BAB II TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan definisi dan teorema yang berhubungan dengan penelitian yang dilakukan. 2.1. Konsep Dasar Graf Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan terurut (V(G),E(G)) dengan * + menyatakan himpunan titik dengan dan * + menyatakan himpunan garis yaitu pasangan tak terurut dari (Deo, 1989). e 1 v 1 e v 3 2 v 3 e 2 e 7 e 6 e 4 e 5 v 4 v 5 G Gambar 2.1. Contoh graf G dengan 5 titik dan 7 garis Walk adalah barisan berhingga dari titik dan garis, dimulai dan diakhiri dengan titik, sedemikian sehingga setiap garis menempel dengan titik sebelum dan sesudahnya. Tidak ada sisi yang muncul lebih dari sekali dalam satu walk.
Lintasan (path) merupakan walk yang semua titiknya berbeda. Suatu graf G dikatakan terhubung jika terdapat lintasan (path) yang menghubungkan setiap pasangan titik di G. Jika tidak, maka G tidak terhubung (Deo, 1989). (a) (b) Gambar 2.2. Contoh graf tak terhubung (a) dan contoh graf terhubung (b) Suatu garis yang berawal dan berakhir pada titik yang sama disebut sebagai loop, sedangkan dua garis atau lebih yang menghubungkan dua titik yang sama disebut sebagai garis paralel. Sebagai contoh pada Gambar 2.1, garis merupakan loop dan garis dan merupakan garis paralel. Graf sederhana adalah graf yang tidak mengandung loop atau garis paralel (Deo, 1989). Gambar 2.3. Contoh graf sederhana Jika suatu garis berujung di titik maka dan dikatakan saling incident satu sama lain. Sebagai contoh, pada Gambar 2.1, garis dan incident dengan titik. Dua atau lebih garis tidak paralel yang incident dengan titik yang sama disebut sebagai garis yang bertetangga (adjacent). Contohnya, pada Gambar 2.1, garis dan adalah garis-garis yang bertetangga. Dua titik dikatakan bertetangga jika titik tersebut menjadi titik-titik ujung dari suatu garis. Pada Gambar 2.1, salah satu contoh titik-titik yang bertetangga adalah titik dan. 6
Banyaknya garis yang menempel (incident) dalam satu titik dengan loop dihitung sebagai 2 garis disebut sebagai derajat (degree) dari suatu titik, dinotasikan sebagai. Sebagai contoh dalam Gambar 2.1,,, dan Suatu graf G dikatakan graf berlabel jika titik atau garisnya di berikan suatu nilai atau data tertentu. Jika tidak maka graf G dikatakan graf tak berlabel. Pelabelan graf dapat berupa pelabelan titik, pelabelan garis, atau pelabelan titik dan garis. Jika pelabelan tersebut merupakan pelabelan titik dan garis, maka pelabelan tersebut disebut dengan pelabelan total (Deo, 1989). 2.2. Teknik Dasar Pencacahan Jika suatu aktivitas dapat dibentuk dalam langkah berurutan dan langkah 1 dapat dilakukan dengan cara, langkah 2 dapat dilakukan dalam cara dan seterusnya sampai langkah ke dapat dilakukan dalam cara, maka banyaknya aktivitas berbeda yang mungkin adalah (Johnsonbaugh, 1997). Suatu permutasi dari elemen-elemen yang berbeda adalah penyusunan elemenelemen tersebut kedalam urutan yang dapat dibedakan. Suatu permutasi-r dari unsur yang berbeda merupakan sebuah pengurutan dari subhimpunan r- unsur dari * +. Banyaknya permutasi-r dari sebuah himpunan unsur yang berbeda dinyatakan dengan. Banyaknya permutasi-r dari sebuah himpunan unsur yang berbeda adalah atau 7
; ; (Johnsonbaugh, 1997) Misalkan terdapat sebanyak unsur dan ada unsur yang masing-masing muncul kali, permutasi unsur tersebut adalah: dengan Contoh: Untuk menentukan banyaknya permutasi yang mungkin dari huruf-huruf yang menyusun kata MATEMATIKA dapat menggunakan permutasi dengan beberapa unsur yang sama. Banyaknya huruf dalam MATEMATIKA adalah sedangkan ada 2 huruf M, 3 huruf A, 2 huruf T, 1 huruf E, 1 huruf I dan 1 huruf K. Maka banyaknya cara menyusun huruf-huruf tersebut adalah: Jadi banyaknya cara untuk menyusun huruf-huruf dalam kata MATEMATIKA adalah 15120 cara. Diberikan suatu himpunan * + yang mengandung unsur yang berbeda: a. Suatu r-kombinasi dari adalah seleksi tak terurut dari r-unsur (yakni subhimpunan r-unsur dari ) b. Banyaknya r-kombinasi dari suatu himpunan dengan n unsur yang berbeda dinotasikan dengan atau 8
Banyaknya r-kombinasi dari sebuah himpunan dengan unsur yang berbeda adalah: dengan ; (Johnsonbaugh, 1997). Misalkan terdapat objek yang akan dibagikan kedalam tempat yang berbeda. Maka banyaknya cara untuk menempatkan objek tersebut adalah Contoh: Empat bola akan dibagikan seluruhnya ke dalam 3 kotak. Banyaknya cara untuk menyusun bola-bola tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan kombinasi dengan perulangan. Misalkan adalah banyak bola dan adalah banyak kotak maka banyaknya cara menyusun bola adalah: Jadi banyaknya cara untuk menyusun 4 bola kedalam 3 kotak adalah 15 cara. 9
2.3. Penghitungan Graf (Graph Counting) Misal, dengan. a. Banyaknya graf sederhana berlabel dengan titik dinyatakan sebagai b. Banyaknya graf sederhana dengan titik dan garis dinyatakan sebagai ( ) (Agreusson dan Raymon, 2007). 10