θ θ merupaka kesalaha samplig. Relatif bias dapat dihitug dega membagi kesalaha samplig dega θ dikalika dega 100%. Semaki kecil ilai relatif bias maka peduga dapat dikataka semaki baik. B = ( θ θ ) 100% θ Notasi : B = Relatif bias